Stern Mathematik: Das Erweiterungsproblem von Gruppen
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Mathematik

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Das Erweiterungsproblem von Gruppen

Eines der grundlegendsten Paradigmen der Gruppentheorie besteht darin, eine Gruppe G mit gegebenem Normalteiler N zu untersuchen, indem man die Gruppen N und G/N separat betrachtet, um von ihren Eigenschaften wiederum Rückschlüsse auf die Struktur von G zu ziehen. Für viele Fragestellungen funktioniert dieses Vorgehen wunderbar. Zum Beispiel lässt sich zeigen, dass G auflösbar ist, indem man die Auflösbarkeit von N und G/N beweist. Es ist daher eine naheliegende Frage, wie viel wir wirklich über G aussagen können, wenn wir N und G/N ganz genau kennen. Es ist keineswegs so, dass G durch N und G/N eindeutig bestimmt ist. Im Allgemeinen gibt es für vorgegebene Gruppen N und Q viele Gruppen G, die einen zu N isomorphen Normalteiler besitzen, sodass der zugehörige Quotient isomorph zu Q ist - allen voran das direkte Produkt N \times Q. Man spricht bei solchen Gruppen von Erweiterungen von Q um N. Die Klassifikation aller Erweiterungen (für spezielle Arten von Gruppen N und Q) ist bis heute Gegenstand aktiver Forschung. In diesem Artikel möchte ich eine wohlbekannte Charakterisierung aller Erweiterungen einer Gruppe Q um eine abelsche Gruppe N vorstellen und anschließend zeigen, wie sich der Satz von Schur-Zassenhaus als einfache Folgerung daraus ergibt. Dieser Satz besagt, dass jeder Hall-Normalteiler einer endlichen Gruppe ein Komplement besitzt.


Übersicht: 1. Gruppenerweiterungen im Allgemeinen 2. Erweiterungen um abelsche Gruppen 3. Kozykel 4. Die Charakterisierung 5. Der Satz von Schur-Zassenhaus 6. Abschließende Kommentare

Gruppenerweiterungen im Allgemeinen

Für diesen Abschnitt fixieren wir zwei beliebige Gruppen N und Q. Wir beginnen mit einigen grundlegenden Definitionen. Definition 1 Eine Erweiterung von Q um N ist ein Tripel (G,\iota,\pi) bestehend aus einer Gruppe G sowie einem Monomorphismus \iota : N \to G und einem Epimorphismus \pi : G \to Q, sodass das Bild von \iota mit dem Kern von \pi übereinstimmt. Anders gesagt: Die kurze Sequenz 1 \longrightarrow N \stackrel{\iota}{\longrightarrow} G \stackrel{\pi}{\longrightarrow} Q \longrightarrow 1 ist exakt. Diese abstrakte Definition einer Gruppenerweiterung macht die in der Einleitung beschriebene Idee deutlich flexibler. Ist G eine Gruppe mit Normalteiler N, so können wir - wie geplant - G als eine Erweiterung von Q = G/N um N auffassen, indem wir für \iota die Inklusionsabbildung und für \pi die kanonische Projektion wählen. Auf der anderen Seite wollen wir aber auch dann von einer Gruppenerweiterung sprechen können, wenn die Grundmenge von G nichts mit denen von N oder Q zu tun hat, wie das folgende Beispiel zeigt. Beispiel 1 * Es gibt Homomorphismen \iota : \mathds{Z}/3 \to S_3, \pi : S_3 \to \mathds{Z}/2 mit \iota(1) = (1 2 3) und \pi(1 2 3) = 0 sowie \pi(1 2) = 1. Wir erhalten eine Erweiterung (S_3,\iota,\pi) von \mathds{Z}/2 um \mathds{Z}/3. * Jedes semidirekte Produkt N \rtimes Q bildet eine Erweiterung von Q um N bezüglich den Homomorphismen \iota, \pi mit \iota(x) = (x,1) und \pi(x,y) = y. Wie es generell in der Mathematik üblich ist, wollen wir auch Gruppenerweiterungen miteinander identifizieren, wenn sie sich nur in irrelevanten Belangen unterscheiden. Es ist zum Beispiel vernünftig, dass eine Erweiterung (G',\iota',\pi'), die aus (G,\iota,\pi) durch Umbenennung der Elemente und entsprechender Anpassung der Morphismen hervorgeht, als die gleiche Erweiterung betrachtet werden sollte. Deshalb führen wir folgenden Isomorphiebegriff ein. Definition 2 Zwei Erweiterungen (G,\iota,\pi), (G',\iota',\pi') von Q um N sind isomorph, wenn ein Isomorphismus \varphi : G \to G' existiert, sodass \varphi \circ \iota = \iota' und \pi' \circ \varphi = \pi gilt. Anders gesagt: Das Diagramm
\begin{tikzcd} 1 \ar{r} & N \ar{r}{\iota} \ar[equal]{d} & G \ar{r}{\pi} \ar{d}{\varphi} & Q \ar{r} \ar[equal]{d} & 1\\ 1 \ar{r} & N \ar{r}{\iota'} & G' \ar{r}{\pi'} & Q \ar{r} & 1 \end{tikzcd}
ist kommutativ. Wir nennen \varphi in dem Fall auch einen Isomorphismus dieser Gruppenerweiterungen. Tatsächlich ist jeder Homomorphismus \varphi mit den obigen Eigenschaften bereits ein Isomorphismus, wie man mit dem Fünferlemma sieht oder direkt nachrechnet. Man beachte auch, dass Isomorphie eine Äquivalenzrelation auf den Erweiterungen von Q um N ist. Beispiel 2 Die erste Erweiterung aus Beispiel 1 ist isomorph zum (nicht-trivialen) semidirekten Produkt \mathds{Z}/3 \rtimes \mathds{Z}/2. Ein unmittelbarer Vorteil des Identifizierens isomorpher Gruppenerweiterungen ist, dass wir uns bei der Suche nach Erweiterungen (G,\iota,\pi) von Q um N die zugrunde liegende Menge von G aussuchen dürfen, solange sie die richtige Kardinalität besitzt. Tatsächlich werden wir die Konstruktionen von Gruppenerweiterungen stets auf der Grundmenge N \times Q vornehmen.

Erweiterungen um abelsche Gruppen

Wie bereits gesagt werden wir im Hinblick auf die Charakterisierung aller Erweiterungen zusätzlich annehmen, dass die Gruppe N, um die wir erweitern, abelsch ist. Der wesentliche Unterschied zum allgemeinen Fall liegt dabei darin, dass wir diese nun nicht nur als Gruppe, sondern als einen Q-Modul betrachten können. Definition 3 Sei Q eine Gruppe. Ein Q-Modul ist eine abelsche Gruppe A (hier additiv geschrieben) zusammen mit einer "Skalarmultiplikation" \cdot : Q \times A \to A, sodass für alle h,g \in Q, a,b \in A folgende Gleichungen gelten: * 1 \cdot a = a * \item (gh) \cdot a = g \cdot (h \cdot a) * \item g \cdot (a+b) = (g \cdot a) + (g \cdot b) Beispiel 3 * Jede abelsche Gruppe A wird durch die Skalarmultiplikation q \cdot a := a für alle a \in A, q \in Q zu einem Q-Modul. Wir bezeichnen A dann als trivialen Q-Modul. * Sei A = \mathds{Z}/n und Q = (\mathds{Z}/n)^\times. Dann wird A durch die herkömmliche Multiplikation zu einem Q-Modul. * Seien Q,A beliebig und \varphi : Q \to \operatorname{Aut}(A) ein Homomorphismus. Dann wird A durch die Skalarmultiplikation q \cdot a := \varphi(q)(a) zu einem Q-Modul. Tatsächlich erhält man in dieser Weise alle Q-Modulstrukturen auf A. Für uns ist wichtig, wie Gruppenerweiterungen eine Modulstruktur auf A definieren. Lemma 1 Sei (G,\iota,\pi) eine Erweiterung von Q um eine abelsche Gruppe A. Dann wird A durch die Verknüpfung \pi(g) \cdot a = \iota^{-1}(g \iota(a) g^{-1}) zu einem Q-Modul. Jede zu (G,\iota,\pi) isomorphe Erweiterung induziert die selbe Skalarmultiplikation. Beweis Man kann natürlich direkt nachrechnen, dass diese Verknüpfung wohldefiniert ist und die Axiome erfüllt. Alternativ geht es auch so: Die Konjugation von G auf A definiert einen Homomorphismus G \to \operatorname{Aut}(A). Weil A abelsch ist, ist \iota(A) = \operatorname{Ker}(\pi) im Kern enthalten, womit wir nach dem Homomorphiesatz einen Homomorphismus Q \to \operatorname{Aut}(A) erhalten. Dieser induziert die genannte Q-Modulstruktur auf A gemäß dem letzten Punkt aus Beispiel 3. Dass eine isomorphe Erweiterung die selbe Verknüpfung induziert, folgt unmittelbar aus der Definition eines Isomorphismus. \square Wir sehen also, dass jede Isomorphieklasse von Erweiterungen von Q um A die abelsche Gruppe A auf eindeutige Weise zu einem Q-Modul macht. Aus diesem Grund können wir anstelle der Gruppe N auch gleich einen beliebigen aber fest gewählten Q-Modul A betrachten. Natürlich müssen wir dann aber noch angeben, was unter einer Erweiterung von Q um einen Q-Modul zu verstehen ist. Definition 4 Sei Q eine Gruppe und A ein Q-Modul. Eine Erweiterung von Q um A ist eine Erweiterung von Q um die A zugrunde liegende abelsche Gruppe, die die auf A vorgegebene Skalarmultiplikation induziert. Definition 5 Für eine Gruppe Q und einen Q-Modul A bezeichne E(Q,A) die Menge aller Isomorphieklassen der Erweiterungen von Q um A. Es ist klar, dass wir alle Erweiterungen von Q um eine abelsche Gruppe A kennen, wenn wir alle Q-Modulstrukturen auf A sowie jeweils die Menge E(Q,A) verstehen. Ersteres ist kein Problem: wir haben bereits gesehen, dass die Skalarmultiplikationen von Q auf A im Wesentlichen durch die Homomorphismen Q \to \operatorname{Aut}(A) gegeben sind. Um die Charakterisierung von E(Q,A) wollen wir uns in den folgenden Abschnitten kümmern.

Kozykel

Von nun an sei A ein beliebiger aber fest gewählter Q-Modul, dessen Gruppenoperation wir als Addition schreiben. Unser Ziel ist es, die Elemente der Menge E(Q,A) zu charakterisieren. Das bedeutet konkret, dass wir eine weitere, deutlich zugänglichere, Menge H^2(Q,A) konstruieren und eine Bijektion H^2(Q,A) \longleftrightarrow E(Q,A) angeben werden. Diese Menge wird zufälliger Weise sogar die Struktur einer abelschen Gruppe tragen, was uns später noch beim Beweis des Satzes von Schur-Zassenhaus von großem Nutzen sein wird. Der Schlüssel für all dies sind die sogenannten Kozykel. Sei (G,\iota,\pi) eine Erweiterung von Q um A. Unter einer Repräsentantenzuordnung verstehen wir eine Abbildung \gamma : Q \to G mit \gamma(1) = 1 und \pi \circ \gamma = \mathrm{id}_Q. Solch eine Abbildung ordnet also jedem Element aus Q einen Repräsentanten aus G bezüglich \pi zu, wobei das Einselement von Q stets von dem Einselement aus G repräsentiert werden soll. Unter Umständen können wir für \gamma sogar einen Homomorphismus wählen. Das ist zwar nicht immer der Fall, dafür können wir aber stets messen, wie weit eine beliebige Repräsentantenzuordnung \gamma davon entfernt ist, ein Homomorphismus zu sein. Definition 6 Sei (G,\iota,\pi) eine Erweiterung von Q um A und \gamma : Q \to G eine Repräsentantenzuordnung. Dann ist die Abbildung [-,-]_\gamma : Q \times Q \to A definiert durch [x,y]_\gamma := \iota^{-1}(\gamma(x) \gamma(y) \gamma(xy)^{-1}). Offensichtlich ist \gamma genau dann ein Homomorphismus, wenn [x,y]_\gamma = 0 für alle x,y \in Q gilt. Die Abbildung [-,-]_\gamma erfüllt zwei Rechenregeln, die wir noch oft benötigen werden. Lemma 2 Sei (G,\iota,\pi) eine Erweiterung von Q um A und \gamma : Q \to G eine Repräsentantenzuordnung. Dann gelten für alle x,y,z \in Q folgende Gleichungen. * [x,1]_\gamma = [1,x]_\gamma = 0 * x \cdot [y,z]_\gamma - [xy,z]_\gamma + [x,yz]_\gamma - [x,y]_\gamma = 0 Beweis Beides folgt unmittelbar aus der Definition. \square Es wird sich in den folgenden Abschnitten herausstellen, dass alle Abbildungen mit diesen Eigenschaften auf die in Definition 6 beschriebene Weise zustande kommen und im engen Zusammenhang mit den Erweiterungen von Q um A stehen. Aufgrund der besonderen Form der zweiten Gleichung nennt man solche Abbildungen Kozykel. Definition 7 Eine Abbildung [-,-] : Q \times Q \to A ist ein Kozykel von Q mit Koeffizienten in A, wenn sie für alle x,y,z \in Q die folgenden Gleichungen erfüllt. * [x,1] = [1,x] = 0 * x \cdot [y,z] - [xy,z] + [x,yz] - [x,y] = 0 Schauen wir uns zunächst einige Beispiele an. Beispiel 4 * Die Nullabbildung (x,y) \mapsto 0 ist immer ein Kozykel. * Sei Q die Menge \{1,-1\} mit der gewöhnlichen Multiplikation und A = \mathds{Z}/4 als trivialer Q-Modul. Dann ist durch [-1,-1] := 2 und [x,y] := 0 für (x,y) \neq (-1,-1) ein Kozykel gegeben. * Sei Q = V_4 = \{1,a,b,c=ab\} die Kleinsche Vierergruppe und A = \mathds{Z}/2 als trivialer Q-Modul. Dann ist durch [a,b] = [b,c] = [c,a] = 0, [1,x] = [x,1] = 0 für alle x \in Q sowie durch [x,y] = 1 für alle restlichen Fälle ein Kozykel gegeben. * Sei f : Q \to A eine beliebige Abbildung mit f(1) = 0. Dann definiert die Bildungsvorschrift (x,y) \mapsto x \cdot f(y) - f(xy) + f(x) einen Kozykel. Die im letzten Punkt aufgeführten Kozykel spielen für unsere Zwecke eine besondere Rolle. Wir wollen solche Abbildungen, die aus einer einstelligen Funktion f : Q \to A zustande kommen, als triviale Kozykel bezeichnen. Wie man leicht sieht, sind Summen und Differenzen von (trivialen) Kozykeln wieder (triviale) Kozykel. Somit bilden diese Mengen als Untergruppen von A^{Q \times Q} jeweils eine abelsche Gruppe. Insbesondere können wir die zugehörige Quotientengruppe betrachten. Definition 8 Es sei H^2(Q,A) der Quotient der Gruppe aller Kozykel von Q mit Koeffizienten in A modulo der Untergruppe aller trivialen Kozykel. Wir nennen zwei Kozykel äquivalent, wenn ihre Differenz trivial ist. Die Bezeichnung H^2(Q,A) stammt aus der Kohomologietheorie, in der die soeben definierte Gruppe mit der zweiten Kohomologiegruppe von Q mit Koeffizienten in A übereinstimmt. Die Abbildungen, die wir Kozykel nennen, treten dort als sogenannte 2-Kozykel auf. Das ist für unsere Zwecke aber nicht weiter von Belang.

Die Charakterisierung

Jetzt wo wir alle Definitionen zusammen haben sind wir endlich in der Lage, die behauptete Bijektion H^2(Q,A) \longleftrightarrow E(Q,A) anzugeben und somit alle Erweiterungen von Q um A durch konkretere Objekte - nämlich durch Äquivalenzklassen von Kozykeln - zu charakterisieren. Wir werden dafür separat zwei Abbildungen H^2(Q,A) \to E(Q,A) und E(Q,A) \to H^2(Q,A) angeben und anschließend zeigen, dass sie zueinander invers sind. Erste Richtung \mathbf{\Phi : H^2(Q,A) \to E(Q,A)}: Sei [-,-] ein beliebiger Kozykel. Wir werden auf der Grundmenge A \times Q eine von diesem Kozykel abhängige Gruppenoperation definieren und diese Gruppe dann auf naheliegende Weise zu einer Erweiterung machen. Seien (a_1,q_1), (a_2,q_2) \in A \times Q beliebig. Wir definieren das Produkt (a_1,q_1) \cdot (a_2,q_2) := (a_1 + q_1 \cdot a_2 + [q_1,q_2], q_1q_2). Man beachte, dass diese Definition die Verknüpfung eines semidirekten Produktes verallgemeinert, welches wir daraus erhalten, wenn wir für obigen Kozykel die Nullabbildung wählen. Es gelten nun folgende Aussagen: Lemma 3 Die soeben definierte Verknüpfung macht die Menge A \times Q zu einer Gruppe, die wir mit A \star Q bezeichnen werden. Beweis Aus dem ersten Axiom für Kozykel ist sofort klar, dass es sich bei (0,1) um ein neutrales Element handelt. Die Assoziativität folgt nach einer leicht mühseligen aber elementaren Rechnung aus dem zweiten Axiom. Schließlich rechnet man leicht nach, dass ein zu (a,q) inverses Element durch (-q^{-1} \cdot (a + [q,q^{-1}]),q^{-1}) gegeben ist. \square Lemma 4 Die Abbildungen \iota : A \to A \star Q, a \mapsto (a,1) und \pi : A \star Q \to Q, (a,q) \mapsto q machen A \star Q zu einer Erweiterung von Q um A. Beweis Einfach nachrechnen. \square An dieser Stelle wissen wir, wie man aus einem beliebigen Kozykel eine Gruppenerweiterung erhält. Um daraus eine wohldefinierte Abbildung H^2(Q,A) \to E(Q,A) zu gewinnen benötigen wir noch folgende Aussage: Lemma 5 Zwei äquivalente Kozykel definieren isomorphe Gruppenerweiterungen. Beweis Seien [-,-]_1, [-,-]_2 äquivalente Kozykel, etwa [x,y]_1 - [x,y]_2 = x \cdot f(y) - f(xy) + f(x) für alle x,y \in Q und eine Abbildung f : Q \to A mit f(1) = 0. Weiter sei (A \star_i Q, \iota_i, \pi_i) die durch [-,-]_i definierte Erweiterung für i \in \{1,2\}. Eine einfache Rechnung zeigt, dass die Abbildung A \star_1 Q \to A \star_2 Q, (a,q) \mapsto (a+f(q),q) ein Isomorphismus der Gruppenerweiterungen ist. \square Insgesamt haben wir also gezeigt, dass wir jeder Äquivalenzklasse K von Kozykeln eine Isomorphieklasse von Gruppenerweiterungen zuordnen können, die wir mit \Phi(K) bezeichnen. Zweite Richtung \mathbf{\Psi : E(Q,A) \to H^2(Q,A)}: Kommen wir nun zur anderen Richtung. Sei (G,\iota,\pi) eine beliebige Erweiterung von Q um A. Wir sahen bereits weiter oben, dass wir aus dieser einen Kozykel erhalten, indem wir eine Repräsentantenzuordnung \gamma : Q \to G wählen und [x,y]_\gamma := \iota^{-1}(\gamma(x)\gamma(y)\gamma(xy)^{-1}) setzen. Wir zeigen nun, dass die Wahl von \gamma im Wesentlichen irrelevant ist. Lemma 6 Seien \gamma_1, \gamma_2 zwei Repräsentantenzuordnungen einer Erweiterung (G,\iota,\pi), dann sind die Kozykel [-,-]_{\gamma_1} und [-,-]_{\gamma_2} äquivalent. Beweis Für alle Elemente q \in Q liegt \gamma_1(q)\gamma_2(q)^{-1} im Kern von \pi und damit im Bild von \iota. Daher können wir eine Abbildung f : Q \to A durch f(q) = \iota^{-1}(\gamma_1(q)\gamma_2(q)^{-1}) definieren. Wegen \gamma_1(1) = \gamma_2(1) = 1 haben wir insbesondere f(1) = 0. Daher induziert f einen trivialen Kozykel und eine einfache Rechnung zeigt, dass dieser mit der Differenz [-,-]_{\gamma_1} - [-,-]_{\gamma_2} übereinstimmt. \square Dieser Satz zeigt, dass jede Erweiterung ein eindeutig bestimmtes Element aus H^2(Q,A) definiert. Es bleibt zu zeigen, dass wir isomorphen Erweiterungen das gleiche Element zuordnen. Lemma 7 Seien (G_1,\iota_1,\pi_1),(G_2,\iota_2,\pi_2) isomorphe Erweiterungen, dann definieren sie das selbe Element in H^2(Q,A). Beweis Sei \varphi : G_1 \to G_2 ein Isomorphismus der Erweiterungen und \gamma_1 : Q \to G_1 eine beliebige Repräsentantenzuordnung in G_1. Dann ist \gamma_2 = \varphi \circ \gamma_1 eine Repräsentantenzuordnung in G_2 und man prüft leicht nach, dass die dadurch definierten Kozykel [-,-]_{\gamma_1} und [-,-]_{\gamma_2} identisch sind. Insbesondere werden beiden Erweiterungen das gleiche Element in H^2(Q,A) zugeordnet. \square Wir können also wie beschrieben jeder Isomorphieklasse von Gruppenerweiterungen K \in E(Q,A) ein eindeutig bestimmtes Element aus H^2(Q,A) zuweisen, das wir mit \Psi(K) bezeichnen. Bijektivität der Korrespondenz Jetzt da die beiden Abbildungen zwischen H^2(Q,A) und E(Q,A) bekannt sind, müssen wir nur noch zeigen, dass es sich tatsächlich um zueinander inverse Bijektionen handelt. Das werden wir im Folgenden tun. Lemma 8 \Phi \circ \Psi = \mathrm{id}. Beweis Sei (G,\iota,\pi) eine Erweiterung, \gamma : Q \to G eine Repräsentantenzuordnung und [-,-]_\gamma der dadurch induzierte Kozykel. Sei weiter (A \star Q,\iota',\pi') die durch [-,-]_\gamma definierte Erweiterung. Dann zeigt eine einfache Rechnung, dass die Abbildung \varphi : A \star Q \to G, (a,q) \mapsto \iota(a) \gamma(q) ein Homomorphismus ist. Man sieht ebenfalls ebenfalls leicht, dass \varphi die Gleichungen \varphi \circ \iota' = \iota und \pi \circ \varphi = \pi' erfüllt und damit ein Isomorphismus dieser Erweiterungen ist. \square Lemma 9 \Psi \circ \Phi = \mathrm{id}. Beweis Sei [-,-] : Q \times Q \to A ein beliebiger Kozykel und (A \star Q,\iota,\pi) die dadurch induzierte Gruppenerweiterung. Dann wählen wir die Repräsentantenzuordnung \gamma : Q \to A \star Q, q \mapsto (0,q). Eine direkte Rechnung zeigt, dass der durch \gamma induzierte Kozykel [-,-]_\gamma mit [-,-] übereinstimmt. \square Damit haben wir das Hauptresultat dieses Artikels, die Charakterisierung aller Erweiterungen einer Gruppe Q um einen Q-Modul A, bewiesen. Satz 1 Die Isomorphieklassen der Gruppenerweiterungen von Q um A stehen in einer eineindeutigen Korrespondenz zu den Äquivalenzklassen von Kozykeln Q \times Q \to A. \square Aufgabe Finde heraus, welche bekannten Gruppen durch die Kozykel in Beispiel 4 beschrieben werden.

Der Satz von Schur-Zassenhaus

Mit dieser Charakterisierung haben wir nicht nur ein besseres Verständnis von den Erweiterungen gewonnen, sondern sogar eine Gruppenstruktur auf ihnen etabliert. Es dürfte klar sein, dass dies eine Vielzahl neuer Möglichkeiten eröffnet, da wir nun die bekannten Sätze aus der Gruppentheorie auf die Menge der Gruppenerweiterungen selbst anwenden können. Ich möchte nun die wohl einfachste Konsequenz aus dieser Tatsache vorstellen, aus der anschließend unmittelbar der Satz von Schur-Zassenhaus folgt. Korollar Sei Q eine endliche Gruppe und A ein endlicher Q-Modul mit \operatorname{ggT}(|A|,|Q|) = 1. Dann ist jede Erweiterung von Q um A isomorph zum semidirekten Produkt A \rtimes Q. Beweis Wir zeigen, dass der Exponent der abelschen Gruppe H^2(Q,A) ein Teiler von |A| und |Q| ist. Aus der Teilerfremdheit folgt dann anschließend H^2(Q,A) = 0 und die Charakterisierung liefert uns die Behauptung. Sei [-,-] : Q \times Q \to A ein beliebiger Kozykel. Es ist unmittelbar klar, dass |A| \cdot [-,-] = 0 gilt, da [x,y] für alle x,y \in Q ein Element aus A ist und nach dem Satz von Lagrange von |A| annihiliert wird. Daher ist der Exponent von H^2(Q,A) ein Teiler von |A|. Seien nun x,y \in Q beliebig. Wir definieren eine Abbildung f : Q \to A durch f(x) := \sum_{z \in Q} [x,z]. Man beachte, dass nach dem ersten Kozykel-Axiom f(1) = 0 gilt. Aufgrund des zweiten Kozykel-Axioms haben wir [x,y] = x \cdot [y,z] - [xy,z] + [x,yz] für alle z \in Q. Indem wir diese |Q| Gleichungen aufsummieren, erhalten wir:
\displaystyle |Q| \cdot [x,y] = \sum_{z \in Q} [x,y] = x \cdot \sum_{z \in Q} [y,z] - \sum_{z \in Q} [xy,z] + \sum_{z \in Q} [x,yz] = x \cdot f(y) - f(xy) + f(x).
Wir sehen also, dass |Q| \cdot [-,-] ein trivialer Kozykel ist und somit das Nullelement von H^2(Q,A) repräsentiert. Daher ist der Exponent dieser Gruppe auch ein Teiler von |Q|. \square Im Grunde handelt es sich bei dieser Aussage bereits um den Satz von Schur-Zassenhaus (für abelsche Normalteiler). Für gewöhnlich wird er allerdings auf eine etwas andere Weise formuliert, für die wir zwei weitere Begriffe benötigen. Definition 9 Sei G eine endliche Gruppe und N ein Normalteiler. Wir nennen N einen Hall-Normalteiler, wenn \operatorname{ggT}(|N|,|G:N|)=1 gilt. Definition 10 Sei G eine Gruppe und N ein Normalteiler. Ein Komplement von N in G ist eine Untergruppe U \leq G, sodass N \cap U = 1 und N \cdot U = G gilt. Satz 2 (Schur-Zassenhaus für abelsche Normalteiler) Sei G eine endliche Gruppe mit einem abelschen Hall-Normalteiler N. Dann besitzt N ein Komplement in G. Beweis Sei Q := G/N. Wie wir oben bereits festgestellt haben ist N auf natürliche Weise ein Q-Modul und G - zusammen mit den kanonischen Homomorphismen \iota, \pi - eine Erweiterung von Q um N. Aus dem vorherigen Korollar folgt (G,\iota,\pi) \cong N \rtimes Q. Ein beliebiger Isomorphismus liefert uns eine Einbettung von Q in G, die zu N komplementär ist. \square Tatsächlich ist die Voraussetzung, dass N abelsch ist, an dieser Stelle überflüssig. Sie diente lediglich dazu, dass wir die Charakterisierung für den Beweis verwenden konnten. Das bemerkenswerte ist nun, dass wir von diesem vermeintlich schwächeren Satz ausgehend mit allseits bekannten Methoden aus der Gruppentheorie den Satz von Schur-Zassenhaus in seiner allgemeinen Form beweisen können. Das möchte ich an dieser Stelle natürlich nicht auslassen. Satz 3 (Schur-Zassenhaus) Sei G eine endliche Gruppe mit einem Hall-Normalteiler N. Dann besitzt N ein Komplement in G. Beweis Die Behauptung stimmt offenbar für N=G oder N=1, weshalb N ohne Einschränkung eine echte Untergruppe sei. Wir werden einen indirekten Beweis führen und annehmen, dass die Behauptung falsch wäre und G ein Gegenbeispiel kleinster Ordnung ist. Das bedeutet, dass alle Gruppen kleinerer Ordnung - also insbesondere alle echten Untergruppen und Quotienten von G - die Behauptung erfüllen. Unser Ziel ist es zu zeigen, dass N abelsch ist, da wir dann aufgrund des vorherigen Satzes fertig sind. Dafür werden wir innerhalb von drei Schritten alle anderen Möglichkeiten ausschließen. Schritt 1: Wir zeigen, dass N ein minimaler Normalteiler ist. Angenommen, es gäbe einen Normalteiler M von G mit 1 < M < N. Dann hat G/M eine echt kleinere Ordnung als G, weshalb der Hall-Normalteiler N/M ein Komplement U/M in G/M besitzt. Nun ist M ein Hall-Normalteiler von U, also gibt es in U ein Komplement Q von M. Diese Gruppe hat die Ordnung |Q| = |U:M| = |G/M : N/M| = |G:N|, womit sie folglich auch ein Komplement für N ist. Dies ist ein Widerspruch, also muss N ein minimaler Normalteiler sein. Schritt 2: Sei p ein Primteiler von |N|. Wir zeigen, dass N eine p-Gruppe ist. Sei P eine p-Sylowgruppe von N. Wäre P normal in G, so wären wir nach Punkt (1) mit diesem Schritt fertig. Wir nehmen daher an, dass P nicht normal ist, und somit N_G(P) eine echte Untergruppe von G ist. Also gibt es ein Komplement Q von N_N(P) in N_G(P). Diese Untergruppe ist sogar ein Komplement von N in G: Nach dem Frattini-Argument gilt nämlich G = N \cdot N_G(P) und damit nach dem zweiten Isomorphiesatz |G : N| = |N_G(P) : N_N(P)| = |Q|. Das ist der gesuchte Widerspruch. Schritt 3: Wir können nun leicht zeigen, dass N abelsch ist. Als p-Gruppe hat N nämlich ein nicht-triviales Zentrum, das natürlich charakteristisch in N und damit normal in G sein muss. Wegen (1) folgt N = Z(N) und somit ist N eine abelsche Gruppe. \square Damit haben wir nun sogar eine allgemeine Aussage über Gruppenerweiterungen bewiesen. Eine kleine Umformulierung des Satzes besagt nämlich, dass für beliebige endliche Gruppen N und Q von zueinander teilerfremder Ordnungen jede Erweiterung von Q um N isomorph zu einem semidirekten Produkt N \rtimes Q ist. Das ist eine bemerkenswerte Feststellung! Beispiel 5 Alle Gruppen der Ordnung 21 sind isomorph zu einem der beiden semidirekten Produkte C_7 \rtimes C_3. Beweis Nach den Sylowsätzen ist die 7-Sylowgruppe normal. Nach Schur-Zassenhaus besitzt sie ein Komplement. \square

Abschließende Kommentare

Satz von Schur-Zassenhaus Was ich völlig verschwiegen habe ist, dass der Satz von Schur-Zassenhaus noch einen zweiten Teil besitzt, der nicht unerwähnt bleiben darf. Wie wir gezeigt haben, besitzt jeder Hall-Normalteiler in einer endlichen Gruppe ein Komplement. Dieses ist zwar nicht unbedingt eindeutig, aber dafür sind alle Komplemente von N zueinander konjugiert. Diese Tatsache ist nicht nur bemerkenswert, sondern auch ungeheuerlich schwer in voller Allgemeinheit zu beweisen. Relativ einfach geht es, wenn man zusätzlich voraussetzt, dass entweder N oder G/N auflösbar ist. Tatsächlich ist diese Voraussetzung sogar stets erfüllt, aber um das zu zeigen benötigt man einen Satz, der in einer völlig anderen Liga spielt - den Satz von Feit-Thompson. Bis heute ist keine andere Möglichkeit bekannt, den zweiten Teil des Schur-Zassenhaus-Satzes in voller Allgemeinheit zu beweisen. Interessant ist vielleicht auch, dass es noch mindestens drei andere Möglichkeiten gibt, die Existenzaussage von Schur-Zassenhaus zu beweisen. Sie reduzieren die Behauptung alle in einer ähnlichen Weise, wie wir es oben gemacht haben, auf den Fall, dass N eine abelsche Gruppe ist. An diesem Punkt geht es aber völlig unterschiedlich weiter: In [Robinson - A Course in the Theory of Groups] wird ein Beweis vorgestellt, der G, N und Q = G/N gemäß dem Satz von Kaluznin-Krasner in das Kranzprodukt N \wr Q einbettet und dort mit Hilfe des Satzes von Maschke die Existenz eines Komplements nachweist. Der Beweis von Wielandt gibt hingegen eine gewisse Äquivalenzrelation \sim auf der Menge \mathcal{S} aller Transversalen von N in G an, sodass G in geeigneter Weise transitiv auf \mathcal{S}/\!\!\sim operiert und jeder Stabilisator zu N komplementär ist. Diese Vorgehensweise wird in [Kurzweil, Stellmacher - The Theory of Finite Groups] vorgestellt. Schließlich gibt es noch einen ganz elementaren und direkten Beweis, der im Prinzip ebenfalls nach dem hier vorgestellten Ansatz vorgeht, aber keines der obigen Konzepte wie Gruppenerweiterungen, Kozykel, oder jene Charakterisierung explizit erwähnt, sondern alles in einer einzigen Argumentation vereint und so weit wie es nur geht zusammen staucht. Diesen Beweis hatte Gockel bereits im Rahmen seiner Gruppenzwang-Serie vorgestellt. Man kann sicherlich nicht sagen, welcher dieser Beweise der beste ist - jeder hat seine eigenen Vorzüge. Der hier vorgestellte mag in der Vorbereitung etwas technisch sein, aber dafür birgt er ein sehr großes Potential. Denn wie bereits gesagt, ist der Satz von Schur-Zassenhaus lediglich die einfachste Konsequenz der Charakterisierung jener Gruppenerweiterungen, aus der noch sehr viel mehr herauszuholen ist. Baer-Summen Wir haben zwar durch die Charakterisierung gezeigt, dass es auf der Menge E(Q,A) eine Gruppenstruktur gibt, aber noch nicht, wie genau man die Summe zweier Erweiterungen ohne Betrachtung der zugehörigen Kozykel bildet. Dies möchte ich hier kurz angeben. Seien (G_1,\iota_1,\pi_1), (G_2,\iota_2,\pi_2) zwei Erweiterungen von Q um A. Dann bilden wir daraus die Gruppen G = \{ (g,h) \in G_1 \times G_2 : \pi_1(g) = \pi_2(h) \} und N = \{ (\iota_1(a),\iota_2(-a)) : a \in A \}. N ist ein Normalteiler von G und der Quotient G/N bildet zusammen mit den Homomorphismen \iota : A \to G/N, \pi : G/N \to Q mit \iota(a) = \overline{(\iota_1(a),\iota_2(a))} und \pi \left( \overline{(g,h)} \right) = \pi_1(g) eine Erweiterung von Q um A, die als die Baer-Summe von (G_1,\iota_1,\pi_1) und (G_2,\iota_2,\pi_2) bezeichnet wird. Mit dieser Verknüpfung wird E(Q,A) zu einer Gruppe und die Abbildungen \Phi,\Psi werden zu Isomorphismen. Kohomologie Wie ich bereits erwähnte, kommt die Bezeichnung H^2(Q,A) aus der Kohomologietheorie, in der sie für die zweite Kohomologiegruppe von Q mit Koeffizienten in A steht. Wenn es eine zweite Kohomologiegruppe gibt, gibt es natürlich auch eine erste, und tatsächlich sogar unendlich viele weitere. Man kann sie alle wie folgt auf einen Schlag definieren: Ist A ein Q-Modul, dann können wir diesem seinen Q-invarianten Untermodul A^Q := \{ a \in A : q \cdot a = a \text{ für alle } q \in Q \} zuordnen. Diese Zuordnung ergibt einen links-exakten Funktor von der Kategorie aller Q-Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen. Seine n-te Rechtsableitung wird durch H^n(Q,-) bezeichnet. Es ist ein glücklicher Zufall, dass die zweite Rechtsableitung H^2(Q,A) tatsächlich mit der hier konstruierten Gruppe übereinstimmt und damit in Bijektion zu den Erweiterungen von Q um A steht. Dies eröffnet einem nämlich wiederum viele neue Wege um Aussagen über Gruppenerweiterungen treffen zu können, da nun sogar die gesamte Maschinerie der Kohomologietheorie zur Verfügung steht. Es sollte daher klar sein, dass der Satz von Schur-Zassenhaus unter den Konsequenzen der Charakterisierung noch lange nicht das Ende der Fahnenstange ist. Wer mehr über dieses Themengebiet erfahren möchte, dem empfehle ich für den Anfang das Buch [Weibel - An Introduction to Homological Algebra]. Abschluss Um zur einleitenden Fragestellung zurückzukehren: Wie viel wissen wir nun wirklich über eine Gruppe G, wenn wir einen Normalteiler N und den zugehörigen Quotienten Q = G/N kennen? Wenn G endlich und N ein Hall-Normalteiler ist, dann kennen wir auch G ziemlich gut: Es ist ein semidirektes Produkt N \rtimes Q, welches lediglich noch von einem Homomorphismus G \to \operatorname{Aut}(N) abhängt. Das ist alles, was wir mit dem obigen Wissen im Allgemeinen Fall aussagen können. Wenn N hingegen abelsch ist, dann trägt es eine kanonische Q-Modulstruktur und wir können die Gruppe H^2(Q,N) als ein Maß für das Wissen ansehen, welches uns N und Q über G liefern. Ist H^2(Q,N) = 0, so ist G eindeutig bestimmt und je größer die Gruppe H^2(Q,N) ist, desto mehr Möglichkeiten gibt es, eine mit N und Q konsistente Gruppenoperation auf G zu definieren, womit wir umso weniger über G wissen.
Ich bedanke mich bei Martin_Infinite und Gockel fürs Korrekturlesen.
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Das Erweiterungsproblem von Gruppen [von Dune]  
Eines der grundlegendsten Paradigmen der Gruppentheorie besteht darin, eine Gruppe G mit gegebenem Normalteiler N zu untersuchen, indem man die Gruppen N und G/N separat betrachtet, um von ihren Eigenschaften wiederum Rückschlüsse auf die Struktur von G zu ziehen.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
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"Stern Mathematik: Das Erweiterungsproblem von Gruppen" | 9 Comments
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Re: Das Erweiterungsproblem von Gruppen
von: Ex_Mitglied_477 am: Do. 21. August 2014 22:29:26
\(\begingroup\)Ja wie jetzt? Nachdem wir hier Himmel und Hölle in Bewegung gesetzt hatten, sehe ich gerademal -einen- tikz(cd)-Graphen? Also bin teilweise enttäuscht. (Spaß gell, 😄 )\(\endgroup\)
 

Re: Das Erweiterungsproblem von Gruppen
von: Dune am: Do. 21. August 2014 22:43:07
\(\begingroup\)Hi cis, keine Sorge, der etwas tikz-lastigere Artikel, von dem ich dort gesprochen habe, ist noch in Arbeit. 😄 Diesen hier hatte ich schon wesentlich früher begonnen. Viele Grüße, Dune\(\endgroup\)
 

Re: Das Erweiterungsproblem von Gruppen
von: KidinK am: Fr. 22. August 2014 12:18:05
\(\begingroup\)Obwohl ich noch nahezu nichts über Homologische Algebra weiß, war der Artikel sehr schön zu lesen! Und nach meinem letzten Versuch hast du mich motiviert, mich nochmal an den Weibel zu wagen 😉 Danke!\(\endgroup\)
 

Re: Das Erweiterungsproblem von Gruppen
von: KidinK am: Fr. 22. August 2014 12:32:55
\(\begingroup\)Tippfehler: Definition einer Repräsentantenabbildunh vor Definition 6, es muss heißen: $\gamma\colon Q\longrightarrow G $.\(\endgroup\)
 

Re: Das Erweiterungsproblem von Gruppen
von: rofler am: Fr. 22. August 2014 15:40:17
\(\begingroup\)Noch eine Stufe konzeptioneller: Man hat die Restriktion $\mathrm{res}: H^n(G,A) \to H^n(H,A)$ und die Korestriktion $\mathrm{cores}: H^n(N,A) \to H^n(G,A)$ (eine Art Norm) für einen Normalteiler $N$ in $G$ von endlichem Index. Für $n = 0$ ist trivialerweise $\mathrm{cores} \circ \mathrm{res} = [G:N]$, und mittels Dimensionsverschiebung folgt dies auch für alle $n$. Damit ist $H^n(G,A) \stackrel{\mathrm{res}}{\to} H^n(1,A) \stackrel{\mathrm{cores}}{\to} H^n(G,A)$ die Nullabbildung, weil sie über $H^n(1,A) = 0$ (für $n > 0$) faktorisiert, und auch gleich der Multiplikation mit $[G:1] = |G|$. Also wird $H^n(G,A)$ von $|G|$ gekillt.\(\endgroup\)
 

Re: Das Erweiterungsproblem von Gruppen
von: Dune am: Fr. 22. August 2014 16:58:41
\(\begingroup\)@KidinK: Es freut mich, dass ich dir dieses Themengebiet ein wenig näher bringen konnte. 😄 Die Verbesserung des Tippfehlers habe ich eingereicht. Danke für den Hinweis! @rofler: Danke für die Ergänzung! Es gibt scheinbar viele Beweise für das Verschwinden der Kohomologiegruppen im teilerfremden Fall. Mir gefällt dieses Argument am besten: Seien $Q,A$ wie oben mit teilerfremden Ordnungen. Sei $m := |Q|$ und $e := \frac{1}{m} \sum_{g \in Q} g$ das triviale zentral-idempotente Element von $R := \mathds{Z}Q \left[ \frac{1}{m} \right]$. Ist $P$ eine projektive Auflösung von $\mathds{Z}$ als $\mathds{Z}Q$-Modul, so ist $P \left[\frac{1}{m} \right]$ eine projektive Auflösung von $\mathds{Z} \left[ \frac 1 m \right] \cong e R$ als $R$-Modul und es gilt die Gleichung: $H^n(Q,A) = H^n \operatorname{Hom}_{\mathds{Z}Q}(P,A) \cong H^n \operatorname{Hom}_R \left( P \left[ \frac 1 m \right],A \right) = \operatorname{Ext}^n_R(e R,A)$. Die rechte Seite ist für $n>0$ aber trivial, da $e R$ wegen $R = e R \oplus (1-e) R$ projektiv ist. Im Artikel wollte ich aber vor allem zeigen, dass es auch ganz elementar geht und man für den Satz von Schur-Zassenhaus noch keinerlei Kohomologietheorie benötigt.\(\endgroup\)
 

Re: Das Erweiterungsproblem von Gruppen
von: Martin_Infinite am: So. 31. August 2014 15:17:11
\(\begingroup\)Schöner Artikel. Ich möchte noch ergänzen, dass Satz 1 eigentlich sogar eine Kategorienäquivalenz ist: Auf der einen Seite hat man die Kategorie der Gruppenerweiterungen mit den Isomorphismen als Morphismen. Auf der anderen Seite hat man die Kategorie der Kozykel mit Korändern als Morphismen. Also genauer gesagt ist ein Morphismus $\gamma \to \gamma'$ von Kozykeln eine Abbildung $f: Q \to A$ wie im Artikel, sodass $\gamma'-\gamma$ der zu $f$ gehörige triviale Kozykel ist. Man hat also zwei Kategorien (sogar Gruppoide), und diese sind äquivalent. Wann immer man eine Kategorienäquivalenz hat, so erhält man auch eine Bijektion zwischen den Isomorphieklassen. Eine Kategorienäquivalenz ist viel reichhalter und nützlicher als eine Bijektion und sollte daher immer "aufgedeckt" werden. Ein schönes Beispiel ist etwa das grundlegende Resultat der Überlagerungstheorie, welches eine Kategorienäquivalenz zwischen Überlagerungen von $X$ und $\pi_1(X)$-Mengen herstellt. Man muss keine Isomorphieklassen betrachten - dadurch verliert man Information. Sobald man nun eine Eigenschaft von Überlagerungen kategoriell charakterisiert hat, wird diese von der Äquivalenz übertragen und ebenso reflektiert.\(\endgroup\)
 

Re: Das Erweiterungsproblem von Gruppen
von: StefanVogel am: Sa. 06. September 2014 07:01:21
\(\begingroup\)Hallo Dune, Beispiel 4 dritter * scheint nicht zu funktionieren: Für $x \neq y = z \neq 1 $ lautet die zweite Kozykel-Bedingung aus Definition 7 nach Einsetzen aller Voraussetzungen $x \cdot [y,z] - [xy,z] + [x,yz] - [x,y] = [y,y] - [xy,y] + [x,1] - [x,y] = 1 - [xy,y] + 0 - 0 = 0$. Das ergibt $[xy,y] = 1$, obwohl wegen $x \neq 1 $ auch $xy \neq y $ gilt. Man könnte die Lösungen $[x,y]$ für $x \neq y $ zum selbst festlegen offenlassen und fragen, ob unterschiedliche Lösungsmöglichkeiten äquivalent nach Definition 8 sind. Viele Grüße, Stefan \(\endgroup\)
 

Re: Das Erweiterungsproblem von Gruppen
von: Dune am: Sa. 06. September 2014 23:55:30
\(\begingroup\)Danke für den Hinweis Stefan, du hast völlig Recht! Nun sollte es hoffentlich stimmen. Danke natürlich auch dir, Martin, für die Ergänzung! Ich finde diese Sichtweise ebenfalls schöner, wollte aber für den Beweis der Charakterisierung keine Vorkenntnisse über Kategorien voraussetzen (es bringt an dieser Stelle auch keinen Vorteil).\(\endgroup\)
 

 
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