Mathematik: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
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Mathematik

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<math> \textbf{\Large{Worin unterscheiden sich $f$ und $f(x)$?}}</math>

Bekanntlich muss man zwischen einer Funktion <math>f : \mathds{R} \to \mathds{R}</math> und ihren Funktionswerten <math>f(t)</math> (<math>t \in \mathds{R}</math>) unterscheiden. Zum Beispiel ist <math>t^2</math> für eine feste Zahl <math>t</math> etwas anderes als die Funktion <math>t \mapsto t^2</math>. In diesem kurzen Artikel schlage ich eine Notation vor, mit der <math>f(x)</math> tatsächlich gleich <math>f</math> ist. Dazu muss man lediglich <math>x</math> selbst als Funktion auffassen. Es wird außerdem gezeigt, warum diese Notation praktisch ist.


Wir definieren die Funktion <math>x : \mathds{R} \to \mathds{R}</math> als die Identität, d.h.

<math>x(t):=t</math>

für alle <math>t \in \mathds{R}</math>. Vielleicht mag der eine oder andere jetzt kritisieren, dass <math>x</math> ein "kostbarer" Buchstabe ist, welcher nicht mit so etwas langweiligem wie die Identität "überschrieben" werden darf. Da ist etwas dran, aber trotzdem ein paar Gegenargumente: Namen sind Schall und Rauch. Man könnte reelle Zahlen auch mit <math>a,b,c,\dotsc</math> oder <math>r,s,t,\dotsc</math> bezeichnen. Und statt <math>x</math> könnte man auch <math>X</math> schreiben. Letzteres wäre ziemlich sinnvoll, zumal etwas ähnliches bereits bei Polynomen gemacht wird. Allerdings möchte ich in diesem Artikel <math>x</math> schreiben, damit klar wird, dass die üblichen Rechnungen, die bisher für "formal falsch" gehalten worden sind, in Wahrheit richtig sind - wenn man nur das <math>x</math> richtig definiert.

Für zwei Funktionen <math>f,g</math> sei die Funktion <math>f+g</math> wie üblich durch

<math>(f+g)(t):=f(t)+g(t)</math>

definiert. Analog werden <math>f-g</math> und die <math>f \cdot g</math> definiert, und damit auch <math>f^2</math> als Spezialfall von <math>f=g</math>. Man definiert außerdem die Verkettung/Komposition <math>f \circ g</math> durch

<math>(f \circ g)(t):=f(g(t)).</math>

Für <math>f=g</math> erhalten wir <math>f^{\circ 2}</math> etc. Eine feste Zahl <math>r</math> liefert eine konstante Funktion, die wir der Einfachheit halber auch mit <math>r</math> bezeichnen. (Es handelt sich hierbei um einen abuse of notation, der allerdings keine Probleme verursachen sollte.) Mit Funktionen kann man (fast) genauso rechnen, wie man es für reelle Zahlen gewohnt ist. Man rechnet nur mit allen Funktionswerten "gleichzeitig". Natürlich muss man mit den Definitionsbereichen aufpassen, aber darauf gehe ich hier nicht weiter ein.

Nach diesen Standard-Definitionen und unserer Definition der Funktion <math>x</math> können wir nun etwa die Funktion

<math>x^5 - 2 \cdot x^3 + 1</math>

hinschreiben. Das ist nämlich die Funktion, die <math>t \in \mathbb{R}</math> abbildet auf <math>t^5 - 2 \cdot t^3 + 1</math>. Es ist <math>\sin^2</math> die Funktion <math>t \mapsto \sin(t)^2</math>, hingegen ist <math>\sin^{\circ 2}</math> die (selten anzutreffende) Funktion <math>t \mapsto \sin(\sin(t))</math>.

Wir vereinbaren noch <math>f(g)</math> als eine alternative Schreibweise für <math>f \circ g</math>. Dann gilt also ganz allgemein

<math>f(x)=f</math>

(sowie <math>x(g)=g</math>), denn Vorschalten (bzw. Nachschalten) der Identität ändert ja nichts. Außerdem können wir nun auch Funktionen wie zum Beispiel <math>\cos(-x)</math> hinschreiben; das ist die Funktion <math>t \mapsto \cos(-t)</math>. Wegen <math>\cos(-t)=\cos(t)</math> für alle <math>t \in \mathbb{R}</math> gilt

<math>\cos(-x)=\cos(x)</math>

als Funktionen.

Was bisher gesagt worden ist, gilt zunächst nur für Funktionen in einer reellen Variablen. Wenn man zwei braucht, definieren wir die Funktionen

<math>x : \mathds{R}^2 \to \mathds{R}, ~ y : \mathds{R}^2 \to \mathds{R}</math>

als die Projektionen auf die erste bzw. zweite Koordinate. Dann ist etwa das Additionstheorem

<math>\sin(x+y) = \sin(x) \cdot \cos(y) + \cos(x) \cdot \sin(y)</math>

eine Gleichung von zwei Funktionen <math>\mathds{R}^2 \to \mathds{R}</math>.

Was komplexe Funktionen angeht, so kann man <math>z : \mathds{C} \to \mathds{C}</math> als die Identität definieren. Dann ist etwa <math>\sin = \sin(z)</math> die komplexe Sinus-Funktion, <math>z^n - 1</math> ist eine komplexe polynomielle Funktion, etc.

Kommen wir zu Ableitungen. Die Ableitung <math>f"</math> einer Funktion <math>f</math> ist durch

<math>\displaystyle f"=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>

definiert; natürlich nur auf der Teilmenge des Definitionsbereiches von <math>f</math>, wo dieser Grenzwert existiert. Die Ableitungsregeln lauten:

(0) <math>x"=1</math>
(1) <math>r" = 0</math> für <math>r \in \mathbb{R}</math>
(2) <math>(f \pm g)" = f" \pm g"</math>
(3) <math>(f * g)" = f" * g + f * g"</math>
(4) <math>(f \circ g)" = g" * f"(g)</math>

Auch dabei handelt es sich wieder um Gleichungen von Funktionen. Es folgt zum Beispiel

<math>(x^n)" = n \cdot x^{n-1}</math>

für alle <math>n \in \mathds{N}^+</math>. Wenn mehrere Variablen <math>x,y,\dotsc</math> im Spiel sind, kann man auch die partiellen Ableitungen

<math>\frac{\partial}{\partial x} f,~\frac{\partial}{\partial y} f,\dotsc</math>

als (partielle) Funktionen definieren.

Üblicherweise wird die Schreibweise <math>(x^n)"=n x^{n-1}</math> als nicht präzise angesehen, mit der man aber trotzdem rechnet, und daher ist es umso besser, dass diese Gleichung in unserem Rahmen vollkommen korrekt ist. Man vergleiche das mit der üblichen Schreibweise: Definiere die Funktion

<math>f : \mathds{R} \to \mathds{R}, ~ t \mapsto t^n.</math>

Dann gilt

<math>f"(t)=n t^{n-1}</math>

für alle <math>t \in \mathds{R}</math>. Man muss also immer erst, wenn man präzise sein will, der Funktion einen neuen Namen geben. Und bei der Berechnung der Ableitung schreibt man die Funktionswerte hin, obwohl man eigentlich gerne eine Gleichung von Funktionen hätte. Dieser Wunsch kommt schon alleine dadurch zum Vorschein, dass fast immer der Allquantor ("für alle", "<math>\forall</math>") weggelassen wird. Und diese Umstände kommen alleine dadurch, dass man der (vermeintlich) langweiligen Funktion <math>\mathrm{id} : \mathds{R} \to \mathds{R}</math> keinen festen Namen gegeben hat bzw. der Name <math>\mathrm{id}</math> anscheinend sehr unbeliebt ist. Man hat in der Analysis keine Hemmungen <math>\sin^2</math> zu schreiben, also wieso sollte <math>\mathrm{id}^2</math> dann keinen Sinn machen? Mit <math>x^2</math> wird meistens ohnehin die Funktion <math>t \mapsto t^2</math> gemeint, und insofern wäre es nur konsequent, die Definitionen so auszulegen, dass es auch stimmt. Und das geht zum Beispiel, indem man <math>x := \mathrm{id}</math> definiert.

Es gibt hier übrigens noch eine Art "Hintergrundgeschichte", die sich allerdings nur an die Leser richtet, die schon etwas von Kategorien gehört haben. Bekanntlich ist ein Morphismus in einer Kategorie mehr als nur eine "strukturerhaltende Abbildung" und entsprechend ist der Umgang mit Morphismen anfangs ein wenig gewöhnungsbedürftig. Ja nicht einmal die Objekte müssen "strukturierte Mengen" sein, sondern sind völlig abstrakte Gebilde (die gewissermaßen erst durch die Morphismen zum Leben erweckt werden).

Es gibt nun aber die Möglichkeit, sich das ganze so vorzustellen (das geht letztlich auf den kürzlich verstorbenen Alexander Grothendieck zurück): Ein Element oder Punkt eines Objektes <math>X</math> sei ein Morphismus

<math>p : Y \longrightarrow X.</math>

Dabei kann <math>Y</math> irgendein anderes Objekt sein und es gehört zum Datum des Punktes dazu. Man spricht auch von einem <math>Y</math>-wertigen Punkt von <math>X</math>. Im Falle der Kategorie der Mengen bekommt man den üblichen Begriff eines Elements, wenn man sich auf Einpunktmengen <math>Y</math> beschränkt. Die Erweiterung auf beliebige <math>Y</math> zahlt sich allerdings aus. Eine vollständige Erklärung würde hier zu weit führen - ich möchte nur folgende Anwendung anmerken:

Seien <math>f,g : X \to X"</math> zwei Morphismen mit

<math>f(p)=g(p)</math>

für alle Punkte <math>p</math> von <math>X</math>, wobei, wie zuvor <math>f(p)</math> für <math>f \circ p</math> steht. Dann gilt schon

<math>f=g.</math>

Tatsächlich, wir müssen lediglich den Punkt

<math>\mathrm{id}_X : X \to X</math>

einsetzen und sind sofort fertig. Auf diese Weise können wir uns nun aber Morphismen wie Funktionen vorstellen: Wenn <math>f : X \to X"</math> ein Morphismus ist, so liefert jeder Punkt <math>p \in X</math> einen Punkt <math>f(p) \in X"</math>, und durch diese Wirkung auf den Punkten ist <math>f</math> bereits vollständig bestimmt. Umgekehrt liefert jede "natürliche" Wirkung auf den Punkten einen Morphismus - das ist die Aussage des Yoneda-Lemmas. All das liegt an der Existenz eines universellen Punktes <math>\mathrm{id}_X</math>, den es in der klassischen Sichtweise gar nicht geben würde. Den universellen Punkt der Menge <math>\mathbb{R}</math> haben wir <math>x</math> genannt. Wir können ihn auch als die "universelle reelle Zahl" sehen.

Das war's schon an dieser Stelle. Scheut nicht vor Kommentaren zurück.

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Worin unterscheiden sich f und f(x)? [von Martin_Infinite]  
textbf{Large{Worin unterscheiden sich $f$ und $f(x)$?}}Bekanntlich muss man zwischen einer Funktion f : mathds{R} to mathds{R} und ihren Funktionswerten f(t) (t in mathds{R}) unterscheiden. Zum Beispiel ist t^2 für eine feste Zahl t etwas anderes als die Funktion t mapsto t^2. In diesem kurzen Arti
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"Mathematik: Worin unterscheiden sich f und f(x)?" | 18 Comments
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Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Wally am: Mi. 03. Dezember 2014 21:17:42
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Hallo, Martin,

das ist (wie nicht anders zu erwarten) mathematisch rigoros und korrekt.

Ob das didaktisch sinnvoll für Anfänger ist, muss ich noch genau überlegen.

Viele Grüße

Peter\(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 04. Dezember 2014 00:23:46
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Hallo,

wirklich schön, so habe ich da noch nicht drüber nachgedacht.

Denke aber auch, dass es eher nicht für Anfänger geeignet ist, weil die sich darunter trotzdem das falsche vorstellen würden.

Sobald man den unterschied zwischen f und f(x) (bei gewöhnlicher Notation) verstanden hat, ist dies dann eine schöne Anschauungsweise.

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Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: xiao_shi_tou_ am: Do. 04. Dezember 2014 05:11:18
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Hi!
Es freut mich wirklich diese neue Sichtweise kennenzulernen, denn in unserer Funktionentheorie Vorlesung hat man staendig f mit f(x) gleichgesetzt, allerdings ohne praezise Begruendung, und das hatte ich damals nicht verstanden.

Ich persoenlich haette nichts dagegen (auch wenn das wahrscheinlich kaum zu verwirklichen ist) diese Sichtweise auch offiziell zu benutzen.

Ich glaube nicht, dass es verwirrend fuer Anfaenger (jemand der Abbildungen noch nicht kennt) ist.  

lg xiaoshitou


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Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 04. Dezember 2014 12:57:01
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Ich verstehe nicht, wieso du so viel Zeit für solche Banalitäten opferst.\(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: hari01071983 am: Do. 04. Dezember 2014 15:45:43
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Es finde es gut dass es auch Artikel für die "Matheneulinge" gibt. Was eine Banalität ist liegt nämlich im Allgemeinen im Auge des Betrachters.

Ich, für meinen Teil, zähle mich auch zu den Matheneulingen und finde die letzten 3 Absätze so gar nicht trivial.

\(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Martin_Infinite am: Do. 04. Dezember 2014 16:23:36
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Danke für die Kommentare soweit.
 
@Peter: Darüber habe ich mir ehrlich gesagt auch noch keine Gedanken gemacht.
 
@Anonymous(1): Ja, könnte leider sein, dass das falsch verstanden wird. Bei Polynomen bekommt man es ja hin, dass X2 - X + 1 recht selten mit einem festen Wert verwechselt wird. Wenn man also f(X) anstelle von f(x) oder f(a) schreibt, könnte das auch funktionieren.
 
@Anonymous(2): Banalitäten sind die Grundlage für alles Weitere ;). Außerdem habe ich an dem Artikel nur etwa eine Stunde geschrieben.

@hari01071983: Das freut mich.\(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Gockel am: Do. 04. Dezember 2014 18:07:53
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Hi.

Ich möchte ein nichttriviales Beispiel für diese Art der Notation besteuern: Distributionentheorie.
Für allgemeine Distributionen sind keine Funktionswerte definiert, daher ist es z.B. sinnlos <math>\delta(x)</math> als Wert der Delta-Distribution an der Stelle x aufzufassen. Funktionswerte von <math>\delta</math> sind nur außerhalb des Nullpunkts wohldefiniert und dort Null. Man ist aber, wenn man mit der Delta-Distribution arbeitet, ausschließlich an ihrem Verhalten in einer Umgebung des Nullpunkts interessiert.

Die hier vorgestellte Notation macht es allerdings möglich, <math>\delta(x)</math> als Verknüpfung von <math>\delta</math> mit der identischen Funktion oder einer Projektion <math>\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^k</math> o.Ä. zu betrachten. Das ist wohldefiniert (wobei gerade diese Verkettungen von Distributionen mit Funktionen sehr technisch zu definieren ist) und liefert das tatsächlich intendierte Objekt zurück.

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Martin_Infinite am: Do. 04. Dezember 2014 18:35:52
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@Gockel: Das hört sich sehr interessant an. Könntest du das vielleicht etwas ausarbeiten? Wenn man Distributionen als Funktionen schreibt und damit arbeitet, ist es dann wirklich in dem Sinne richtig, wie ich das in meinem Artikel vorgeschlagen habe?
Ich habe einmal den Wikipedia-Artikel zu Distributionen überflogen. Wenn <math>f</math> eine lokal integrierbare Funktion mit zugehöriger Distribution <math>\delta_{f}</math> ist (<math>\delta_{f}(\phi) = \int f(x) \phi(x) dx</math>), so wird in dem Artikel mehrmals darauf hingewiesen, dass oftmals (v.a. in der Physik) nicht zwischen <math>f</math> und <math>\delta_{f}</math> unterschieden wird, auch wenn das formal nicht korrekt ist. Kann man der "Gleichung" <math>\delta_{f}(x)=f(x)</math> vielleicht trotzdem einen "formalen" Sinn geben?

Was hältst du von der folgenden Analogie?

Funktionenraum <---> Kategorie
Distribution <---> Prägarbe
Reguläre Distribution <---> darstellbare Prägarbe
Distributionenraum <---> Kovervollständigung
 
Siehe auch hier ("Integrale in der Kategorientheorie").\(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Gockel am: Do. 04. Dezember 2014 19:20:23
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Hi Martin.

Deine Analogie ist gar nicht so falsch. Der Fundamentalsatz der Variationsrechnung sagt z.B., dass eine lokal int.bare Funktion <math>f:\Omega\to\mathbb{C}</math> eindeutig (bis auf Nullmengen) durch die Integrale <math>\int_\Omega f(x)\phi(x)</math> bestimmt ist, wobei <math>\phi</math> durch <math>C_c^\infty(\Omega)</math> läuft. Das fühlt sich sehr nach einer Instanz des Yoneda-Lemmas an.

Insbesondere ist die kanonische Abbildung <math>L_{loc}^1(\Omega) \to \mathcal{D}"(\Omega), f\mapsto T_f</math>  injektiv (<math>\delta_f</math> ist eine ungünstige Bezeichnen, da man mit <math>\delta_a</math> üblicherweise die Deltadistribution im Punkt <math>a</math> bezeichnet, was nicht mit der konstanten Funktion identisch ist). In diesem Sinne wird <math>T_f</math> mit <math>f</math> identifiziert.

Da man hier aber Funktionen bis auf Gleichheit fast überall betrachtet, kann man noch nicht direkt von Funktionswerten reden. Erst, wenn man einen eindeutigen Vertreter der Äquivalenzklasse wählen kann, darf man das. Das trifft z.B. auf stetige <math>f</math> zu, denn zwei stetige Funktionen sind genau dann gleich, wenn sie f.ü. gleich sind.

Werte von Distributionen sind nun wie folgt definiert. Da Distributionentheorie lokal ist (präzise: <math>U\mapsto\mathcal{D}"(U)</math> ist eine Garbe), gibt es eine größte offene Menge <math>\Omega_0\subseteq\Omega</math>, sodass <math>T_{|\Omega_0}=T_f</math> für eine stetige Funktion <math>f\in C^0(\Omega_0)</math> gilt. Dieses <math>f</math> ist dann, wie gesagt, eindeutig bestimmt. Für <math>x\in\Omega_0</math> definiert man dann den Wert <math>T(x)</math> als den Wert <math>f(x)</math>.

Die Menge der Punkte <math>\Omega\setminus\Omega_0</math> ist in gewisser Weise die Menge der Singularitäten von <math>T</math>.

Speziell für <math>T=\delta</math> ergibt sich <math>\Omega_0 = \Omega\setminus\{0\}</math> und <math>\delta_{|\Omega_0} = 0</math>. Das einzig interessante an der Delta-Distribution ist also ihre Singularität bei <math>0</math> und das präzise Verhalten dort.


Zur Verkettung mit Funktionen: Die Verkettung <math>T\circ\psi</math> ist definiert für alle <math>C^\infty</math>-Submersionen <math>\psi:\Omega\to\Omega"</math>. Für Diffeomorphismen <math>\psi</math> kann man die Verkettung sehr explizit beschreiben, indem man den Transformationssatz zum Vorbild nimmt. Für allgemeine Submersionen ist das schwieriger (und steht auch nicht in allen Büchern zum Thema). Wenn ich mich recht erinnere, benutzt man dann eine Integration über Fasern. Man nimmt sich also die verallgemeinerte Transformationsformel (=Koflächenformel) zum Vorbild.
In beiden Fällen ist die Definition genauso gewählt, dass <math>T_f\circ\psi = T_{f\circ\psi}</math> für alle <math>f\in L_{loc}^1(\Omega")</math> gilt. Insbesondere gilt dann mit der Notation <math>x=id</math> wirklich <math>T(x)=T</math> oder, wenn man zusätzlich noch <math>T_f</math> mit <math>f</math> gleichsetzt, <math>f(x)=f</math> als Gleichung von Distributionen.

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Ex_Mitglied_4018 am: Do. 04. Dezember 2014 20:13:19
\(\begingroup\)
In meinen Anfängervorlesungen wurde das so gehandhabt. Ich "wunderte" mich irgendwann, warum das sonst nie gemacht wird. Und ja, ein Element, das in eine Funktion eingesetzt wurde hieß dann z.B. s,t,p,q etc, aber nie x und y...
Ein weiteres Beispiel, wofür das nützlich ist: Im Zusammenhang mit der Analysis mehrerer Veränderlicher hat man z.B. die Projektionen <math>x_j : \mathbb R^n \to \mathbb R</math>. Dann ist z.B. völlig klar, was das Differential <math>d x_j</math> ist.\(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: sbechtel am: Sa. 06. Dezember 2014 11:26:03
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Gefällt mir, es so aufzuziehen!\(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Redfrettchen am: Mo. 08. Dezember 2014 11:51:31
\(\begingroup\)
Im Artikel Bringing Calculus Up-to-Date schrieb M. E. Munroe 1958(!) schon ähnliches, und sein erster Punkt lautete auch: »It is essential to distinguish between a function <math>f</math> and its values <math>f(a)</math>.« Das entscheidende ist, Variablen als Funktionen zu verstehen.\(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 14. Dezember 2014 12:46:19
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Sowas ähnliches wurde hier auch in der Ana1 Vorlesung gemacht: www.math.uni-bonn.de/ag/ana/WiSe1415/AnIscript/Kapitel1.pdf (S.18)

\(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 15. Januar 2015 23:00:49
\(\begingroup\)
Wieso wird in diesem Skript aus Bonn das Auswahlaxiom benutzt, um zu zeigen, dass bijektive Abbildungen eine Umkehrfunktion besitzen?\(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Gockel am: Fr. 16. Januar 2015 13:10:50
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@Anonymous: Das ist sehr seltsam. Das Auswahlaxiom wird in Wirklichkeit gar nicht benutzt. Die Funktion g, deren Existenz mit dem AC begründet wird, existiert auch ohne AC. Weshalb das überhaupt in einem Analysis-Skript auftaucht, ist mir schleierhaft.
Man benötigt das AC nicht (in voller Stärke) für die Analysis-Grundvorlesungen.

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 21. Januar 2015 01:58:46
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Wie würdest du denn sonst die folgende Aussage "Es seien X, Y Mengen und f:X-->Y eine Abbildung. Falls f surjektiv ist, so existiert eine injektive Funktion g:Y-->X, so dass f(g(y))=y für alle y aus Y." zeigen?

Dies war damals in meiner AnaI Vorlesung erstmals ein etwas anschaulicheres Beispiel (man "wählt" sich ein paar Pfeile) zu AC.

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Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Gockel am: Mi. 21. Januar 2015 02:28:01
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Dass surjektive (nichtbijektive) Funktionen Rechtsinverse besitzen, ist sehr offensichtlich äquivalent zum AC. Das ist aber gar nicht der springende Punkt. Eine bijektive Funktion ist ja mehr als nur surjektiv und man braucht das AC nicht, um die Existenz eines Inversen zu zeigen.

Es ist sehr einfach: Wenn <math>f:X\to Y</math> bijektiv ist, dann betrachte den Graph <math>G:=\{(x,f(x)) \mid x\in X\}</math> von <math>f</math>. Dies ist eine Relation, also eine Teilmenge von <math>X\times Y</math>. Die reverse Relation <math>G^{op}:=\{(y,x) \mid (x,y)\in G\}\subseteq Y\times X</math> ist aufgrund der Bijektivität von <math>f</math> der Graph einer Funktion <math>g:Y\to X</math> (dafür braucht man wirklich die Bijektivität, weder Surjektivität noch Injektivität alleine reichen aus). Dies ist nach Konstruktion ist die Umkehrfunktion von <math>f</math>.
An keiner Stelle musste irgendwo eine willkürliche Wahl getroffen werden.

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 24. Januar 2015 02:32:12
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Ok. Um auf deine anfängliche Aussage "Weshalb das überhaupt in einem Analysis-Skript auftaucht, ist mir schleierhaft." zurückzukommen. Die Motivation dieses Beweises war wohl gerade, dass man sich Gedanken über obige Aussage macht (vgl. Übungsaufgabe).

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