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Mathematik: Lösung trigonometrischer Grundgleichungen Released by matroid on Fr. 06. Februar 2015 07:00:48 [Statistics] [Comments] Written by cis - 1932 x read [Outline] Printer-friendly version -  Choose languageDE EN   \(\begingroup\) Lösung trigonometrischer Grundgleichungen In diesem Artikel werden die Gleichungen sin(x) = a, cos(x) = a und tan(x) = a gelöst, für reelle x und geeignete reelle a. Veranschaulichung: · Schnittpunkte von f(x) = sin(x) und g(x) = a $ % \usetikzlibrary{plotmarks} \def\a{0.74} \begin{tikzpicture}[x = 1cm, y=1.5cm, scale=0.55, font=\footnotesize, >=latex %Voreinstellung für Pfeilspitzen ] % Funktionen \draw[] plot[samples=300, domain=-9:9] (\x,{sin(\x r)}) node[above=15pt] {$f(x)=\sin\left(x\right)$}; \draw[] (9,\a) -- (-9,\a) node[above, xshift=5mm] {$a = \a$}; %Schnittpunkte \foreach \k in {-2,...,3}{ \pgfmathsetmacro\myresult{((-1)^\k) * rad(asin(\a)) + \k*pi} \draw[color=red, fill=white] plot[mark=*,mark size=2.75pt] coordinates{( {\myresult}, {\a} )}; } % x-Achse \draw[->] (-9.9,0) -- (9.9,0) node[below] {$x$}; %Zahlen auf x-Achse \foreach \x/\xtext in { -.5*pi/-\frac{\pi}{2}, -pi/-\pi, -1.5*pi/-\frac{3\pi}{2}, -2*pi/-2\pi, -2.5*pi/-\frac{5\pi}{2}, .5*pi/\frac{\pi}{2}, pi/\pi, 1.5*pi/\frac{3\pi}{2}, 2*pi/2\pi, 2.5*pi/\frac{5\pi}{2} } \draw (\x,2pt) -- (\x,-2pt) node[below] {$\xtext$}; % y-Achse \draw[->] (0,-1.75) -- (0,1.75) node[left] {$y$}; %Zahlen auf y-Achse \foreach \y in {-1,-0.5,0.5,1} \draw[] (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left] {\tiny $\y$}; %Ursprung \draw[] (0pt,-5pt) node[below right] {$0$}; \end{tikzpicture} $ [Edit] [To the bottom] · Schnittpunkte von f(x) = cos(x) und g(x) = a $ % \usetikzlibrary{plotmarks} \def\a{0.42} \begin{tikzpicture}[x = 1cm, y=1.5cm, scale=0.55, font=\footnotesize, >=latex %Voreinstellung für Pfeilspitzen ] % Funktionen \draw[] plot[samples=300, domain=-9:9] (\x,{cos(\x r)}) node[above=35pt] {$f(x)=\cos\left(x\right)$}; \draw[] (9,\a) -- (-9,\a) node[above, xshift=4mm] {$a = \a$}; % Schnittpunkte - ohne mathparse wie beim Sinus. %Schnittpunkte - gerade \foreach \k in {-1,...,1} \draw[color=red, fill=white] plot[mark=*,mark size=2.75pt] coordinates{( {rad(acos(\a)) + \k*2*pi}, {\a} )}; %Schnittpunkte - ungerade \foreach \k in {-1,...,1} \draw[color=red, fill=white] plot[mark=*,mark size=2.75pt] coordinates{( {-rad(acos(\a)) + \k*2*pi}, {\a} )}; % Koordinatensystem % x-Achse \draw[->] (-9.9,0) -- (9.9,0) node[below] {$x$}; %Zahlen auf x-Achse \foreach \x/\xtext in { -.5*pi/-\frac{\pi}{2}, -pi/-\pi, -1.5*pi/-\frac{3\pi}{2}, -2*pi/-2\pi, -2.5*pi/-\frac{5\pi}{2}, .5*pi/\frac{\pi}{2}, pi/\pi, 1.5*pi/\frac{3\pi}{2}, 2*pi/2\pi, 2.5*pi/\frac{5\pi}{2} } \draw (\x,2pt) -- (\x,-2pt) node[below] {$\xtext$}; % y-Achse \draw[->] (0,-1.75) -- (0,1.75) node[left] {$y$}; %Zahlen auf y-Achse \foreach \y in {-1,-0.5,0.5,1} \draw[] (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left] {\tiny $\y$}; %Ursprung \draw[] (0pt,-5pt) node[below right] {$0$}; \end{tikzpicture} $ · Schnittpunkte von f(x) = tan(x) und g(x) = a $ % \usetikzlibrary{plotmarks} \def\a{4.371} \begin{tikzpicture}[yscale=0.5,smooth,domain=-3*pi:3*pi]; % x-Achse \draw[->, >=latex] (-0.6*pi,0) -- (1.69*pi,0) node[below] {$x$}; % ------------------------------ %Zahlen auf x-Achse %-PI/2 und +PI/2 \draw[shift={(-pi/2,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $-\frac{\pi}{2}$}; \draw[shift={(pi/2,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\frac{\pi}{2}$}; %Weitere negative ungerade PI/2-Vielfache \foreach \k in {} \draw[shift={(-\k*pi/2,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $-\frac{\k \pi}{2} $}; %Weitere positive ungerade PI/2-Vielfache \foreach \k in {3} \draw[shift={(\k*pi/2,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\frac{\k \pi}{2} $}; %-PI und +PI \draw[shift={(pi,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\pi$}; %\draw[shift={(-pi,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $-\pi$}; %Weitere PI-Vielfache \foreach \k in {} \draw[shift={(\k*pi,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\k \pi$}; % ------------------------------ % y-Achse \draw[->, >=latex] (0,-7.0) -- (0,7.0) node[left] {$y$};%node[above left] %Zahlen auf y-Achse \foreach \y in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6} \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$}; %Ursprung \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$}; % Gitternetzlinien %\draw[very thin,color=gray!50!black] (-4.5,-3.5) grid (4.5,4.5); % ------------------------------------- % ------------------------------------- % TANGENSFUNKTION - astweise, i-te Äste % ------------------------------------- % ------------------------------------- \foreach \i in {-1,0} \draw[thick] plot [domain=(\i+0.5)*pi+0.05*pi:(\i+1+0.5)*pi-0.05*pi](\x,{tan(\x r)}); \node at (3.25,6.0) {$f(x) = \tan(x)$}; %Polgeraden \foreach \k in {-1,1,3} \draw[shift={((\k*pi/2,0)},color=gray!50!black, style=dashed, very thin] (0,-6.5) -- (0,6.5); % ------------------------------------- % ------------------------------------- % SCHNITTGERADE a = WERT % ------------------------------------- % ------------------------------------- \draw[thick] (5.5,\a) -- (-1.75,\a) node[above, xshift=4mm, fill=white!99!black] {$a = \a$}; %%%%%%%% %Schnittpunkte %%%%%%%% \foreach \k in {0,...,1}{%% \draw[yscale=2, color=red, fill=white] plot[mark=*,mark size=1.75pt] coordinates{( {rad(atan(\a)) + \k*pi}, {\a/2} )}; %\node[] at (\xKoord,\a) {\xKoord}; }%% \end{tikzpicture} $ [Edit] Voraussetzungen für nachfolgende Rechnungen: · Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis. $ \begin{tikzpicture}[scale=3, >=latex] \clip (-2,-0.2) rectangle (2,0.8); \draw[step=.5cm,gray,very thin] (-1.4,-1.4) grid (1.4,1.4); \filldraw[fill=green!20,draw=green!50!black] (0,0) -- (3mm,0mm) arc [start angle=0, end angle=30, radius=3mm] -- cycle node[green!50!black, above]{$\alpha$}; \draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) coordinate (x axis); \draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5) coordinate (y axis); \draw (0,0) circle [radius=1cm]; \draw[very thick,red] (30:1cm) -- node[left=1pt,fill=white] {$\sin (\alpha)$} (30:1cm |- x axis); \draw[very thick,blue] (30:1cm |- x axis) -- node[below=2pt,fill=white] {$\cos (\alpha)$} (0,0); \path [name path=upward line] (1,0) -- (1,1); \path [name path=sloped line] (0,0) -- (30:1.5cm); \draw [name intersections={of=upward line and sloped line, by=t}] [very thick,orange] (1,0) -- node [right=1pt,fill=white] {$\displaystyle \tan (\alpha) $} (t); \draw (0,0) -- (t); \foreach \x/\xtext in {-1, 1} \draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north,fill=white] {$\xtext$}; \foreach \y/\ytext in {-1, -0.5/-\frac{1}{2}, 0.5/\frac{1}{2}, 1} \draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east,fill=white] {$\ytext$}; \end{tikzpicture} $ · Periodizität der trigonometrischen Funktionen. $\backslash sin(\backslash alpha)\; =\; \backslash sin(\backslash alpha\; \backslash pm\; 2\backslash pi\; k)$, $\backslash cos(\backslash alpha)\; =\; \backslash cos(\backslash alpha\; \backslash pm\; 2\backslash pi\; k)$ und $\backslash tan(\backslash alpha)\; =\; \backslash tan(\backslash alpha\; \backslash pm\; \backslash pi\; k)$ mit $k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$. · Für die eingeschränkten trigonometrischen Funktionen (trigonometrische Funktionen über ihrem Hauptbereich) $\backslash sin:\; ~[-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\},\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}]\; \backslash rightarrow\; [-1,1],\; ~\; x\; \backslash mapsto\; \backslash sin(x)$, $\backslash cos:\; ~[0,\; \backslash pi]\; \backslash rightarrow\; [-1,1],\; ~\; x\; \backslash mapsto\; \backslash cos(x)$, $\backslash tan:\; ~]-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\},\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}[\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\},\; ~\; x\; \backslash mapsto\; \backslash tan(x)$ sind folgende Umkehrfunktionen definiert: $\backslash arcsin:\; ~[-1,1]\; \backslash rightarrow\; [-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\},\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}],\; ~\; x\; \backslash mapsto\; \backslash arcsin(x)$, $\backslash arccos:\; ~[-1,1]\; \backslash rightarrow\; [0,\; \backslash pi],\; ~\; x\; \backslash mapsto\; \backslash arccos(x)$, $\backslash arctan:\; ~\backslash mathbb\{R\}\; \backslash rightarrow\; ]-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\},\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}[,\; ~\; x\; \backslash mapsto\; \backslash arctan(x)$. Oder anders $y\; =\; \backslash sin(x)\; ~\backslash Leftrightarrow~\; x\; =\; \backslash arcsin(y)\; ~\backslash text\{für\}~\; x\; \backslash in\; [-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\},\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}]\; ~\backslash text\{und\}~\; y\; \backslash in\; [-1,1]$, $y\; =\; \backslash cos(x)\; ~\backslash Leftrightarrow~\; x\; =\; \backslash arccos(y)\; ~\backslash text\{für\}~\; x\; \backslash in\; [0,\; \backslash pi]\; ~\backslash text\{und\}~\; y\; \backslash in\; [-1,1]$, $y\; =\; \backslash tan(x)\; ~\backslash Leftrightarrow~\; x\; =\; \backslash arctan(y)\; ~\backslash text\{für\}~\; x\; \backslash in\; ]-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\},\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}[\; ~\backslash text\{und\}~\; y\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$. [Edit] Im Folgenden werden die nicht-eingeschränkten trigonometrischen Funktionen (über ihrem gesamten Definitionsbereich) betrachtet, d.h. für Sinus- und Kosinusfunktion gilt nun $\backslash mathbb\{D\; =\; R\}$; für die Tangensfunktion gilt nun $\backslash mathbb\{D\; =\; R\}\backslash backslash\; \backslash \{(2s+1)\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; |\; s\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}\backslash \}$. [Edit] Lösung der Gleichung sin(x) = a für a ∈ [-1,1]. $\backslash sin(x)\; =\; a$ $\backslash Leftrightarrow$ $\backslash sin(x\; -\; 2\backslash pi\; p)\; =\; a\; \backslash Leftrightarrow\; x\; =\; \backslash arcsin(a)\; +\; 2p\; \backslash pi\; ~~~\; (p\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\})$ ODER $a\; =\; \backslash sin(x\_1\; +\; 2\backslash pi\; q)\; =\; \backslash sin(\backslash pi\; -\; x\; +\; 2\backslash pi\; q)\; \backslash Leftrightarrow\; x\; =\; -\backslash arcsin(a)\; +\; (2q+1)\backslash pi\; ~~~\; (q\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\})$ Dieses Ergebnis läßt sich auf folgende Weisen zusammenfassen: (1) $\backslash sin(x)\; =\; a\; ~~\backslash Leftrightarrow\; ~~\; x\; =\; \backslash begin\{cases\}\; \backslash arcsin(a)\; +\; k\backslash pi\; ~~\backslash text\{für\}~\; k\; ~\backslash text\{gerade\}\; \backslash \backslash \; -\backslash arcsin(a)\; +\; k\backslash pi\; ~~\backslash text\{für\}~\; k\; ~\backslash text\{ungerade\}\; \backslash \backslash \; \backslash end\{cases\}$ oder (2) $\backslash sin(x)\; =\; a\; ~~\backslash Leftrightarrow\; ~~\; x\; =\; (-1)^k\; \backslash cdot\; \backslash arcsin(a)\; +\; k\backslash pi\; ~~\; \backslash text\{für\}~\; k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$ [Edit] Lösung der Gleichung cos(x) = a für a ∈ [-1,1]. $a\; =\; \backslash cos(x)\; =\; \backslash cos(\backslash pm\; x\; -\; 2k\backslash pi)\; ~~~\; (k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\})$ $\backslash Leftrightarrow$ $x\; =\; \backslash arccos(a)\; +\; 2\backslash pi\; n~~~\; (n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\})$ ODER $x\; =\; -\backslash arccos(a)\; +\; 2\backslash pi\; m~~~\; (m\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\})$ Dieses Ergebnis läßt sich auf folgende Weisen zusammenfassen: (1) $\backslash cos(x)\; =\; a\; ~~\backslash Leftrightarrow\; ~~\; x\; =\; \backslash begin\{cases\}\; \backslash arccos(a)\; +\; k\backslash pi\; ~~\backslash text\{für\}~\; k\; ~\backslash text\{gerade\}\; \backslash \backslash \; -\backslash arccos(a)\; +\; (k+1)\backslash pi\; ~~\backslash text\{für\}~\; k\; ~\backslash text\{ungerade\}\; \backslash \backslash \; \backslash end\{cases\}$ oder (2) $\backslash cos(x)\; =\; a\; ~~\backslash Leftrightarrow\; ~~\; x\; =\; \backslash pm\; \backslash arccos(a)\; +\; 2k\backslash pi\; ~~\; \backslash text\{für\}~\; k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$ [Edit] Lösung der Gleichung tan(x) = a für reelle a. $\backslash tan(x)\; =\; a$ $\backslash Leftrightarrow$ $\backslash tan(x\; -\; \backslash pi\; p)\; =\; a\; \backslash Leftrightarrow\; x\; =\; \backslash arctan(a)\; +\; p\; \backslash pi\; ~~~\; (p\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\})$ ODER $a\; =\; \backslash tan(x\_1\; +\; \backslash pi\; q)\; =\; \backslash tan(\backslash pi\; +\; x\; +\; \backslash pi\; q)\; \backslash Leftrightarrow\; x\; =\; \backslash arctan(a)\; -\; (q+1)\backslash pi\; ~~~\; (q\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\})$ Dieses Ergebnis läßt sich auf folgende Weise zusammenfassen: $\backslash tan(x)\; =\; a\; ~~\backslash Leftrightarrow\; ~~\; x\; =\; \backslash arctan(a)\; +\; k\backslash pi\; ~~\backslash text\{für\}~\; k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$ [Edit] \(\endgroup\) [Show outline only] Get link to this article   Printer-friendly version -  Choose languageDE EN     Comments   Für diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei Write a comment Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen: : Mathematik :: automatisch eingefügt und unbearbeitet : Lösung trigonometrischer Grundgleichungen [von cis]   In diesem Artikel werden die Gleichungen sin(x) = a, cos(x) = a und tan(x) = a gelöst, für reelle x und geeignete reelle a. Veranschaulichung: · Schnittpunkte von f(x) = sin(x) und g(x) = a % usetikzlibrary{plotmarks [Edit] [Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

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Re: Lösung trigonometrischer Grundgleichungen von: Ex_Mitglied_477 am: Fr. 06. Februar 2015 12:03:06

\(\begingroup\)Einheitskreisbilder: \sourceon latex \documentclass[varwidth, margin=2.5pt]{standalone} \usepackage[ngerman]{babel} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{plotmarks} \usetikzlibrary{calc} \usetikzlibrary{angles,quotes,babel} \usepackage{amsmath, amssymb} %=========== \begin{document} %=========== \def\WINKEL{57.5} \def\RADIUS{2} %\pgfmathsetmacro\COS{\RADIUS * sin(\WINKEL)} %\pgfmathsetmacro\COS{\RADIUS * cos(\WINKEL)} \pgfmathsetmacro\TAN{\RADIUS * tan(\WINKEL)} \pgfmathsetmacro\COSeins{\RADIUS * cos(180+\WINKEL)} \pgfmathsetmacro\TANeins{\RADIUS * sin(180+\WINKEL)} \begin{tikzpicture}[scale=0.60, font=\footnotesize,>=latex, ] %%Koordinaten%% \coordinate (O) at (0,0); \coordinate (P) at (\RADIUS, \TAN); \coordinate (L) at (\RADIUS, 0); \coordinate (Lstrich) at (2.75\RADIUS, 0); \coordinate (Pstrich) at (2.75\RADIUS, \TAN); \coordinate (Peins) at (\COSeins, \TANeins); \coordinate (Leins) at (\COSeins, 0); % x- und y-Achse \draw[->] (-4,0) -- (4,0); \draw[->] (0,-4) -- (0,4); %%Einheitskreis%% \draw[thin] (0,0) circle[radius=\RADIUS cm]; %%Strecken%% \draw[thick] (O) -- (P) node[above, very near end]{$$}; \draw[very thick] (L) -- (P) node[]{$$}; \draw[densely dashed, shorten >=-4.5mm] (L) -- (P) node[]{$$}; \draw[thick] (O) -- (Peins) node[above, very near end]{$$}; \draw[<->] (Lstrich) -- (Pstrich) node[midway, right]{$a$}; \draw[densely dashed, shorten >=-2ex] (P) -- (Pstrich); %% Punkte%% \shadedraw plot [draw=blue, only marks, mark=*, mark size=2.0pt, mark options={fill=white}] coordinates{(P)}; \shadedraw plot [draw=blue, only marks, mark=*, mark size=2.0pt, mark options={fill=black}] coordinates{(L)}; %% Winkel %% \tikzset{WinkelX/.style={angle eccentricity=0.6, draw, angle radius=0.75cm, "$x$", ->}} \tikzset{WinkelXeins/.style={angle eccentricity=0.6, draw, angle radius=0.75cm, "$x_1$", ->}} \draw pic [WinkelX] {angle = L--O--P}; \draw pic [WinkelXeins, angle eccentricity=1.15, draw, angle radius=0.9cm ] {angle = L--O--Peins}; \end{tikzpicture} %=========== \end{document} %=========== \sourceoff \(\endgroup\)