Stern Physik: Herleitung: Doppler-Effekt (klassisch/nicht-relativistisch)
Released by matroid on Mo. 16. März 2015 23:00:25 [Statistics]
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Physik

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Herleitung: Doppler-Effekt

Wenn der Beobachter ruht und der Sender sich gleichmäßig bewegt

Bewegt sich ein Sender - also eine Schallquelle - gleichmäßig auf einen ruhenden Beobachter zu, dann tritt der Doppler-Effekt aufgrund der Verkürzung der Wellenlänge auf. Man stelle sich einen ruhenden Sender vor, welcher Schallwellen der Frequenz f=\frac{1}{T} mit der Periode T und der Wellenlänge \lambda aussendet. Laut Definition breitet sich der Schall nach einer Periode T um die Wellenlänge \lambda aus, wobei seine Ausbreitungsgeschwindigkeit c (z.B. Schallgeschwindigkeit in Luft c=340m/s) diese beiden Größen nach dem Prinzip 'Weg gleich Geschwindigkeit mal Zeit' (s=v\cdot t) in Zusammenhang setzt: \lambda=c\cdot T=\frac{c}{f}.

Nun wird der Sender direkt in Richtung ruhender Beobachter in Bewegung gesetzt und auf seine konstante Endgeschwindigkeit v beschleunigt. (Einschub: Für den Sender klingen nun seine Schallwellen Doppler-Verschoben, denn wird der Schall z.B. an einer Wand reflektiert, bewegt sich der Sender relativ zur Wand. Was den Fall darstellen würde, dass der neue Sender (hier die Wand) ruht und der neue Beobachter (hier die alte Schallquelle) in Bewegung ist. In diesem Fall gilt im Inertialsystem des alten Senders nicht mehr c=f\cdot\lambda sondern c-v=f\cdot\lambda. Zurück jedoch zur eigentlichen Aufgabenstellung des bewegten Senders und des ruhenden Beobachters.) Nun stellt sich die Frage, was für eine Frequenz f' und Wellenlänge \lambda' wird ein ruhender Beobachter wahrnehmen? Für diesen gilt ebenfalls wie für den ruhenden(!) Sender der folgende Zusammenhang: c=f'\cdot\lambda' Und wie setzt sich die beobachtete Wellenlänge \lambda' aus der gesendeten Wellenlänge \lambda und des Bewegungszustands des Senders mit konstanter Geschwindigkeit v zusammen? Man betrachte dafür die Zeitspanne einer Periode T aus der Sicht des Beobachters: Während dieser Zeit T breitet sich die Welle um \lambda in Richtung Beobachter aus, wobei außerdem auch der Sender selbst um die Strecke s=v\cdot T näher rückt, sodass die vom Beobachter gemessene Wellenlänge verkürzt ist und für diese gilt: \lambda'=\lambda-v\cdot T=c\cdot T-v\cdot T=(c-v)\cdot T=\frac{(c-v)}{f} Daraus kann nun leicht die Formel für den Dopplereffekt beim ruhenden Beobachter und bewegten Sender aufgeschrieben werden. Man setze dazu einfach c=f\cdot\lambda und c=f'\cdot\lambda' gleich, stelle dies nach f' um und forme schließlich noch ein wenig um: f'\cdot\lambda'=f\cdot\lambda f'=\frac{f\cdot\lambda}{\lambda'}=\frac{f\cdot\lambda}{\frac{(c-v)}{f}}= \frac{f^2\cdot\lambda}{c-v}=\frac{f\cdot c}{c-v}=\frac{f}{1-\frac{v}{c}} Bewegt sich der Sender auf den Beobachter zu, ist v positiv. Entfernt sich dieser vom Beobachter ist v negativ. f - Frequenz (Sender) T - Periode (Sender) \lambda - Wellenlänge (Sender) v - Geschwindigkeit des Senders c - Schallgeschwindigkeit f' - Frequenz (Beobachter) T' - Periode (Beobachter) \lambda' - Wellenlänge (Beobachter)

Wenn der Sender ruht und der Beobachter sich gleichmäßig bewegt

In diesem Fall wird nicht die Wellenlänge für den auf den Sender zubewegenden Beobachter verkürzt, sondern die Frequenz ist erhöht. Für den ruhenden Sender gilt, wie oben schon erläutert: c=f\cdot\lambda Bewegt sich nun der Beobachter gleichmäßig mit der Geschwindigkeit v' auf den ruhenden Sender zu, dann kommt ihm der Schall schneller entgegen, was scheinbar für den Beobachter einer Erhöhung der Schallgeschwindigkeit auf c'=c+v' gleichkommt. Daraus folgt für den Beobachter: c'=c+v'=f'\cdot\lambda' Jedoch messen sowohl Sender als auch Beobachter beide dieselbe Wellenlänge: \lambda=\lambda' Daraus lässt sich nun die Formel für den Doppler-Effekt für einen ruhenden Sender und einen bewegten Beobachter bestimmen: f'\cdot\lambda'=f'\cdot\lambda=c'=c+v'=f\cdot\lambda+v' f'=\frac{f\cdot\lambda+v'}{\lambda}=f+\frac{v'}{\lambda}=f\cdot(1+\frac {v'}{c}) Bewegt sich der Beobachter auf den Sender zu, ist die Geschwindigkeit v' positiv. Entfernt sich dieser vom Sender ist v' negativ. f - Frequenz (Sender) \lambda - Wellenlänge (Sender) c - Schallgeschwindigkeit (Sender) f' - Frequenz (Beobachter) \lambda' - Wellenlänge (Beobachter) v - Geschwindigkeit des Beobachter c - Schallgeschwindigkeit (Beobachter)

Sender und Beobachter bewegen sich gleichmäßig

Um schließlich eine allgemeine Formel für den Doppler-Effekt zu erhalten, fügt man beide Fälle zusammen. Durch den bewegten Sender ist für den Beobachter die Wellenlänge \lambda' verkürzt und es gilt: \lambda'=\frac {c-v}{f} Hinzu kommt die Frequenzerhöhung durch den bewegten Beobachter, sodass für diesen gilt: f'\cdot\lambda'=c+v' Sodass daraus der allgemeine Doppler-Effekt folgt: f'=\frac{c+v'}{\lambda'}=\frac{c+v'}{\frac{c-v}{f}}=f\cdot\frac{c+v'}{c-v} Wobei sich bei positiver Geschwindigkeit v der Sender dem Beobachter bzw. bei positivem v' der Beobachter dem Sender nähert. Bei negativer Geschwindigkeit entfernt sich entsprechender der Sender bzw. Beobachter. Definiert man das Vorzeichen der Geschwindigkeit jedoch durch die Richtung, ergibt sich folgende Formel: f'=f\frac{c+v'}{c+v} f - Frequenz (Sender) \lambda - Wellenlänge (Sender) v - Geschwindigkeit des Senders c - Schallgeschwindigkeit f' - Frequenz (Beobachter) \lambda' - Wellenlänge (Beobachter) v' - Geschwindigkeit des Beobachter
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Herleitung: Doppler-Effekt (klassisch/nicht-relativistisch) [von Physicus]  
Herleitung: Doppler-Effekt Wenn der Beobachter ruht und der Sender sich gleichmäßig bewegtBewegt sich ein Sender - also eine Schallquelle - gleichmäßig auf einen ruhenden Beobachter zu, dann tritt der Doppler-Effekt aufgrund der Verkürzung der Wellenlänge auf. Man stelle sich einen ruhenden Sender
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"Stern Physik: Herleitung: Doppler-Effekt (klassisch/nicht-relativistisch)" | 3 Comments
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Re: Herleitung: Doppler-Effekt (klassisch/nicht-relativistisch)
von: Ex_Mitglied_477 am: Di. 17. März 2015 12:21:27
\(\begingroup\)Nice! Lese den Artikel heute abend mal genau ;)\(\endgroup\)
 

Re: Herleitung: Doppler-Effekt (klassisch/nicht-relativistisch)
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 19. März 2015 10:26:28
\(\begingroup\)Ich habe unlängst ein HTL-Beispiel zum Dopplereffekt gerechnet, wo die Sendefrequenz (zB. eines monotonen Folgetornhornes) nicht gegeben war. Dafür aber die Frequenzen des Beobachters bei Annäherung und Entfernung der Quelle, so wie dieser sie wahrnimmt. Gesucht war schlußentlich bei gleichmässiger Fortbewegung die Geschwindigkeit des Senders (Quelle). Könntest du noch als Anwendungsbeispiel hinzufügen. \(\endgroup\)
 

Re: Herleitung: Doppler-Effekt (klassisch/nicht-relativistisch)
von: lula am: Fr. 20. März 2015 12:52:21
\(\begingroup\)Hallo der Einschub im ersten Teil ist verwirrend, wenn man das diskutieren will, sollte es ganz am Ende stehen, bewegter Sender und reflektiertes Signal. im übrigen sehe ich nicht, wie das von üblichen Schulbüchern abweicht, sie also verbessert. dort sind meist auch noch passende Bildchen, vielleicht wäre auch ein link zu einem passenden applet gut. z. B. www.elsenbruch.info/ph12_doppler.htm bis dann, lula\(\endgroup\)
 

 
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