Stern Physik: Neues aus der Papierfliegerforschung
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Physik

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Neues aus der Papierfliegerforschung


PapierfliegerVermutlich hat jeder als Kind schon einmal einen Papierflieger gebaut. Die ehrgeizigeren Papierfliegerkonstrukteure haben nach den ersten erfolgreichen Flügen bestimmt versucht, eine maximale Flugweite zu erreichen. Die naheliegende Methode besteht natürlich darin, die Abwurfgeschwindigkeit bis an die Belastungsgrenze entweder des Papierfliegers oder des Schultergelenks zu erhöhen, doch seltsamerweise führte das beim Papierflieger nicht zum Erfolg. Meistens endete der Wurf in einem mehr oder weniger sauberen Looping. Angeregt durch einen Thread in diesem Forum habe ich mich mit dieser Thematik noch einmal beschäftigt, und präsentiere in diesem kurzen Artikel die Ergebnisse und Schlussfolgerungen.


Kräftegleichgewicht und Bewegungsgleichung

Ich möchte hier nicht im Detail auf strömungsmechanische Effekte wie die Entstehung von Auftrieb durch frontale Anströmung eingehen, sondern nur kurz die beteiligten Kräfte und ihre Eigenschaften erläutern. Auf den Papierflieger wirken drei Kräfte:Kräftegleichgewicht am Papierflieger

  • Schwerkraft <math>G</math>
  • Luftwiderstandskraft <math>F_w</math>
  • Auftriebskraft <math>F_a</math>

  • Die Schwerkraft bedarf wohl keiner weiteren Erläuterung. Sowohl die Luftwiderstandskraft als auch die Auftriebskraft sind proportional zum Quadrat der Anströmgeschwindigkeit <math>v</math>. Dabei wirkt die Luftwiderstandskraft natürlich der Bewegung entgegengesetzt, während wie Auftriebskraft senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt. Gelegentlich wird noch eine vierte Kraft erwähnt, nämlich die Schubkraft, die natürlich bei einem Papierflieger keine Rolle spielt.
    Da sowohl die Luftwiderstandskraft als auch die Auftriebskraft proportional zu <math>v^2</math> sind, wirkt die vektorielle Summe dieser beiden Kräfte immer unter einem konstanten Winkel zur Flugrichtung, beziehungsweise natürlich auch zur Orthogonalen. Diesen Winkel bezeichnen wir mit <math>\gamma</math>. Die Luft wird als stillstehend betrachtet, so dass die Anströmung ausschließlich aus der Eigenbewegung des Papierfliegers resultiert. Es gelten also folgende Gleichungen:

    <math>\displaystyle F_w=K_wv^2</math>

    <math>\displaystyle F_a=K_av^2</math>

    <math>\displaystyle G=mg</math>

    Dabei sind <math>K_a</math> und <math>K_w</math> einfach erst einmal unbekannte Konstanten. Für das Kräftegleichgewicht erhalten wir:

    <math>\displaystyle \sum F_x\equiv0=-m\ddot x-F_w\cos\varphi-F_a\sin\varphi</math>

    <math>\displaystyle \sum F_y\equiv0=-m\ddot y-F_w\sin\varphi+F_a\cos\varphi-G</math>

    Setzen wir die obigen Werte ein und lösen nach der zweiten Ableitung von <math>x</math> und <math>y</math> auf:

    <math>\displaystyle m\ddot x=-K_wv^2\cos\varphi-K_av^2\sin\varphi</math>

    <math>\displaystyle m\ddot y=-K_wv^2\sin\varphi+K_av^2\cos\varphi-mg</math>

    Dabei gelten folgende geometrische Beziehungen:

    <math>\displaystyle \dot x=v\cos\varphi</math>

    <math>\displaystyle \dot y=v\sin\varphi</math>

    <math>\displaystyle v^2=\dot x^2+\dot y^2</math>

    Damit erhalten wir:

    <math>\displaystyle \ddot x=-v\left(\frac{K_w}mv\cos\varphi+
\frac{K_a}mv\sin\varphi\right)</math>

    <math>\displaystyle \ddot x=-v\left(\frac{K_w}m\dot x+\frac{K_a}m\dot y\right)</math>

    Wir vereinfachen noch die Koeffizienten, um die Brüche loszuwerden:

    <math>\displaystyle \ddot x=-v\left(k_w\dot x+k_a\dot y\right)</math>

    In gleicher Weise erhalten wir

    <math>\displaystyle \ddot y=-v\left(k_w\dot y-
k_a\dot x\right)-g</math>

    Anfangs- und Endzustand des Fluges

    Bei Bewegungsgleichungen wie dieser lohnt es sich immer, besondere Anfangs- oder Endzustände zu untersuchen. Wenn der Papierflieger zum Beispiel mit "unendlicher Geschwindigkeit" geworfen wird, tritt die Schwerkraftwirkung in den Hintergrund, weil die Auftriebskraft und die Luftwiderstandskraft unendlich werden. Relativ betrachtet ist das also das gleiche, als wenn die Schwerkraft null wird. Ein sehr schnell geworfener Papierflieger nimmt also die gleiche Bahn wie ein Papierflieger in der Schwerelosigkeit.
    Eine senkrecht zur Flugrichtung wirkende Kraft (hier die Auftriebskraft) führt zu einer Bahnkrümmung, während die längs der Flugrichtung wirkende Kraft (hier die Luftwiderstandskraft) zu einer Änderung der Bahngeschwindigkeit führt - in diesem Fall natürlich zu einer Verlangsamung.
    Bei einer gekrümmten Bahn ist die Zentrifugalkraft

    <math>\displaystyle F_z=m\frac{v^2}r</math>

    Dabei ist <math>r</math> der momentane Krümmungsradius der Bahn. Die Auftriebskraft muss hier als Zentripetalkraft herhalten, so dass wir die Kräfte gleichsetzen können, um den Krümmungsradius der Bahn zu berechnen:

    <math>\displaystyle m\frac{v^2}r=K_av^2</math>

    <math>\displaystyle m\frac{1}r=K_a</math>

    <math>\displaystyle \frac{1}r=\frac{K_a}m=k_a</math>

    also:

    <math>\displaystyle r=\frac1{k_a}</math>

    Der Krümmungsradius ist also der Kehrwert des Koeffizienten <math>k_a</math> und damit konstant. Ein Papierflieger in der Schwerelosigkeit fliegt also auf einer Kreisbahn, und zwar mit einem umso kleineren Radius, je größer der Auftrieb ist. Außerdem sorgt der Luftwiderstand dafür, dass sich die Bahngeschwindigkeit immer weiter verlangsamt, ohne jedoch die Kreisbahn zu verlassen.
    Insofern ist auch leicht erklärt, warum es nicht möglich ist, einen Papierflieger durch eine Erhöhung der Startgeschwindigkeit weiter zu werfen: er fliegt dann einfach nur einen Looping! Oder im Zweifelsfall mehrere, bis sich seine Geschwindigkeit genug reduziert hat, dass die Schwerkraft wirkt und ihn aus der Kreisbahn erlöst.
    Kräftegleichgewicht am Papierflieger
    Wenn der Papierflieger genug Zeit und Platz hat, nähert er sich irgendwann einem stationären Zustand an, also einem konstanten Geschwindigkeitsvektor. Anhand der Grafik oben lässt sich leicht verstehen, warum das so ist: der Flieger geht in den Sinkflug, so dass die resultierende Kraft aus Luftwiderstand und Auftriebskraft in Betrag und Richtung exakt der Schwerkraft entgegenwirkt. Die Bahn muss sich also um genau den Winkel <math>\gamma</math> neigen, und die Geschwindigkeit muss genau so groß sein, dass die resultierende Kraft auch betragsmäßig die Schwerkraft ausgleicht. Also haben wir

    <math>\displaystyle \tan\gamma=-\frac{k_w}{k_a}</math>

    und

    <math>\displaystyle \frac{k_av_{\infty}^2}{\cos\gamma}=g</math>

    <math>\displaystyle k_a=\frac {g\cos\gamma}{v_{\infty}^2}</math>

    <math>v_{\infty}</math> ist hier die Endgeschwindigkeit, bei der sich ein stationärer Flugzustand einstellt. <math>\gamma</math> wird hier negativ definiert, weil es dem Winkel des Sinkflugs entspricht. Weiterhin erhalten wir:

    <math>\displaystyle k_w=-k_a\tan\gamma=-\frac {g\sin\gamma}{v_{\infty}^2}</math>

    <math>k_w</math> und <math>k_a</math> können also aus den wesentlich anschaulicheren Werten der Endgeschwindigkeit und des Sinkflugwinkels bestimmt werden. Der Flug eines Papierfliegers wird hier noch näher erläutert: http://brain.exp.univie.ac.at/ypapierflieger/pappapierflieger.html. Dort wird als optimaler Sinkflugwinkel -11° angegeben. Außerdem hat es mich überschaubare sechs Blatt in DIN A4 und etliche Würfe gekostet, um herauszufinden, dass die Endgeschwindigkeit für einen realen Papierflieger etwa 3m/s beträgt. Der Sinkflugwinkel scheint auch realistisch zu sein.
    Nehmen wir diese Werte an, so erhalten wir folgende Werte für die Koeffizienten und den Loopingradius:

    <math>\displaystyle k_w=0,208\textrm m^{-1}</math>

    <math>\displaystyle k_a=1,070\textrm m^{-1}</math>

    <math>\displaystyle r=0,935\textrm m</math>

    Knappe 2m Durchmesser für den Looping erscheinen auch plausibel.


    Simulation der Flugkurve

    Die obigen Ergebnisse habe ich nun in eine Excel-Tabelle umgesetzt, die man hier herunterladen kann. Den Berechnungsalgorithmus, der der Excel-Tabelle zugrunde liegt, habe ich hier erklärt, so dass ich hier nicht weiter darauf eingehe. Sehen wir uns einige Simulationsergebnisse an.

    Abwurfgeschwindigkeit 4m/s
    Beginnen wir mit einer relativ verhaltenen Abwurfgeschwindigkeit von 4m/s und einem Abwurfwinkel von 0°, also einem horizontalen Start:
    Dadurch, dass die Startgeschwindigkeit größer als die Endgeschwindigkeit ist, gewinnt der Papierflieger zunächst kurz an Höhe, um dann in den Sinkflug überzugehen. Die grüne Linie ist die Gerade, um die er bei längerer Flugdauer herumschwingt. Der x-Achsenabschnitt von hier etwa 1,58m ist quasi ein Maß für die erreichte Wurfweite.

    Der Flugwinkel schwingt abklingend um den Sinkflugwinkel von -11°.

    Auch die abklingende Schwingung der Fluggeschwindigkeit sieht mustergültig aus.

    Abwurfgeschwindigkeit 6,5m/s
    Wir erhöhen nun die Abwurfgeschwindigkeit und nähern uns dem Looping:
    Durch die höhere Startgeschwindigkeit steigt der Papierflieger steiler auf, fällt aber im letzten Moment doch noch zur Erde zurück. Der x-Achsenabschnitt beträgt nun etwa 3,35m.

    Ein ähnliches Bild wie oben, aber man sieht, dass der Papierflieger einen Steigwinkel von über 75° erreicht. Dann kippt er aber sehr plötzlich nach unten, zu erkennen an der Steilheit der Kurve bei etwa 0,6s. Dieser Moment wird bei echten Flugzeugen "Stall" (engl.) genannt.

    Die Geschwindigkeit verläuft in der frühen Flugphase annähernd in zwei Geraden. Bei etwa 0,6s erreicht die Geschwindigkeit fast null, nur um von dort aus praktisch einer sauberen Ausschwingkurve zu folgen.

    Abwurfgeschwindigkeit 9m/s
    Nun erhöhen wir die Startgeschwindigkeit mit aller Macht auf 9m/s:
    Der Papierflieger schafft nun einen Looping, der allerdings nicht gerade besonders kreisförmig aussieht. Der x-Achsenabschnitt beträgt nun nur noch 3,02m, also schon weniger als bei der geringeren Abwurfgeschwindigkeit von 6,5m/s.

    Dadurch, dass nun ein voller Looping durchflogen wird, schwingt der Winkel am Ende um 349°, was aber natürlich den -11° entspricht.

    Vielleicht abgesehen von der zögerlichen Annäherung an die Endgeschwindigkeit in der frühen Flugphase passiert hier nichts Überraschendes.

    Abwurfgeschwindigkeit 25m/s und höher
    Sollte es irgendwie möglich sein, die wahnwitzige Geschwindigkeit von 25m/s zu erreichen, erhöht das dennoch nicht die Wurfweite. Der x-Achsenabschnitt beträgt immer noch nur 3,12m:


    Aber auch bei 40m/s wird es nicht besser:
    Der x-Achsenabschnitt ist hier nur 2,94m. Bei noch weiterer Erhöhung fliegt der Papierflieger einfach nur mehr Loopings, wie oben vorhergesagt. Der erste Looping ist hier auch schon ein ziemlich sauberer Kreis.

    Papierflieger mit verbesserten Eigenschaften
    Der Schlüssel zu einer größeren Flugweite liegt also offenbar darin, die Flugeigenschaften des Papierfliegers zu verbessern. Nachfolgend beispielhaft noch die Flugbahn eines Papierfliegers, dessen Endgeschwindigkeit auf 6m/s verdoppelt und der Sinkwinkel auf -6° fast halbiert wurde. Die Abwurfgeschwindigkeit ist hier 8m/s:
    Der Papierflieger kreuzt die x-Achse erst bei knapp 11m.

    Fazit

    Wie so oft geht auch beim Papierflieger Qualität über Quantität. Eine Erhöhung der Abwurfgeschwindigkeit führt also nicht zu einer höheren Wurfweite. Die kann man nur dadurch erreichen, dass der Papierflieger konstruktiv so optimiert wird, dass er eine möglichst geringe Sinkrate bei gleichzeitig möglichst hoher Endgeschwindigkeit erreicht. Ob sich das aber so ohne weiteres umsetzen lässt, darf bezweifelt werden. Trotzdem erreichen die Profis erstaunliche Weitenrekorde von über 50m. Da muss ich noch eine Weile üben...

    Ich bedanke mich bei gonz für das Korrekturlesen.

    Thomas
    (MontyPythagoras)
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    "Stern Physik: Neues aus der Papierfliegerforschung" | 8 Comments
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    Re: Neues aus der Papierfliegerforschung
    von: Ueli am: Mi. 30. September 2015 12:58:38
    \(\begingroup\)
    Hallo Thomas,
    danke für den Artikel. Meinen Spieltrieb hast du geweckt. Ich denke wir werden das Ganze bald in Iphofen testen.
    Gruss Ueli\(\endgroup\)
     

    Re: Neues aus der Papierfliegerforschung
    von: FriedrichLaher am: Mi. 30. September 2015 18:40:45
    \(\begingroup\)
    Hallo Thomas,

    ich meine daß wahrscheinlich garnicht sehr hohe <math>v_0</math> das Papier zum flattern bringen, und so die errechneten Flugverläufe nicht mehr stimmen.
    \(\endgroup\)
     

    Re: Neues aus der Papierfliegerforschung
    von: emmi82 am: Mi. 30. September 2015 20:18:52
    \(\begingroup\)
    Hi,

    stimmt, manche Flieger kann man gar nicht richtig abwerfen, die fangen immer an zu "eiern". Ganz gut fliegt der hier. Ist das Papier klein und zu schmal, dann kann man symmetrische, breitere Flügel kniffen.
    Zur Stabilisierung kann schon beitragen, die Flügel am Rumpf mehr in Y-Form nach oben zu biegen.

    emmi\(\endgroup\)
     

    Re: Neues aus der Papierfliegerforschung
    von: buh am: Do. 01. Oktober 2015 11:00:09
    \(\begingroup\)
    Übrigens flog der erste Papierflieger auf dem Matheplaneten bereits im Jahre 2003, wie man HIER nachlesen kann.

     Gruß von buh2k+15
    \(\endgroup\)
     

    Re: Neues aus der Papierfliegerforschung
    von: Ueli am: Fr. 02. Oktober 2015 08:58:24
    \(\begingroup\)
    Hier noch ein Abwurf des Weltmeisters
    Ken Blackburn
    Ken schreibt, dass er schätzungsweise 100km/h Abwurfgeschwindigkeit hinbringe. Der Rekord vom 17.2.94 dauerte 18.8 Sekunden. Er ist Luftfahrtingenieur und kennt natürlich das Verhalten des Fliegers. Bleibt noch zu klären, wie er das Looping-Problem umgeht.  Das wird hier beschrieben. Ich habe das Dokument "überflogen" und Ken macht hauptsächlich die flexible Struktur des Flügels für den fehlenden Auftrieb in der Startphase verantwortlich.
    Übrigens, der Weitflugrekord von 61m stammt von Tony Feltch (Nach anderen Angaben "nur" 58m).
    Und wer noch ein günstiges Hobby sucht... hier
    Gruss Ueli\(\endgroup\)
     

    Re: Neues aus der Papierfliegerforschung
    von: MontyPythagoras am: Sa. 03. Oktober 2015 16:56:20
    \(\begingroup\)
    Bei sehr hohen Abwurfgeschwindigkeiten werden sich die Flügel mit Sicherheit deformieren und die Flugeigenschaften verändern. Die Annahme geschwindigkeitsinvarianter Flugeigenschaften ist also garantiert nur begrenzt richtig. Vermutlich machen sich die Profis diese Tatsache zunutze, indem sie die Flieger so konstruieren, dass sich bei hoher Geschwindigkeit ein geringer Auftrieb einstellt. Zum Beispiel dadurch, dass sich irgendetwas am Flügel unter dem Staudruck wegbiegt. Im Idealfall wäre natürlich der Auftrieb umgekehrt proportional zum Geschwindigkeitsquadrat, aber das ist schon eine echte konstruktive Herausforderung.

    Ciao,

    Thomas\(\endgroup\)
     

    Re:interessantes aus der Papierfliegerforschung
    von: haribo am: Sa. 10. Oktober 2015 08:48:26
    \(\begingroup\)
    "Sowohl die Luftwiderstandskraft als auch die Auftriebskraft sind proportional zum Quadrat der Anströmgeschwindigkeit v"

    aber nur solange der anströmwinkel konstant ist....und auch die strömungsart (Re-zahl)....

    beides ist nicht leider so gar nicht konstant im flug eines papierfliegers

    bei deiner abwurfgeschwindigkeit 6 m/s dürfte sich der anströmwinkel so ungefähr um >90 grad verändern nach 1,3m beispielsweise

    da wird es doch etwas komplexer u.A. wandert der auftriebspunkt weit nach hinten....

    auftrieb/widerstand bei anströmwinkeln, damit hat sich schon lilienthal mit seinen polaren vor 130 jahren beschäftigt, das ist so sehr grundlage des fliegens das darfst du nicht einfach im ersten satz weglassen, auch wenn deine vereinfachung danach interessante mathematische ergebnisse bringt

    insofern würde ich den titel von "neues" in "interessantes" oder "mathematisches" ändern

    hochachtungsvoll haribo\(\endgroup\)
     

    Re: Neues aus der Papierfliegerforschung
    von: MontyPythagoras am: Sa. 10. Oktober 2015 17:04:05
    \(\begingroup\)
    Hallo Haribo,
    natürlich sind die Bedingungen nicht konstant. Schließlich ist ein Papierflieger alles andere als formstabil. Der Titel sollte ja auch nicht ernsthaft bedeuten, dass das alles wahnsinnig neu, geschweige denn wissenschaftlich relevant ist. Wie meine Artikel zur Form der Erde war auch dieser Artikel mehr zur Unterhaltung gedacht, also mit einem Augenzwinkern geschrieben. Meine gänzlich untechnischen Eltern haben mich früher oft gefragt: "Was macht man bloß damit?", wenn sie die ganzen für Nichttechniker oder Nichtmathematiker kryptischen Formeln gesehen haben. "Na, sowas halt, Mama!"  :-D
    Ich finde es schön, wenn man mit Differentialgleichungen Alltagsphänomene erklären kann. Zum Beispiel, warum ein Papierflieger einen Looping macht, wenn man ihn zu schnell wirft.
    Denn die Erfahrung habe ich als Kind tatsächlich gemacht. Wie so oft in der Technik muss man manche Gleichungen halt stark vereinfachen, um grundlegende Eigenschaften zu erklären. Vielleicht schreibe ich in Kürze einen Artikel darüber, warum sich in zusammengeschobenen Vorhängen Elliptische Integrale verstecken. (Tun sie nämlich tatsächlich.)

    Ciao,

    Thomas\(\endgroup\)
     

     
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