Mathematik: Einige höhere trigonometrische Identitäten
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Analysis

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Einige höhere trigonometrische Identitäten

In diesem Artikel werden verschiedene Darstellungen hergeleitet für • Winkelfunktionen für positiv-ganzzahlige Vielfache \boldsymbol{\sin(nx),~ \cos(nx)} • Potenzen der Winkelfunktionen \boldsymbol{\sin^n(x),~ \cos^n(x)} • Trigonometrische Summen vom Typ \boldsymbol{\sum\limits_{k=0}^n\cos(a_k t)} bzw. \boldsymbol{\sum\limits_{k=0}^n\sin(a_k t)} sowie durch Beispiele und Schaubilder veranschaulicht. Zum Beispiel %\displaystyle \mbox{\footnotesize{\sin(nx) = \sin(x) \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} (-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x) }} (Chebyshev-Polynom-Darstellung) oder %\displaystyle \mbox{\footnotesize{ \cos^n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \left[ \cos(nx) + \sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) + \frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}} \right] ~~~~ \text{für } n \text{ gerade} }} oder %\displaystyle \mbox{\footnotesize{\sum\limits_{k=0}^n\sin\big((2k+1)t\big) = \sin(t) + \sin(3t) + \sin(5t) + \dots + \sin\big((2n+1)t\big) = \frac{\sin^2\big((n+1)t\big)}{\sin(t)} }} u.v.m. Insbesondere Kapitel (5) zeigt, wieviel Rechnung teilweise hinter den aus Formelsammlungen bekannten Darstellungen steht.

Inhalt:

(1) \displaystyle \cos(nx) = \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} (-1)^k \binom{n}{2k} \sin^{2k}(x) \cos^{n-2k}(x)
(2)\displaystyle \sin(nx) = \sum\limits_{k=0}^\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} (-1)^{k} \binom{n}{2k+1} \sin^{2k+1}(x) \cos^{n-2k-1}(x)
(3) \sin(nx) = 2\cos(x) \sin((n-1)x) - \sin((n-2)x) ("Chebyshev-Methode")
(4) \cos(nx) = 2\cos(x) \cos((n-1)x) - \cos((n-2)x) ("Chebyshev-Methode")
(5) \displaystyle\boldsymbol{\cdot} \cos(nx) = 2^{n-1}\cos^n(x) + n \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \frac{(-1)^k}{k} \binom{n-1-k}{k-1}2^{n-1-2k} \cos^{n-2k}(x) \displaystyle\boldsymbol{\cdot} \cos(nx) = 2^{n-1}\cos^n(x) ~+~ n \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor-1} \frac{(-1)^k}{k} \binom{n-1-k}{k-1} 2^{n-1-k} \cos^{n-2k}(x) ~+~ \begin{cases} (-1)^{\frac{n}{2}}, & \text{falls }n\text{ gerade}\\ (-1)^{\frac{n-1}{2}} n \cos(x), & \text{falls }n\text{ ungerade} \end{cases} (Chebyshev-Polynom-Darstellung)
(6) \boldsymbol{\cdot}\displaystyle \sin(nx) = \sin(x) \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} (-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x)
\displaystyle \boldsymbol{\cdot}\sin(nx) = \sin(x) \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor-1} (-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x) ~+~ \begin{cases} 0, & \text{\footnotesize{falls} }n\text{ \footnotesize{gerade}}\\ (-1)^{\frac{n-1}{2}} \sin(x), & \text{\footnotesize{falls} }n\text{ \footnotesize{ungerade}} \end{cases}
(7) \displaystyle \cos^n(x) = \frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big)
(8) \displaystyle \sin^n(x) = \frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos\left((n-2k)\big(x-\frac{\pi}{2}\big)\right)
(9) \displaystyle \boldsymbol{\cdot}\cos^n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \left[ \sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) + \frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}} \right] ~~~~ \text{für } n \text{ gerade}
\displaystyle \boldsymbol{\cdot}\cos^n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \left[ \cos(nx) + \sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) + \frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}} \right] ~~~~ \text{für } n \text{ gerade}
(10) \displaystyle \boldsymbol{\cdot}\cos^n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \sum\limits_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) ~~~~ \text{für } n \text{ ungerade}
\displaystyle \boldsymbol{\cdot}\cos^n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \left[ \cos(nx) + \sum\limits_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) \right] ~~~~ \text{für } n \text{ ungerade}
(11) \displaystyle \sin^n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \left[ (-1)^{\frac{n}{2}} \cos(nx) + \sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{\frac{n}{2}-k} \binom{n}{k}\cos\big((n-2k)x \big) + \frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}} \right] ~~~~ \text{für } n \text{ gerade}
(12) \displaystyle \sin^n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \left[ (-1)^{\frac{n-1}{2}} \sin(nx) + \sum\limits_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{\frac{n-1}{2}-k} \binom{n}{k} \sin\big((n-2k)x\big) \right] ~~~ \text{für } n \text{ ungerade}
(13) Veranschaulichung von \sin^n(x) und \cos^n(x) gemäß (9), (10), (11), (12)
(14) \displaystyle \sum_{k=0}^n\cos(kt) = \frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\, t\right)\, \cos\left(\frac{n}{2}\, t\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)} = \frac{\sin\left(\frac{2n+1}{2}t\right)}{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)} + \frac{1}{2}
(15) \displaystyle \sum_{k=0}^n\sin(kt) = \frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\, t\right)\, \sin\left(\frac{n}{2}\, t\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}
(16) Veranschaulichung von \displaystyle \sum_{k=0}^n\sin(kt) und \displaystyle \sum_{k=0}^n\cos(kt) gemäß (14) und (15)
(17) \displaystyle \sum_{k=0}^n\cos(2kt) = \frac{\sin\big((n+1)t\big)\cos(nt)}{\sin(t)} = \frac{\sin\big((2n+1)t\big)}{2\sin(t)} + \frac{1}{2}
(18) \displaystyle \sum_{k=0}^n\sin(2kt) = \frac{\sin\big((n+1)t\big)\sin(nt)}{\sin(t)}
(19) \displaystyle \sum_{k=0}^n\cos\big((2k+1)t\big) = \frac{\sin\big(2(n+1)t\big)}{2\sin(t)}
(20) \displaystyle \sum_{k=0}^n\sin\big((2k+1)t\big) = \frac{\sin^2\big((n+1)t\big)}{\sin(t)}
(21) Quellen

(1) \displaystyle \cos(nx) = \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} (-1)^k \binom{n}{2k} \sin^{2k}(x) \cos^{n-2k}(x)
\displaystyle e^{inx}= \cos(nx) + i\sin(nx) = \big(\cos(x) + i \sin(x)\big)^n = \left(e^{ix}\right)^n \displaystyle \Rightarrow \cos(nx) = \mathrm{Re}\bigg[\big(\cos(x) + i \sin(x)\big)^n\bigg] und \sin(nx) = \mathrm{Im}\bigg[\big(\cos(x) + i \sin(x)\big)^n\bigg] \displaystyle \big(\cos(x) + i \sin(x)\big)^n = \sum\limits_{k=0}^n i^k \binom{n}{k} \sin^k(x) \cos^{n-k}(x) ("Binomischer Lehrsatz"). i^k ist genau dann rein-reell, wenn k gerade ist ( i^{4k} = 1,~ i^{4k+1} = i,~ i^{4k+2} = -1,~ i^{4k+3} = -i bzw. i^{2k} =(-1)^k,~ i^{2k+1} =(-1)^k i). \Rightarrow Aufteilung der Summe in gerade und ungerade Indizes, d.h. Substitution k = 2p bzw. k = 2q+1: \displaystyle \big(\cos(x) + i \sin(x)\big)^n = \sum\limits_{p=0}^P i^{2p} \binom{n}{2p} \sin^{2p}(x) \cos^{n-2p}(x) ~+~ \sum\limits_{q=0}^Q i^{2q+1} \binom{n}{2q+1} \sin^{2q+1}(x) \cos^{n-2q-1}(x) \\ = \sum\limits_{p=0}^P (-1)^p \binom{n}{2p} \sin^{2p}(x) \cos^{n-2p}(x) ~+~ i \cdot \sum\limits_{q=0}^Q (-1)^{q} \binom{n}{2q+1} \sin^{2q+1}(x) \cos^{n-2q-1}(x)
  • Größter Index P von p
    · Falls n gerade \Rightarrow 2p = n ~\Rightarrow~ p = \frac{n}{2} = \left\lfloor \frac{n}{2}} \right\rfloor
    · Falls n ungerade \Rightarrow 2p = n-1 ~\Rightarrow~ p = \frac{n-1}{2} = \left\lfloor \frac{n}{2}} \right\rfloor
    \displaystyle \Rightarrow~ P = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor
  • Größter Index Q von q
    · Falls n gerade \Rightarrow 2q+1 = n-1 ~\Rightarrow~ q = \frac{n-2}{2} = \left\lfloor \frac{n-1}{2}} \right\rfloor
    · Falls n ungerade \Rightarrow 2q+1 = n ~\Rightarrow~ q = \frac{n-1}{2} = \left\lfloor \frac{n-1}{2}} \right\rfloor
    \displaystyle \Rightarrow~ Q = \left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor
Da \left\lfloor \frac{m}{2} \right\rfloor = \begin{cases} \frac{m}{2}, & \text{falls }m\text{ gerade}\\ \frac{m-1}{2}, & \text{falls }m\text{ ungerade} \end{cases} \displaystyle \Rightarrow~ \big(\cos(x) + i \sin(x)\big)^n = \sum\limits_{p=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} (-1)^p \binom{n}{2p} \sin^{2p}(x) \cos^{n-2p}(x) ~+~ i \cdot \sum\limits_{q=0}^\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} (-1)^{q} \binom{n}{2q+1} \sin^{2q+1}(x) \cos^{n-2q-1}(x) Ergebnis: \displaystyle \mathrm{Re}\bigg[\big(\cos(x) + i \sin(x)\big)^n\bigg] =~~~ \cos(nx) = \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} (-1)^k \binom{n}{2k} \sin^{2k}(x) \cos^{n-2k}(x) Beispiele: \mbox{\footnotesize{\cos(0x) = 1}} \mbox{\footnotesize{\cos(1x) = \cos(x)}} \mbox{\footnotesize{\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)}} \mbox{\footnotesize{\cos(3x) = \cos^3(x) - 3\cos(x)\sin^2(x)}} \mbox{\footnotesize{\cos(4x) = \cos^4(x) - 6\cos^2(x)\sin^2(x) + \sin^4(x)}} \mbox{\footnotesize{\cos(5x) = \cos^5(x) - 10\cos^3(x)\sin^2(x) + 5\cos(x)\sin^4(x)}} \mbox{\footnotesize{\cos(6x) = \cos^6(x) - 15\cos^4(x)\sin^2(x) + 15\cos^2(x)\sin^4(x) - \sin^6(x)}} \mbox{\footnotesize{\cos(7x) = \cos^7(x) - 21\cos^5(x)\sin^2(x) + 35\cos^3(x)\sin^4(x) - 7\cos(x)\sin^6(x)}} \mbox{\footnotesize{\dots}} Veranschaulichung: \newcommand{\TRIGnx}[3]{%======================== \pgfmathsetmacro\n{7} \begin{tikzpicture}[ %font=\footnotesize, scale=#3] \begin{axis}[xscale=1.75, title={$y = #2(n x)$}, title style = {yshift=-0.75cm}, axis lines = middle, axis line style = {-latex}, %xlabel=$x$, %every axis x label/.style={at={(ticklabel* cs:0.975)}, anchor=west, yshift=-1.75ex}, %ylabel=$y$, %every axis y label/.style={at={(ticklabel* cs:0.95)},anchor=south, xshift=-1.5ex}, domain = -370/\n:370/\n, xtick = {-51.428,-25.714,25.714,51.428}, xticklabels = { $-\frac{2\pi}{n}$, $-\frac{\pi}{n}$, $\frac{\pi}{n}$, $\frac{2\pi}{n}$, }, x tick style={line width=0.75pt, color=black}, %y tick style={line width=0.75pt, color=black}, %extra x ticks = {-45, -90, ..., -360}, extra x tick labels= {}, extra y ticks = {-1,-0.9,...,1}, extra y tick labels= \empty, enlarge x limits={abs=10pt}, enlarge y limits={abs=10pt}, extra y tick style={% ändern des Stils für extraticks every tick/.append style={thin},% andere Farbe und Breite major tick length=2pt% andere Länge }, ] \addplot [smooth, thick, samples=250] {#1(\n*x)}; \end{axis} \end{tikzpicture} }%======================== \TRIGnx{cos}{\cos}{0.875}
(2) \displaystyle \sin(nx) = \sum\limits_{k=0}^\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} (-1)^{k} \binom{n}{2k+1} \sin^{2k+1}(x) \cos^{n-2k-1}(x)
Aus der Rechnung in (1) folgt ebenso \displaystyle \mathrm{Im}\bigg[\big(\cos(x) + i \sin(x)\big)^n\bigg] =~~~ \sin(nx) = \sum\limits_{k=0}^\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} (-1)^{k} \binom{n}{2k+1} \sin^{2k+1}(x) \cos^{n-2k-1}(x) Beispiele: \mbox{\footnotesize{\sin(0x) = 0}} \mbox{\footnotesize{\sin(1x) = \sin(x)}} \mbox{\footnotesize{\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)}} \mbox{\footnotesize{\sin(3x) = 3\sin(x)\cos^2(x) - \sin^3(x)}} \mbox{\footnotesize{\sin(4x) = 4\sin(x)\cos^3(x) - 4\sin^3(x)\cos(x)}} \mbox{\footnotesize{\sin(5x) = 5\sin(x)\cos^4(x) - 10\sin^3(x)\cos^2(x) + \sin^5(x)}} \mbox{\footnotesize{\sin(6x) = 6\sin(x)\cos^5(x) - 20\sin^3(x)\cos^3(x) + 6\sin^5(x)\cos(x)}} \mbox{\footnotesize{\sin(7x) = 7\sin(x)\cos^6(x) - 35\sin^3(x)\cos^4(x) + 21\sin^5(x)\cos^2(x) - \sin^7(x)}} \mbox{\footnotesize{\dots}} Veranschaulichung: \newcommand{\TRIGnx}[3]{%======================== \pgfmathsetmacro\n{7} \begin{tikzpicture}[ %font=\footnotesize, scale=#3] \begin{axis}[xscale=1.75, title={$y = #2(n x)$}, title style = {yshift=-0.75cm}, axis lines = middle, axis line style = {-latex}, %xlabel=$x$, %every axis x label/.style={at={(ticklabel* cs:0.975)}, anchor=west, yshift=-1.75ex}, %ylabel=$y$, %every axis y label/.style={at={(ticklabel* cs:0.95)},anchor=south, xshift=-1.5ex}, domain = -370/\n:370/\n, xtick = {-51.428,-25.714,25.714,51.428}, xticklabels = { % $-\frac{2\pi}{n}$, $-\frac{\pi}{n}$, $\frac{\pi}{n}$, $\frac{2\pi}{n}$, }, x tick style={line width=0.75pt, color=black}, %y tick style={line width=0.75pt, color=black}, %extra x ticks = {-45, -90, ..., -360}, extra x tick labels= {}, extra y ticks = {-1,-0.9,...,1}, extra y tick labels= \empty, enlarge x limits={abs=10pt}, enlarge y limits={abs=10pt}, extra y tick style={% ändern des Stils für extraticks every tick/.append style={thin},% andere Farbe und Breite major tick length=2pt% andere Länge }, ] \addplot [smooth, thick, samples=250] {#1(\n*x)}; \end{axis} \end{tikzpicture} }%======================== \TRIGnx{sin}{\sin}{0.875}
(3) \sin(nx) = 2\cos(x) \sin((n-1)x) - \sin((n-2)x) ("Chebyshev-Methode")
(benannt nach P. Chebyshev [auch: Tschebyschow, Tschebyschew], 1821-1894, russischer Mathematiker) • Mittels der Additionstheoreme \sin(a \pm b) = \sin(a)\cos(b) \pm \cos(a)\sin(b), \cos(a \pm b ) = \cos(a)\cos(b) \mp \sin(a)\sin(b) wird \begin{align*} \sin((n+1)x) &=\sin(nx+x) = \sin(nx)\cos(x)+\cos(nx)\sin(x) \\ &=2\sin(nx)\cos(x) - \sin(nx)\cos(x) +\cos(nx)\sin(x) \\ &= 2\sin(nx)\cos(x) - [\sin(nx)\cos(x) -\cos(nx)\sin(x) ] \\ &= 2\sin(nx)\cos(x) - \sin((n-1)x) \end{align*} Mit der Umindizierung n \rightarrow n-1 wird • Ergebnis: \sin(nx) = 2\cos(x) \sin((n-1)x) - \sin((n-2)x) Beispiele: \mbox{\footnotesize{\sin(0x) = \sin(0) = 0}} \mbox{\footnotesize{\sin(1x) = \sin(x)}} \mbox{\footnotesize{\sin(2x) = 2\cos(x)\sin(x)}} \mbox{\footnotesize{\sin(3x) = 2\cos(x)\sin(2x)-\sin(x)}} \mbox{\footnotesize{\sin(4x) = 2\cos(x)\sin(3x)-\sin(2x)}} \mbox{\footnotesize{\sin(5x) = 2\cos(x)\sin(4x)-\sin(3x)}} \mbox{\footnotesize{\sin(6x) = 2\cos(x)\sin(5x)-\sin(4x)}} \mbox{\footnotesize{\sin(7x) = 2\cos(x)\sin(6x)-\sin(5x)}} \mbox{\footnotesize{\dots}}
(4) \cos(nx) = 2\cos(x) \cos((n-1)x) - \cos((n-2)x) ("Chebyshev-Methode")
• Mittels der Additionstheoreme \sin(a \pm b) = \sin(a)\cos(b) \pm \cos(a)\sin(b), \cos(a \pm b ) = \cos(a)\cos(b) \mp \sin(a)\sin(b) wird \begin{align*} \cos((n+1)x) &=\cos(nx+x) = \cos(nx)\cos(x)-\sin(nx)\sin(x) \\ &=2\cos(nx)\cos(x) - \cos(nx)\cos(x) - \sin(nx)\sin(x) \\ &= 2\cos(nx)\cos(x) - [\cos(nx)\cos(x) + \sin(nx)\sin(x)] \\ &= 2\cos(nx)\cos(x) - \cos((n-1)x) \end{align*} Mit der Umindizierung n \rightarrow n-1 wird • Ergebnis: \cos(nx) = 2\cos(x) \cos((n-1)x) - \cos((n-2)x) Beispiele: \mbox{\footnotesize{\cos(0x) = \cos(0) = 1}} \mbox{\footnotesize{\cos(1x) = \cos(x)}} \mbox{\footnotesize{\cos(2x) = 2\cos^2(x)-1}} \mbox{\footnotesize{\cos(3x) = 2\cos(x)\cos(2x)-\cos(x)}} \mbox{\footnotesize{\cos(4x) = 2\cos(x)\cos(3x)-\cos(2x)}} \mbox{\footnotesize{\cos(5x) = 2\cos(x)\cos(4x)-\cos(3x)}} \mbox{\footnotesize{\cos(6x) = 2\cos(x)\cos(5x)-\cos(4x)}} \mbox{\footnotesize{\cos(7x) = 2\cos(x)\cos(6x)-\cos(5x)}} \mbox{\footnotesize{\dots}}
(5) \displaystyle\boldsymbol{\cdot} \cos(nx) = 2^{n-1}\cos^n(x) + n \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \frac{(-1)^k}{k} \binom{n-1-k}{k-1}2^{n-1-2k} \cos^{n-2k}(x) \displaystyle\boldsymbol{\cdot} \cos(nx) = 2^{n-1}\cos^n(x) ~+~ n \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor-1} \frac{(-1)^k}{k} \binom{n-1-k}{k-1} 2^{n-1-k} \cos^{n-2k}(x) ~+~ \begin{cases} (-1)^{\frac{n}{2}}, & \text{falls }n\text{ gerade}\\ (-1)^{\frac{n-1}{2}} n \cos(x), & \text{falls }n\text{ ungerade} \end{cases} (Chebyshev-Polynom-Darstellung)
• Weiterbearbeitung der Beispiele aus (4) liefert \cos(0x) = \cos(0) = 1 \cos(1x) = \cos(x) \cos(2x) = 2\cos^2(x)-1 \begin{align*} \cos(3x) &= 2\cos(x)\cos(2x)-\cos(x) \\ &= 2\cos(x)\big(2\cos^2(x)-1\big)-\cos(x) \\ &= 4\cos^3(x)-3\cos(x) = \cos(3x) \end{align*} \begin{align*} \cos(4x) &= 2\cos(x)\cos(3x)-\cos(2x) \\ &= 2\cos(x)\big(4\cos^3(x)-3\cos(x)\big)-\big(2\cos^2(x)-1\big) \\ &= 8\cos^4(x)-8\cos^2(x)+1 = \cos(4x) \end{align*} \begin{align*} \cos(5x) &= 2\cos(x)\cos(4x)-\cos(3x) \\ &= 2\cos(x)\big(8\cos^4(x)-8\cos^2(x)+1\big)-\big(4\cos^3(x)-3\cos(x)\big) \\ &= 16\cos^5(x) - 20\cos^3(x) + 5\cos(x) = \cos(5x) \end{align*} \cos(6x) = \dots = 32\cos^6(x) - 48\cos^4(x) + 18\cos^2(x) - 1 = \cos(6x) \cos(7x) = \dots = 64\cos^7(x) - 112\cos^5(x) + 56\cos^3(x) - 7\cos(x) = \cos(7x) \dots \Rightarrow Die Chebyshev-Methode (4) legt nahe, dass \cos(nx) als Polynom (n-ter Ordnung) in \cos(x) geschrieben werden kann. \Rightarrow Definition: \cos(nx) = T_n(\cos(x)) (T_n: "Chebyshev-Polynom n-ter Ordnung") Zum Beispiel \cos(0x) = T_0(\cos(x)) = 1 bzw. T_0(x) =1 \cos(1x) = T_1(\cos(x)) = \cos(x) bzw. T_1(x) = x \cos(2x) = T_2(\cos(x)) = 2\cos^2(x)-1 bzw. T_2(x) = 2x^2-1 \cos(3x) = T_3(\cos(x)) = 4\cos^3(x)-3\cos(x) bzw. T_3(x) = 4x^3-3x \dots Oder allgemein \cos(nx) = T_n(\cos(x)) = 2\cos(x) \cos((n-1)x) - \cos((n-2)x) (vgl. (4)) \Rightarrow · T_0(x)=1, ~T_1(x)=x (Startwerte) · T_n(x) = 2xT_{n-1}(x) - T_{n-2}(x), für n >1 (Rekursive Darstellung der Chebyshev-Polynome) • Um nun T_n(x) in eine Summe zu entwickeln wird zunächst die Erzeugende Funktion \displaystyle T(t,x) = \sum\limits_{n=0}^\infty T_n(x) t^n von T_n(x) bestimmt. Mit Hilfe der o.g. Rekurrenz wird (für die Rechnung (x) bzw. (t,x) weggelassen) \displaystyle \begin{align*} T &= \sum\limits_{n=0}^\infty T_n t^n = T_0 + T_1t + \sum\limits_{n=2}^\infty T_n t^n = T_0 + T_1t + \sum\limits_{n=2}^\infty (2xT_{n-1} - T_{n-2}) t^n \\ &=T_0 + T_1t + 2x\sum\limits_{n=2}^\infty T_{n-1} t^n - \sum\limits_{n=2}^\infty T_{n-2} t^n \\ &=T_0 + T_1t + 2x\sum\limits_{k=1}^\infty T_{k} t^{k+1} - \sum\limits_{k=0}^\infty T_{k} t^{k+2} =T_0 + T_1t + 2tx\sum\limits_{k=1}^\infty T_{k} t^{k} - t^2\sum\limits_{k=0}^\infty T_{k} t^{k} \\ &=T_0 + T_1t + 2tx(T-T_0) - t^2 T ~~~\longleftarrow \textsf{Startwerte einsetzen}\\ \\ &= 1+ tx + 2tx(T-1) - t^2T \\ &= 1-tx+(2tx-t^2)T=T \end{align*} \displaystyle \Rightarrow T(t,x) = \sum\limits_{n=0}^\infty T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}%,~~~~ |x| \leq 1, |t|<1 ("Erzeugende Funktion der Chebyshev-Polynome") Bemerkung: Für eine alternative Rechnung, die von der Definition \mbox{\footnotesize{T_n(\cos(x)) = \cos(nx)}} ausgeht, siehe hier. • Mit Hilfe der Erzeugenden Funktion \displaystyle T(t,x) = \sum\limits_{n=0}^\infty T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2},~~~~ |x| \leq 1,~ |t|<1,~ |1-2tx+t^2| < 1 lässt sich nun eine Summendarstellung von T_n(x) angeben. \displaystyle T(t,x) = \sum\limits_{n=0}^\infty T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2} = (1-tx) \sum\limits_{m=0}^\infty (2tx-t^2)^m, da \sum\limits_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q}, für |q|<1 ("geometrische Reihe"). \displaystyle \begin{align*} \Rightarrow~~ T(t,x) &= (1-tx) \sum\limits_{m=0}^\infty (2tx-t^2)^m = (1-tx)\sum\limits_{m=0}^\infty \sum\limits_{k=0}^m \binom{m}{k}(2tx)^{m-k} (-t^2)^k \\ &= (1-tx)\sum\limits_{m=0}^\infty \sum\limits_{k=0}^m \binom{m}{k}(-1)^k(2x)^{m-k} t^{m+k}, \end{align*} da (a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k} a^{n-k}b^{k} ("Binomischer Lehrsatz") Mit der Umindizierung n=m+k wird \displaystyle \begin{align*} T(t,x) &= (1-tx)\sum\limits_{n=k}^\infty \sum\limits_{k=0}^N \binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} t^{n} \\ &= (1-tx)\sum\limits_{n=0}^\infty \sum\limits_{k=0}^N \binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} t^{n}, \end{align*} da \binom{n-k}{k} = 0, falls n < k. · Größter Index N von k: Es wird \dbinom{n-k}{k}=0, falls k>n-k ~\Leftrightarrow~ 2k>n \Rightarrow Es ist maximal 2k = n - Falls n gerade \Rightarrow~~ 2k=n ~~ \Rightarrow~~ k = \frac{n}{2} = \left\lfloor\right \frac{n}{2} \rfloor - Falls n ungerade \Rightarrow~~ 2k=n-1 ~~\Rightarrow~~ k = \frac{n-1}{2} = \left\lfloor\right \frac{n}{2} \rfloor Da \left\lfloor \frac{m}{2} \right\rfloor = \begin{cases} \frac{m}{2}, & \text{falls }m\text{ gerade}\\ \frac{m-1}{2}, & \text{falls }m\text{ ungerade} \end{cases} \Rightarrow \displaystyle N = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \displaystyle \Rightarrow~~ T(t,x) = (1-tx)\sum\limits_{n=0}^\infty \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} t^{n}, ausmultiplizieren \displaystyle \begin{align*} T(t,x) &= \sum\limits_{n=0}^\infty \left[ \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} t^{n} - \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} x t^{n+1} \right] \\ &= \sum\limits_{n=0}^\infty \left[ \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} t^{n} - \frac{1}{2} \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n+1-2k} t^{n+1} \right] \end{align*} und umindizieren der zweiten Summe in der Klammer (n \rightarrow n-1) \displaystyle \begin{align*} T(t,x) &= \sum\limits_{n=0}^\infty \left[ \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} t^{n} - \frac{1}{2} \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} \binom{n-1-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-1+1-2k} t^{n-1+1} \right] \\ &= \sum\limits_{n=0}^\infty \left[ \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} - \frac{1}{2} \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} \binom{n-1-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} \right] t^{n} \\ &= \sum\limits_{n=0}^\infty T_n(x) t^n = T(t,x) \end{align*} erlaubt schließlich den Koeffizientenvergleich \displaystyle T_n(x) = \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} - \frac{1}{2} \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} \binom{n-1-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} · I. Fall: n ungerade \Rightarrow \left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \displaystyle \begin{align*} \Rightarrow T_n(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} - \frac{1}{2} \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} \binom{n-1-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} \\ &= \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} - \frac{1}{2} \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \binom{n-1-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} \end{align*} · II. Fall: n gerade \Rightarrow \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} = \left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}+1 \Leftrightarrow \left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} -1 \displaystyle \begin{align*} \Rightarrow T_n(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} - \frac{1}{2} \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} \binom{n-1-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} \\ &= \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} - \frac{1}{2} \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor -1} \binom{n-1-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} \\ &= \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} - \frac{1}{2} \Bigg[ \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \binom{n-1-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} - \underbrace{ \binom{n-\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor-1}{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} }_{ \begin{smallmatrix} ~=~0, \\ \textsf{da }n-\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor-1 < \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \end{smallmatrix} } (-1)^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}(2x)^{n-2\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \Bigg] \\ &= \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} - \frac{1}{2} \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \binom{n-1-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} \end{align*} \Rightarrow Die Summation ist also in beiden Fällen die selbe und kann vorgezogen werden \displaystyle \begin{align*} T_n(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \binom{n-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} - \frac{1}{2} \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \binom{n-1-k}{k}(-1)^k(2x)^{n-2k} \\ &= \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \left[ \binom{n-k}{k} - \frac{1}{2}\binom{n-1-k}{k} \right] (-1)^k(2x)^{n-2k} \end{align*} Nebenrechnung: \displaystyle \begin{align*} \binom{n-k}{k} - \frac{1}{2}\binom{n-1-k}{k} &= \frac{(n-k)!}{k!(n-2k)!} - \frac{1}{2}\frac{(n-1-k)!}{k!(n-1-2k)!} \\ &= \frac{(n-k)(n-1-k)!}{k!(n-2k)!} - \frac{1}{2}\frac{(n-1-k)!\cdot(n-2k)}{k!(n-1-2k)!\cdot(n-2k)} \\ &= \frac{(n-1-k)!}{k!(n-2k)!} \left(n-k - \frac{1}{2}(n-2k)\right) \\ &= \frac{(n-1-k)!}{k!(n-2k)!} \cdot \frac{n}{2} \end{align*} • Zwischenergebnis I: \displaystyle T_n(x) = \frac{n}{2} \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} (-1)^k \frac{(n-1-k)!}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k} Zieht man das Leitglied (k=0) aus der Summation heraus, wird \displaystyle \begin{align*} T_n(x) &= \frac{n}{2} \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} (-1)^k \frac{(n-1-k)!}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k} \\ &= \frac{n}{2} \cdot (-1)^0 \frac{(n-1-0)!}{0!(n-2 \cdot 0)!} (2x)^{n-2 \cdot 0} ~+~ \frac{n}{2} \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} (-1)^k \frac{(n-1-k)!}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k} \\ &= 2^{n-1} x^n + \frac{n}{2} \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} (-1)^k \frac{(n-1-k)!}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k} \end{align*} Da nun in der Summation kein Index k = 0 mehr auftritt, kann der Vorfaktor noch vereinfacht werden; Nebenrechnung: \displaystyle \begin{align*} \frac{(n-1-k)!}{k!(n-2k)!} &= \frac{(n-1-k)!}{k!(n-2k)(n-1-2k)!} = \frac{1}{n-2k} \cdot \binom{n-1-k}{k} \\ &= \frac{1}{n-2k} \left[ \frac{(n-1-k)!}{k! (n-1-k -k)!} \right] \\ &= \frac{1}{n-2k} \left[\frac{(n-1-k)!}{(k-1)! (n-1-k -(k-1))!} \cdot \frac{n-1-k - (k-1)}{k} \right] \\ &= \frac{1}{n-2k} \left[\binom{n-1-k}{k-1} \cdot \frac{n-2k}{k}\right] \\ &= \frac{1}{k} \cdot \binom{n-1-k}{k-1} \end{align*} Damit wird für Zwischenergebnis I • Zwischenergebnis II: \displaystyle T_n(x) = 2^{n-1}x^n + \frac{n}{2} \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \frac{(-1)^k}{k} \binom{n-1-k}{k-1}(2x)^{n-2k} Für die kleinste auftretende Potenz, d.h. für k = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor, wird \displaystyle \def\Y{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} % \frac{n}{2} \frac{(-1)^{\Y}}{\Y} \binom{n-1-\Y}{\Y-1}(2x)^{n-2\Y} · I. Fall: n gerade \Rightarrow \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} = \frac{n}{2} \displaystyle \def\X{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} } \def\Y{\frac{n}{2}} \begin{align*} \Rightarrow~~ \frac{n}{2} \frac{(-1)^{\X}}{\X} \binom{n-1-\X}{\X-1}(2x)^{n-2\X} &= \frac{n}{2} \frac{(-1)^{\Y}}{\Y} \binom{n-1-\Y}{\Y-1}(2x)^{n-2\Y} \\ &= (-1)^\Y \binom{\Y-1}{\Y-1} (2x)^0 \\ &= (-1)^\Y ~~~~~~~~~~~~ \textsf{(absoluter Koeffizient)} \end{align*} · II. Fall: n ungerade \Rightarrow \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} = \frac{n-1}{2} \displaystyle \def\X{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} } \def\Y{\frac{n-1}{2}} \begin{align*} \Rightarrow~~ \frac{n}{2} \frac{(-1)^{\X}}{\X} \binom{n-1-\X}{\X-1}(2x)^{n-2\X} &= \frac{n}{2} \frac{(-1)^{\Y}}{\Y} \binom{n-1-\Y}{\Y-1}(2x)^{n-2\Y} \\ &= \frac{n}{2} \frac{(-1)^{\Y}}{\Y} \binom{\Y}{\Y-1} (2x)^1 \\ &= \frac{n}{2} \frac{(-1)^{\Y}}{\Y} \frac{\left(\Y\right)!}{\left(\Y-1\right)!1!} 2x \\ &= n \frac{(-1)^{\Y}}{\Y} \frac{\Y\left(\Y-1\right)!}{\left(\Y-1\right)!} x \\ &= (-1)^{\Y} n x \end{align*} Damit lässt sich, für Zwischenergebnis II, die kleinste auftretende Potenz folgendermaßen aus der Summation herausziehen • Zwischenergebnis III \displaystyle T_n(x) = 2^{n-1}x^n ~+~ \frac{n}{2} \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor-1} \frac{(-1)^k}{k} \binom{n-1-k}{k-1}(2x)^{n-2k} ~+~ \begin{cases} (-1)^{\frac{n}{2}}, & \text{falls }n\text{ gerade}\\ (-1)^{\frac{n-1}{2}} n x, & \text{falls }n\text{ ungerade} \end{cases} Mittels der Definition T_n(\cos(x)) = \cos(nx) folgt nunmehr aus Zwischenergebnis II • Ergebnis I \displaystyle \cos(nx) = 2^{n-1}\cos^n(x) + n \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac n2 \right\rfloor} \frac{(-1)^k}{k} \binom{n-1-k}{k-1}2^{n-1-2k} \cos^{n-2k}(x) Mittels der Definition T_n(\cos(x)) = \cos(nx) folgt nunmehr aus Zwischenergebnis III • Ergebnis II \displaystyle \cos(nx) = 2^{n-1}\cos^n(x) ~+~ n \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor-1} \frac{(-1)^k}{k} \binom{n-1-k}{k-1} 2^{n-1-k} \cos^{n-2k}(x) ~+~ \begin{cases} (-1)^{\frac{n}{2}}, & \text{falls }n\text{ gerade}\\ (-1)^{\frac{n-1}{2}} n \cos(x), & \text{falls }n\text{ ungerade} \end{cases} Beispiele: \mbox{\footnotesize{\cos(0x) = 1}} \mbox{\footnotesize{\cos(1x) = \cos(x)}} \mbox{\footnotesize{\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1}} \mbox{\footnotesize{\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)}} \mbox{\footnotesize{\cos(4x) = 8\cos^4(x) - 8\cos^2(x) + 1}} \mbox{\footnotesize{\cos(5x) = 16\cos^5(x) - 20\cos^3(x) + 5\cos(x)}} \mbox{\footnotesize{\cos(6x) = 32\cos^6(x) - 48\cos^4(x) + 18\cos^2(x) - 1}} \mbox{\footnotesize{\cos(7x) = 64\cos^7(x) - 112\cos^5(x) + 56\cos^3(x) - 7\cos(x)}} \mbox{\footnotesize{\dots}}
(6) \boldsymbol{\cdot}\displaystyle \sin(nx) = \sin(x) \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} (-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x) \displaystyle \boldsymbol{\cdot}\sin(nx) = \sin(x) \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor-1} (-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x) ~+~ \begin{cases} 0, & \text{\footnotesize{falls} }n\text{ \footnotesize{gerade}}\\ (-1)^{\frac{n-1}{2}} \sin(x), & \text{\footnotesize{falls} }n\text{ \footnotesize{ungerade}} \end{cases}
• Aus der Definition \cos(nx) = T_n(\cos(x)) aus (5) folgt mittels Ableitung \displaystyle \big[\cos(nx)\big]' = -n \sin(nx) = -\sin(x)T'_n(\cos(x)) ~\Leftrightarrow~ \sin(nx) = \frac{1}{n} \sin(x)T'_n(\cos(x)) • Für das Ergebnis I aus (5) \displaystyle \cos(nx) = 2^{n-1}\cos^n(x) + n \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \frac{(-1)^k}{k} \binom{n-1-k}{k-1} 2^{n-1-2k}\cos^{n-2k}(x) = T_n(\cos(x)) wird entsprechend \displaystyle \begin{align*} \sin(nx) &= \frac{1}{n} \sin(x)T'_n(\cos(x)) \\ &= \frac{1}{n} \sin(x) \left[ 2^{n-1}\cos^n(x) + n \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \frac{(-1)^k}{k} \binom{n-1-k}{k-1} 2^{n-1-2k}\cos^{n-2k}(x) \right]' \\ &= \frac{1}{n} \sin(x) \left( n 2^{n-1}\cos^{n-1}(x) + n \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \frac{(-1)^k}{k} \binom{n-1-k}{k-1} 2^{n-1-2k}(n-2k)\cos^{n-1-2k}(x) \right) \\ &= \sin(x) \left( 2^{n-1}\cos^{n-1}(x) + \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} \frac{(-1)^k}{k} \binom{n-1-k}{k-1} 2^{n-1-2k}(n-2k)\cos^{n-1-2k}(x) \right) \end{align*} Nebenrechnung: \displaystyle \begin{align*} \frac{n-2k}{k}\binom{n-1-k}{k-1} &= \frac{n-2k}{k}\frac{(n-1-k)!}{(k-1)!(n-2k)!} \\ &= (n-2k)\frac{(n-1-k)!}{k!(n-2k)(n-1-2k)!} \\ &= \binom{n-1-k}{k} \end{align*} \displaystyle \begin{align*} \Rightarrow~~ \sin(nx) &= \sin(x) \left( 2^{n-1}\cos^{n-1}(x) + \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} (-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x) \right) \\ &= \sin(x) \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} (-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x) \end{align*} · I. Fall: n ungerade \Rightarrow \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} = \left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} \displaystyle \begin{align*} \Rightarrow~~ \sin(nx) &= \sin(x) \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} (-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x) \\ &= \sin(x) \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} (-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x) \end{align*} · II. Fall: n gerade \Rightarrow \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} = \left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}+1 \displaystyle \def\X{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor+1} \begin{align*} \Rightarrow~~ \sin(nx) &= \sin(x) \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor+1} (-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x) \\ &= \sin(x) \left( \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} (-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x) \right) \\ &{\quad}+ \sin(x) \Bigg( (-1)^{\X} \binom{n-1-\left(\X\right)}{\X} 2^{n-1-2\left(\X\right)} \cos^{n-1-2\left(\X\right)}(x) \Bigg) \\ &= \sin(x) \left( \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} (-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x) \right) \\ &{\quad}+ \sin(x) \Bigg( (-1)^{\X} \underbrace{\binom{n-\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor-2}{\X}}_{ \begin{smallmatrix} ~=~0, \\ \textsf{da } n-\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor-2 < \X \end{smallmatrix} } 2^{n-1-2\left(\X\right)} \cos^{n-1-2\left(\X\right)}(x) \Bigg) \\ \\ &= \sin(x) \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} (-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x) \end{align*} In beiden Fällen hat man also • Ergebnis I \displaystyle \sin(nx) = \sin(x) \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} (-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x) • Für den größten Index k in Ergebnis I, d.h. für k = \left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor, wird \def\X{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} \displaystyle \sin(x) (-1)^{\X} \binom{n-1-\X}{\X} 2^{n-1-2\X}\cos^{n-1-2\X}(x) · I. Fall: n gerade \Rightarrow \left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} = \frac{n}{2} -1 \def\X{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} \def\Y{\left(\frac{n}{2}-1\right)} \def\Z{\frac{n}{2}-1} %\begin{align*} \displaystyle \sin(x) (-1)^{\X} \binom{n-1-\X}{\X} 2^{n-1-2\X}\cos^{n-1-2\X}(x) \\ ~~~~ = \sin(x) (-1)^{\Z} \binom{n-1-\Y}{\Z} 2^{n-1-2\Y}\cos^{n-1-2\Y}(x) \\ ~~~~ = \sin(x) (-1)^{\Z} \underbrace{\binom{\frac{n}{2}}{\Z}}_{ \begin{smallmatrix} ~=~ 0, \\ \textsf{da } \frac{n}{2} < \Z \end{smallmatrix} } 2^{n-1-2\Y}\cos^{n-1-2\Y}(x) \\ ~~~~ = 0 %\end{align*} · II. Fall: n ungerade \Rightarrow \left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} = \frac{n-1}{2} \def\X{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} \def\Y{\left(\frac{n-1}{2}\right)} \def\Z{\frac{n-1}{2}} %\begin{align*} \displaystyle \sin(x) (-1)^{\X} \binom{n-1-\X}{\X} 2^{n-1-2\X}\cos^{n-1-2\X}(x) \\ ~~~~ = \sin(x)(-1)^{\Z} \binom{n-1-\Z}{\Z} 2^{n-1-2\Y}\cos^{n-1-2\Y}(x) \\ ~~~~ = \sin(x)(-1)^{\Z} \binom{\Z}{\Z} 2^{0}\cos^{0}(x) \\ ~~~~ = (-1)^{\Z} \sin(x) %\end{align*} Damit wird für Ergebnis I • Ergebnis II \displaystyle \sin(nx) = \sin(x) \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor-1} (-1)^k \binom{n-1-k}{k} 2^{n-1-2k}\cos^{n-1-2k}(x) ~+~ \begin{cases} 0, & \text{falls }n\text{ gerade}\\ (-1)^{\frac{n-1}{2}} \sin(x), & \text{falls }n\text{ ungerade} \end{cases} Beispiele: \mbox{\footnotesize{\sin(0x) = 0}} \mbox{\footnotesize{\sin(1x) = \sin(x)}} \mbox{\footnotesize{\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)}} \mbox{\footnotesize{\sin(3x) = \sin(x)[4\cos^2(x)-1]}} \mbox{\footnotesize{\sin(4x) = \sin(x)[8\cos^3(x) - 4\cos(x)]}} \mbox{\footnotesize{\sin(5x) = \sin(x)[16\cos^4(x)-12\cos^2(x)+1]}} \mbox{\footnotesize{\sin(6x) = \sin(x)[32\cos^5(x)-32\cos^3(x)+6\cos(x)]}} \mbox{\footnotesize{\sin(7x) = \sin(x)[64\cos^6(x)-80\cos^4(x)+24\cos^2(x)-1]}} \mbox{\footnotesize{\dots}}
• Mit Hilfe der Eulerschen Identität wird \displaystyle \begin{align*} \cos^n(x) &= \left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^n = \frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \left(e^{-ix}\right)^k \left(e^{ix}\right)^{n-k} \\ &= \frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} e^{i(n-2k)x} \end{align*} da (a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k} a^{n-k}b^{k} ("Binomischer Lehrsatz") \displaystyle \begin{align*} \cos^n(x) &= \frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} e^{i(n-2k)x} \\ &= \frac{1}{2^n} \left[ \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) + i \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \sin\big((n-2k)x\big) \right] \\ \end{align*} Da \cos^n(x) = \mathrm{Re}\bigl[\cos^n(x)\bigr] wird \displaystyle \cos^n(x) = \frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) Beispiele: Siehe (9), (10) Veranschaulichung: Siehe (13)
(8) \displaystyle \sin^n(x) = \frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos\left((n-2k)\big(x-\frac{\pi}{2}\big)\right)
• Aus (8) \displaystyle \cos^n(x) = \frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) wird mit \sin(a) = \cos\left(a-\frac{\pi}{2}\right) direkt \displaystyle \sin^n(x) = \frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos\left((n-2k)\big(x-\frac{\pi}{2}\big)\right) Bemerkung: Für praktische Berechnung siehe (11) und (12). Beispiele: Siehe (11), (12) Veranschaulichung: Siehe (13)
(9) \displaystyle \boldsymbol{\cdot}\cos^n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \left[ \sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) + \frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}} \right] ~~~~ \text{für } n \text{ gerade} \displaystyle \boldsymbol{\cdot}\cos^n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \left[ \cos(nx) + \sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) + \frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}} \right] ~~~~ \text{für } n \text{ gerade}
• Aus (7) \displaystyle \cos^n(x) = \frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) wird für gerades n \displaystyle \begin{align*} \cos^n(x) &= \frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) \\ &= \frac{1}{2^n} \left[ \sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) + \sum\limits_{k=\frac{n}{2}+1}^{n} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) \right] \\ &= \frac{1}{2^n} \left[ \sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) + \binom{n}{\frac{n}{2}}\cos\left(\big(n-2\frac{n}{2}\big)x\right) + \sum\limits_{k=\frac{n}{2}+1}^{n} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) \right] \\ &= \frac{1}{2^n} \left[ \sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) + \binom{n}{\frac{n}{2}} + \sum\limits_{k=\frac{n}{2}+1}^{n} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) \right] \end{align*} ·Für die zweite Summe ist \displaystyle \sum\limits_{k=\frac{n}{2}+1}^{n} \binom{n}{k} \cos((n-2k)x) = \sum\limits_{k=\frac{n}{2}+1}^{n} \binom{n}{n-k} \cos((n-2k)x) wegen der Symmetrie das Binomialkoeffizienten \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} Mit p = n-k ~\Leftrightarrow~ k = n-p wird - kleinster Index k ist k=\frac{n}{2}+1 \Rightarrow~ p = n-k = n-\left(\frac{n}{2}+1\right) = \frac{n}{2}-1 (größter Index p) - größter Index k ist k=n \Rightarrow~ p = n-k = n-n = 0 (kleinster Index p) \displaystyle \begin{align*} \sum\limits_{k=\frac{n}{2}+1}^{n} \binom{n}{k} \cos((n-2k)x) &= \sum\limits_{p=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{p} \cos((n-2(n-p))x) \\ &= \sum\limits_{p=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{p} \cos(-(n-2p)x) \\ &= \sum\limits_{p=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{p} \cos((n-2p)x) ~~~~~~~~~ \textsf{da } \cos(-a) = \cos(a) \\ &= \sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos((n-2k)x) \end{align*} Damit wird \displaystyle \begin{align*} \cos^n(x) &= \frac{1}{2^n} \left[ \sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) + \binom{n}{\frac{n}{2}} + \sum\limits_{k=\frac{n}{2}+1}^{n} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) \right] \\ &= \frac{1}{2^n} \left[ 2 \cdot \sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) + \binom{n}{\frac{n}{2}} \right] \\ \end{align*} Ergebnis I: \displaystyle \cos^n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \left[ \sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) + \frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}} \right] ~~~~ \text{für } n \text{ gerade} • Für den kleinsten Index k=0 wird \displaystyle \binom{n}{0} \cos\big((n-2 \cdot 0)x\big) = \cos(nx) , also Ergebnis II: \displaystyle \cos^n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \left[ \cos(nx) + \sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) + \frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}} \right] ~~~~ \text{für } n \text{ gerade} Beispiele: \mbox{\footnotesize{\cos^0(x) = 1}} \mbox{\footnotesize{\cos^2(x) = \frac{1}{2} \big[\cos(2x) + 1 \big]}} \mbox{\footnotesize{\cos^4(x) = \frac{1}{8} \big[\cos(4x) + 4\cos(2x) + 3\big]}} \mbox{\footnotesize{\cos^6(x) = \frac{1}{32} \big[\cos(6x) + 6\cos(4x) + 15\cos(2x) + 10 \big]}} \mbox{\footnotesize{\cos^8(x) = \frac{1}{128} \big[\cos(8x) + 8\cos(6x)+ 28\cos(4x) + 56\cos(2x) + 35\big]}} \mbox{\footnotesize{\cos^{10}(x) = \frac{1}{512} \big[\cos(10x) + 10\cos(8x) + 45\cos(6x) + 120\cos(4x) + 210\cos(2x) + 126\big]}} Veranschaulichung: Siehe (13)
(10) \displaystyle \boldsymbol{\cdot}\cos^n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \sum\limits_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) ~~~~ \text{für } n \text{ ungerade} \displaystyle \boldsymbol{\cdot}\cos^n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \left[ \cos(nx) + \sum\limits_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) \right] ~~~~ \text{für } n \text{ ungerade}
• Aus (7) \displaystyle \cos^n(x) = \frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) wird für ungerades n \displaystyle \begin{align*} \cos^n(x) &= \frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) \\ &= \frac{1}{2^n} \left[ \sum\limits_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) + \sum\limits_{k=\frac{n-1}{2}+1}^{n} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) \right] \end{align*} ·Für die zweite Summe ist \displaystyle \sum\limits_{k=\frac{n-1}{2}+1}^{n} \binom{n}{k} \cos((n-2k)x) = \sum\limits_{k=\frac{n-1}{2}+1}^{n} \binom{n}{n-k} \cos((n-2k)x) wegen der Symmetrie das Binomialkoeffizienten \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} Mit p = n-k ~\Leftrightarrow~ k = n-p wird - kleinster Index k ist k=\frac{n-1}{2}+1 \Rightarrow~ p = n-k = n-\left(\frac{n-1}{2}+1\right) = \frac{n-1}{2} (größter Index p) - größter Index k ist k=n \Rightarrow~ p = n-k = n-n = 0 (kleinster Index p) \displaystyle \begin{align*} \sum\limits_{k=\frac{n-1}{2}+1}^{n} \binom{n}{k} \cos((n-2k)x) &= \sum\limits_{p=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{p} \cos((n-2(n-p))x) \\ &= \sum\limits_{p=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{p} \cos(-(n-2p)x) \\ &= \sum\limits_{p=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{p} \cos((n-2p)x) ~~~~~~~~~ \textsf{da } \cos(-a) = \cos(a) \\ &= \sum\limits_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos((n-2k)x) \end{align*} Damit wird \displaystyle \begin{align*} \cos^n(x) &= \frac{1}{2^n} \left[ \sum\limits_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) + \sum\limits_{k=\frac{n-1}{2}+1}^{n} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) \right] \\ &= \frac{1}{2^n} \left[ 2 \cdot \sum\limits_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) \right] \\ \end{align*} Ergebnis I: \displaystyle \cos^n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \sum\limits_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) ~~~~ \text{für } n \text{ ungerade} • Für den kleinsten Index k=0 wird \displaystyle \binom{n}{0} \cos\big((n-2 \cdot 0)x\big) = \cos(nx) , also Ergebnis II: \displaystyle \cos^n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \left[ \cos(nx) + \sum\limits_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) \right] ~~~~ \text{für } n \text{ ungerade} Beispiele: \mbox{\footnotesize{\cos^1(x) = \cos(x)}} \mbox{\footnotesize{\cos^3(x) = \frac{1}{4} \big[\cos(3x) + 3\cos(x) \big]}} \mbox{\footnotesize{\cos^5(x) = \frac{1}{16} \big[\cos(5x) + 5\cos(3x) + 10\cos(x)\big]}} \mbox{\footnotesize{\cos^7(x) = \frac{1}{64} \big[\cos(7x) + 7\cos(5x) + 21\cos(3x) + 35\cos(x)\big]}} \mbox{\footnotesize{\cos^9(x) = \frac{1}{512} \big[\cos(9x) + 9\cos(7x)+ 36\cos(5x) + 84\cos(3x) + 126\cos(x)\big]}} \mbox{\footnotesize{\cos^{11}(x) = \frac{1}{1024} \big[\cos(11x) + 11\cos(9x) + 55\cos(7x) + 165\cos(5x) + 330\cos(3x) + 462\cos(x)\big]}} Veranschaulichung: Siehe (13)
(11) \displaystyle \sin^n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \left[ (-1)^{\frac{n}{2}} \cos(nx) + \sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{\frac{n}{2}-k} \binom{n}{k}\cos\big((n-2k)x \big) + \frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}} \right] ~~~~ \text{für } n \text{ gerade}
Für gerades n wird mit Ergebnis II aus (9) \displaystyle \cos^n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \left[ \cos(nx) + \sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) + \frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}} \right] ~~~~ \text{für } n \text{ gerade} und mit \sin(a) = \cos\left(a-\frac{\pi}{2}\right) \displaystyle \begin{align*} \sin^n(x) = \cos^n\big(x-\frac{\pi}{2}\big) &= \frac{1}{2^{n-1}} \left[ \cos\big(n(x-\frac{\pi}{2})\big) + \sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\left((n-2k)\big(x-\frac{\pi}{2}\big)\right) + \frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}} \right] \\ &= \frac{1}{2^{n-1}} \left[ \cos\big(nx-\frac{n}{2}\pi\big) + \sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\left((n-2k)x - \frac{n-2k}{2}\pi\right) + \frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}} \right] \end{align*} Da \cos(a - m\pi) = (-1)^m \cos(a) wird \displaystyle \begin{align*} \sin^n(x) &= \frac{1}{2^{n-1}} \left[ \cos\big(nx-\frac{n}{2}\pi\big) + \sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos\left((n-2k)x - \frac{n-2k}{2}\pi\right) + \frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}} \right] \\ &= \frac{1}{2^{n-1}} \left[ (-1)^{\frac{n}{2}} \cos(nx) + \sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} (-1)^{\frac{n-2k}{2}} \cos\big((n-2k)x \big) + \frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}} \right] \\ \end{align*} Ergebnis: \displaystyle \sin^n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \left[ (-1)^{\frac{n}{2}} \cos(nx) + \sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{\frac{n}{2}-k} \binom{n}{k}\cos\big((n-2k)x \big) + \frac{1}{2}\binom{n}{\frac{n}{2}} \right] ~~~~ \text{für } n \text{ gerade} Beispiele: \mbox{\footnotesize{\sin^0(x) = 1}} \mbox{\footnotesize{\sin^2(x) = \frac{1}{2} \big[-\cos(2x) + 1 \big]}} \mbox{\footnotesize{\sin^4(x) = \frac{1}{8} \big[\cos(4x) - 4\cos(2x) + 3\big]}} \mbox{\footnotesize{\sin^6(x) = \frac{1}{32} \big[-\cos(6x) + 6\cos(4x) - 15\cos(2x) + 10 \big]}} \mbox{\footnotesize{\sin^8(x) = \frac{1}{128} \big[\cos(8x) - 8\cos(6x)+ 28\cos(4x) - 56\cos(2x) + 35\big]}} \mbox{\footnotesize{\sin^{10}(x) = \frac{1}{512} \big[-\cos(10x) + 10\cos(8x) - 45\cos(6x) + 120\cos(4x) - 210\cos(2x) + 126\big]}} Veranschaulichung: Siehe (13)
(12) \displaystyle \begin{align*} \sin^n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \left[ (-1)^{\frac{n-1}{2}} \sin(nx) + \sum\limits_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{\frac{n-1}{2}-k} \binom{n}{k} \sin\big((n-2k)x\big) \right] ~~~~ \text{für } n \text{ ungerade} \end{align*}
Für ungerades n wird mit Ergebnis II aus (10) \displaystyle \cos^n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \left[ \cos(nx) + \sum\limits_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos\big((n-2k)x\big) \right] ~~~~ \text{für } n \text{ ungerade} und mit \sin(a) = \cos\left(a-\frac{\pi}{2}\right) \displaystyle \begin{align*} \sin^n(x) = \cos^n\big(x-\frac{\pi}{2}\big) &= \frac{1}{2^{n-1}} \left[ \cos\left(n(x-\frac{\pi}{2})\right) + \sum\limits_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos\left((n-2k)(x-\frac{\pi}{2})\right) \right] \end{align*} Nebenrechnung: \displaystyle \begin{align*} \boldsymbol{\cdot}~ \cos\left(n(x-\frac{\pi}{2})\right) = \cos\left(nx - \frac{n}{2}\pi)\right) &= \cos\left(nx - \frac{n-1}{2}\pi - \frac{\pi}{2}\right) \\ &= \sin(nx -\frac{n-1}{2}\pi) \\ &= (-1)^{\frac{n-1}{2}} \sin(nx) \end{align*} \displaystyle \begin{align*} \boldsymbol{\cdot}~ \cos\left((n-2k)(x-\frac{\pi}{2})\right) = \cos\left((n-2k)x -\frac{n-2k}{2}\pi\right) &= \cos\left((n-2k)x -\frac{n-1-2k}{2}\pi- \frac{\pi}{2}\right) \\ &= \sin\left((n-2k)x -\frac{n-1-2k}{2}\pi\right) \\ &= (-1)^{\frac{n-1-2k}{2}} \sin\big((n-2k)x\big) = (-1)^{\frac{n-1}{2}-k} \sin\big((n-2k)x\big) \end{align*} da \cos\left(a - \frac{\pi}{2}\right) = \sin(a) und \sin(a - m\pi) = (-1)^m \sin(a) Damit wird Ergebnis \displaystyle \begin{align*} \sin^n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \left[ (-1)^{\frac{n-1}{2}} \sin(nx) + \sum\limits_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{\frac{n-1}{2}-k} \binom{n}{k} \sin\big((n-2k)x\big) \right] ~~~~ \text{für } n \text{ ungerade} \end{align*} Beispiele: \mbox{\footnotesize{\sin^1(x) = \sin(x)}} \mbox{\footnotesize{\sin^3(x) = \frac{1}{4} \big[-\sin(3x) + 3\sin(x) \big]}} \mbox{\footnotesize{\sin^5(x) = \frac{1}{16} \big[\sin(5x) - 5\sin(3x) + 10\sin(x)\big]}} \mbox{\footnotesize{\sin^7(x) = \frac{1}{64} \big[-\sin(7x) + 7\sin(5x) - 21\sin(3x) + 35\sin(x)\big]}} \mbox{\footnotesize{\sin^9(x) = \frac{1}{512} \big[\sin(9x) - 9\sin(7x) + 36\sin(5x) - 84\sin(3x) + 126\sin(x)\big]}} \mbox{\footnotesize{\sin^{11}(x) = \frac{1}{1024} \big[-\sin(11x) + 11\sin(9x) - 55\sin(7x) + 165\sin(5x) - 330\sin(3x) + 462\sin(x)\big]}} Veranschaulichung: Siehe (13)
(13) Veranschaulichung von \sin^n(x) und \cos^n(x) gemäß (9), (10), (11), (12)
\newcommand{\TRIGxHOCHn}[5]{%======================== \def\n{#2} %\pgfmathsetmacro\n{2} \begin{tikzpicture}[font=\footnotesize, scale=#4] \begin{axis}[xscale=1.25, align =center, title={$y = #3^n(x),$ \\ $n$ #5}, title style = {yshift=-0.5cm, xshift=0.75cm}, axis lines = middle, axis line style = {-latex}, %xlabel=$x$, %every axis x label/.style={at={(ticklabel* cs:0.975)}, anchor=west, yshift=-1.75ex}, %ylabel=$y$, %every axis y label/.style={at={(ticklabel* cs:0.95)}, anchor=south, xshift=-1.5ex}, domain = -370:370, xtick = {-360,-180,180,360}, xticklabels = { % $-2\pi$, $-\pi$, $\pi$, $2\pi$, }, extra x ticks = {-270, -180,..., 270}, extra x tick labels= {}, extra x tick style={% ändern des Stils für extraticks every tick/.append style={thin},% andere Farbe und Breite major tick length=2.75pt% andere Länge }, ytick = {-1,-0.5,...,1}, extra y ticks = {-1,-0.9,...,1}, extra y tick labels={}, extra y tick style={% ändern des Stils für extraticks every tick/.append style={thin},% andere Farbe und Breite major tick length=2pt% andere Länge }, enlarge x limits={abs=10pt}, enlarge y limits={abs=10pt}, ] \addplot [smooth, thick, samples=550] {#1(x)^\n}; \end{axis} \end{tikzpicture} }%======================== \begin{tabular}{ cc } \TRIGxHOCHn{sin}{4}{\sin}{0.875}{gerade} & \TRIGxHOCHn{sin}{3}{\sin}{0.875}{ungerade} \\ \TRIGxHOCHn{cos}{4}{\cos}{0.875}{gerade} & \TRIGxHOCHn{cos}{3}{\cos}{0.875}{ungerade} \\ \end{tabular}
(14) \displaystyle \sum_{k=0}^n\cos(kt) = 1 + \cos(t) + \cos(2t) + \dots + \cos(nt) = \frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\, t\right)\, \cos\left(\frac{n}{2}\, t\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)} = \frac{\sin\left(\frac{2n+1}{2}t\right)}{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)} + \frac{1}{2}
Da \displaystyle \sum_{k=0}^n\cos(kt)= \mathop{\rm Re}\left[\;\sum_{k=0}^ne^{ikt}\;\right] Betrachtung der Summe \displystyle \sum\limits_{k=0}^ne^{ikt}. \displaystyle\sum\limits_{k=0}^n e^{ikt} = \sum\limits_{k=0}^n \left(e^{it}\right)^k = \frac{e^{i(n+1)t}-1}{e^{it}-1}, da \displaystyle\sum\limits_{k=0}^n q^k = \frac{q^{n+1}-1}{q-1} ("endliche geometrische Reihe") \displaystyle \begin{align*} \sum\limits_{k=0}^n e^{ikt} &= \frac{e^{i(n+1)t}-1}{e^{it}-1} = \frac{e^{i\left(\frac{2n+1}{2}\right)t}-e^{-i\frac{t}{2}}}{e^{i\frac{t}{2}}-e^{-i\frac{t}{2}}} \\ &= \frac{\cos\left(\frac{2n+1}{2} t\right) + i \cdot \sin\left(\frac{2n+1}{2} t\right) - \left[ \cos\left(\frac{t}{2}\right) - i \sin\left(\frac{t}{2}\right) \right]}{2i \cdot \sin\left(\frac{t}{2}\right)} \\ &= \frac{\cos \left(\frac{2n+1}{2} t\right) -\cos\left(\frac{t}{2}\right)}{2i\,\sin\left(\frac{t}{2}\right)} + i\, \frac{\sin\left(\frac{2n+1}{2} t\right) + \sin\left(\frac{t}{2}\right)}{2i\,\sin\left(\frac{t}{2}\right)} = \frac{\sin\left(\frac{2n+1}{2} t\right) + \sin\left(\frac{t}{2}\right)}{2\,\sin\left(\frac{t}{2}\right)} - i\frac{\cos \left(\frac{2n+1}{2} t\right) -\cos\left(\frac{t}{2}\right)}{2\,\sin\left(\frac{t}{2}\right)} \\[5mm] &= \frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\, t\right)\, \cos\left(\frac{n}{2}\, t\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)} + i\,\frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\, t\right)\, \sin\left(\frac{n}{2}\, t\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}, \end{align*} da \sin(a)+\sin(b) = 2 \cdot \sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{a-b}{2}\right) und \cos(a)-\cos(b) = -2 \cdot\sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{a-b}{2\right)} . Ergebnis I: \displaystyle \mathop{\rm Re}\left[\;\sum_{k=0}^ne^{ikt}\;\right] = \sum_{k=0}^n\cos(kt) = \frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\, t\right)\, \cos\left(\frac{n}{2}\, t\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)} Bemerkung: Für eine reelle Rechnung siehe hier • Mittels 2\sin(a) \cos(b) = \sin(a-b) + \sin(a-b) wird daraus \displaystyle \begin{align*} \sum_{k=0}^n\cos(kt) &= \frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\, t\right)\, \cos\left(\frac{n}{2}\, t\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)} \\ &= \frac{\sin\left(\frac{2n+1}{2}t\right)+\sin\left(\frac{t}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)} \end{align*} Also Ergebnis II \displaystyle \sum_{k=0}^n\cos(kt) = \frac{\sin\left(\frac{2n+1}{2}t\right)}{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)} + \frac{1}{2} Veranschaulichung: Siehe (16)
(15) \displaystyle \sum_{k=0}^n\sin(kt) = \sin(t) + \sin(2t) + \dots + \sin(nt) = \frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\, t\right)\, \sin\left(\frac{n}{2}\, t\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}
Aus der Rechnung (14) folgt direkt Ergebnis \displaystyle \mathop{\rm Im}\left[\;\sum_{k=0}^ne^{ikt}\;\right] = \sum_{k=0}^n\sin(kt) = \frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\, t\right)\, \sin\left(\frac{n}{2}\, t\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}. Veranschaulichung: Siehe (16)
(16) Veranschaulichung von \displaystyle \sum_{k=0}^n\sin(kt) und \displaystyle \sum_{k=0}^n\cos(kt) gemäß (14) und (15)
\newcommand{\SUMMETRIGkx}[3]{%======================== %\def\n{7} \def\SCALE{0.6125} \def\n{#3} %\pgfmathsetmacro\n{7} \begin{tikzpicture}[font=\footnotesize, scale=\SCALE] \begin{axis}[xscale=1.75, title={\normalsize$\displaystyle y = \sum\limits_{k=0}^{\n}#2(k t)$}, title style = {yshift=-0.55cm}, axis lines = middle, axis line style = {-latex}, %xlabel=$t$, %every axis x label/.style={at={(ticklabel* cs:0.975)}, anchor=west, yshift=-1.75ex}, %ylabel=$y$, %every axis y label/.style={at={(ticklabel* cs:0.95)},anchor=south, xshift=-1.5ex}, domain = -4*362:4*362, xtick = {-1440,-1080,...,1440}, xticklabels = { % $-4\pi$, $-3\pi$, $-2\pi$, $-\pi$, $\pi$, $2\pi$, $3\pi$, $4\pi$, }, extra x ticks = {-45, -90, ..., -360}, extra x tick labels= {}, extra y ticks = {-1,-0.9,...,1}, extra y tick labels= \empty, enlarge x limits={abs=10pt}, enlarge y limits={abs=10pt}, extra y tick style={% ändern des Stils für extraticks every tick/.append style={thin},% andere Farbe und Breite major tick length=2pt% andere Länge }, ] \addplot [smooth, thick, samples=250] {sin(x*(\n+1)/2)*+#1(x*\n/2)/sin(x/2)}; \end{axis} \end{tikzpicture} }%======================== %\SUMMETRIGkx{}{}{} \\ % Summe sin(kx) von 0 bis n %\SUMMETRIGkx{cos}{\sin}{3} \\ % Summe cos(kx) von 0 bis n %\SUMMETRIGkx{sin}{\cos}{3} \begin{tabular}{ cc } \SUMMETRIGkx{cos}{\cos}{1} & \SUMMETRIGkx{sin}{\sin}{1} \\ \SUMMETRIGkx{cos}{\cos}{2} & \SUMMETRIGkx{sin}{\sin}{2} \\ \SUMMETRIGkx{cos}{\cos}{3} & \SUMMETRIGkx{sin}{\sin}{3} \\ \SUMMETRIGkx{cos}{\cos}{4} & \SUMMETRIGkx{sin}{\sin}{4} \\ \SUMMETRIGkx{cos}{\cos}{5} & \SUMMETRIGkx{sin}{\sin}{5} \\ \\ $\dots$ & $\dots$ \\ \\ \SUMMETRIGkx{cos}{\sin}{22} & \SUMMETRIGkx{sin}{\sin}{22} \\ \end{tabular}
(17) \displaystyle \sum_{k=0}^n\cos(2kt) = 1 + \cos(2t) + \cos(4t) + \dots + \cos(2nt) = \frac{\sin\big((n+1)t\big)\cos(nt)}{\sin(t)} = \frac{\sin\big((2n+1)t\big)}{2\sin(t)} + \frac{1}{2}
Aus (14) \displaystyle \sum_{k=0}^n\cos(kt) = \frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\, t\right)\, \cos\left(\frac{n}{2}\, t\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)} = \frac{\sin\left(\frac{2n+1}{2}t\right)}{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)} + \frac{1}{2} folgt mit \displaystyle \sum_{k=0}^n\cos(2kt) = \sum_{k=0}^n\cos\big(k\cdot(2t)\big) = \frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\, 2t\right)\, \cos\left(\frac{n}{2}\, 2t\right)}{\sin\left(\frac{2t}{2}\right)} = \frac{\sin\left(\frac{2n+1}{2}2t\right)}{2\sin\left(\frac{2t}{2}\right)} + \frac{1}{2} die Behauptung direkt.
(18) \displaystyle \sum_{k=0}^n\sin(2kt) = 1 + \sin(2t) + \sin(4t) + \dots + \sin(2nt) = \frac{\sin\big((n+1)t\big)\sin(nt)}{\sin(t)}
Aus (15) \displaystyle \sum_{k=0}^n\sin(kt) = \frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\, t\right)\, \sin\left(\frac{n}{2}\, t\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)} folgt mit \displaystyle \sum_{k=0}^n\sin(2kt) = \sum_{k=0}^n\sin\big(k\cdot(2t)\big) = \frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\, 2t\right)\, \sin\left(\frac{n}{2}\, 2t\right)}{\sin\left(\frac{2t}{2}\right)} die Behauptung direkt.
(19) \displaystyle \sum_{k=0}^n\cos\big((2k+1)t\big) = \cos(t) + \cos(3t) + \cos(5t) + \dots + \cos\big((2n+1)t\big) = \frac{\sin\big(2(n+1)t\big)}{2\sin(t)}
Mit Hilfe des Additionstheorems \cos(a + b ) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) wird \displaystyle \begin{align*} \sum_{k=0}^n\cos\big((2k+1)t\big) = \sum_{k=0}^n\cos\big(2kt + t\big) &= \sum_{k=0}^n\big[\cos(2kt)\cos(t) - \sin(2kt)\sin(t)\big] \\ &= \cos(t)\sum_{k=0}^n\cos(2kt) - \sin(t)\sum_{k=0}^n\sin(2kt) \end{align*} Mit (17) \displaystyle \sum_{k=0}^n\cos(2kt) = \frac{\sin\big((n+1)t\big)\cos(nt)}{\sin(t)} und (18) \displaystyle \sum_{k=0}^n\sin(2kt) = \frac{\sin\big((n+1)t\big)\sin(nt)}{\sin(t)} wird daraus \displaystyle \begin{align*} \sum_{k=0}^n\cos\big((2k+1)t\big) &= \cos(t)\frac{\sin\big((n+1)t\big)\cos(nt)}{\sin(t)} - \sin(t)\frac{\sin\big((n+1)t\big)\sin(nt)}{\sin(t)} \\ &= \frac{\sin\big((n+1)t\big)}{\sin(t)}\left[ \cos(t)\cos(nt) - \sin(t)\sin(nt) \right] \\ &= \frac{\sin\big((n+1)t\big)\cos\big((n+1)t\big)}{\sin(t)} \end{align*} da \cos(a + b ) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b). Schließlich wird \displaystyle \sum_{k=0}^n\cos\big((2k+1)t\big) = \frac{\sin\big((n+1)t\big)\cos\big((n+1)t\big)}{\sin(t)} = \frac{\sin\big(2(n+1)t\big) + \sin(0)}{2\sin(t)} = \frac{\sin\big(2(n+1)t\big)}{2\sin(t)} da 2\cdot\sin(a)\cdot\cos(b)=\sin(a+b)+\sin(a-b).
(20) \displaystyle \sum_{k=0}^n\sin\big((2k+1)t\big) = \sin(t) + \sin(3t) + \sin(5t) + \dots + \sin\big((2n+1)t\big) = \frac{\sin^2\big((n+1)t\big)}{\sin(t)}
Mit Hilfe des Additionstheorems \sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) wird \displaystyle \begin{align*} \sum_{k=0}^n\sin\big((2k+1)t\big) = \sum_{k=0}^n\sin\big(2kt + t\big) &= \sum_{k=0}^n\big[\sin(2kt)\cos(t) + \cos(2kt)\sin(t)\big] \\ &= \cos(t)\sum_{k=0}^n\sin(2kt) + \sin(t)\sum_{k=0}^n\cos(2kt) \end{align*} Mit (17) \displaystyle \sum_{k=0}^n\cos(2kt) = \frac{\sin\big((n+1)t\big)\cos(nt)}{\sin(t)} und (18) \displaystyle \sum_{k=0}^n\sin(2kt) = \frac{\sin\big((n+1)t\big)\sin(nt)}{\sin(t)} wird daraus \displaystyle \begin{align*} \sum_{k=0}^n\sin\big((2k+1)t\big) &= \cos(t)\frac{\sin\big((n+1)t\big)\sin(nt)}{\sin(t)} + \sin(t)\frac{\sin\big((n+1)t\big)\cos(nt)}{\sin(t)} \\ &= \frac{\sin\big((n+1)t\big)}{\sin(t)}\left[ \cos(t)\sin(nt) + \sin(t)\cos(nt) \right] \\ &= \frac{\sin^2\big((n+1)t\big)}{\sin(t)} \end{align*} da \sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b).
(21) Quellen
· Prosthaphäretische Formeln · Die Beziehungen von Sinus und Cosinus · Formelsammlung Trigonometrie · List of trigonometric identities · Multiple-Angle Formulas · Trigonometrische Zusammenhänge, Vereinfachungen, Formeln (Arndt Brünner) · Chebyshev Polynomials
Danke @ MontyPythagoras & Jürgen007 für das Korrekturlesen!
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"Mathematik: Einige höhere trigonometrische Identitäten" | 2 Comments
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Re: Einige höhere trigonometrische Identitäten
von: thureduehrsen am: Mo. 26. Oktober 2015 16:30:04
\(\begingroup\)Boooooah!! 😮 Große Klasse! Hut ab! Jetzt weiß ich, was ich meinen Nachhilfeschülern zum Auswendiglernen vorlegen kann! 😁 mfg thureduehrsen\(\endgroup\)
 

Re: Einige höhere trigonometrische Identitäten
von: Ex_Mitglied_477 am: Di. 27. Oktober 2015 14:33:37
\(\begingroup\)Danke Dir!\(\endgroup\)
 

 
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