Physik: Addicted To The Stars Released by matroid on Fr. 11. März 2016 21:39:11 [Statistics] Written by trunx - 1108 x read [Outline] Printer-friendly version -  Choose languageDE EN   \(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\) Addicted To The Stars - speziell relativistisches Raumschiff 2002 wurden 15 bekannte Filmregisseure gebeten, 10-minütige Kurzfilme zum Thema "Zeit" unter dem Titel Ten Minutes Older zu erstellen. Berührt hat mich darunter insbesondere der Beitrag von Michael Radford "Addicted To The Stars", den man z.B. hier sehen kann, dennoch enthält er aus Sicht eines Physikers einige Fehler. In diesem Artikel soll es nun darum gehen, eine Reise zu den Sternen mit einer Raumfähre speziell relativistisch durchzurechnen. [Edit] [To the bottom] Filmfehler Im Film legen die beiden Astronauten 80 Lichtjahre in 10 Minuten zurück. Vermutlich. Vermutlich deshalb, weil die Kurzfilm-Serie 'ten minutes older' heisst und auch, weil der Arzt oder eigentlich Captain Cecil Thomas (Daniel Graig) diese Körperalterung feststellen. Allerdings sind diese 10 Minuten reichlich gefüllt, nach der letzten Untersuchung muss Captain Thomas zum Raumschiff gegangen und gestartet sein, den Flug zu einem Planeten in 40 Lichtjahren Entfernung gemacht haben, dort irgendwie gelandet sein, den Stein aufgehoben und das Bild abgelegt haben, dann muss er wieder starten und zurück fliegen, auf der Erde landen, mit dem Cyborg reden und dann zum Arzt. Nun gut, Physik lebt von idealisierten Modellen, drücken wir also all diese Nebensächlichkeiten weg und behaupten zunächst einfach mal, das Raumschiff habe die 80 Lichtjahre in 10 Minuten zurück gelegt. Dabei ist die Entfernung von der Erde aus gemessen, die 10 Minuten sind natürlich die Eigenzeit $\backslash tau$. Was uns jetzt interessiert sind Geschwindigkeit $v$ und vergangene Zeit $t$ in Bezug zur Erde. Zunächst einmal ist einfach $\backslash displaystyle\; v=\backslash frac\{s\}\{t\}$ wobei $s=80\; \backslash text\{\; Lichtjahre\}$ (Lj) sind. Desweiteren gilt die Zeitdilatation, es ist $\backslash tau=t\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{1-\backslash frac\{v^2\}\{c^2\}\}$. Damit haben wir zwei Gleichungen für zwei Unbekannte und es ergibt sich $t=80\; \backslash text\{a\}\; +\; 7\; \backslash cdot\; 10^\{-5\}\; \backslash text\{s\}$ sowie $\backslash beta=\backslash frac\{v\}\{c\}=1-2,82\; \backslash cdot\; 10^\{-14\}$ und die aus der Sicht des Raumschiffes zurück gelegte Strecke betrug lediglich ca. 180 Mio. km, also etwas mehr als die Distanz zur Sonne. Das Raumschiff flog also annähernd mit Lichtgeschwindigkeit; Beschleunigung und Abbremsen sind im Film nur Lichtblitze. Das ist mehr fiction als science, real können wir das allerdings nicht so einfach in den Skat drücken. Mit anderen Worten, wir berücksichtigen nun die Beschleunigung. [Edit] Raumschiff mit konstanter Beschleunigung Die konstante Beschleunigung spürt der Astronaut als permanente Kraft. Aufgrund des (hier nicht weiter zu diskutierenden) Äquivalenzprinzips von träger und schwerer Masse ist natürlich für ihn eine Beschleunigung von $1\backslash ,\; g$ komfortabel, da sie der Gravitation entspricht. Er kann sich also im Raumschiff bewegen als hätte er festen Boden unter den Füßen. Damit wird die Geschwindigkeit $v$ des Raumschiffs (von der Erde aus) um $dv$ (vom Raumschiff aus $gd\backslash tau$) gesteigert (mittels relativistischer Geschwindigkeitsaddition): $v+dv=\backslash dfrac\{v+gd\backslash tau\}\{1+\backslash frac\{vgd\backslash tau\}\{c^2\}\}=(v+gd\backslash tau)(1-\backslash frac\{vgd\backslash tau\}\{c^2\})=v+g(1-\backslash frac\{v^2\}\{c^2\})d\backslash tau$ also insgesamt $dv=g(1-\backslash frac\{v^2\}\{c^2\})d\backslash tau$. Es ist sinnvoll, folgende Abkürzungen einzuführen: $\backslash beta=\backslash frac\{v\}\{c\}$ sowie $\backslash alpha\_t=\backslash frac\{gt\}\{c\}$. Wenn wir jetzt noch $g=9,5\; \backslash ,\; \backslash frac\{m\}\{s^2\}$ festlegen, dann entspricht $\backslash alpha\_t$ der in Jahren vergangenen Zeit $t$ (analog für $\backslash tau$). Damit ist also $d\backslash beta=(1-\backslash beta^2)d\backslash alpha\_\{\backslash tau\}$. Das kann man nun integrieren und erhält $\backslash beta=\backslash tanh\{\backslash alpha\_\{\backslash tau\}\}$. Für die Umrechnung in $t$ gilt $\backslash alpha\_t=\backslash sinh\{\backslash alpha\_\{\backslash tau\}\}$, das ergibt $\backslash displaystyle\; \backslash beta=\backslash frac\{\backslash alpha\_t\}\{\backslash sqrt\{1+\backslash alpha\_t^2\}\}$. Um jetzt weiter zu kommen, denke man sich den Flug wie folgt: Das Raumschiff beschleunigt auf der ersten Hälfte der Strecke, auf der zweiten Hälfte bremst es ab, s.d. es auch am Zielort landen kann. Zurück analog. Für Hin- und Rückflug ist also die Gesamtstrecke zu vierteln (oder die Entfernung zu halbieren). Wir integrieren jetzt $v(t)$ bzw. $\backslash beta(t)$ und erhalten $x(t)=\backslash sqrt\{1+\backslash alpha\_t^2\}-1$, wobei $x$ in Lichtjahren angegeben wird. In unserem Fall haben wir als (halbe) Entfernung $x(t)=20\; \backslash ,\; Lj$ gegeben und ermitteln daraus die auf der Erde vergangene Zeit $t$ ($\backslash alpha\_t$) für jede der vier Teilstrecken zu $20,97617\backslash dotsc\; \backslash ,\; a$ bzw. die gesamte während des Fluges vergangene Zeit zu $83,9047\backslash dotsc\backslash ,a$ oder $83\backslash ,a\; ~\; 330\backslash ,d\; ~\; 10\backslash ,h\; ~\; 40\backslash ,min\; ~\; 8,56\backslash ,s$. Die Eigenzeit im Raumschiff ermitteln wir zu $\backslash alpha\_\{\backslash tau\}=\backslash operatorname\{arsinh\}\backslash alpha\_t=\backslash ln\; (\backslash alpha\_t\; +\; \backslash sqrt\{\backslash alpha\_t^2\; +\; 1\}\; )=3,7371$, sprich auf allen vier Strecken zusammen zu $\backslash tau=14,9484\; \backslash ,a$. Das sieht schon etwas anders aus als die 10 Minuten! Die erreichte Maximalgeschwindigkeit $\backslash beta$ beträgt übrigens $99,886\backslash ,\backslash \%$ (der Lichtgeschwindigkeit). [Edit] Energie und Masse-Nutzlastverhältnis Eine Entfernung von lediglich 40 Lichtjahren ist ja noch der absolute kosmische Nahbereich. Infrage käme dafür z.B. das System Zeta Reticuli, das sich ja als Herkunftsgebiet von furchterregenden Aliens in der Ufologie bzw. in der Serie "Aliens" einen Namen gemacht hat (den Hinweis auf Zeta Reticuli habe ich von einer Freundin erhalten, Dank dafür). Aber Scherz beiseite, es ist interessant einmal zu ermitteln, wie denn die Eigenzeiten für andere Entfernungen aussehen: Entfernung in $Lj$ (von der Erde aus) Reisezeit in Jahren (im Raumschiff) $1000$ $27,64$ $25000$ (Zentrum der Galaxie) $40,5$ $2,2\backslash ,\; Mio.$ (Andromeda-Nebel) $29,2$ (ohne Wiederkehr) Wie man sieht, sind die Reisezeiten für die Astronauten zwar lang, aber noch durchaus in ihrer Lebensspanne, selbst zu anderen Galaxien! Das ist eigentlich ein Ergebnis, das man nicht erwarten würde. Für mich ist daher die SRT so etwas wie ein kosmisches "Hebelgesetz" - Raum und Zeit könnten durch viel Energie auf ein menschliches Maß reduziert werden. Und natürlich wäre so ein Raumschiff auch eine Zeitmaschine für eine Reise in die Zukunft. Die Astronauten altern zwar auch nicht unerheblich, aber könnten (zig) tausende Jahre später schauen, was sich vielleicht wirklich Neues auf der Erde entwickelt hat. Bevor man aber weiter träumt, schauen wir uns konkret an, um welche Energien es sich dabei handelt. Zunächst einmal soll die Energie aus der Materie-Antimaterie-Annihilation stammen, und das mit dem Wirkungsgrad $1$. Sprich, der als Masse $M$ mitgeführte Treibstoff soll vollständig gemäß $E=M\; \backslash cdot\; c^2$ in Energie umgesetzt werden. Ich hatte zunächst deshalb für die Massenänderung die Energieerhaltung im Visier: $mv\text{'}dv\text{'}=c^2dm$ mit $v\text{'}$ als Geschwindigkeit im Bezugssystem Raumschiff angesetzt. Dank Spock (Jürgen) weiss ich jetzt aber, dass es eher auf die Impulserhaltung ankommt, also $mdv\text{'}=mgd\backslash tau=-cdm$ anzusetzen ist. Dies integrieren wir von $m+M$ bis $m$, wobei $m$ die Nutzlast und $M$ der Treibstoff ist. Es ergibt sich damit als Treibstoff-Nutzlastverhältnis $\backslash displaystyle\; \backslash frac\{M\}\{m\}=e^\{\backslash alpha\_\{\backslash tau\}\}-1$. Für unseren Flug im Film ist dies $3,1\backslash ,Mio.\backslash ,:\backslash ,1$! Normale Treibstoff-Nutzlastverhältnisse, z.B. bei der Ariane betragen $40$ bis $50\backslash ,:\backslash ,1$. Wenn man bedenkt, dass die Nutzlast realistisch mindestens $50\backslash ,t$ betragen sollte, damit dort 1. mehrere Astronauten und dazu noch für die lange Zeit 2. einigermaßen komfortabel unterwegs sein können, ist dies eine zu große Menge an Treibstoff. Meine Überlegung ging noch soweit, dass man vielleicht auf den Materie-Anteil verzichtet und dieses während des Fluges aus dem interstellaren Gas bezieht, aber das wird nichts - die Menge beträgt auf der gesamten Strecke nur wenige Milligramm. Auch eine solche Menge an Antimaterie zu produzieren übersteigt bislang jedes menschliche Vermögen. [Edit] Ausblick und Schluss Angesichts der riesigen Treibstoffmengen, die man selbst für (in kosmischen Maßstäben) äußerst geringe Entfernungen benötigt, klingen Aussagen wie die von Kardaschow, Sagan ua. über eine Besiedelung erst des Sonnensystems und dann der Galaxie durch den Menschen (oder einer anderen außerirdischen Intelligenz) utopisch. Es gibt zwar das SRT-"Hebelgesetz", aber wir können es nicht nutzen. Trotzdem will ich es noch mal anders visualisieren. In der Grafik symbolisiert der Punkt eine beliebige Strecke AB im Universum. Sobald Masse existiert und damit verschiedene Geschwindigkeiten trennen sich die Punkte A und B und können nicht mehr direkt, sondern nur noch über die als Kreise dargestellten Wege erreicht werden. Rot entspricht einer hohen Geschwindigkeit und kleinen Strecke, blau niedrige Geschwindigkeit und riesige Distanz. $\backslash begin\{tikzpicture\}\; \backslash fill\; (0,0)\; circle\; (0.05);\; \backslash draw[red]\; (0,-0.2)\; circle\; (0.2);\; \backslash draw[green]\; (0,-0.5)\; circle\; (0.5);\; \backslash draw[blue]\; (0,-1)\; circle\; (1);\; \backslash end\{tikzpicture\}$ Für Licht dagegen bleiben A und B miteinander verbunden, dh. Licht hat Eigenzeit Null und legt für sich keine Strecken zurück. Man mache sich klar, dass die Struktur der Raumzeit derart ist, dass alle Punkte (auch auf den Kreisen) eigentlich dieser eine schwarz gezeichnete Punkt ist, es also trotz der raumzeitlichen Trennung eine innere, eben strukturelle Verbundenheit gibt. Diese Verbundenheit können wir momentan nur durch hohe Geschwindigkeiten (hohe Energien) erkennen und in Grenzen nutzen, aber wer weiss, vielleicht gibt es ja auch noch andere Möglichkeiten, die es noch zu erforschen gilt. Und dann geht es vielleicht wirklich zu den Sternen. viel Freude trunx (Jens Koch) [Edit] \(\endgroup\) [Show outline only] Get link to this article   Printer-friendly version -  Choose languageDE EN     Comments   Für diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen: : Physik :: automatisch eingefügt und unbearbeitet : Addicted To The Stars [von trunx]   - speziell relativistisches Raumschiff2002 wurden 15 bekannte Filmregisseure gebeten, 10-minütige Kurzfilme zum Thema "Zeit" unter dem Titel Ten Minutes Older zu erstellen. Berührt hat mich darunter insbesondere der Beitrag von Michael Radford "", den man z [Edit] [Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

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"Physik: Addicted To The Stars" | 24 Comments

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Re: Addicted To The Stars von: Ex_Mitglied_39392 am: Fr. 11. März 2016 22:28:18

\(\begingroup\)Hallo, schöner Artikel, dennoch ergeben sich ein paar Fragen. 1. Warum setzt du a = 9,5 m/s² und nicht g = 9,81 m/s², d.h. die Standarderdbeschleunigung? Damit verkürzen sich die Flugzeiten etwas. Für den Flug zum Andromedanebel (mit deinen 2,2 Mill. ly) sind es dann nur noch 28 a und 140 d. Selbst eine Rückkehr wäre in einem Menschenleben möglich. 2. Die Entfernung zum Andromedanebel wird heute mit 2,5 Millionen ly angegeben. (u.a. auch bei https://de.wikipedia.org/wiki/Andromedagalaxie) Dann werden es für den Hinflug 28 a 230 d. 3. Sollte die Menschheit jemals in der Lage sein, derartige Energiebeträge bereitzustellen, dann kann sie auch mit irgendwelchen "Tricks" die Beschleunigung erhöhen, ohne dass die Passagiere darunter leiden. Setzen wir "nur" 2g als Beschleunigung an, sind es nur noch 14 a 361 d bis zum Andromedanebel, bei 5g etwas mehr als 6 Jahre. 4. Deine Idee, unterwegs interstellare Materie einzufangen und als Treibstoff zu nutzen, funktioniert nicht! Wie in dem hervorragenden Physikbuch „Gerthsen Physik“ sehr schön nachgewiesen wird, bringt dies überhaupt nichts – im Gegenteil: Durch das Einfangen der Teilchen würde das Raumschiff nicht beschleunigt, sondern abgebremst. Tut mir leid, aber so geht es nicht. Beste Grüße stpolster \(\endgroup\)