Mathematik: Ranking von Rennpferden Vom Autor zurückgezogen
Released by matroid on Di. 20. August 2019 20:24:40 [Statistics]
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Spiele+Rätsel

\(\begingroup\) 25 Rennpferde (oder andere Instanzen) sollen in einer Abfolge aus Wettläufen mit jeweils 5 [fünf] Teilnehmern gegeneinander antreten. Konventionen: 1. Die Rennbahn (Versuchsaufbau) sei stets die gleiche und werde vor jedem Lauf bestmöglich neu präpariert. 2. Die höchste Laufgeschwindigkeit eines jeden Tieres (Instanz) sei idealisiert innerhalb eines jeden Einzelrennens vom Start weg gleichbleibend und bleibe auch nach jeder Rennteilnahme unverändert. 3. Keine zwei höchsten Laufgeschwindigkeiten unter denen aller 25 Wettbewerber (Instanzen) seien gleich, d.h. es ist von vornherein klar, dass es ein Gesamtranking geben muss(!) - dessen methodische Feststellung wird der "Knackpunkt" sein ;) 4. Die Rennbahn biete völlige grundsätzliche Chancengleichheit für alle Rennteilnehmer - phantasievoll etwa durch Verlauf in Gestalt einer 8 mit mäßig steiler Brücke auf halber Strecke. 5. Die einzelnen höchsten Laufgeschwindigkeiten aller 25 Rennpferde können lediglich jeweils im Verhältnis zueinander bestimmt werden. Niemals werden etwa Laufzeiten einzelner Teilnehmer gemessen, oder gar die Teilstrecken, die sie jeweils hinter sich gebracht haben, wenn das jeweilige erste Pferd das Ziel erreicht hat. Einzig und allein die jeweiligen Zieleinläufe von Einzelrennen können nach ihren Reihenfolgen ausgewertet und untereinander verglichen werden!

# Frage 1 # [siehe "Rätsel der Woche" auf "SPIEGEL Online" vom 18.8.2019 - "Finden Sie die drei schnellsten Pferde!"] Wieviele Einzelrennen sind mindestens durchzuführen, um zweifelsfrei herauszufinden, welches die drei schnellsten Pferde sind? # Frage 2 # Wieviele Einzelrennen sind mindestens durchzuführen, um zweifelsfrei ein "Gesamtranking" für alle 25 Rennpferde zu erhalten, also eine strenge Ordnung aller Rösser nach absteigenden höchsten Laufgeschwindigkeiten?
\(\endgroup\)
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"Mathematik: Ranking von Rennpferden Vom Autor zurückgezogen" | 15 Comments
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Re: Ranking von Rennpferden
von: Slash am: Di. 20. August 2019 21:43:40
\(\begingroup\)Ich will ja nicht meckern, aber wieso erscheint das als Artikel?\(\endgroup\)
 

Re: Ranking von Rennpferden
von: trunx am: Di. 20. August 2019 21:57:15
\(\begingroup\)frage 1 ist leicht mit sieben zu beantworten.\(\endgroup\)
 

Re: Ranking von Rennpferden
von: Gerhardus am: Di. 20. August 2019 22:39:20
\(\begingroup\)Der Autor kennt vermutlich nicht den sprachsensiblen Mathematikunterricht von bluemchen94. Drum frage ich mal, was er unter Punkt 5 mit dem Begriff "Verhältnis" versteht. Eine mathem. Proportionalität oder nur eine Folge? Andere Begrifflichkeiten sind auch rätselhaft. Wenn die höchste Laufgeschwindigkeit gleichblebend ist, dann müsste sie gleich der niedrigsten Laufgeschwindigkeit sein. Oder nicht? Wie ist dieser Superlativ zu verstehen?\(\endgroup\)
 

Re: Ranking von Rennpferden
von: Gerhardus am: Mi. 21. August 2019 12:38:20
\(\begingroup\)Die erste Aufgabe wäre, das Problem mathematisch verständlich zu formulieren: 25 Objekte haben für eine Eigenschaft (z.B. Geschwindigkeit, Gewicht) eine feste Reihenfolge, die durch Tests zu ermitteln ist. Zwei Objekte sind nie gleich. Ein Test besteht in der Auswahl und im Vergleich von maximal 5 Objekten. Testergebnis ist nur die Reihenfolge der ausgewählten Objekte. Wieviele Tests sind notwendig, um die ersten 3 Objekte der gesamten Reihenfolge zu ermitteln (Frage 1), um die Reihenfolge aller 25 Objekte zu ermitteln (Frage 2)? Ist das Problem so richtig gestellt?\(\endgroup\)
 

Re: Ranking von Rennpferden
von: Kitaktus am: Mi. 21. August 2019 13:15:54
\(\begingroup\)Aufgrund der Informationstheoretischen Schranke benötigt man mindestens 13 Rennen, da $(5!)^{12} < 25!$ ist. Nach 12 Rennen kann man nur $(5!)^{12}$ verschiedene Ergebnisse erhalten, damit müssen zwei der möglichen $25!$ Reihenfolgen zu den gleichen Ergebnissen führen und können daher nicht unterschieden werden. Mit folgendem Verfahren schafft man eine vollständige Sortierung in 25 Rennen: 1) Man führt zunächst 5 Rennen durch, so dass jedes Pferd in genau einem Rennen gelaufen ist. 2) Man führe x weitere Rennen durch, um die drei schnellsten Pferde zu bestimmen (wie diese Rennen aussehen -> siehe Frage 1) 3) Lässt man aus jeder der 5 Gruppen aus 1) nun jeweils das schnellste verbleibende Pferd gegeneinander antreten, so kann man mit jedem folgenden Rennen immer das schnellste verbleibende Pferd bestimmen. Dies macht man 17 mal und kennt dann die 3+17=20 schnellsten Pferde. 4) In einem letzten Rennen laufen die letzten 5 Pferde gegeneinander und die Reihenfolge ist komplett. Fazit: Die minimal benötigte Zahl an Läufen liegt zwischen 13 und 25. EDIT: Nach einem Hinweis von trunx kann man die obere Schranke mindestens um 1 verbessern. Nach Schritt 2 kann man mit zwei weiteren Rennen die drei schlechtesten(!) Pferde bestimmen. Damit braucht man in Schritt 3) nur noch 14 Rennen, um die Zahl auf 5 zu reduzieren. Fazit: Die minimal benötigte Zahl an Läufen liegt zwischen 13 und 24. \(\endgroup\)
 

Re: Ranking von Rennpferden
von: cramilu am: Mi. 21. August 2019 16:58:59
\(\begingroup\)Ein herzliches Hallo an alle ;) Als Verfasser gestehe ich, dass dies hier meine erste eigene Themeneröffnung ist, ich den Artikel freilich im Forum stehen haben... lassen... sollen... wollte, mir die entsprechende Benutzerführung da aber keinen eindeutig erkennbaren Weg gewiesen hat. Also Bitte an [matroid]: Wenn möglich Artikel ins Forum (?Kombinatorik?) verschieben! Danke! @Slash: Frage beantwortet? @trunx: jepp und jepp @Gerhardus: Eben... Aus anderen Foren kenne ich die verschiedensten Arten von Gemäkel bzgl. Formulierungen. "Zu schwammig". "Zu formal". "Nicht eindeutig"... Ihr zweiter Beitrag umreißt alles korrekt! @Kitaktus: Genau so sehe ich das auch! Allgemein habe ich bislang folgendes getrieben: 1. Mit 25 schnell fabrizierten Zahlenplättchen die immer gleichen Zusammensetzungen für fünf "Erstrundenrennen" ausgelost, also z.B. "Rennen #1: Pferde 8, 11, 13, 19 und 22" usw. 2. Mit den gleichen 25 Zahlenplättchen dann fünf verschiedene Gesamtrankings ausgelost. 3. Inzwischen für die ersten drei Rankings die Ausgänge der "Erstrundenrennen" mit pro Einzelrennen jeweils zehn möglichen Vergleichsaussagen à la "Pferd m ist schneller als Pferd m" ermittelt, die Aussagen erfasst und in eine Aussagentabelle übertragen. 4. Für die gleichen drei Rankings auch die Ausgänge einer "zweiten Runde" ermittelt: alle vorherigen Sieger gegeneinander, alle vorherigen Zweiten usw., die sich entsprechend ergebenden direkten sowie im Abgleich mit der "ersten Runde" ableitbaren Aussagen erfasst und damit die Aussagetabelle weiter gefüllt. Meine Überlegung: Bei 25 Objekten gibt es für jeweils ein Paar davon eine Vergleichsaussage über die untersuchte Objekteigenschaft. Insgesamt sollten das 24+23+22+...+2+1 = 25*24/2 = 300 verschiedene sein. Spätestens sobald man alle kennt, wird sich darunter eine Aussagekette der Form "Pferd a ist schneller als Pferd k ist schneller als Pferd e..." finden lassen, welche das Gesamtranking wiedergibt. Nach den zehn Rennen, wie ich sie oben beschrieben habe, konnte ich bislang jedes Mal 256 der 300 benötigten Teilaussagen zweifelsfrei ableiten. Einmal habe ich die Tabelle nach insgesamt 15 Rennen vollgekriegt, zweimal nach 16 Rennen. In letzteren Fällen könnte ich auch geschlampt haben... Möglicherweise geht es bei geschickter Wahl von elftem, zwölftem usw. Rennen immer mit höchstens 15?\(\endgroup\)
 

Re: Ranking von Rennpferden
von: Ex_Mitglied_5557 am: Fr. 23. August 2019 16:27:54
\(\begingroup\)Ich komme auf <= 20 Rennen: Wir unterteilen die 25 Rennpferde in fünf Gruppen zu je fünf Pferden, wobei in den ersten fünf Läufen jeweils die Pferde einer Gruppe gegeneinander antreten, sodass sich für jede Gruppe eine Reihenfolge ergibt. Die Gruppen seien mit A bis E, die Pferde innerhalb einer Gruppe nach ihrer Platzierung mit A1 bis A5 bzw. ... bzw. E1 bis E5 bezeichnet. Im nächsten Rennen treten die Gruppenköpfe A1 bis E1 (Ergebnis oBdA in dieser Reihenfolge) gegeneinander an --> Platz 1: A1; sicher nicht unter Top 3: A4-5, B3-5, C2-5, D, E. Im siebenten Rennen treten nun die Pferde, die noch in die Top 3 kommen können gegeneinander an, nämlich A2, A3, B1, B2, C1. Die ersten beiden sind dann im Gesamt-Ranking auf Platz 2 bzw. 3. Wir streichen alle Pferde, für die wir schon die Platzierung im Gesamt-Ranking kennen (und ignorieren alle Informationen, die wir über sonstige Verhältnisse zwischen den noch übrigen Pferden kennen). Es rücken in jeder Gruppe die nach den gestrichenen Pferden Platzierten entsprechend auf. Nun hat nicht mehr jede Gruppe fünf Pferde, was aber nichts macht, da ggf. der an diese Gruppe vergebene Startplatz einfach unbesetzt bleibt. Nun wiederholen wir das Vorgehen aus Rennen 6 und 7, nämlich zuerst alle nun ggf. neuen Gruppenköpfe gegeneinander antreten lassen, woraus sich als Sieger der nächste im Gesamt-Ranking (in Rennen Nr. 8 also der Gesamt-Vierte) ergibt. Und im übernächsten Rennen lässt man dann den Zweit- und Drittplatzierten der Gruppe des Siegers, den Zweitplatzierten der Gruppe des Zweiten sowie den Zweiten und Dritten des vorherigen Rennens starten. Die ersten beiden dieses Rennens ergeben im Gesamt-Ranking die zwei Nächst-Platzierten (in Rennen Nr. 9 also der Gesamt-Fünfte und -Sechste). Das Verfahren iteriert natürlich, sodass man nach 5+2k Rennen die ersten 3k Pferde des Gesamt-Rankings kennt, also nach 19=5+2*7 Rennen die ersten 3*7=21 Pferde. Die übrigen vier Pferde starten im letzten Rennen gemeinsam, und man erhält nach 20 Rennen ein vollständiges Ranking. Das Verfahren ist aber natürlich noch nicht optimal, da es weder die schon gewonnenen Informationen aus vorhergehenden Rennen vollständig nutzt, noch alle Startplätze, wenn sich Gruppen leeren. Das ist insbesondere bei den letzten Rennen relevant. Wahrscheinlich kann man dort recht einfach noch ein oder zwei Rennen einsparen.\(\endgroup\)
 

Re: Ranking von Rennpferden
von: Yakob am: Fr. 23. August 2019 18:05:07
\(\begingroup\)Sollen das Pferde mit vorgegebenen, konstanten Laufgeschwindigkeiten sein ? Falls ja, dann hätte man eine passendere "Einkleidung" der Aufgabe finden können. Da gälte es dann beispielsweise, von 25 unterschiedlichen Gewichten die größten drei herauszufinden. Mir wären Pferde für derartige Experimente irgendwie zu schade ...\(\endgroup\)
 

Re: Ranking von Rennpferden
von: cramilu am: So. 25. August 2019 00:03:00
\(\begingroup\)@cyrix: Das ähnelt meinem alternativen Ansatz ;) MERKE Es gibt genau zwei "Glücksfälle", in denen bereits sechs Rennen ausreichen, um das Gesamtranking zu kennen. Dabei muss man zwingend eine der beiden Strategien wählen, entweder den Sieger oder den Letzten des ersten Rennens beim zweiten Rennen erneut starten zu lassen, und dann wiederum konsequent den nächsten Sieger bzw. Letzten "weiterzuschleifen". Falls beim "Siegerschleifen" zufällig stets der Sieger der vorherigen Rennens letzter des nächsten wird, kennt man nach sechs Rennen die Gesamtreihenfolge. Ebenso, wenn beim "Loserschleifen" zufällig stets der letzte des vorherigen Rennens Sieger des nächsten wird... Da in allen anderen "Zillionen" Fällen diese Strategie versagen muss, stellt sich insgesamt genau die Frage à la [cyrix]: Wie wählt man die Abfolge von Rennen so, dass man vor der Besetzung des jeweils nächsten Rennens möglichst viele Informationen aus den vorherigen Rennen ausnutzt? Im ungünstigsten Fall erhält man beim "Siegerweiterschleifen" nach sechs Rennen lediglich sechzig Vergleichsaussagen für die Schnelligkeit jeweils zweier Pferde, und zwar dann, wenn schon im ersten Rennen der Gesamtschnellste antritt. Für diesen kommen dann am Ende 24 Aussagen zusammen, und für die jeweils unterlegenen Teilnehmer eines Rennens untereiander sechs Stück, also bei sechs Rennen 36. Bei fünf "Erstrundenrennen" erhält man sogar insgesamt nur fünfzig Vergleichsaussagen, hat aber ja ein Rennen "gespart", und kann etwa beim folgenden "Rennen der Erstrundensieger" gleich satte 50 zusätzliche Aussagen erhalten. Macht schon auf alle Fälle 100 Aussagen nach sechs Rennen! Die Frage hat sich für mich darauf verengt, ob ich für meine "zweite Runde" streng die fünf Rennen der in den "Erstrundenrennen" jeweils gleich platzierten wähle, oder ob ich wie [cyrix] die Strategie für das Auffinden der schnellsten drei erweitere. Mein Ansatz dafür lautet jedoch, nach dem siebenten Rennen zunächst auch noch alle "Erstrundenletzten" gegeneinander laufen zu lassen, und mit dem neunten Rennen sicher die drei lahmsten Gäule zu ermitteln - plus Zusatzinfos. Dann hätte ich gegenüber meiner Erststrategie schon wieder ein Rennen eingespart und gegebenenfalls eine vorteilhaftere Aussagensammlung beieinander...\(\endgroup\)
 

Re: Ranking von Rennpferden
von: StrgAltEntf am: So. 25. August 2019 19:41:07
\(\begingroup\)Hallo, man kann sich auch die allgemeinere Frage stellen, wie viele Rennen notwendig sind, um n² Pferde in eine Reihenfolge zu bringen, wobei bei einem Rennen n Pferde gegeneinander antreten. Für n = 2 ist es noch einfach. Hier reichen fünf Rennen und mit weniger geht es nicht. Aber schon bei n = 3 weiß ich nicht weiter. Grüße StrgAltEntf\(\endgroup\)
 

Re: Ranking von Rennpferden
von: trunx am: Mo. 26. August 2019 06:12:28
\(\begingroup\)\(\endgroup\)
 

Re: Ranking von Rennpferden
von: cramilu am: Mo. 26. August 2019 09:40:34
\(\begingroup\)@StrgAltEnt Bei nur vier Pferden benötigt man in der Tat mindestens fünf Rennen für das Gesamtranking. Hat auch mich überrascht! Kitaktus hatte hier in Beitrag no.5 schon eine entscheidende Formel genannt: r >= ln((n*n)!) / ln(n!) Demnach n = 2 >>> ln(4!) / ln(2!) = 4,585 >>> r = 5 n = 3 >>> ln(9!) / ln(3!) = 7,145 >>> r = 8 n = 4 >>> ln(16!) / ln(4!) = 9,651 >>> r = 10 n = 5 >>> ln(25!) / ln(5!) = 12,116 >>> r = 13 n = 6 >>> ln(36!) / ln(6!) = 14,549 >>> r = 15 ... n = 13 >>> ln(169!) / ln(13!) = 31,103 >>> r = 32 Die Funktion f(x) = ln((n*n)!) / n*(ln(n!)) scheint für natürliche n bei n = 6 ein lokales Maximum von f(6) = 2,4248 zu haben und sich für immer größere n an etwas zu nähern, was zwischen sqrt(5) und sqrt(2*e) liegt. Oder so. Leider steigen die mir zur Verfügung stehenden Mittel für n > 170 aus, was die Berechnung von Fakultäten anbelangt. Gegebenfalls kann man die Strategiefindung tatsächlich beim Problem mit 9 Pferden beginnen und dann schauen, ob man für 16 oder 25 Pferde nur geeignet anpassen bzw. erweitern muss. Wenn Sie in diese Richtung ermitteln möchten, bin ich auf Ihre Resultate gespannt ;) Bei mir stehen zunächst noch Fallunterscheidungen zu meinem ersten Strategieansatz mit höchstens 15 Rennen an...\(\endgroup\)
 

Re: Ranking von Rennpferden
von: cramilu am: Mo. 26. August 2019 09:47:18
\(\begingroup\)Zusätzlicher neuer Ansatz: Wenn man ab dem ersten Rennen ein bestimmtes Pferd "weiterkommen" lässt, könnte man so ggf. mit sechs Rennen nach und nach das Teilnehmerfeld in drei bis fünf Grüppchen unterteilen, von denen man jeweils wüsste, dass jedes Pferd des einen Grüppchens schneller sein muss als jedes Pferd eines anderen. Das hätte den Charme, dass, sobald man ab dem siebenten Rennen in einem der Grüppchen nur noch drei oder weniger bis dato unbestimmte Pferdchen hat, man im nächsten Rennen schon mal zwei oder mehr unbestimmte Gäule eines anderen Grüppchens mitlaufen lassen könnte...\(\endgroup\)
 

Re: Ranking von Rennpferden
von: haribo am: Di. 03. September 2019 11:27:40
\(\begingroup\)@cramilu, du könntest die aufgabe selber nochmal auf dem normalen weg als "neues" thema anlegen, (und evtl die bisherigen hiesigen komentare auch selber hineinkopieren?) danach könnte man diesen artikel sperren/löschen normaler weg wäre: - https://www.matheplanet.de/ - unter der überschrift "Aktion im Forum"(links) ... Beiträge in den Foren - im kasten "Beiträge aller Matheplanet-Foren" (oben) [Neues Thema anlegen] dann weiter mit auswahl [kombinatorik]...usw. haribo\(\endgroup\)
 

Re: Ranking von Rennpferden
von: cramilu am: Di. 03. September 2019 18:37:30
\(\begingroup\)Danke für den Hinweis, haribo - geschieht gerade! AN ALLE: Neue Beiträge bitte unter dem gleichen Titel bei KOMBINATORIK...\(\endgroup\)
 

 
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