Mathematik: Muster im Alltag
Released by matroid on Do. 29. August 2019 08:06:43 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\) Der Eine oder die Andere kennt möglicherweise den folgenden Gesprächsverlauf aus eigener Erfahrung. A: Was machst du beruflich/ studierst du/ ist dein Hobby? B: Mathematik A: Rechnen ist nicht so meins. B: Kann ich verstehen, aber Mathematik ist deutlich mehr als Rechnen. A: Inwiefern? B: Es geht hier eher um Mustererkennung. A: Ok. Sag mal ein einfaches Beispiel. B: Kein Problem. Damit es wirklich kein Problem ist, das Gespräch fruchtbar weiter zu führen, seien hier im Artikel zwei versteckte Beispiele aus dem Alltag genannt, die diese besondere Art der Wahrnehmung illustrieren.

Arten von Würfeln

Für das erste Beispiel sei zunächst die Frage gestellt, wieviele verschiedene Würfel gibt es, wenn man Material, Farbe, Größe, abgerundete Ecken (oder eben nicht) usw. außer Acht läßt und nur die Anordnung der Zahlen bzw. der Zahlenpunkte auf dem Würfel betrachtet. Natürlich gilt als Einschränkung, dass die Augensumme gegenüberliegender Seiten stets sieben ist, und es gilt auch nur die herkömmliche Anordnung der Augen auf jeder Seite. Diese Anordnung der Augen ist unter Drehung der entsprechende Seite um jeweils 90° für die Zahlen 1, 4 und 5 symmetrisch, für die Zahlen 2, 3 und 6 nicht. Die Auswahl der letzten drei Zahlen ist im Weiteren von Belang, mit \(2\cdot 3=6\) hat mein eine gute Eselsbrücke, sich diese zu merken. Die Asymmetrie dieser Zahlen bzw, der Lage ihrer Augen ist nun die Ursache für die verschiedenen Würfelarten. Interessant ist nun, dass sich ein Würfel stets so legen läßt, dass nicht nur drei Seiten sichtbar sind, sondern eben die Seiten mit den Augen der Zahlen 2, 3 und 6. Wir legen jetzt den Würfel so, dass die Sechs oben ist, also die Zwei bzw. die Drei an den Seiten. Damit können wir nun leicht die Anzahl der verschiedenen Würfelarten nach ihrer Anordnung der Augen berechnen: Es sind je zwei Orientierungen für die Zahlen möglich, sprich die Symmetrieachse für die 180°-Drehung kann auf zwei verschiedene Arten im Raum angeordnet sein. Desweiteren gibt es noch wegen der Fixierung der Sechs auf die obige Seite zwei Möglichkeiten der Anordnung der Zwei und der Drei, nämlich entweder rechts oder links. In summa macht das vier unabhängige Möglichkeiten der Anordnung besagter Zahlen, da jede Möglichkeit aus zwei Zuständen besteht, gibt es insgesamt \(2^4=16\) verschiedene Zustände bzw. Würfelarten. Im Laufe der letzten Jahre ist es mir gelungen, 10 dieser verschiedenen Würfel aufzutreiben, hier sind sie: Man erkennt hoffentlich gut, was ich zuvor mit "Lage" und "Symmetrieachse" gemeint habe. Wer einen der fehlenden sechs Würfel hat oder wer sogar alle 16 Würfel hat, poste gern dazu ein Bild.

Größe und Sortierung von Münzen

Das andere Beispiel betrifft die Münzen. Vielleicht hat es ja den einen oder die andere auch schon genervt, dass man beim Zusammenrechnen des Geldbetrages einer größeren Anzahl von Münzen diese nicht wirklich handlich halten kann. Entweder sortiert man sie der Größe nach mit Verlust der guten Durchzählbarkeit oder man sortiert sie nach ihren Beträgen, eben um sie besser durch zählen zu können, verliert aber die Handlichkeit. Das kann einen stören oder man geht der Sache mal auf den Grund. Bei den Umlaufmünzen haben wir zunächst drei Sätze zu je 3 Münzen, dies ist der kupferfarbene Satz der 1, 2 und 5-Cent-Münze, dann den Bronzesatz mit den 10, 20 und 50-Cent-Münzen und den Eurosatz mit der 1, 2 und 5 (nur in Frankreich) Euro-Münze. Den ersten Satz bezeichne ich mit L, den zweiten mit M, den dritten mit N (A, B, C wäre auf den ersten Blick vielleicht näherliegend, aber es gibt eben keine Buchstaben vor dem A; die Wahl L, M, N ist quasi ein ABC der Mitte, zudem gibt es die alte (volksetymologische?) Erklärung von elementum aus der Reihenfolge dieser drei Buchstaben). Die Unterscheidung pro Satz erfolgt nach der ersten Ziffer. Damit ist bspw. M5 die 50 Cent-Münze. Von der Größe her haben wir nun folgende Sortierung: ..., L2, M1, L5, M2, N1, M5, N2, ... Nun zum Muster: Die vollständige Sortierung der Grösse nach ergibt sich, wenn man neue Mixsätze aus je drei Münzen bildet. Dabei muss aus drei einander folgenden Sätzen je eine Münze genommen werden, u.z. aus dem kleinsten Satz die 5er Münze, aus dem mittleren Satz die 2er Münze und aus dem größten Satz die 1er Münze. Bei den Umlaufmünzen gibt es dafür nur einen vollständigen Mixsatz, nämlich L5, M2 und N1. D.h. Satz und Wertnummer sind gegenläufig, da dies designt wurde, kann man durchaus von einer Kontrafuge sprechen. In der Aufzählung oben habe ich bewusst die 1 Cent-Münze weggelassen, denn zuvor käme ja eigentlich noch K5, also die Halbcentmünze. Aus meiner Sicht ist dies ein weiterer Grund für die Abschaffung der 1 Cent-Münzen. Leider ist das Muster nicht auf die Sammlermünzen übertragen worden. Es gibt zwar Münzen mit Nennwert 5€, 10€ und mehr (bis 200€), und man kann die 5€ Münzen auch noch als N5 bezeichnen, da hier nun nach dem Wechsel von bronze- und silbrigfarbenem Kern/Ring bei N1 und N2, sowohl Kern als auch Ring silbrig (bzw. tatsächlich aus Silber) und trotzdem auch optisch getrennt sind, nämlich durch einen farbigen Polymerring. Entscheidend ist aber, dass nun eigentlich in der Mixsatz-Sortierung O1 kommen müsste, also die 10€ Münze und diese müsste kleiner sein als N5! Doch leider gibt es nicht nur verschiedene Größen der 10€ Münzen, sie sind auch noch alle größer als N5. Da diese Sammlermünzen meist von privaten Firmen hergestellt werden, gehe ich mal davon aus, dass den dortigen Designern das Größenmuster nicht in dieser Klarheit bekannt sein dürfte. Das ist insbesondere deshalb schade, weil es sonst nämlich einen zweiten und eventuell sogar dritten vollständigen Mixsatz hätte geben können.

Schluss

Im Bekanntenkreis macht man sich mit diesen und ähnlichen Vorträgen natürlich zum Nerd, also bitte vorsichtig verwenden :) Ansonsten, wie gesagt, würde mich interessieren, was ihr für Würfel oder gern auch was ihr für Alltagsmuster habt. In diesem Sinne viel Freude trunx (Jens Koch)
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"Mathematik: Muster im Alltag" | 5 Comments
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Re: Muster im Alltag
von: cramilu am: Do. 29. August 2019 12:06:28
\(\begingroup\)Na, Mahlzeit ;) Solche Artikel zeigen mir, dass ich hier goldrichtig bin! Über Würfel habe ich mir solche Gedanken noch nie gemacht. Bisher waren für mich lediglich exotische Formen und Beschriftungen interessant. Nun, da der Gedanke freigelassen wurde, muss ich natürlich unbedingt selber auch möglichst viele Sechserwürfel sammeln ;) Zu den Umlaufmünzen gilt, dass mit dem Nennwert grundsätzlich die Masse ansteigt. Die Dicke beträgt für alle "L"-Münzen einheitlich 1,67 mm, steigt danach bis zur 50-Cent-Münze an und verringert sich dann wieder. Für die Durchmesser sollte streng gelten: G[n+1]1L5>M2 sowie (N1\(\endgroup\)
 

Re: Muster im Alltag
von: LernenWollen am: Do. 29. August 2019 20:53:13
\(\begingroup\)Interessanter Beitrag! Allerdings glaube ich, dass insbesondere am ersten Beispiel der Eindruck entstehen könnte, Mathematik behandele keine wichtigen Problemstellungen. Beispiele vermag ich nicht zu leisten (Informatik-Student), allerdings kann ich mir sehr gut vorstellen, dass der Alltag eines Mathematikers relevantere Muster erarbeitet. Zumindest im zweiten Beispiel könnten Außenstehende einen Praxisbezug entdecken. Man denke an Versicherungen, Banken, Wissenschaft und sogar Unternehmensberatung. 😄 \(\endgroup\)
 

Re: Muster im Alltag
von: Gerhardus am: Sa. 31. August 2019 12:26:01
\(\begingroup\)Danke für den Artikel. Die Kombinationen des Spielwürfels finde ich reizvoll, die der Münzen weniger. Am Anfang steht ein Dialog mit der neugierig fragenden Person A, vermutlich bist du die antwortende Person B. Darf ich fragen, was aus Person A geworden ist? Hat sie deinen Vortrag überlebt oder ist sie davongelaufen? Du scheust Fragen, indem du sagst: "Kann ich verstehen..." Zum Schluss meinst du, dass du als Nerd erscheinst. Wegen deiner Gesprächsführung fürchte ich das auch. Laut Wikipedia ist ein Nerd ein „Sonderling“, ein an Spezialinteressen hängender Menschen mit sozialen Defiziten. Das heißt, du könntest für die Person A Interesse zeigen, sie fragen, um die Muster von A zu erkennen, um dann nachzuhaken und ihr Interesse für dein Thema zu wecken. \(\endgroup\)
 

Re: Muster im Alltag
von: Slash am: Sa. 31. August 2019 20:53:01
\(\begingroup\)Ich finde, der beste Weg jemanden im Smalltalk, also auf einer Party etc., für Mathematik zu begeistern sind Bilder - Fraktale zum Beispiel.\(\endgroup\)
 

Re: Muster im Alltag
von: Delastelle am: Di. 03. September 2019 00:42:00
\(\begingroup\)Hallo trunx! Es gibt auch runde Würfel die einigermaßen richtig funktionieren. Ich hatte mal einen. Es war ein Würfel mit den Zahlen 1 bis 6 mit einem Gegenstand im Inneren. Dieser Gegenstand im Inneren hat geholfen, dass eine richtige Seite nach dem Würfeln oben blieb (zumindest meistens). Viele Grüße Ronald\(\endgroup\)
 

 
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