In meiner nicht enden wollenden Artikelreihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" möchte ich mich dieses Mal mit dem erstaunlich komplexen physikalischen Phänomen des Dominoeffektes befassen, und zwar soll berechnet werden, mit welcher Geschwindigkeit sich das Umfallen der Dominosteine fortpflanzt. Vor langer Zeit gab es hier auf dem Matheplaneten schon einmal einen Thread zu dem Thema, der aber über ein paar anfängliche Überlegungen nicht hinaus kam. Also bestmögliche Voraussetzungen, um beim nächsten Mal, wenn jemand vom Dominoeffekt anfängt, mit Klugscheißerwissen zu glänzen!
Am Anfang der Überlegung steht die Frage, wie der Stoß von einem Dominostein zum nächsten in physikalischer Hinsicht überhaupt vonstatten geht. Das heißt, ist der Stoß "elastisch" oder "inelastisch"?
Wie ein paar einfache Berechnungen zeigen, die ich hier nicht vorführen möchte, würde jeder angestoßene Stein mit einer höheren Startgeschwindigkeit umkippen als der vorherige, wenn der Stoß voll elastisch wäre und wir Reibung zwischen den Steinen außer Acht lassen. Der anstoßende Stein bliebe nicht mit dem angestoßenen Stein in Kontakt, und aufgrund der schnell wachsenden Geschwindigkeit käme es recht bald zu einem Effekt, dass der angestoßene Stein den Kontakt zum Boden verliert, weil der übertragene Stoß so heftig ist, dass es ihn "aus den Latschen haut". Durch Berücksichtigung einer oberflächlichen Coulombschen Reibung zwischen den Steinen bei der Anstoßung bekommt man das zwar in den Griff, aber trotzdem widerspricht es der Erfahrung beziehungsweise auch den Zeitlupenaufnahmen von echten Dominostein-Ketten, wo jeder Stein zusammen mit den vorher umgefallenen eine Kette bildet.
Das lässt sich mathematisch fassen, wenn wir von einem komplett inelastischen Stoß ausgehen. Jeder Stein bleibt also mit seinem Vorgänger in Kontakt. Für die weiteren Berechnungen gehen wir außerdem davon aus, dass sich ein stationärer Zustand eingestellt hat. Jeder Stein fällt also genauso schnell wie der vorherige, was theoretisch erfordert, dass die schon umgefallene Kette aus unendlich vielen Steinen besteht. Nun ja, das ist ein ambitioniertes Ziel für den nächsten Domino-Day.
Die Steine seien rückwärts durchnummeriert. Der aktuell betrachtete Stein habe den Index null, der letzte davor die eins und so weiter.
Wir müssen zwei Vorgänge betrachten, nämlich den eigentlichen inelastischen Stoß, wodurch die fallende Kette etwas verlangsamt wird, weil ein Teil des Drehimpulses an den noch stehenden Stein abgegeben wird, und das eigentliche beschleunigte Fallen, also der Zuwachs an kinetischer Energie zulasten der potentiellen Energie.
Auch für den Abstand zwischen den Dominosteinen gelten gewisse Regeln. Offensichtlich darf der lichte Abstand zwischen den Steinen nicht größer sein als die Höhe des Steins. Aber auch wenn der fallende Stein den nächsten gerade noch "am Fuß kratzt", wird in der Realität der angestoßene Stein wohl eher nach hinten umfallen. Ein Umfallen nach vorne ist mit Sicherheit gewährleistet, wenn der Berührpunkt zwischen den Steinen irgendwo oberhalb des Schwerpunktes des stehenden Dominosteins liegt.
Zu dicht dürfen die Steine auch nicht stehen. Wenn der lichte Abstand zwischen den Steinen null ist, die Steine sich also alle gegenseitig berühren, passiert gar nichts. Aber auch bei einem so geringen Abstand, dass der Schwerpunkt des kippenden Steins beim Aufprall auf den Folgestein höher liegt als im senkrechten Stand, wird wohl keine Kettenreaktion entstehen, da keine potentielle Energie freigesetzt wird. Allerdings gibt es da eine überraschende Erkenntnis, auf die ich im letzten Kapitel noch gesondert eingehen werde. Desweiteren seien wie immer Reibung und Luftwiderstand vernachlässigbar.
2. Berechnung der Kippwinkel und Kippgeschwindigkeit innerhalb der Kette
Die Breite der Dominosteine quer zur Fallrichtung spielt für die Überlegungen keine Rolle. Von der Seite betrachtet habe der Stein die Höhe $h$ und die Dicke $b$. (Der Buchstabe $d$ für Dicke erscheint vielleicht passender, aber wenn man mit Differentialgleichungen hantiert, ist der Buchstabe $d$ als Variablenname häufig irreführend und nicht gut geeignet.)
Ein Dominostein habe die Masse $m$ und bezüglich seiner Kippkante das Trägheitsmoment $J$. Das Trägheitsmoment eines Quaders mit homogener Masseverteilung bezüglich einer Kippkante ist $J=\tfrac13m(h^2+b^2)$, aber das bietet leider keinerlei Vereinfachung in den folgenden Berechnungen. Es würde uns außerdem unnötig einschränken, denn beim Domino-Day zum Beispiel hatten die Steine keine homogene Massenverteilung im Quader, weil der Quader kein solcher war, sondern äußerliche Aushöhlungen aufwies.
Die Steine stehen im Abstand $a$ zueinander. Damit ist nicht das lichte Maß zwischen den Steinen gemeint, sondern der Abstand von Kippkante zu Kippkante.
Wir betrachten zwei Steine $k$ und $k+1$ in nachfolgender Skizze:
Die Strecke $BD$ habe die Länge $a$. Im Dreieck $ABC$ gilt wegen des Sinussatzes:
$$\frac{\sin(\varphi_{k+1}-\varphi_k)}{a-\frac b{\cos\varphi_k}}=\frac{\sin(\frac\pi2+\varphi_k)}h=\frac{\cos\varphi_k}h$$$$\sin(\varphi_{k+1}-\varphi_k)=\frac{\cos\varphi_k}h\left(a-\frac b{\cos\varphi_k}\right)=\frac{a\cos\varphi_k-b}h$$$$\varphi_{k+1}=\varphi_k+\arcsin\frac{a\cos\varphi_k-b}h$$Der Neigungswinkel eines weit zurückliegenden Steins lässt sich also nur rekursiv berechnen. Es ist
$$\lim_{k \rightarrow \infty}\varphi_k=\varphi_{\max}=\arccos\frac ba$$Wenn die Reihe nun in der Fallbewegung ist, dann bewegen sich alle schon gefallenen Steine abwärts - wenn auch um so langsamer, je weiter weg der betrachtete Stein vom aktuellen Geschehen ist. Die Winkelgeschwindigkeit $\omega_k=\frac{\mathrm d\varphi_k}{\mathrm dt}$ ist dann:
$$\omega_{k+1}=\omega_k+\omega_k\frac{-a\sin\varphi_k}{h\sqrt{1-\left(\frac{a\cos\varphi_k-b}h\right)^2}}$$$$\omega_{k+1}=\omega_k\left(1-\frac{a\sin\varphi_k}{\sqrt{h^2-(a\cos\varphi_k-b)^2}}\right)$$Auch die Winkelgeschwindigkeit eines Steins lässt sich daher nur rekursiv berechnen. $\omega_k$ stellt eine Nullfolge dar, die für $k\rightarrow\infty$ annähernd zu einer geometrischen Folge wird. Das ist nützlich für die spätere numerische Berechnung. Für den Grenzwert des Faktors gilt:
$$\lim_{k \rightarrow \infty}\left(1-\frac{a\sin\varphi_k}{\sqrt{h^2-(a\cos\varphi_k-b)^2}}\right)=1-\frac{\sqrt{a^2-b^2}}h$$Man kann nun in kompakter Schreibweise $\omega_k$ auf die Winkelgeschwindigkeit des nullten Steins $\omega_0$ zurückführen:
$$\omega_k=\omega_0\prod_{i=0}^{k-1}\left(1-\frac{a\sin\varphi_i}{\sqrt{h^2-(a\cos\varphi_i-b)^2}}\right)$$
3. Berechnung von Drehimpuls, kinetischer und potentieller Energie
Da sich alle gefallenen Steine immer nur im Verbund bewegen, ist es notwendig, die Summen aller Drehimpulse, kinetischer und potentieller Energien zu betrachten, denn die Summe bestimmt aufgrund der gegenseitigen Abhängigkeit, wie schnell der "Stein null" fällt.
Der Gesamtdrehimpuls aller Steine ist:
$$L=J\sum_{k=0}^\infty\omega_k=J\omega_0\sum_{k=0}^\infty\left[\prod_{i=0}^{k-1}\left(1-\frac{a\sin\varphi_i}{\sqrt{h^2-(a\cos\varphi_i-b)^2}}\right)\right]$$Wir definieren als Abkürzung die Funktion
$$\Sigma_1(\varphi_0)=\sum_{k=0}^\infty\left[\prod_{i=0}^{k-1}\left(1-\frac{a\sin\varphi_i}{\sqrt{h^2-(a\cos\varphi_i-b)^2}}\right)\right]$$so dass gilt:
$$L(\varphi_0,\omega_0)=J\omega_0\Sigma_1(\varphi_0)$$Keine Panik, wir werden nicht all zu viel mit dieser Funktion zu tun haben, das überlassen wir dem Computer. Sinngemäß das Gleiche tun wir für die kinetische Energie:
$$E_{\text{kin}}=\frac12J\sum_{k=0}^\infty\omega_k^2=\frac12J\omega_0^2\sum_{k=0}^\infty\left[\prod_{i=0}^{k-1}\left(1-\frac{a\sin\varphi_i}{\sqrt{h^2-(a\cos\varphi_i-b)^2}}\right)^2\right]$$Also fast das gleiche wie oben, nur mit quadrierten Faktoren und Winkelgeschwindigkeiten, und konsequenterweise definieren wir als Abkürzung
$$\Sigma_2(\varphi_0)=\sum_{k=0}^\infty\left[\prod_{i=0}^{k-1}\left(1-\frac{a\sin\varphi_i}{\sqrt{h^2-(a\cos\varphi_i-b)^2}}\right)^2\right]$$so dass gilt:
$$E_{\text{kin}}(\varphi_0,\omega_0)=\frac12J\omega_0^2\Sigma_2(\varphi_0)$$Last, but not least: die Summe der potentiellen Energie. Die Höhe des Schwerpunktes eines Dominosteins über der Ebene ist $\frac12h\cos\varphi_k+\frac12b\sin\varphi_k$. Für $k\rightarrow\infty$ geht diese Höhe allerdings nicht gegen null. Damit die Höhen eine Nullfolge bilden, was Voraussetzung ist, damit man die potentielle Energie der unendlich langen Kette berechnen kann, muss man die potentielle Energie auf den tiefsten zu erreichenden Punkt für den Schwerpunkt des Dominosteins beziehen. Das ist $$\frac12h\cos\varphi_{\max}+\frac12b\sin\varphi_{\max}$$so dass definiert wird:
$$E_{\text{pot}}(\varphi_0)=\frac12mg\sum_{k=0}^\infty\left(h\cos\varphi_k-h\cos\varphi_{\max}+b\sin\varphi_k-b\sin\varphi_{\max}\right)$$
4. Berechnung der Winkelgeschwindigkeiten vor und nach dem Stoß
Wie vorher schon einmal gesagt, müssen wir zwei Vorgänge betrachten: den Stoß und das Fallen. Nachfolgend kennzeichnen die Indizes $v$ und $n$ jeweils die Winkelgeschwindigkeiten "vor" und "nach" dem Stoß.
Stoßvorgang
Da wir von einem stationären Vorgang ausgehen, vollführt jeder Stein die gleiche Bewegung in der gleichen Geschwindigkeit wie der vorherige Stein einen Zyklus vorher. Bisher wurden die Formeln immer für einen allgemeinen Winkel $\varphi_0$ des nullten Steins angegeben. Jetzt betrachten wir dagegen den Moment des Stoßes, so dass $\varphi_0=0$ ist. Es gilt daher für den Gesamtdrehimpuls:
$$J\omega_{1v}\Sigma_1(\varphi_1)+J\omega_{0v}=J\omega_{0n}\Sigma_1(0)$$mit
$$\varphi_1=\arcsin\frac{a-b}h$$Außerdem ist die Geschwindigkeit des nullten Steins vor dem Stoß natürlich $\omega_{0v}=0$, so dass
$$\omega_{1v}\Sigma_1(\varphi_1)=\omega_{0n}\Sigma_1(0)$$Das sieht doch schön einfach aus! Aber es wird noch besser. Wir erinnern uns, dass die Funktion $\Sigma_1$ rekursiv definiert ist. Sei
$$f_k=1-\frac{a\sin\varphi_k}{\sqrt{h^2-(a\cos\varphi_k-b)^2}}$$Dann ist
$$\Sigma_1(\varphi_0)=1+f_0+f_0f_1+f_0f_1f_2+f_0f_1f_2f_3+\dots$$$$\Sigma_1(\varphi_0)=1+f_0\left(1+f_1+f_1f_2+f_1f_2f_3+\dots\right)$$$$\Sigma_1(\varphi_0)=1+f_0\Sigma_1(\varphi_1)$$Und obendrein ist für $\varphi_0=0$ auch noch $f_0=1$, so dass
$$\omega_{1v}\left(\Sigma_1(0)-1\right)=\omega_{0n}\Sigma_1(0)$$gilt. Wir benötigen also nur den Funktionswert der Funktion $\Sigma_1$ beim Winkel null, den wir wie folgt abkürzen:
$$\sigma_1=\Sigma_1(0)$$Somit gilt:
$$\omega_{1v}(\sigma_1-1)=\omega_{0n}\sigma_1$$
Fallvorgang
Der Stein "0" hat sich nun mit der Geschwindigkeit $\omega_{0n}$ in Bewegung gesetzt. Aufgrund der Tatsache, dass jetzt kinetische Energie hinzugewonnen wird, weil die Steine ja kippen, steigt seine Winkelgeschwindigkeit, bis er am Folgestein ankommt. Seine Geschwindigkeit muss dann wiederum der Geschwindigkeit entsprechen, die der Stein 1 unmittelbar vor dem Aufprall auf ihn selbst hatte. Wie viel potentielle Energie wird aber nun konkret freigesetzt? Das lässt sich recht einfach berechnen, auch ohne die oben angegebene Formel:
Betrachten wir ein Standbild der Kette der gefallenen Dominosteine im Moment des Stoßes: Stein "0" steht senkrecht, Stein "1" lehnt an "0", "2" an "1" und so weiter. Im weiteren Verlauf des Fallens trägt jeder Stein durch Verlust von individueller, potentieller Energie zur gesamten kinetischen Energie bei. Wenn der Stein "0" am nächsten Stein ankommt, hat sich sein Schwerpunkt hinab bewegt auf das Niveau, wo im Moment des Stoßes Stein "1" war, "1" hat sich zum Niveau von Stein "2" bewegt, und so weiter. Das heißt, dass die Gesamtsumme der freigewordenen potentiellen Energie dem entspricht, als wenn sich genau ein Stein aus der senkrechten in die "finale Endlage" mit dem Winkel $\varphi_{\max}$ bewegt hätte, da wir ja eine unendlich lange Kette annehmen. Daraus folgt:
$$\frac12J\omega_{0n}^2\Sigma_2(0)+mg\cdot\frac12h=\frac12J\omega_{1v}^2\Sigma_2(\varphi_1)+mg\left(\frac12h\cos\varphi_{\max}+\frac12b\sin\varphi_{\max}\right)$$Formel für $\varphi_{\max}$ einsetzen, und ein wenig aufräumen und vereinfachen:
$$\omega_{0n}^2\Sigma_2(0)+\frac{mg}{Ja}\left(h(a-b)-b\sqrt{a^2-b^2}\right)=\omega_{1v}^2\Sigma_2(\varphi_1)$$Auch hier kann man die gleichen Überlegungen zur Funktion $\Sigma_2$ anstellen wie oben zu $\Sigma_1$, denn die Definition ist praktisch identisch, nur dass die Faktoren $f_k$ quadriert werden. Es gelte
$$\sigma_2=\Sigma_2(0)$$und infolgedessen:
$$\omega_{0n}^2\sigma_2+\frac{mg}{Ja}\left(h(a-b)-b\sqrt{a^2-b^2}\right)=\omega_{1v}^2(\sigma_2-1)$$Nun setzen wir die Gleichung von oben ein und können die Winkelgeschwindigkeit des Steins "0" unmittelbar nach dem Stoß berechnen:
$$\omega_{1v}=\frac{\sigma_1}{\sigma_1-1}\omega_{0n}$$$$\omega_{0n}^2\sigma_2+\frac{mg}{Ja}\left(h(a-b)-b\sqrt{a^2-b^2}\right)=\omega_{0n}^2\frac{\sigma_1^2}{(\sigma_1-1)^2}(\sigma_2-1)$$$$\frac{\omega_{0n}^2}{(\sigma_1-1)^2}\left(\sigma_1^2(\sigma_2-1)-\sigma_2(\sigma_1-1)^2\right)=\frac{mg}{Ja}\left(h(a-b)-b\sqrt{a^2-b^2}\right)$$$$\frac{\omega_{0n}^2}{(\sigma_1-1)^2}\left(2\sigma_1\sigma_2-\sigma_1^2-\sigma_2\right)=\frac{mg}{Ja}\left(h(a-b)-b\sqrt{a^2-b^2}\right)$$Und damit letztlich:
$$\omega_{0n}=(\sigma_1-1)\sqrt{\frac{mg\left(h(a-b)-b\sqrt{a^2-b^2}\right)}{Ja\left(2\sigma_1\sigma_2-\sigma_1^2-\sigma_2\right)}}$$
5. Berechnung der mittleren Fortpflanzungsgeschwindigkeit
Um die Fortpflanzungsgeschwindigkeit zu berechnen, müssen wir die Dauer des Fallvorgangs $T$ bestimmen. Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit ist dann einfach der Abstand $a$ geteilt durch die Dauer $T$.
Wir haben die Start-Winkelgeschwindigkeit des nullten Steins berechnet. Die Gesamtenergie in der Kette der umgefallenen Steine bleibt während des Fallens konstant und sei $E$. Dann ist:
$$E=\frac12J\omega_{0n}^2\sigma_2+E_{\mathrm{pot}}(0)=\text{konstant}$$Zu jedem beliebigen Zeitpunkt danach gilt:
$$E=\frac12J\left(\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dt}\right)^2\Sigma_2(\varphi)+E_{\mathrm{pot}}(\varphi)$$wobei hier mit $\varphi$ natürlich eigentlich $\varphi_0$, also die Winkelgeschwindigkeit des nullten Steins gemeint ist. Daraus folgt:
$$\frac{2\left(E-E_{\mathrm{pot}}(\varphi)\right)}{J\Sigma_2(\varphi)}=\left(\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dt}\right)^2$$und letztlich
$$T=\intop_0^{\arcsin\frac{a-b}{h}}\sqrt{\frac{J\Sigma_2(\varphi)}{2\left(E-E_{\mathrm{pot}}(\varphi)\right)}}\;\mathrm d\varphi$$
6. Gültigkeitsgrenzen und ein (scheinbares) Paradoxon
Ich hatte im Kapitel 1 schon Einschränkungen bezüglich der Minimal- und Maximalwerte des Abstands $a$ angekündigt. Das möchte ich nachfolgend konkret berechnen. Wikipedia verrät uns, dass bei den von dem Fernsehsender RTL produzierten und übertragenen Domino-Day-Events Steine mit dem Maßen 48mm x 24mm x 7mm verwendet wurden. Die nachfolgenden Diagramme beruhen auf diesen Maßen, die Steine wurden als Vollquader mit homogener Masseverteilung angenommen.
Mindestabstand
Als Kriterium des Mindestabstands hatte ich angegeben, dass ein Stein mindestens so weit kippen sollte, dass sein Schwerpunkt noch vor dem Aufschlag auf den nächsten Stein eine tiefere Lage eingenommen hat als im senkrechten Stand, weil er ja sonst (augenscheinlich) keinen Energiebeitrag leistet. Siehe folgende Skizze:
Sei $\alpha$ der Winkel von der Kippkante zum Schwerpunkt gegen die Senkrechte, dann gilt:
$$\alpha=\arctan\frac bh$$Wenn der Schwerpunkt nach dem Kippen wieder gleich hoch liegen soll, muss der Stein um den Winkel $\varphi=2\alpha$ kippen. Daraus folgt:
$$\arcsin\frac{a-b}h=2\arctan\frac bh$$$$\frac{a-b}h=2\sin\left(\arctan\frac bh\right)\cos\left(\arctan\frac bh\right)$$$$a=b\left(1+\frac2{1+\frac{b^2}{h^2}}\right)$$Man erkennt schon an der Skizze und auch an der Formel, wenn man $b$ klein werden lässt im Verhältnis zu $h$, dass
$$a\approx 3b$$ gilt. Der genau Wert bei obigem Zahlenbeispiel ist $a=20\mathord,708\text{mm}$. Das ist ganz schön weit entfernt und entspricht auch nicht der praktischen Erfahrung, dass man Steine sehr viel enger stellen kann und der Domino-Effekt trotzdem funktioniert. Die Animation zu Beginn des Artikels beruht auf einem Wert von $a=20\text{mm}$.
Das erscheint auf den ersten Blick paradox. Tatsächlich muss man die gesamte potentielle Energie der gekippten Steine betrachten, und nicht die des einzelnen Steins. Wir haben oben die Gleichung für $\omega_{0n}$ hergeleitet. Dort ist ja die Summe der potentiellen Energie eingeflossen, und offensichtlich muss der Radikand größer oder gleich null sein, um eine reelle Winkelgeschwindigkeit zu erhalten. Das bedeutet, dass eigentliche Kriterium für den Mindestabstand lautet:
$$h(a-b)-b\sqrt{a^2-b^2}\geq0$$$$h\sqrt{a-b}-b\sqrt{a+b}\geq0$$$$h^2(a-b)\geq b^2(a+b)$$$$a\geq b\frac{1+\frac{b^2}{h^2}}{1-\frac{b^2}{h^2}}$$Das ist wiederum ein recht überraschendes Ergebnis, denn dieser Wert liegt für kleine Verhältnisse von $b$ zu $h$ nur sehr knapp über $b$, hier konkret bei $a=7\mathord,304\text{mm}$, was daher nur einen lichten Abstand von knapp über 0,3mm bedeutet. Das ist so dicht, dass es ohne technische Hilfsmittel für menschliche Finger unmöglich sein dürfte, die Dominosteine dementsprechend aufzustellen. Bei einem noch geringeren Abstand würde jeder noch so schwungvolle Anstoß der Dominokette zum Stillstand kommen, weil die anfängliche kinetische Energie nach und nach aufgebraucht wird.
Höchstabstand
Bei der Berechnung des höchstmöglichen Abstandes muss man unterscheiden zwischen der realen Physik und der Mathematik. Mathematisch kann die Kette an Dominosteinen auch dann noch funktionieren, wenn der anstoßende Stein den Nachfolger nur am Fuß kratzt, wie es oben schon einmal ausgedrückt habe, weil in obigen Berechnungen einfach davon ausgegangen wird, dass der Stein nur um die vorgegebene Kante kippen kann. In der Realität steht der Stein nur lose auf dem Untergrund und ließe sich relativ leicht verschieben, oder er würde sogar rückwärts umkippen. Beide Grenzen möchte ich nachfolgend berechnen.
Zunächst zur "mathematischen" Obergrenze. Der Winkel $\varphi_1$, unter dem ein Stein auf den noch stehenden Nachfolger trifft, kann, wenn $a=h+b$ ist, maximal 90° betragen. Gleichzeitig gilt in diesem Fall aber auch für den maximalen Kippwinkel $\varphi_{\max}=\arccos\frac b{h+b}<\varphi_1$. Dann würden sich die hergeleiteten Formeln widersprechen. Tatsächlich muss $\varphi_1\leq \varphi_{\max}$ gelten. Berechnen wir das entsprechende $a_{\max}$ durch Gleichsetzung:
$$\arcsin\frac{a-b}h=\arccos\frac ba$$$$\frac{a-b}h=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$$$$\frac{(a-b)^2}{h^2}=\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{(a-b)(a+b)}{a^2}$$Die triviale Lösung $a=b$ interessiert uns hier nicht, so dass wir durch $(a-b)$ teilen:
$$\frac{a-b}{h^2}=\frac{a+b}{a^2}$$$$a^3-ba^2-h^2a-h^2b=0$$Die kubische Gleichung hat im vorliegenden Beispiel drei reelle Lösungen, zwei negative und eine knapp unter $h+b$ bei $a=54\mathord,604\text{mm}$. Durch Anwendung der Newtonschen Formel erhält man beim Startwert $a=h+b$ die recht gute Näherung
$$a_{\max}\approx h+b-\frac{hb^2}{2h^2+4hb+b^2}$$Tatsächlich knickt die numerische Berechnung an diesem Wert ein und spuckt für größere Werte von $a$ kein Ergebnis mehr aus.
Für die "realistische" Obergrenze betrachten wir folgende Skizze:
Der kippende Stein trifft auf den Folgestein mindestens auf der Höhe des Schwerpunktes, wenn gilt:
$$a-b=\frac{\sqrt3}2h$$so dass wir einschränken:
$$a_{\max}=b+\frac{\sqrt3}2h$$was hier einem Wert von $48\mathord,569\text{mm}$ entspricht.
In den nachfolgenden Diagrammen sind die zulässigen Bereiche für $a$ in blau und die unzulässigen in rot dargestellt:
Die Kippzeit, aufgetragen über $a$, zeigt ein interessantes Verhalten. Unterhalb von etwa 7,641mm steigt die Kippzeit gegen unendlich, wenn sich $a$ der Polstelle bei 7,304mm nähert. Dabei scheint es, wenn man die Kurve nur für den Bereich größer 8mm betrachtet, als würde sie für kleinere $a$ auf $(0,0)$ hinauslaufen. Die minimale Kippzeit beträgt knapp über 2ms, und es würden maximal 497 Steine pro Sekunde umfallen. Das finde ich erstaunlich viel.
Dieses Verhalten führ dazu, dass es ein Maximum der mittleren Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Dominokette gibt. Im vorliegenden Fall liegt das Geschwindigkeitsmaximum bei 3,818m/s für ein optimales $a=7,719\text{mm}$, es kippen etwa 494 Steine pro Sekunde. Auch dieser Abstand zwischen den Dominosteinen von nur knapp über 0,7mm ist für menschliche Hände und Augen wohl nicht machbar, so dass man unter realistischen Bedingungen das Ergebnis wie folgt zusammenfassen kann: "je dichter, desto schneller".
Der Sender RTL hat übrigens für den Herbst 2020 eine Neuauflage des Events angekündigt.
Umwerfende Grüße,
Thomas
(MontyPythagoras)
\(\begingroup\)Guten Tag, Thomas,
ohne alles bis ins einzelne durchstudiert zu haben, bin ich sehr beeindruckt von Deinen Kenntnissen und Gedanken und ihrer mathematischen Realisierung.
Danke und herzliche Grüße,
Hans-Jürgen\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Thomas,
auch von mir vielen Dank für den Artikel. Der Wert von "es kippen etwa 494 Steine pro Sekunde" scheint wohl nur auf den ersten Blick hoch, denn eine Sekunde ist doch "recht lang" und wenn man Aufnahmen sieht von realen Versuchen, bewegen sich die Wellen recht flott über die Kette. Natürlich könnte man das mal "unter Laborbedingungen" nachmessen :)
Grüße
Gerhard/Gonz\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Danke Euch allen für die freundlichen Kommentare.
@gonz: 494 Dominosteine sind es ja auch nur beim hypothetischen Geschwindigkeitsmaximum. Ich weiß nicht genau, in welchem Abstand die Dominosteine bei diesen Events aufgestellt werden, vermutlich variiert der Abstand auch. Ich würde aber schätzen, dass die Abstände bei grob der halben Höhe, also 24mm liegen. Da liegen wir dann schon nur noch bei rund 75 Steine pro Sekunde und einer Geschwindigkeit von etwa 1,8 m/s, was schon einigermaßen plausibel erscheint. Dazu kommt, dass ich oberflächliche Reibung vernachlässigt habe, die das ganze sicher noch einmal spürbar verlangsamen würde.
Ciao,
Thomas\(\endgroup\)
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