Stern Mathematik: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
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Mathematik

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Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle

Ist $0$ eine natürliche Zahl? Wieso ist $1$ keine Primzahl? Was ist $0^0$? Was ist eine Basis des trivialen Vektorraumes? Wieso ist der triviale Ring ein Ring mit Eins, aber kein Körper? Ist der leere Raum zusammenhängend? Sollten wir den leeren Graphen zulassen? Welche Dimension hat die leere Mannigfaltigkeit? Was ist der Grad des Nullpolynoms? Was ist die freie Gruppe auf der leeren Menge? Wieviele Orientierungen hat ein Punkt?

Solche und ähnliche Fragen über triviale Fälle werden in diesem Artikel beantwortet. Dabei streifen wir verschiedene Gebiete der Mathematik. Das wiederkehrende Motiv lautet hierbei, dass es sich um keine Konventionen handelt, sondern die Definitionen (wenn man sie denn richtig formuliert) die trivialen Fälle bereits mit abdecken. Sie brauchen also tatsächlich gar keine Sonderbehandlung, auch wenn das in manchen Quellen suggeriert wird, ja sogar zu uneinheitlichen Konventionen geführt hat.

Ein anderes wiederkehrendes Motiv ist, dass es tatsächlich sinnvoll ist, triviale Fälle mit einzuschließen (wenn sie nicht gerade zu einfach sind, um einfach zu sein), auch wenn sie zunächst nicht wirklich interessant erscheinen und manchmal der (falsche) Eindruck entsteht, dass sie nicht in die allgemeine Theorie passen. Tatsächlich würde der Ausschluss von trivialen Fällen die Mathematik unnötig kompliziert machen. Man stelle sich einen Würfel vor, der die Mathematik repräsentiert: wir würden doch nicht seine Ecken abschneiden, nur weil ihre Koordinaten langweilig sind. Zudem würde sich ein eckenloser Würfel nicht mehr aus kleineren eckenlosen Würfeln zusammensetzen.

Dieser Artikel ist sehr stark motiviert durch und angelehnt an die Diskussion MO/45951 auf mathoverflow. Außerdem habe ich noch einige Beispiele ergänzt, die mir über den Weg gelaufen sind. Wenn ihr weitere passende Beispiele habt, postet sie gerne in die Kommentare.



Grundsätzliches

Es gibt einige allgemeine Gründe, triviale Fälle nicht auszuschließen, sofern die Definitionen nichts Gegenteiliges bedingen, die Pietro Majer bei MO/45951 genannt hat:

Man weiß manchmal nicht, ob ein Objekt trivial ist

Manchmal arbeitet man mit mathematischen Objekten, von denen a priori gar nicht klar ist, ob sie trivial sind oder nicht. Das passiert insbesondere dann, wenn man zwar mit nicht-trivialen Objekten gestartet ist, dann aber eine nicht-triviale Operation mit ihnen ausführt. Zum Beispiel kann der Durchschnitt von zwei nicht-leeren Untergraphen eines Graphen durchaus leer sein (ohne dass wir es, etwa bei einer ganz allgemeinen Betrachtung, wissen können). Die Faser eines Elementes unter einer Abbildung könnte leer sein (wieder ohne dass wir es direkt wissen können). Das Tensorprodukt von zwei nicht-trivialen abelschen Gruppen kann auch durchaus trivial sein.

Es wäre müßig, diese Operationen auf solche Fälle einzuschränken, bei denen das Ergebnis nicht-trivial ist. Es ist viel bequemer, diese Operationen durchführen zu können, ohne sich ständig Gedanken darüber machen zu müssen, ob die Resultate trivial sind oder nicht. Dies gilt vor allem dann, wenn es sich lediglich um Zwischenschritte einer längeren Untersuchung handelt. Dasselbe gilt dann auch für die Formulierung von mathematischen Sätzen. Hier ist am elegantesten, so wenig Fallunterscheidungen wie möglich zu haben.

Man kann diese Sachverhalte auch im Rahmen der Kategorientheorie ausdrücken: wenn man ein initiales (oder finales) Objekt in einer Kategorie hat, ist es keine gute Idee, es aus der Kategorie zu entfernen, weil dadurch auch andere Kolimites (oder Limites) nicht mehr existieren müssen.

Triviale Objekte sind Bausteine von sehr interessanten Objekten

Am einfachsten sieht man dieses Prinzip wohl bei den natürlichen Zahlen. Wir starten mit der natürlichen Zahl $0$ (mehr dazu weiter unten) und benutzen die Nachfolgerfunktion $S(x) := x+1$, um schrittweise die anderen natürlichen Zahlen $1,2,3,\dotsc$ zu bilden. Selbst wenn wir uns nicht so sehr für die $0$ als solche interessieren, ist sie dennoch der Grundbaustein für alle natürlichen Zahlen.

Wenn man schon etwas in die Kategorientheorie eingestiegen ist, wird man außerdem bemerkt haben, dass initiale Objekte in vielen Kategorien nicht besonders interessant sind und oftmals eher trivial sind (etwa die triviale Gruppe in der Kategorie der Gruppen). Allerdings sind initiale Objekte in geeigneten Hilfskategorien tatsächlich alles mögliche, was sich durch eine universelle Eigenschaft kennzeichnen lässt (Tensorprodukte, Quotientenräume, adjungierte Funktoren, freie Gruppen, uvm.). Zum Beispiel ist die freie Gruppe $F(S)$ auf einer Menge $S$ ein initiales Objekt in der Kategorie der Paare $(G,\alpha)$ bestehend aus einer Gruppe $G$ und einer Abbildung $\alpha : S \to |G|$.

Triviale Objekte als Induktionsanfang

Dieser Punkt ist eng mit dem vorigen verwandt. Wenn man eine vollständige Induktion durchführt, hat man es oftmals beim Induktionsanfang mit einem relativ trivialen Objekt zu tun, sodass der Beweis einfach ausfällt.

Wenn man etwa zeigen möchte, dass jeder endlich-erzeugte Vektorraum eine Basis hat, kann man eine Induktion nach der Anzahl $n$ der Erzeuger durchführen und tatsächlich den Induktionsanfang mit $n=0$, also dem trivialen Vektorraum starten.

Ein Beispiel aus der Algebra: dass jede Gruppe der Ordnung $p^n q$ mit Primzahlen $p,q$ auflösbar ist, kann man induktiv zeigen, und der Induktionsanfang ist tatsächlich $n=0$.

Ein Beispiel aus der Topologie: Wenn man die Homologie der $n$-Sphäre $S^n = \{x \in \IR^{n+1} : |x|=1\}$ berechnen möchte, kann man für den Induktionsschritt allgemeine Rechenregeln für die Homologie einer Einhängung verwenden und im Induktionsbeginn die triviale $0$-Sphäre $S^0 = \{\pm 1\}$ betrachten, was dann relativ einfach funktioniert. Wenn man den Induktionsanfang bei $n=1$ startet und die interessantere Kreislinie $S^1 \subseteq \IR^2$ betrachtet, hat man tatsächlich mehr Arbeit.


Arithmetik

Die Null ist eine natürliche Zahl

Die Null hat eine ziemlich lange Geschichte in der Mathematik. Es hat Jahrhunderte gedauert, bis die Null überhaupt als eine echte Zahl angesehen worden ist. Aber bis heute gibt es leider unter Mathematiker*innen keinen vollständigen Konsens darüber, ob $0$ eine natürliche Zahl ist oder nicht, und entsprechend ob $0 \in \IN$ oder nicht. Die fehlende Einheitlichkeit sorgt dafür, dass viele Autor*innen zu Beginn ihrer Veröffentlichungen erst einmal erklären müssen, was mit $\IN$ (bzw. $\IN_0$, $\IN^+$ usw.) gemeint ist, was ziemlich umständlich ist. Es ist aber tatsächlich sinnvoll, und so werden wir es hier handhaben, $\IN$ einheitlich als

$\IN = \{0,1,2,\dotsc\}$

bzw. genauer gesagt als die kleinste induktive Menge festzulegen und $\IN^+$ entsprechend als die Teilmenge $\{1,2,3,\dotsc\}$. Das ist übrigens auch die DIN-Norm 5473.

Ein wesentlicher Grund dafür, $0$ als natürliche Zahl anzusehen, ist dass es bequem ist, ein neutrales Element für die Addition $+$ zu haben, also dass $(\IN,+,0)$ ein Monoid ist. Tatsächlich ist $(\IN,+,0,*,1)$ ein Halbring, vielleicht das grundlegendste Beispiel aller algebraischen Strukturen, mit dem wir jeden Tag zu tun haben. Warum sollten wir aus dieser Struktur das neutrale Element der Addition entfernen? Oder warum sollten wir $\IN_0$ anstelle von $\IN$ schreiben, was ja suggerieren würde, dass $\IN_0$ irgendetwas Besonderes im Gegensatz zu $\IN$ ist?

Natürlich gibt es einige Bereiche der Mathematik, insbesondere die Zahlentheorie, in denen $\IN^+$ bzw. genauer gesagt das multiplikative Monoid $(\IN^+,*,1)$ eine wichtigere Rolle als $\IN$ spielen kann, aber das scheint insgesamt eher die Ausnahme zu sein.

Außerdem, und das werden wir teilweise im Verlauf des Artikels noch sehen, funktionieren viele Konstruktionen für natürliche Zahlen insbesondere für die $0$, Induktionsanfänge können meistens bei $0$ starten, und in verschiedenen Definitionen mit natürlichen Zahlen ist es praktisch, die $0$ zu erlauben.

Potenzen mit Null

Es liegt nahe, $x^0:=1$ für alle reellen oder komplexen Zahlen $x$ zu definieren. (Allgemeiner kann man dies für alle Elemente eines beliebigen multiplikativen Monoids festlegen.) Wir möchten zum Beispiel, dass die Identitäten

$x^n x^m = x^{n+m} \\
\displaystyle (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k} \\
\displaystyle \exp(x)=\sum_{n=0}^{\infty} x^n/n!$

ohne irgendeine Ausnahme gelten (also insbesondere für $x=0$). Der Spezialfall $x=0$ muss nicht extra behandelt werden. Insbesondere gilt also auch

$0^0=1$

gemäß der allgemeinen Definition $x^0:=1$. Zwar gibt es einige Argumente aus der Analysis, $0^0$ als $0$ zu definieren (zum Beispiel wegen $0^y=0$ für $y \neq 0$ und dem Wunsch nach Stetigkeit), aber das würde die genannten Identitäten kaputtmachen und andere Argumente aus der Analysis legen wiederum nahe, $0^0$ als $1$ zu definieren, weswegen wir uns davon nicht in die Irre leiten lassen sollten. (Außerdem ist es nicht verallgemeinerbar auf beliebige Monoide.)

Eine andere Möglichkeit, $x^y$ für natürliche Zahlen $x,y$ (allgemeiner für Kardinalzahlen) zu definieren, ist als die Anzahl der Elemente der Menge der Abbildungen $[y] \to [x]$, wobei $[y]$ eine Menge mit $y$ Elementen sei. Für $y=0$ ist $[y]$ also die leere Menge. Die leere Menge lässt nun in jede andere Menge genau eine Abbildung zu (siehe Abschnitt 'Mengenlehre und Logik'), sodass aus der Definition $x^0 = 1$ folgt (auch für $x=0$, das ist nur ein Spezialfall).

Leere Produkte und Summen

Ganz ähnlich ergibt die Definition des leeren Produktes

$\displaystyle\prod_{i \in \emptyset} x_i := 1$

als Rekursionsanfang für die rekursive Definition des Produktes $\prod_{i \in I} x_i$ (für endliche Mengen $I$) Sinn. Es ist auch die einzige Wahl, damit die Identität

$\displaystyle\prod_{i \in I} x_i \cdot \prod_{i \in J} x_i = \prod_{i \in I \sqcup J} x_i$

allgemein besteht. Im Falle von natürlichen Zahlen (oder allgemeiner Kardinalzahlen) können wir auch die Definition über die Kardinalität des kartesischen Produktes nehmen.

Aus der Definition des leeren Produktes ergibt sich zum Beispiel, dass die Zahl $1$ eine Primfaktorzerlegung hat, nämlich die leere ohne einen Primfaktor. Man erhält außerdem auch

$\displaystyle 0! = \prod_{i \in \emptyset} i = 1$

als Folgerung aus der allgemeinen Definition

$\displaystyle n! := \prod_{i \in \{1,\dotsc,n\}} i.$

Eine andere Erklärung für $0! = 1$ ist, dass die symmetrische Gruppe auf $\emptyset$ die triviale Gruppe ist und allgemein die symmetrische Gruppe auf $[n]$ genau $n!$ Elemente hat (was sogar als strukturelle Definition von $n!$ dienen könnte).

Ganz ähnlich ist die leere Summe per Definition

$\displaystyle\sum_{i \in \emptyset} x_i := 0.$

Größte gemeinsame Teiler

Für $x \in \IZ$ gilt

$\mathrm{ggT}(x,0)=x.$

Das ergibt sich direkt aus der Definition des größten gemeinsamen Teilers und liegt im Prinzip daran, dass jede ganze Zahl die $0$ teilt. Man das sieht das auch schön anhand der idealtheoretischen Charakterisierung des ggT, denn $x\IZ + 0\IZ = x\IZ$.


Mengenlehre und Logik

Abbildungen auf der leeren Menge

Die leere Menge $\emptyset$ ist selbstverständlich eine Menge. Man kann von Glück sprechen, dass (im Gegensatz zur natürlichen Zahl $0$) die wenigsten Mathematiker*innen sie nicht als Menge ansehen. Sie hat $0$ Elemente. Allgemeiner ist die Kardinalität einer endlichen Menge eine natürliche Zahl.

Die leere Menge hat die Eigenschaft, dass es für jede Menge $X$ genau eine Abbildung

$\emptyset \to X$

gibt (nämlich jene, deren Graph $\emptyset$ ist). Diese Eigenschaft folgt aus der Definition einer Abbildung, auch wenn Wikipedia hier fälschlicherweise schreibt, dass es eine Konvention ist. Die Eigenschaft ist außerdem nicht nur irgendeine obskure Feststellung, sondern eine sehr wichtige Eigenschaft, die in der mathematischen Praxis benötigt wird und außerdem $\emptyset$ als initiales Objekt der Kategorie der Mengen kennzeichnet. Man könnte also im Rahmen der Kategorientheorie argumentieren, dass gerade diese Eigenschaft die leere Menge definiert.

Ein konkretes Beispiel aus der mathematischen Praxis ist die "Verklebung" bzw. die fallweise Definition von Abbildungen zwischen Mengen (analog für stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen): Sei $X = U \cup V$ eine Vereinigung von zwei Teilmengen. Sind $f : U \to T$, $g : V \to T$ zwei Abbildungen mit

$f|_{U \cap V} = g|_{U \cap V},$ $(\star)$

die also auf dem Durchschnitt übereinstimmen, so gibt es offenbar genau eine Abbildung $h : X \to T$ mit $h|_U = f$ und $h|_V = g$. Was sagt uns das für den Spezialfall $U \cap V = \emptyset$? Nun, weil es genau eine Abbildung $\emptyset \to T $ gibt, ist die Bedingung $(\star)$ hier automatisch erfüllt. Wir können also die Abbildungen $f : U \to T$, $g : V \to T$ in jedem Fall auf $X = U \cup V$ fortsetzen.

Ein gänzlich andere Situation stellen die Abbildungen in die leere Menge dar: Es gibt eine Abbildung $X \to \emptyset$ genau dann, wenn $X=\emptyset$, und in diesem Fall gibt es auch nur eine Abbildung.

Das leere Wort

Eine Folge $(a_1,\dotsc,a_n)$ der Länge $n \in \IN$ mit Elementen aus einer Menge $A$ kann man formal definieren als eine Abbildung $\{1,\dotsc,n\} \to A$. Für $n=0$ ergibt sich aus dem, was wir soeben gesehen haben, dass es genau eine Folge der Länge $n$ gibt. Man kann sie auch mit $(~)$ notieren. Wenn $A$ als eine Menge von Buchstaben interpretiert wird, werden die Folgen auch als Wörter bezeichnet; in diesem Fall spricht man von dem leeren Wort (oder dem leeren String) und bezeichnet es mit $\varepsilon$. Dieses spielt durchaus eine wichtige Rolle in der Theorie der formalen Sprachen und entsprechend der Automatentheorie.

Entsprechend gibt es in einem Graphen von einem Knoten $v$ genau einen Pfad der Länge $0$ von $v$ nach $v$, nämlich den leeren Pfad.

Leere Vereinigungen und Durchschnitte

Für eine Familie von Teilmengen $(A_i)_{i \in I}$ einer Menge $X$ ergibt sich für den Spezialfall $I=\emptyset$, dass

$\bigcup_{i \in \emptyset} A_i = \emptyset, \quad \bigcap_{i \in \emptyset} A_i = X.$

Das kann man entweder direkt an den Definitionen ablesen oder auch aus unserem Beispiel für leere Summen bzw. Produkte ableiten (Abschnitt 'Arithmetik'), geeignet verallgemeinert auf kommutative Monoide und dann angewandt auf die Monoide $(P(X),\cup,\emptyset)$ und $(P(X),\cap,X)$.

Dass für eine Abbildung $f : X \to Y$ für die Bildmenge die Regel $f_*(\emptyset)=\emptyset$ gilt, ist dann tatsächlich ein Spezialfall der allgemeineren Regel $f_*(\bigcup_{i \in I} A_i) = \bigcup_{i \in I} f_*(A_i)$.

Komposition surjektiver Abbildungen

Wenn $f:X \to Y$, $g : Y \to Z$ zwei surjektive Abbildungen von Mengen sind, so ist auch $g \circ f : X \to Z$ surjektiv. Denn für jedes $z \in Z$ gibt es ein $y \in Y$ mit $g(y)=z$, und weiter gibt es dafür ein $x \in X$ mit $f(x)=y$, sodass also $z = (g \circ f)(x)$. In einigen Übungsblättern und Büchern findet man bei solchen Aufgaben die Annahme, dass $X,Y,Z$ nicht-leer sind. Die vermeintliche Lösung fängt dann so an: "Sei $z \in Z$. Dieses existiert, weil nach Annahme $Z$ nicht-leer ist." Das ist irreführend bzw. falsch. Hier werden die Quantoren $\forall$ und $\exists$ miteinander verwechselt. Die Aussage gilt für beliebige Mengen.

Injektive und surjektive Abbildungen

Eine Abbildung $f : X \to Y$ ist genau dann surjektiv, wenn $f$ rechtsinvertierbar ist, also eine Abbildung $g : Y \to X$ existiert mit $f \circ g = \mathrm{id}_Y$. Bei der Charakterisierung von injektiven Abbildungen muss man einen Fall gesondert behandeln: Zwar ist jede linksinvertierbare Abbildung auch injektiv, aber die eindeutige Abbildung $\emptyset \to X$ ist injektiv, wenngleich sie nur für $X=\emptyset$ linksinvertierbar ist (nur dann gibt es überhaupt eine Abbildung $X \to \emptyset$). Wenn allerdings $f : X \to Y$ injektiv und $X$ nicht-leer ist, dann ist $f$ linksinvertierbar. Dieser Sonderfall fällt weg, wenn man mit punktierten Mengen arbeitet.

Konstante Abbildungen

Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt konstant, wenn es ein $y \in Y$ gibt mit $f(x)=y$ für alle $x \in X$. Äquivalent dazu: $f$ faktorisiert über $\{\star\}$.

<math>\xymatrix{ & \{\star\} \ar[dr]^{y}  & \\ X \ar[rr]_{f} \ar[ur]^{\exists !} && Y}</math>

Beachte, dass die eindeutige Abbildung $\emptyset \to \emptyset$ damit nicht konstant ist. Das wäre allerdings so bei einer anderen, häufig anzutreffenden Definition: $f$ ist "konstant", wenn $f(x)=f(x')$ für alle $x,x' \in X$ gilt. Die erste Definition verhält sich aber insgesamt besser und ist daher zu bevorzugen.

Leeres Supremum

Ist $P$ eine partiell geordnete Menge, so ist das Supremum der leeren Teilmenge $\emptyset \subseteq P$ per Definition die kleinste obere Schranke von $\emptyset$. Aber weil jedes Element von $P$ eine obere Schranke von $\emptyset$ ist (es gibt nichts zu prüfen), ist $\sup(\emptyset)$ einfach das kleinste Element von $P$ (sofern es existiert). Für das in der Analysis wichtige Beispiel $P = [-\infty,+\infty]$ erhält man insbesondere

$\sup(\emptyset)=-\infty$

und analog

$\inf(\emptyset)=+\infty.$

Für $P=[0,\infty]$ ist hingegen $\sup(\emptyset)=0$.

Starke Induktion

Eine Version des Induktionsprinzips besagt: Sei $P$ eine Eigenschaft natürlicher Zahlen (oder sogar von Ordinalzahlen), sodass für alle $n$ gilt:

$(\forall m < n.\, P(m)) \implies P(n).$

Dann gilt $P(n)$ für alle $n$. Denn die Menge der $n$ mit $\neg P(n)$ hat nach Annahme kein minimales Element, muss also leer sein. Warum gibt es nun aber keinen Induktionsanfang hier? Tatsächlich gibt es einen: Denn $\forall m < 0. \,P(m)$ gilt trivialerweise, sodass nach Annahme $P(0)$ gilt.

Lemma von Zorn

Das Lemma von Zorn besagt, dass jede partiell geordnete Menge $P$, in der jede Kette eine obere Schranke hat, ein maximales Element hat. Obwohl dies an vielen Stellen gemacht wird, ist es nicht notwendig, $P \neq \emptyset$ zu verlangen. Ja, tatsächlich ist $P \neq \emptyset$ eine Folge der Annahme, dass die leere Kette $\emptyset$ (die immer existiert) eine obere Schranke hat.

Andererseits funktioniert in einigen Anwendungen des Lemmas von Zorn die spezifische Konstruktion der oberen Schranken nur bei nicht-leeren Ketten. Dann sollte man das Lemma von Zorn wie folgt formulieren: In einer nicht-leeren partiell geordneten Menge, in der jede nicht-leere Kette eine obere Schranke hat, gibt es ein maximales Element.

Eine typische Anwendung ist, dass jeder Ring (Ringe haben hier immer eine Eins) $R \neq 0$ ein maximales Ideal hat: Die Menge der echten Ideale von $R$, die partiell über $\subseteq$ geordnet ist, ist nicht-leer (sie enthält das Nullideal), und wenn $\mathcal{L}$ eine Kette von echten Idealen ist, dann ist $\bigcup \mathcal{L}$ ein echtes Ideal. Für $0 \in \bigcup \mathcal{L}$ brauchen wir tatsächlich $\mathcal{L} \neq \emptyset$ (und für die Echtheit brauchen wir, dass $R$ eine Eins hat).

Potenzen von Ordinalzahlen

Für Potenzen von Ordinalzahlen findet man meistens die Definition $\alpha^0=1$, $\alpha^{\beta+1}=\alpha^{\beta} \cdot \alpha$, und im Limesfall

$\alpha^{\beta} = \sup_{\gamma < \beta} \alpha^{\gamma}.$

Aber das würde $0^{\omega} = 1$ implizieren, was absurd ist. Die richtige Definition im Limesfall ist

$\alpha^{\beta} = \lim_{\gamma<\beta} \alpha^{\gamma},$

denn dann folgt $0^{\beta}=0$ für $\beta>0$ und $0^0=1$.

Die $0$ als Limeszahl

Darüber, ob $0$ eine Limesordinalzahl ist oder nicht, gibt es keinen Konsens in der Mengenlehre. Hier möchte ich mich einmal ausnahmsweise auch nicht auf eine Variante festlegen.

Wenn man eine Limeszahl definiert als eine Ordinalzahl $\alpha$ mit $\alpha = \sup_{\beta<\alpha} \beta$, dann ist $0$ eine Limeszahl. Einige Sätze und Konstruktionen (aber eben nicht alle), die für Limeszahlen $>0$ gelten und dieser Definition folgen, gelten auch für $0$. In seinem Buch Set theory sagt Thomas Jech explizit, dass $0$ eine Limeszahl ist.

Wenn man eine Limeszahl als einen Häufungspunkt in der partiellen Ordnung der Ordinalzahlen definiert (sprich, es gibt eine Folge $(\beta_n)$ mit $\beta_n<\alpha$ und $\lim_{n \to \infty} \beta_n = \alpha$), dann ist $0$ keine Limeszahl. Und tatsächlich funktionieren einige Sätze und Konstruktionen über Limeszahlen $>0$ nicht für die $0$, und die meisten transfiniten Rekursionen sind auch am besten durch die Dreiteilung der Ordinalzahlen in $0$, Nachfolgerzahlen, Limeszahlen zu führen. In seinem Buch Set Theory. An introduction to independence proofs schließt Kenneth Kunen $0$ als Limeszahl aus. Diese Konvention scheint auch weiter verbreitet zu sein.

Gerichtete partielle Ordnungen

Oftmals findet man als Definition einer (nach oben) gerichteten partiellen Ordnung, dass sie nicht-leer ist und je zwei Elemente eine obere Schranke haben. Bei dieser Definition fällt die Annahme, nicht-leer zu sein, etwas aus dem Himmel. Etwas klarer wird sie mit der folgenden äquivalenten Definition, die auch in der Praxis nützlich ist: jede endliche Teilmenge soll eine obere Schranke besitzen. Für die leere Teilmenge ergibt sich damit nämlich insbesondere, dass die Ordnung nicht-leer ist.

Übrigens sind tatsächlich einige Sätze über gerichtete partielle Ordnungen nicht für die leere Ordnung gültig. Zum Beispiel erhält der Vergissfunktor $\mathsf{Grp} \to \mathsf{Set}$ gerichtete Kolimites, aber nicht leere Kolimites, weil das initiale Objekt nicht erhalten bleibt. Einfacher ausgedrückt: die gerichtete Vereinigung des leeren "gerichteten" Systems von Gruppen ist leer und trägt daher keine Gruppenstruktur.

Filter

Ein Filter auf einer partiellen Ordnung $P$ (oftmals die partielle Ordnung $P(S)$ der Teilmengen einer Menge $S$) ist eine nach unten gerichtete Teilmenge $F \subseteq P$ (sprich, je endlich viele Elemente von $F$ haben eine untere Schranke in $F$, sodass insbesondere $F$ nicht-leer ist, siehe voriges Beispiel), die nach oben abgeschlossen ist (sprich, aus $x \leq y$ und $x \in F$ folgt $y \in F$). Anschaulich gesprochen besteht $F$ aus "großen Elementen" von $P$. In manchen Quellen findet man als zusätzliche Bedingung $F \neq P$ (oder äquivalent, $0 \notin F$, falls $0$ ein kleinstes Element von $P$ ist), wofür es aber keinen guten Grund gibt. Ultrafilter hingegen sind echt per Definition.

Die leere Struktur

Eine Struktur im Sinne der mathematischen Logik ist eine Menge zusammen mit einer gewissen Ansammlung von Verknüpfungen und Relationen auf dieser Menge, deren Stelligkeiten durch eine gewisse Signatur vorab fixiert werden. Ein Modell ist eine Struktur, die eine vorgegebene Menge von Sätzen erfüllt. Wie diese beiden Begriffe bereits andeuten, soll es sich um sehr allgemeine Begriffe handeln, die viele konkrete Typen von Strukturen einschließen.

In den meisten, vor allem älteren Quellen findet man nun aber die Annahme, dass die Menge, die einer Struktur zu Grunde liegt, nicht-leer sein soll. Das schließt dann also leere Graphen, leere Ordnungen, leere Magmen usw. aus, was wie bereits erläutert Nachteile mit sich bringen würde.

Begründet wird dies im verlinkten Wikipedia-Artikel einerseits damit, dass es analog dazu sei, dass $1$ keine Primzahl ist (was ich für unsinnig halte, weil hier nicht nur "Primstrukturen" definiert werden, sondern der allgemeine Begriff der Struktur) und andererseits damit, einige gängige Schlussregeln in der mathematischen Logik für die leere Struktur falsch wären. Als Beispiel wird hierbei die Schlussregel

$\forall x. A(x) \implies A(a/x)$

genannt, die tatsächlich für $A=\bot$ (Falsum) falsch wird. Andererseits kann man sie einfach umformulieren zu

$(\forall x. A(x)) \wedge (\exists x) \implies A(a/x)$

In gängigen Kalkülen ist außerdem

$\forall x. A(x) \implies \exists x. A(x)$

ableitbar, was für die leere Struktur nicht stimmt.

In der freien Logik (früher auch inklusive Logik genannt) hingegen kann man auch mit leeren Strukturen arbeiten. Auch der Vollständigkeitssatz bleibt davon unberührt. Es ist also definitiv möglich, die leere Struktur zuzulassen. In dem Buch First Order Categorical Logic von Makkai-Reyes wird dies auch explizit gemacht. Bei der Definition des Ultraproduktes muss dann allerdings aufpassen, siehe MO/55989.

Mike Shulman argumentiert auf MO/15812 dafür, warum die übliche Anforderung, dass Strukturen nicht-leer sein müssen, unsinnig ist: 1) In der konstruktiven Mathematik kann manchmal nicht entschieden werden, ob eine Menge leer oder nicht-leer ist, 2) in der Mathematik hat es sich allgemein als besser erwiesen, die leere Menge nicht auszuschließen, 3) man muss die Logik etwas anpassen, damit man mit der leeren Struktur ebenfalls arbeiten kann, aber es zahlt sich am Ende aus, 4) Es gibt nun einmal Beispiele, wo leere Strukturen vorkommen (leere Magmen zum Beispiel).


Algebra

Die triviale Gruppe

Wahrscheinlich interessiert sich niemand für die triviale Gruppe, aber wir lassen sie natürlich trotzdem als Gruppe zu. Dies ist praktisch für natürliche Aussagen wie "Die Schnittmenge zweier Untergruppen ist eine Untergruppe", "Ein Homomorphismus von Gruppen ist dann und nur dann injektiv, wenn sein Kern die triviale Untergruppe ist" und "Die Isometrien eines metrischen Raumes bilden eine Gruppe". Beispiele für triviale Gruppen sind die freie Gruppe auf $\emptyset$, die symmetrische Gruppe auf $\emptyset$ und die Isometriegruppe von $\emptyset$.

Aus irgendeinem Grund definieren einige Autor*innen die freie Gruppe (und andere freie algebraische Strukturen) nur auf nicht-leeren Mengen, was den falschen Eindruck erweckt, dass die Konstruktion ansonsten nicht funktioniert. Die Konstruktion funktioniert für beliebige Mengen.

Der triviale Vektorraum

Der triviale Vektorraum $\{0\}$ hat $\emptyset$ als Basis (da leere Summen Null sind, siehe Abschnitt 'Arithmetik'). Er hat einen eindeutigen Endomorphismus (der die Nullabbildung und zugleich die Identität ist). Dessen Determinante ist $1$, da er die Identität ist. Dementsprechend gibt es eine eindeutige $0 \times 0$-Matrix, welche zugleich die Nullmatrix und die Identitätsmatrix ist und als Determinante $1$ hat.

Wenn $X$ eine beliebige Menge und $K$ ein Körper ist, dann trägt die Menge der Abbildungen $X \to K$ die Struktur eines Vektorraumes über $K$. Auf einigen Übungsblättern findet man die Annahme $X \neq \emptyset$, was nicht notwendig ist. Tatsächlich könnte es irreführend sein, weil es suggeriert, dass die Nullabbildung $X \to K$ nur dann wohldefiniert ist, wenn $X \neq \emptyset$ angenommen wird, was nicht stimmt. Wenn $X = \emptyset$, erhalten wir einfach den trivialen Vektorraum.

Insbesondere können wir für zwei beliebige natürliche Zahlen $n,m$ den Vektorraum der $n \times m$-Matrizen $M_{n \times m}(K)$ über den Spezialfall $X=\{1,\dotsc,n\} \times \{1,\dotsc,m\}$ definieren. Für $n=0$ (oder analog $m=0$) ist $X=\emptyset$. Es gibt also genau eine $0 \times m$-Matrix. Noch einmal in aller Deutlichkeit: Das ist keine spezielle Konvention, sondern ergibt sich aus der allgemeinen Definition einer Matrix. Auch die Korrespondenz zwischen Matrizen und linearen Abbildungen

$M_{n \times m}(K) \cong \mathrm{Hom}(K^m,K^n)$

gilt für beliebige natürliche Zahlen $n,m$.

Der triviale Ring

Der triviale Ring $\{0\}$ (oft einfach mit $0$ bezeichnet) hat eine Eins, nämlich $1=0$. Genauer gesagt ist ein Ring (wie gesagt, Ringe haben hier immer eine Eins) genau dann trivial, wenn $1=0$. Manche Autor*innen fordern $1 \neq 0$ bei einem Ring (und noch viel häufiger wird dies bei Operatoralgebren gefordert). Dann müssten wir allerdings bei vielen Konstruktionen mit Ringen Fallunterscheidungen treffen:

Quotientenringe könnten etwa nur mit echten Idealen gebildet werden, das Tensorprodukt zweier Ringe würde nur unter einer komplizierten Bedingung zu einem Ring werden, und die Lokalisierung eines Ringes an einer zentralen multiplikativen Teilmenge würde nur dann zu einem Ring werden, wenn die Teilmenge keine nilpotenten Elemente enthält. Diese und weitere Beispiele zeigen, dass es viel bequemer ist, $1=0$ zuzulassen. Die Einbeziehung des trivialen Ringes bzw. Nullringes macht die Ringtheorie einfacher. Zudem verhält sich die Kategorie der Ringe dann viel besser (sie hat ein finales Objekt, ja sogar alle Limites).

Das Spektrum des trivialen Ringes ist der leere Raum bzw. das leere Schema. Diese lassen wir selbstverständlich ebenfalls zu.

Algebren

Sei $k$ ein Körper. Man findet manchmal die Definition, dass eine $k$-Algebra ein Ring $A$ mit $k \subseteq Z(A)$ ist (wobei $Z(A)$ das Zentrum von $A$ ist). Das schließt allerdings die triviale $k$-Algebra aus und ist insofern nicht ganz richtig. Die richtige Definition ist, dass eine $k$-Algebra ein Ring $A$ zusammen mit einem Homomorphismus von Ringen $k \to Z(A)$ ist. Dieser ist zwar injektiv falls $A \neq 0$, aber nicht immer. Selbst bei einem injektiven Homomorphismus muss man nicht zwangsläufig sich auf mengentheoretische Inklusionen beschränken, weil dies in der Praxis auch nicht immer der Fall ist. Zum Beispiel möchten wir sicherlich $\IC := \IR[x]/\langle x^2+1 \rangle$ als $\IR$-Algebra ansehen. Wenn außerdem $k$ kein Körper, sondern lediglich ein kommutativer Ring ist, so folgt die Injektivität von $k \to Z(A)$ erst recht nicht. Entsprechend sollte eine Ringerweiterung nicht als eine Inklusion von Ringen, sondern als ein Homomorphismus von Ringen definiert werden. Dasselbe gilt auch für Körpererweiterungen.

Konstanten

In der Algebra sind $0$-stellige Verknüpfungen einfach Konstanten. Dass eine Unterstruktur einer algebraischen Struktur per Definition unter allen $n$-stelligen Verknüpfungen abgeschlossen ist, bedeutet für den Spezialfall $n=0$, dass sie alle Konstanten der Struktur enthält. Folglich enthält zum Beispiel ein Unterring eines Ringes die Eins des Ringes.

Nullteiler

Ein Element $a$ eines Ringes $R$ wird links regulär genannt, wenn die Abbildung

$R \to R,~ x \mapsto ax$

injektiv ist. Andernfalls (also wenn es ein $x \in R \setminus \{0\}$ gibt mit $ax=0$) wird $a$ als linker Nullteiler bezeichnet. Obwohl in einigen Büchern der Fall $a=0$ explizit eingeschlossen oder ausgeschlossen wird, besteht, wie auch im verlinkten Wikipedia-Artikel erklärt, keine Notwendigkeit für eine separate Konvention bezüglich des Falles $a = 0$: Aus der Definition folgt, dass $0$ genau dann ein linker Nullteiler ist, wenn $R \neq 0$.

Wenn man $0$ künstlich als Nullteiler ausschließt, dann stimmen einige allgemein nützlichen Aussagen nicht mehr, z.B. dass die Menge der regulären Elemente multiplikativ ist, oder dass die Menge der Nullteiler in einem kommutativen Ring die Vereinigung aller assoziierten Primideale ist.

Körper

Nach all diesen Beispielen, bei denen triviale Beispiele einbezogen werden sollten, hier ein gängiges Beispiel für einen Ausschluss: Ein Körper ist ein kommutativer Ring, in dem jedes Element $\neq 0$ invertierbar ist und außerdem $1 \neq 0$ gilt. Mit anderen Worten, der triviale Ring darf kein Körper sein.

Jedes Lehrbuch der linearen Algebra zeigt, warum diese Konvention praktisch ist. Andernfalls wäre selbst die Dimension eines Vektorraumes nicht wohldefiniert, da der triviale Ring $0$ nämlich $0^n \cong 0^m$ für alle $n,m \in \IN$ erfüllt.

Alternativ lässt sich ein Körper als ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen definieren. Der triviale Ring hat genau ein Ideal, ist demnach also kein Körper. Allgemeiner nennen wir einen $R$-Modul einfach, wenn genau zwei $R$-Untermoduln besitzt; der triviale $R$-Modul ist demnach nicht einfach.

Integritätsringe

In ähnlicher Weise sind Integritätsringe nicht-triviale kommutative Ringe ohne nicht-triviale Nullteiler, Primideale von kommutativen Ringen sind echte Ideale $\mathfrak{p}$ mit $xy \in \mathfrak{p} \implies x \in \mathfrak{p} \vee y \in \mathfrak{p}$ (d.h. der Quotientenring ist ein Integritätsring), und Primelemente sind keine Einheiten.

Tatsächlich haben diese Begriffe eine alternative Definition, bei der wir den trivialen Fall nicht per Konvention ausschließen müssen: Nennen wir $R$ einen Integritätsring, wenn wir für jede endliche Folge von Elementen $x_1,\dotsc,x_n$ (wobei $n \geq 0$) gilt:

$x_1 \cdot \dotsc \cdot x_n = 0 \implies \exists i \in \{1,\dotsc,n\} (x_i=0).$

Wendet man dies auf $n=0$ an, so ergibt sich $1=0 \implies \exists i \in \emptyset (x_i=0)$ und somit $1 \neq 0$. In ähnlicher Weise definieren wir ein Element $p \neq 0$ eines Integritätsbereiches als ein Primelement, wenn

$p \mid x_1 \cdot \dotsc \cdot x_n \implies \exists i \in \{1,\dotsc,n\} (p \mid x_i).$

Für $n=0$ zeigt dies, dass Einheiten nicht prim sind. Insbesondere ist $1$ demnach keine Primzahl. Das ist zum Beispiel für die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung praktisch.

Das allgemeine Prinzip der vorigen Beispiele lautet: Triviale Objekte sind zu einfach, um einfach zu sein.

Ordnung und Charakteristik

Definieren wir den Exponenten einer abelschen Gruppe $A$ als die diejenige natürliche Zahl $n \in \IN$ mit

$n\IZ = \{m \in \IZ : mA=0\}.$

Die Existenz folgt daraus, dass die rechte Seite ein Ideal von $\IZ$ ist. Die Ordnung eines Elements $g$ einer (möglicherweise nicht-abelschen) Gruppe sei der Exponent der zyklischen Gruppe $\langle g \rangle$.

Insbesondere ist der Exponent von $\IZ$ gleich $0$, und daher ist die Ordnung von $1 \in \IZ$ gleich $0$. Die meisten Autor*innen sagen in diesem Fall jedoch, dass der Exponent bzw. die Ordnung $\infty$ sei. Der einzige Grund dafür ist, dass dann die Ordnung von $g$ mit der Ordnung (also hier: Kardinalität) der Gruppe $\langle g \rangle$ übereinstimmt.

Viel nützlicher ist es aber, Aussagen wie

$\exp(A \times B) = \mathrm{lcm}(\exp(A),\exp(B))\\
\mathrm{ord}(g^k)=\mathrm{ord}(g)/\mathrm{gcd}(\mathrm{ord}(g),k)\\
\mathrm{ord}(f(g)) \mid \mathrm{ord}(g)$

für Homomorphismen $f$ ohne Ausnahmen zu haben. Hier müsste man künstliche Fallunterscheidungen einführen, wenn man $\infty$ als Ordnung zulässt.

Ein ähnliches Konzept ist die Charakteristik eines Ringes: sie ist definitionsgemäß der Exponent der zu Grunde liegenden additiven Gruppe, was zugleich die Ordnung der Eins in der additiven Gruppe ist. Insbesondere können Ringe die Charakteristik $0$ (und nicht $\infty$) haben, was in diesem Fall auch Konsens ist. Die beiden Begriffe sind nur dann miteinander kompatibel, wenn man wie oben beschrieben $\infty$ nicht als Elementordnung zulässt. Übrigens ist die Charakteristik des trivialen Ringes gemäß der Definition gleich $1$.

Grad

Für den Grad des Nullpolynoms gilt

$\deg(0)=-\infty.$

Hier ist der Grund dafür: $\deg(f)$ ist definiert als das Supremum aller $n \in \IN$, so dass $x^n$ in $f$ erscheint. Da im Nullpolynom kein Monom erscheint, haben wir $\deg(0)=\sup(\emptyset)=-\infty$ (siehe Abschnitt 'Mengenlehre und Logik' für das leere Supremum). Beachte auch, dass $\deg(0)=-\infty$ der einzige Wert ist, der mit den bekannten Formeln

$\deg(f+g)\leq\min(\deg(f),\deg(g)) \\
\deg(fg)=\deg(f)+\deg(g)$

für alle Polynome $f,g \in K[x]$ über einem Körper $K$ kompatibel ist. Er passt auch gut zum Satz zur Polynomdivision: Für $f,g \in K[x]$ mit $ g \neq 0$ gibt es (eindeutige) $q,r$ mit

$f = qg + r$

und $\deg(r) < \deg(g)$. Für $\deg(g)=0$ ist sicherlich $f$ durch $g$ teilbar und damit $r=0$, sodass die Gradbedingung $\deg(0)<0$ lautet. (Öfters findet man die umständlichere Formulierung $r=0$ oder $\deg(r)<\deg(g)$.)

Man könnte hier einwenden, dass man das Supremum auch innerhalb der Menge $\IN$ bilden könnte, wodurch dann $\sup(\emptyset)=0$ wäre. Das würde einerseits die Formeln kaputtmachen und andererseits wäre es inkompatibel mit dem Grad von Laurentpolynomen (bei denen also auch $x^n$ für $n \in \IZ$ vorkommen dürfen). Man möchte sicherlich, dass die Inklusion $K[x] \hookrightarrow K[x,x^{-1}]$ den Grad erhält, also ein Homomorphismus graduierter $K$-Algebren ist.

Krulldimension

Die Krulldimension $\dim(R)$ eines kommutativen Ringes $R$ ist das Supremum der Längen $n$ der echt aufsteigenden Ketten von Primidealen

$\mathfrak{p}_0 \subset \cdots \subset \mathfrak{p}_n$

in $R$. Da der Nullring kein Primideal hat, erhalten wir

$\dim(0)=-\infty,$

ähnlich wie beim Grad des Nullpolynoms. (Für $R \neq 0$ gilt hingegen $\dim(R) \geq 0$.) Dies ist auch der einzige Wert, der mit den grundlegenden Formeln

$\dim(R \times S)=\max(\dim(R),\dim(S))\\
\dim(R[T]) \geq \dim(R)+1$

übereinstimmt (die sich ohne Fallunterscheidung beweisen lassen). Mit $\dim(0)=0$ wäre die letzte Gleichung falsch.

Man kann die Krulldimension auch ohne Primideale charakterisieren: Wenn $R$ ein kommutativer Ring und $n \geq 0$ ist, dann ist $\dim(R) \leq n$ genau dann, wenn für alle $ x \in R$ die Ungleichung $\dim(R_{\{x\}}) \leq n-1$ besteht, wobei $R_{\{x\}}$ die Lokalisierung von $R$ an der multiplikativen Teilmenge $x^{\IN}(1+xR)$ sei (Satz 1 in T. Coquand, H. Lombardi, A Short Proof for the Krull Dimension of a Polynomial Ring, Link). Beachte, dass dies auch für $n=0$ gilt (der Beweis funktioniert wirklich für allgemeine $n \in \IN$) und besagt, dass $\dim(R) \leq 0$ (d.h. jedes Primideal von $R$ ist maximal) genau dann gilt, wenn $R_{\{x\}}=0$ für alle $x \in R$ gilt, was wiederum bedeutet, dass es für alle $x \in R$ ein $k \geq 0$ gibt mit $x^{k+1} \mid x^k$. Relativ häufig wird $\dim(R)=0$ als Synonym für "jedes Primideal von $R$ ist maximal" verwendet, was allerdings für den Nullring nicht stimmt.

Polynomringe

Für jede Menge $I$ und jeden Ring $R$ kann man den Polynomring $R[\{X_i\}_{i \in I}]$ definieren. Für $I=\emptyset$ ergibt sich aus dessen Definition

$R[\{X_i\}_{i \in \emptyset}] \cong R.$

Ein Polynom ohne Unbestimmte ist also ein einfacher Skalar. Wenn $R$ kommutativ ist, ergibt sich für den $0$-dimensionalen affinen Raum über $R$ insbesondere

$\mathbb{A}^0_R \cong \mathrm{Spec}(R).$

Mengen als algebraische Strukturen

Nicht nur Gruppen, Ringe, Verbände usw. sind algebraische Strukturen, sondern auch Mengen sind algebraische Strukturen. Es ist nur so, dass auf ihnen eine leere Menge von Operationen festgelegt ist. Die Kategorie der Mengen $\mathsf{Set}$ ist daher ein perfektes Beispiel für eine algebraische Kategorie. Die freie Menge auf einer Menge $S$ ist einfach $S$ selbst. Jede Teilmenge einer Menge $S$ ist bereits unter den (nicht vorhandenen) Operationen abgeschlossen und damit eine Unterstruktur. Es ist auch in Ordnung, über Isomorphismen zwischen Mengen zu sprechen, denn es besteht keine Notwendigkeit, allgemeine Begriffe für einige Kategorien zu reservieren.

Leere kategorielle Produkte

Das im Abschnitt 'Arithmetik' erwähnte leere Produkt lässt sich kategorifizieren: Das leere Produkt in einer Kategorie ist ein finales Objekt (nicht per Konvention; dies folgt aus der Definition). Insbesondere ist das kartesische Produkt einer leeren Mengenfamilie immer eine Einpunktmenge. Analog sind leere Koprodukte initiale Objekte. Insbesondere ist die disjunkte Vereinigung einer leeren Mengenfamilie leer.

Leere Tensorprodukte

Wenn $(M_i)_{i \in I}$ eine Familie von $R$-Modulen mit zu Grunde liegenden Mengen $|M_i|$ ist, dann klassifiziert das Tensorprodukt $\bigotimes_{i \in I} M_i$ multilineare Abbildungen auf $\prod_{i \in I} |M_i|$. Dieses Produkt hat genau ein Element, wenn $I$ leer ist, und in diesem Fall ist die Multilinearitätsbedingung leer. Daraus erhalten wir

$\displaystyle\bigotimes_{i \in \emptyset} M_i = R.$

Insbesondere ergibt sich daraus für die nullte Tensorpotenz $T^0(M)=R$, was in vielen Büchern eine Konvention genannt wird. Dass man in dem Fall bei Beweisen und Rechnungen ständig Fallunterscheidungen machen müsste, wird allerdings konsequent verschwiegen. Entsprechend gilt für die nullte äußere Potenz $\Lambda^0(M)=R$.

Allgemeiner gesagt ist das leere Tensorprodukt in einer monoidalen Kategorie das Einsobjekt. Es kann auch nicht anders sein, wenn das Assoziativgesetz (bis auf Isomorphie) allgemein gelten soll.

Kategorien in kleinen Dimensionen

Den Begriff der Kategorie verallgemeinert man im Rahmen der höheren Kategorientheorie auf $n$-Kategorien für beliebige $n \geq 1$, wobei Kategorien dasselbe wie $1$-Kategorien sind.

Der strikte Fall ist relativ einfach zu verstehen: Eine strikte $(n+1)$-Kategorie ist eine Kategorie, die in strikten $n$-Kategorien angereichert ist. Schaut man sich das nun für $n=0$ an, sieht man, was der richtige Begriff einer strikten $0$-Kategorie ist: es handelt sich einfach um eine Menge. (Eine schwache $0$-Kategorie ist hingegen ein Setoid; gibt es eine deutsche Übersetzung dafür?) Auch die Aussage, dass die Gesamtheit der strikten $n$-Kategorien eine strikte $(n+1)$-Kategorie ist, bleibt damit für $n=0$ richtig.

Tatsächlich kann man (mit Einschränkungen) noch weitergehen, um eine Lücke im sogenannten Periodensystem von $n$-Kategorien zu schließen, siehe hier: Es gibt genau zwei $(-1)$-Kategorien, "wahr" und "falsch", und für $n \geq 2$ gibt es genau eine $(-n)$-Kategorie ("wahr").


Topologie und Geometrie

Offene Mengen

Wegen unserer Bemerkung über leere Vereinigungen und Durchschnitte in dem Abschnitt über Mengenlehre lässt sich eine Topologie auf einer Menge $X$ als eine Menge von Teilmengen von $X$ definieren (die offene Mengen genannt werden), die unter beliebigen Vereinigungen und endlichen Durchschnitten stabil sind. Daraus folgt, dass $\emptyset$ und $X$ offene Mengen sind (man muss das nicht extra fordern), und mit dieser kompakten Definition kann man trotzdem arbeiten.

Der leere Raum

Natürlich ist der leere Raum ein topologischer Raum. Es gibt auch einen leeren metrischen Raum. Zwar definieren einige Quellen metrische Räume als nicht-leer, aber dafür gibt es keinen sinnvollen Grund. Wie schon mehrmals erwähnt, würden wir uns damit nur zusätzliche Fallunterscheidungen bei Operationen mit metrischen Räumen einhandeln. Der Durchmesser des leeren metrischen Raumes ist übrigens $0$ (wegen $\sup(\emptyset)=0$ bezogen auf $\emptyset \subseteq [0,\infty]$).

Zusammenhang

Unter Mathematiker*innen scheint es keinen Konsens darüber zu geben, ob der leere Raum zusammenhängend ist oder nicht. Tatsächlich ist es bei vielen Aussagen bequemer, wenn $\emptyset$ nicht zusammenhängend ist. Wir haben zum Beispiel

$H_0(X,\IZ) \cong \IZ,$

wenn $X$ ein zusammenhängender Raum ist (nicht aber für $X = \emptyset$), und allgemeiner

$H_0(X,\IZ) \cong \mathbb{Z}^n,$

wenn $X$ genau $n$ Komponenten hat ($n \in \IN$). Die Anzahl der Zusammenhangskomponenten soll außerdem additiv auf Koprodukten von Räumen sein. Die Zerlegung in Zusammenhangskomponenten soll eindeutig sein (was sie nicht wäre, wenn wir $\emptyset$ zuließen).

Unsere Definition von Primelementen (aus dem Abschnitt 'Algebra') motiviert die folgende Definition: Ein Raum $X$ ist zusammenhängend, wenn für jede Partition

$\displaystyle X = \coprod_{i \in I} X_i$

(dieses Koprodukt findet in der Kategorie der topologischen Räume statt; somit werden die $X_i$ zu offen-abgeschlossenen Teilmengen von $X$) ein $i \in I$ existiert mit

$X = X_i.$

Aus dieser Definition folgt unmittelbar, dass der leere Raum nicht zusammenhängend ist (man betrachte $I=\emptyset$). Erst recht ist der leere Raum nicht wegzusammenhängend. Wir könnten auch $X$ zusammenhängend nennen, wenn $X$ genau zwei offen-abgeschlossene Teilmengen besitzt.

Wir haben es wieder mit dem Prinzip too simple to be simple zu tun.

Irreduzibilität

In ähnlicher Weise sollten irreduzible Räume als nicht-leere Räume definiert werden, in denen sich jeweils zwei nicht-leere offene Teilmengen schneiden, oder entsprechend: für alle endlichen Folgen von nicht-leeren Teilmengen $U_1,\dotsc,U_n$ ist $U_1 \cap \cdots \cap U_n$ ebenfalls nicht-leer (was für $n=0$ zeigt, dass der Raum nicht-leer ist).

In der algebraischen Geometrie benötigt und verwendet man, dass irreduzible abgeschlossene Teilmengen eines Schemas einen generischen Punkt haben. Leider gibt es auch hier keinen Konsens und einige Lehrbücher lassen den leeren irreduziblen Raum zu, was eher unvorteilhaft ist.

Der leere Graph

Der leere Graph $K_0$ hat keinen Knoten und keine Kante. Die Bezeichnung $K_n$ passt zur allgemeinen Definition eines vollständigen Graphen mit $n$ Knoten. In dem kurzen Paper Is the null-graph a pointless concept? von Harary und Read werden einige Pro- und Kontra-Argumente aufgelistet, $K_0$ als Graphen anzusehen: So verhalten sich, wie eingangs erwähnt, Operationen mit Graphen viel besser. Zum Beispiel ist der Durchschnitt von zwei Untergraphen auf jeden Fall wieder ein Untergraph.

Weil jeder Wald eine disjunkte Vereinigung von Bäumen ist, ist die erzeugende Funktion für die beschrifteten Wälder gleich $\exp(T(x))$, wenn $T(x)$ die erzeugende Funktion für die beschrifteten Bäume ist. Der konstante Term dieser erzeugenden Funktion ist $1$, was natürlich den leeren Graphen als Wald mit $0$ Elementen aufzählt.

Das einzige Kontra-Argument in dem genannten Paper (und übrigens auch im verlinkten Wikipedia-Artikel) ist ironischerweise falsch. Es wird nämlich behauptet, dass der leere Graph zusammenhängend ist. Aber genau wie der leere topologische Raum usw. ist der leere Graph nicht zusammenhängend, weil er nicht genau eine Zusammenhangskomponente besitzt (sondern $0$ Stück). Die in dem Paper genannten "Paradoxien" lösen sich damit auf.

Übrigens ist der leere Graph auch das initiale Objekt in der Kategorie der Graphen, und es ist immer nett, ein initiales Objekt zu haben (oder anders formuliert: es ergibt relativ selten Sinn, ein initiales Objekt aus einer gutartigen Kategorie zu entfernen). Es gibt keinen sinnvollen Grund, den leeren Graphen auszuschließen, auch wenn dies einige Bücher bei der Definition eines Graphen tun.

Überdeckungen

Definieren wir eine offene Überdeckung eines Raumes als eine Menge offener Teilmengen, deren Vereinigung der gegebene Raum ist. Dann sind $\emptyset$ und $\{\emptyset\}$ die offenen Überdeckungen des leeren Raumes $\emptyset$.

Wenn insbesondere $F$ eine Garbe auf einem Raum ist, dann besagt die Garbenbedingung für die offene Teilmenge $\emptyset$ und ihrer Überdeckung $\emptyset$, dass

$\displaystyle F(\emptyset) \to \prod_{U \in \emptyset} F(U) \rightrightarrows \prod_{U,V \in \emptyset} F(U \cap V)$

exakt ist, d.h. dass $F(\emptyset)$ das leere Produkt ist, also das finale Objekt (d.h. die Einpunktmenge bei mengenwertigen Prägarben und die triviale Gruppe bei gruppenwertigen Prägarben). Die erste Garbenbedingung (Separierbarkeit) besagt lediglich, dass $F(\emptyset) \to \prod_{U \in \emptyset} F(U)$ ein Monomorphismus ist, d.h. für mengen- oder gruppenwertige Prägarben hat $F(\emptyset)$ höchstens ein Element. Dies wird in der Konstruktion assoziierter Garben veranschaulicht.

Es gibt übrigens ein Lehrbuch über fortgeschrittene algebraische Geometrie mit sehr guten Rezensionen (dessen Titel ich nicht nennen möchte), das Prägarben nur auf nicht-leeren Teilmengen definiert und die Garbenbedingung entsprechend nur für Überdeckungen fordert, deren offene Mengen sich schneiden. Dies macht es unmöglich, die fundamentale Eigenschaft $F(U \cup V)=F(U) \times F(V)$ für disjunkte offene Teilmengen $U,V$ abzuleiten. Es ist also falsch, die leere Menge auszulassen, selbst wenn man sich nicht für sie interessiert.

Quotienten

Wenn $A$ ein Unterraum eines Raumes $X$ ist, den wir auf einen Punkt kollabieren möchten, können wir den Quotientenraum $X/A$ konstruieren. Er sollte eine stetige Abbildung $X \to X/A$ haben, die $A$ auf eine Einpunktmenge abbildet, und die Beschränkung auf $X \setminus A$ sollte injektiv sein. Um $X/A$ zu konstruieren, wäre es eine Idee, es als $X/{\sim}$ zu definieren, wobei $\sim$ die kleinste Äquivalenzrelation mit $a \sim a'$ für alle $a,a' \in A$ ist. In dem Sonderfall $X=A=\emptyset$ hat $X/A$ dann aber keinen Sinn. Um dies zu lösen, fügen wir einen neuen Punkt zu $X$ hinzu, d.h. betrachten $X \sqcup \{*\}$, und betrachten die kleinste Äquivalenzrelation $\sim$ auf $X \sqcup \{*\}$, so dass $a \sim *$ für alle $a \in A$. Dann ist

$X/A := (X \sqcup \{*\})/{\sim}$

der richtige Quotientenraum. Er kann auch als das Pushout (Kofaserprodukt) der beiden Abbildungen

$A \hookrightarrow X \hookrightarrow X \sqcup \{*\}$ und $\{*\} \hookrightarrow X \sqcup \{*\}$

gesehen werden. Insbesondere ist

$X/\emptyset=X \sqcup \{\star\},$

insbesondere $\emptyset/\emptyset=\{\star\}$. Dies mag seltsam erscheinen, da in diesem Fall $X \to X/A$ nicht surjektiv ist, was man von Quotienten erwartet. Allerdings sollten diese Quotientenkonstruktionen wirklich in der Kategorie der punktierten topologischen Räume gesehen werden. Wenn wir dann einen topologischen Raum $X$ durch einen Unterraum teilen, nehmen wir eigentlich einen Quotienten des freien punktierten Raumes auf $X$.

Dimension

Die leere Mannigfaltigkeit hat jede Dimension $n \in \mathbb{N}$ (da trivialerweise jeder Punkt eine offene Umgebung hat, die isomorph zu $\IR^n$ ist). Oder positiver formuliert: für jedes $n \in \IN$ hat die Kategorie der $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeiten ein initiales Objekt.

Überlagerungen

Wenn $X$ ein topologischer Raum ist, dann ist die eindeutige Abbildung $\emptyset \to X$ eine Überlagerung, da die Definition trivialerweise erfüllt ist. Insbesondere müssen Überlagerungen nicht surjektiv sein (auch wenn dies in einigen Lehrbüchern angenommen oder zur Definition ergänzt wird). Allgemeiner ausgedrückt: Wenn $U \subseteq X$ eine offen-abgeschlossene Teilmenge ist, dann ist $U \hookrightarrow X$ eine Überlagerung. Umgekehrt kann man zeigen, dass jede Überlagerung ein offen-abgeschlossenes Bild hat und weiter die Komposition einer surjektiven Überlagerung und einer Überlagerung der Form $U \hookrightarrow X$ für eine offen-abgeschlossene Teilmenge $U \subseteq X$ ist.

Die entsprechende algebraische Aussage ist, dass für jeden kommutativen Ring $k$ die triviale $k$-Algebra étale ist. Sie ist das leere direkte Produkt von Kopien von $k$.

Die (volle) Kategorie der Überlagerungen verhält sich besser als die Kategorie der surjektiven Überlagerungen. In ähnlicher Weise verhält sich die Kategorie der étalen $k$-Algebren besser als die Kategorie der (an jedem Punkt von $\mathrm{Spec}(k)$) nicht-trivialen étalen $k$-Algebren.

Transitive Wirkungen

Sei $G$ eine Gruppe. Eine $G$-Menge $X$ wird transitiv genannt, wenn $X$ nicht-leer ist und es für alle $x,y \in X$ ein $g \in G$ gibt mit $y = gx$. Hier fällt die Annahme, nicht-leer zu sein, etwas aus dem Himmel. Etwas klarer wird die Definition mit der äquivalenten Formulierung, dass es genau eine Bahn geben soll (die leere Menge hat keine Bahn). (Nicht zu verwechseln ist dieser Begriff mit der transitiven Menge aus der Mengenlehre, hier ist die leere Menge durchaus transitiv.) Es gibt hier eine Ähnlichkeit zur Definition eines zusammenhängenden Raumes.

Tatsächlich ist das mehr als nur eine Ähnlichkeit: Im Hauptsatz der Überlagerungstheorie, der Kategorienäquivalenz zwischen $\pi_1(X)$-Mengen und Überlagerungen eines gutartigen punktierten Raumes $X$, entsprechen die transitiven $\pi_1(X)$-Mengen gerade den zusammenhängenden Überlagerungen von $X$.

Allgemeiner nennen wir ein Objekt $X$ einer Kategorie mit Koprodukten zusammenhängend, wenn es für jeden Isomorphismus $\coprod_{i \in I} X_i \to X$ ein $i \in I$ gibt, sodass der induzierte Morphismus $X_i \to X$ ein Isomorphismus ist. Es folgt insbesondere, dass initiale Objekte nicht zusammenhängend sind (man nehme $I=\emptyset$). Gemäß dieser Definition sind die zusammenhängenden Objekte von $\mathsf{Top}$ die zusammenhängenden Räume, und die zusammenhängende Objekte von $G\mathsf{-Set}$ sind die transitiven $G$-Mengen.

Normen

Seien $(V,|~|)$ und $(W,|~|)$ normierte Vektorräume über $\IR$ oder $\IC$. Die Norm einer linearen Abbildung $f : V \to W$ wird oft als

$\displaystyle |f| := \sup_{0 \neq x \in V} |f(x)| / |x|$

oder

$\displaystyle |f| := \sup_{x \in V,\, |x|=1} |f(x)|$

definiert. Für $V=0$ ergibt dies das Supremum der leeren Menge, gesehen als Teilmenge von $[0,\infty]$, also $0$. Mit der Definition

$\displaystyle |f| := \sup_{x \in V,\, |x| \leq 1} |f(x)|$

ist $|0|=0$ einfacher zu sehen.

Orientierungen

Zwei geordnete Basen $B,B'$ eines endlich-dimensionalen $\IR$-Vektorraumes $V$ haben per Definition dieselbe Orientierung, wenn die zugehörige Basiswechselmatrix positive Determinante hat. Dies definiert eine Äquivalenzrelation auf der Menge der geordneten Basen von $V$. Eine Orientierung von $V$ wird manchmal als eine Äquivalenzklasse diesbezüglich definiert. Das würde bedeuten, dass der triviale Vektorraum genau eine Orientierung hat, alle anderen Vektorräume aber zwei. Es geht aber auch anders:

Wenn $\dim(V)=1$, definieren wir eine Orientierung von $V$ wie oben, also als eine Äquivalenzklasse von Erzeugern $v \in V$, wobei $v,v'$ äquivalent sind, wenn $v = \lambda v'$ für ein $\lambda > 0$. Es hat demnach $V$ genau zwei Orientierungen. Im allgemeinen Fall $\dim(V)=n$ definieren wir dann eine Orientierung von $V$ als eine Orientierung der "höchsten" äußeren Potenz $\Lambda^n(V)$, deren Dimension $\binom{n}{n} = 1$ ist. Folglich hat auch allgemein $V$ genau zwei Orientierungen. Der Spezialfall $V=0$ bzw. $n=0$ ist hierbei keine Ausnahme. Der Zusammenhang zur vorigen Definition ist: Jede Basis $(v_1,\dotsc,v_n)$ von $V$ liefert einen Erzeuger $v_1 \wedge \cdots \wedge v_n$ von $\Lambda^n(V)$, und äquivalente Basen liefern äquivalente Erzeuger der äußeren Potenz, weil für $f \in \mathrm{GL}(V)$ nämlich $ f(v_1) \wedge \cdots \wedge f(v_n) = \det(f) \cdot v_1 \wedge \cdots \wedge v_n$ gilt.

Dass der triviale Vektorraum genau zwei Orientierungen hat, und daher auch eine $0$-dimensionale Mannigfaltigkeit an jedem Punkt genau zwei Orientierungen hat, mag zwar etwas seltsam erscheinen, ist aber tatsächlich praktisch: Um zum Beispiel den Hauptsatz der Integralrechnung aus dem Satz von Stokes abzuleiten, fassen wir das Intervall $[a,b]$ als eine $1$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit dem $0$-dimensionalen Rand $\{a,b\}$ auf; hierbei müssen wir $b$ positiv und $a$ negativ orientieren, damit sich dann $F(b)-F(a)$ für die Stammfunktion $F$ ergibt.

Danke an tactac fürs Korrekturlesen.

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"Stern Mathematik: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle" | 27 Comments
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Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: Saki17 am: Fr. 14. August 2020 23:05:53
\(\begingroup\)
Sei $X$ ein topologischer Raum und $F$ eine Prägarbe auf $X$ (mit Werten in der Kategorie der Mengen/abelschen Gruppen). Gibt es eine bevorzugte bzw. natürliche Wahl für $F(\emptyset)$?\(\endgroup\)
 

Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: Triceratops am: Sa. 15. August 2020 07:27:18
\(\begingroup\)
@Saki17: $F(\emptyset)$ kann eine beliebige Menge sein. Ist $T$ irgendeine Menge, dann hat man die konstante Prägarbe $F(U) := T$ und $F(U \subseteq V) := \mathrm{id}_T$. (Die assoziierte Garbe ist dann die Garbe der lokalkonstanten Funktionen nach $T$.)\(\endgroup\)
 

Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: Delastelle am: So. 16. August 2020 03:11:16
\(\begingroup\)
Hallo,

22 Zeilen Vorspann - etwas viel.

Viele Grüße
Ronald\(\endgroup\)
 

Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: Diophant am: So. 16. August 2020 07:20:20
\(\begingroup\)
Hallo,

22 Zeilen Vorspann, die eine interessante Motivation prägnant umreißen - sehr schön.

Viele Grüße
Johannes\(\endgroup\)
 

Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: Saki17 am: So. 16. August 2020 20:59:58
\(\begingroup\)
Es fällt mir ein (triviales) Beispiel ein. Wir wissen, ein (kommutativer) noetherscher lokaler Ring $(A,m)$ ist regulär, genau dann wenn das maximale Ideal $m$ durch $dim(A)$ Elemente erzeugt werden kann. Wenn also $dim(A)=0$ ist, besagt das Vorherige, dass Körper die einzigen 0-dimensionalen regulären Ringe sind ($0=<\emptyset>$).\(\endgroup\)
 

Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: xiao_shi_tou_ am: Mo. 17. August 2020 23:54:55
\(\begingroup\)
Der Artikel erinnert mich an das Dreieck in einem Schulbuch, das nicht mehr als Dreieck verstanden wurde, nur weil die Punkte auf einer Geraden lagen. Ich denke der Artikel räumt mit jeglichen Zweifeln über dieses Thema auf. Interessant zu lesen.👍\(\endgroup\)
 

Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: Triceratops am: Di. 18. August 2020 09:45:36
\(\begingroup\)
@xiao_shi_tou_: Interessantes Beispiel. Allerdings ist das nicht nur die Schulbuch-Definition eines Dreiecks, sondern anscheinend die allgemein übliche Definition, insbesondere bei Wikipedia (Ein Dreieck wird durch drei Punkte definiert, die nicht auf einer Geraden liegen). Also entartete Dreiecke werden nicht als Dreiecke angesehen. Viele Sätze über Dreiecke gelten aber wortwörtlich auch für entartetete Dreiecke (alleine schon aus Stetigkeitsgründen), einige aber sicherlich auch nicht. Um nur ein Beispiel zu nennen: Der Kosinussatz $c^2=a^2+b^2-2ab \cos(\gamma)$ (mit Standardbezeichnungen) gilt auch für das entartetete Dreieck mit $\gamma=180°$ und $c=a+b$, denn das ist einfach $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$. Es gibt übrigens auch den "sehr" entarteteten, 0-dimensionalen Fall bei dem alle drei Punkte zusammenfallen. Aber vielleicht können Leute mit mehr Erfahrung in euklidischer Geometrie mehr dazu sagen. Ich kann nur beisteuern, dass Modulräume (also Objekte, die geometrische Objekte klassifizieren) sich häufig besser verhalten, wenn man entartetete Fälle mit einschließt (z. B. sind sie dann kompakt).\(\endgroup\)
 

Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: Triceratops am: Fr. 21. August 2020 07:50:55
\(\begingroup\)
Zusatz. In dem Buch "Mathematik für die Informatik. Grundlegende Begriffe, Strukturen und ihre Anwendung" von Rudolf Berghammer wird in Satz 1.4.11 gesagt: Zwei Funktionen $f,g : M \to N$ sind genau dann gleich, wenn $f(x)=g(x)$ für alle $x \in M$ gilt. Nach dem trivialen Beweis, der natürlich für alle Mengen gilt, schreibt der Autor jedoch:

"Wenn man ganz korrekt ist, dann braucht dieser Satz eigentlich noch $M \neq \emptyset$ als weitere Voraussetzung, wobei dies aus logischen Gründen dann $N \neq \emptyset$ impliziert. Für $M=\emptyset$ ist der Ausdruck $f(x)$ nämlich für kein $x \in M$ definiert, weil es eben so ein $x$ nicht gibt."



Der Autor schreibt also ein Buch über "Grundlegende Begriffe" und verwechselt die Quantoren $\exists$ und $\forall$. Nach dem Beweis von Satz 6.1.1. (Trivialitäten über die leere Relation) dann aber:

"Die leere Funktion $\emptyset : \emptyset \to M$ (mit leerer Quelle und beliebigem Ziel) ist oft nützlich."

Kurzes Aufatmen. Dann aber wieder:

"Sie ist aber insofern pathologisch, da für sie der Ausdruck $\emptyset(x)$ nicht definiert ist – es gibt ja kein $x$ in der Menge $\emptyset$."

Und dann wird in 6.1.2 doch tatsächlich festgelegt:

"Für alle Funktionen $f : M \to N$ wird implizit $M \neq \emptyset$ angenommen."



Die Grundbegriffe wie Injektivität und Surjektivität werden dann auch nur mit dieser Einschränkung definiert. Mit dieser unsinnigen Einschränkung, die auf einem Missverständnis beruht, wird die Theorie dann natürlich komplizierter (zu sehen in den Texten nach 6.1.9, 6.2.1).

Ich habe das Buch übrigens gefunden, weil ein MP-User das Buch in einem Aufschrieb verwendet und sich dann auch dazu genötigt sah, Injektivität und Surjektivität nur bei nichtleeren Mengen zu definieren.\(\endgroup\)
 

Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: tactac am: Fr. 21. August 2020 10:27:23
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@Berghammer OMG!!

Aber ich glaube, das Problem ist nicht so recht eine Verwechslung von $\forall$ und $\exists$, sondern eher die Unfähigkeit, zu akzeptieren, dass in einem Kontext, in dem man eine Variable $x$ annimmt, die einen Wert aus $\emptyset$ hat, $x$ ein "legaler" Term ist, ebenso dann natürlich $f(x)$ für $f\colon \emptyset \to A$ (der dann in diesem Kontext ganz normal ein Element von $A$ bezeichnet, auch im Fall $A=\emptyset$).

Wenn man Implikationen beweist ($A \to B$ kann man immer beweisen, indem man annimmt, $A$ sei wahr, und unter dieser Zusatzannahme $B$ beweist; auch wenn man darüber hinaus weiß, dass $A$ falsch ist), Funktionen definiert oder $\forall$-Aussagen beweist, tut man aber u.U. genau soetwas.

$\begin{array}{c}
\Gamma,x\colon A \vdash M\colon B
\\\hline
\Gamma \vdash (\lambda x\colon A. M) \colon \forall x\colon A.\ B
\end{array}$\(\endgroup\)
 

Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: Kezer am: Fr. 21. August 2020 12:47:59
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Ich hatte in diesem Semester einen Kurs zur Differentialgeometrie, gehalten von einem mathematischen Physiker, der $0$-dimensionale Mannigfaltigkeiten nicht zu den Mannigfaltigkeiten gezählt hat. (Die Definition einer Mannigfaltigkeit war auch nicht ganz äquivalent zur üblichen Definition.)

Aber mit $\{\ast \}$ als terminales Objekt in $\mathbf{Mfld}$ sowie dem Einsatz dieser Mannigfaltigkeiten bei Kobordismen sollte man das natürlich nicht tun.

Seine Vorlesung war abgesehen davon sehr gut, aber es ist (leider) interessant zu sehen, wie "triviale Fälle" immer wieder ausgeschlossen werden.\(\endgroup\)
 

Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: Triceratops am: Fr. 21. August 2020 13:21:02
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@Kezer: Nett. Dann gilt der Satz vom regulären Wert nicht einmal für $\mathrm{id} : \IR \to \IR$.

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Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: tactac am: Fr. 21. August 2020 23:47:58
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Ich finde recht lustig, dass, wenn man die syntaktischen Daten für Prädikatenlogik für eine beliebige Menge $S$ von Sorten definiert, automatisch im Fall $S=\emptyset$ exakt Aussagenlogik herauskommt. (Es gibt keine Formeln mit Quantoren, da in der abstrakten Syntax die quantifizierten Variablen Sorten erhalten müssen, aus analogen Gründen gibt es keine Funktionssymbole und Terme überhaupt, Relationssymbole sind alle nullstellig.)

Ähnliches passiert nicht mal ansatzweise, wenn man, wie oft üblich, von genau einer Sorte ausgeht und die abstrakte Syntax etc. davon ausgehend "optimiert". Aussagenlogik sieht dann eher wie etwas ganz anderes aus, das man separat erklären muss.\(\endgroup\)
 

Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: Bernhard am: Sa. 22. August 2020 00:37:12
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Nur zur Ergänzung.
Die wahre Null:

Bernhard*

* Der Name bezieht sich auf den Verfasser der Nachricht und nicht auf das Bild!\(\endgroup\)
 

Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: carlox am: Sa. 22. August 2020 09:21:21
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Hallo allerseits,
\[
1=0^0=0^(1-1)=0^1/0^1=0/0
\] also:
0/0=1



Kann das sein ?

mfg
cx
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Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: Triceratops am: Sa. 22. August 2020 09:28:24
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@cx: Nein. Du verwendest $a^{x-y}=a^x/a^y$, was allgemein (also für alle $x,y \in \IZ$) nur für invertierbare $a$ gilt (bzw. nur dann ist der Bruch überhaupt wohldefiniert). Mit Verlaub, diese Frage passt auch eher ins Forum, nicht so sehr in diesen Artikel.
EDIT: Auch dein folgender Kommentar passt eher ins Forum.\(\endgroup\)
 

Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: carlox am: So. 23. August 2020 10:28:03
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>@cx: Nein. Du verwendest $a^{x-y}=a^x/a^y$, was allgemein
>(also für alle $x,y \in \IZ$) nur für invertierbare $a$ gilt
>(bzw. nur dann ist der Bruch überhaupt wohldefiniert).
>
1)
Mein unglücklicher Versuch sollte dazu dienen, einen Widerspruch zu konstruieren.
Hätte man definiert:
n^0 := 2
dann wäre:
2 = 3^0 = 3^(5-5) = 3^5 / 3^5 =1

2)
Du hast eine Definition erweitert (auf die Hochzahl 0).
Ganz allgemein:
Wenn man eine Definition erweitert, muß man im zugehörgen neuen Beweissystem (Axiomensytem+Beweisregeln+Syntax, usw.) doch zeigen, daß das neue Beweissystem (mit der erweiterten Definition) konsistent ist, wobei man das alte Beweissystem als konsistent voraussetzt (im alten Beweissystem kann man ja i.A. wg. Gödel diese Konsistenz innerhalb des altene Beweissystems nicht beweisen).

Oder mache ich da einen Denkfehler?

mfg
cx




\(\endgroup\)
 

Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: Slash am: Di. 01. September 2020 21:26:24
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Bei mir sieht der Kopfbereich jetzt so aus. Ist das gewollt oder ein Darstellungsfehler?

Gruß, Slash


EDIT: Jetzt ist es wieder normal, aber die Darstellung wechselt auch zeitweise nach Seitenaktualisierung.\(\endgroup\)
 

Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: Triceratops am: Do. 03. September 2020 19:11:16
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@Slash: Danke für den Hinweis. Bei mir gab es heute auch erstmals diesen Balken, aber wie du schon schreibst war er nicht immer zu sehen. Ich habe den Artikel ja mit css etwas gestyled, allerdings habe ich das nun nach Rücksprache mit matroid durch den Import einer css-Datei mit einem spezifischeren Namen meiner css-Klasse gemacht. Hoffentlich löst sich das Problem dadurch.\(\endgroup\)
 

Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: Vercassivelaunos am: Mo. 28. September 2020 14:30:56
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Aus deinem neuesten Artikel, wo du das hier verlinkst:


Theorem 3.3 Let $M$ be an $R$-module and $k\geq2$. For any $R$-module $N$ and alternating multilinear map $f:M^k\longrightarrow N$, there is a unique linear map $\tilde f:\Lambda^k(M)\longrightarrow N$ such that [...] $\tilde f(m_1\wedge\dots\wedge m_k)=f(m_1,\dots, m_k)$.

This theorem makes no sense when $k=0$ or $k=1$ since there are no alternating multilinear functions in those cases.

Der letzte Satz macht leider den Versuch zunichte, Determinanten auf eindimensionalen und trivialen Vektorräumen zu definieren...\(\endgroup\)
 

Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: Triceratops am: Mo. 28. September 2020 16:17:14
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@Vercassivelaunos: Theorem 3.3. gilt für beliebige $k \in \IN$ und der Beweis funktioniert auch für alle $k \in \IN$. Der Autor hat (in diesem Fall) nicht lange genug darüber reflektiert. Die Aussage, dass es keine alternierende multilineare Abbildungen für $k=0,1$ gibt, ist auch schlichtweg falsch (man nehme etwa die Nullabbildung).
Edit1: Eventuell war dir das aber auch schon klar?
Edit2: Ich sehe gerade, dass der Fehler bereits in Definition 2.1 beginnt.\(\endgroup\)
 

Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: Vercassivelaunos am: Mo. 28. September 2020 16:49:10
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Ja, das war mir klar. Ich wollte nur nochmal ein meiner Meinung nach besonders auffälliges Beispiel aufzeigen.\(\endgroup\)
 

Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: Triceratops am: Mi. 07. Oktober 2020 22:08:42
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Bei Wikipedia und in den gängigen Büchern zur Funktionalanalysis steht, dass jeder beschränkte Operator auf einem Banachraum ein nicht-leeres Spektrum hat. Das ist für den trivialen Banachraum (den man auch nicht ausschließen sollte) allerdings falsch. In meinem Artikel über die Gelfand-Transformation wird der Beweis entsprechend so geführt: Wenn das Spektrum eines Elementes einer Banachalgebra $A$ leer ist, dann ist $A = \{0\}$.\(\endgroup\)
 

Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: Nichtarchimedes am: Mi. 11. November 2020 09:31:27
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Hier eine kleie Anmerkung zum Abschnitt über den Polynomgrad, genauer:

“Man könnte hier einwenden, dass man das Supremum auch innerhalb der Menge N bilden könnte, wodurch dann sup(∅)=0 wäre. Das würde einerseits die Formeln kaputtmachen und andererseits wäre es inkompatibel mit dem Grad von Laurentpolynomen (bei denen also auch xn für n∈Z vorkommen dürfen). Man möchte sicherlich, dass die Inklusion K[x]↪K[x,x−1] den Grad erhält, also ein Homomorphismus graduierter K-Algebren ist.”

Das Argument mit graduierten $K$-Algebren halte ich für nicht geeignet. Ist $A$ eine graduierte $K$-Algebra (sagen wir bezüglich dem Monoid $\IN$), so ist es nicht angebracht, den Grad zu definieren als eine Abbildung $A \to \IN$ (und für allgemeinere Monoid als $\IN$ auch gar nicht möglich). Stattdessen ist $\mathrm{deg}(a) = d$ eine Relation zwischen den Elementen aus $A$ und natürlichen Zahlen, die weder linkstotal noch rechtseindeutig ist (weshalb man vielleicht lieber $a \in A_d$ dafür schreiben sollte). Das Nullelement von $A$ ist in jedem $A_d$ enthalten, hat also jeden Grad. Dies ist analog dazu, dass die leere Mannigfaltigkeit jede Dimension hat.

Natürlich kann man für Polynome trotzdem von einer Gradfuntion sprechen. Wenn man konstruktiv alles sauber machen möchte, hat man aber auch hier nur eine (bzw. mehrere) Relationen:

Nämlich $\mathrm{deg}(f) \le d$ (was definiert ist als $f \in K \oplus K·X \oplus \dots \oplus K·X^d$) und $\mathrm{deg}(f) = d$ (was definiert ist als $\mathrm{deg}(f) \le d \wedge f_d \in K^\times$). Dieselben Relationen kann man für beliebige kommutative Ringe $A$ anstelle von $K$ hinschreiben.

Division mit Rest sagt dann für jeden kommutativen Ring, dass wenn $\deg(f) = d$ gilt, dann die Abbildung $A \oplus \dots \oplus A·X^{d-1} \hookrightarrow A[X] \twoheadrightarrow A[X] / f$ bijektiv ist (sagt also, dass es für jedes Polynom $g$ ein eindeutiges $r$ mit $\mathrm{deg}(r) \le d-1$ gibt mit $g = r \mod f$).\(\endgroup\)
 

Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: holsteiner am: Fr. 20. November 2020 21:17:00
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In objektorientierten Programmiersprachen gibt es den Unterschied zwischen dem Nullpointer (Es gibt keine Instanz der Klasse, das Objekt existiert nicht) und dem Defaultwert (existierender Defaultkonstruktor) einer Klasse. Der Defaultwert ist in Java beispielsweise für den  Typ "Integer" der Wert 0  oder für den Typ "String"  der Wert "". Es kann eben aber auch sein, dass  die Objekte nicht existieren und null sind. Auch in SQL gibt es den Unterschied zwischen einem leeren <null>  Feld und einem Feld mit dem Wert 0.

Lässt sich das hier irgendwie mit einsortieren?
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Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: Triceratops am: Do. 10. Dezember 2020 20:26:30
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Ich bin mir nicht sicher, holsteiner. Aber mir ist noch eingefallen, dass auch einige rekursive Definitionen aus der Informatik hierunter fallen, weil nämlich der triviale Fall / der Fall der Null nicht gesondert behandelt werden muss. Ein schönes Beispiel: Ein Baum ist definiert als eine Menge/eine Liste/ein Array von Bäumen; die Elemente interpretiert man dann als Kinder des Baumes, die sind also ebenfalls Bäume. Daraus folgt sofort, dass die leere Menge ein Baum $\bullet$ ist, und mit der (rekursiven) Definition kann man weitere Bäume konstruieren. Die Höhe eines Baumes $b$ ist rekursiv durch $h(b) := \sup_{x \in b} (1+h(x))$ definiert. Aus dieser Definition folgt $h(\bullet)=0$. Wenn man das programmiert, entfällt also auch die Fallunterscheidung.

PS: Interessant ist, dass Math.max(); in JavaScript das Ergebnis -Infinity gibt.\(\endgroup\)
 

Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: StefanVogel am: Sa. 13. März 2021 07:32:48
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Die Normalverteilung ist in Wikipedia nur für Varianz \(\sigma^2 > 0 \) definiert, im Artikel LinkGrundlegendes zur Normalverteilung auch für \(\sigma^2 = 0 \), was dann die konstante Zufallsvariable ergibt.\(\endgroup\)
 

Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
von: Triceratops am: Sa. 13. März 2021 11:11:43
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@StefanVogel: Danke, das ist ein schönes Beispiel! Und Calculus schreibt in seinem Artikel auch:

Der Spezialfall <math>\sigma = 0</math> muss gesondert betrachtet werden. Dieser Fall ist jedoch wichtig bei der Betrachtung der mehrdimensionalen Normalverteilung. Definiert man konstante Zufallsvariablen nicht als normalverteilt, so müssen bei der mehrdimensionalen Normalverteilung an vielen Stellen Ausnahmen betrachtet werden.
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