Physik: Die Entstehung und Natur von Wasserwellengruppen
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Physik

\(\begingroup\) Einleitung: Das bestehende Modell für die Erklärung der Wellengruppen in Wasser (s. Abb. 1) von Kelvin (ehemals Thomson, 1887), ist unvollkommen, denn es behauptet für alle Wellenschleppen einen Öffnungswinkel von 2∙19,47° (s. Anhang, Abb. 9.6) und dass die Gruppengeschwindigkeit halb so groß wie die Phasengeschwindigkeit sei. Satellitenaufnahmen bei Google Maps zeigen aber, dass diese Winkel meistens kleiner, sogar viel kleiner, jedenfalls aber unterschiedlich sind (Abb. 9.1 – 9.5) Rabaud und Moisy (1) modifizierten ausgehend von Satellitenbildern die Theorie 2013 dahingehend, dass der Öffnungswinkel für kleine Geschwindigkeiten (z.B. von Segelschiffen) konstant 19,5° betrage, bei höheren Geschwindigkeiten aber abnehme. Beide Modelle erklären Wellengruppen mit der Interferenz von sehr vielen Teilwellen unterschiedlicher Wellenlängen und mit der Dispersion in Wasser (2), was zu der halben Gruppengeschwindigkeit (3) und dem federartigen Ausfächern an den Rändern der Schleppe (s. Abb. 9.5) führe. Dem liegt aber eine starke Vereinfachung zugrunde, nämlich die Beschränkung auf den ersten Summanden einer Taylor-Reihe (3). Es handelt sich also um eine Näherung an die Wirklichkeit. Außerdem fehlen Erklärungen für die Entstehung der vielen Teilwellen unterschiedlicher Wellenlänge, für die Entstehung der Wellengruppen aus der Bugwelle des Wellenerregers und am Heck des Erregers und für die Wellen hinter dem Erreger (s. Abb. 1). Vor allem fehlt eine Beschreibung und Erklärung der Bewegung der Wasserteilchen in der Wellengruppe. All dies wird im Folgenden versucht. Abb. 1: Wellenschleppe einer Ente

Hauptteil: Der Wellenerreger überträgt ständig Energie auf das Wasser, wodurch sich die Bugwelle bildet und in der Wellenschleppe fortsetzt. Von dem Erreger erhalten die Wassermoleküle einen Impuls in Bewegungsrichtung, so dass sie sich in einem vertikalen Kreis in der Bewegungsrichtungs-Ebene bewegen. In Wasserwellen überlagern sich nämlich eine vertikale und eine um π/2 phasenverschobene horizontale harmonische Schwingung zu einer Kreisbewegung. Benachbarte Teilchen werden dadurch zeit- und deshalb phasenverschoben zu gleichen Kreisbewegungen angeregt, wodurch sich eine Welle ergibt (s. Abb. 2). Die Wellenoberflächenlinie ist daher nicht harmonisch, sondern eine Zykloide mit mathematisch positiver Drehrichtung.
Abb. 2: Vertikaler Schnitt (in Bewegungsrichtung) durch eine Wasserwelle im Modell Da Flüssigkeiten inkompressibel sind, müssen die angestoßenen Wasserteilchen nach oben ausweichen und somit Transversalwellen (wegen der Kreisbewegungen, s.Abb. 2, eigentlich eine Kombination aus Transversal- und Longitudinalwellen) bilden. Sie können nicht zu den Seiten ausweichen, deshalb verbleibt die Kreisbewegung in der vertikalen Fahrtrichtungsebene. Diese Bugwelle hat die Geschwindigkeit v des Erregers. Durch die Wasserverdrängung des Erregerkörpers entstehen links und rechts zwei weitere Wellen, deren vertikale Kreisebenen orthogonal zur Fahrtrichtung liegen und die mit der Bugwelle interferieren. Die Wasserteilchen werden längs der Bordwand wegen der Vorwärtsbewegung aber nacheinander angestoßen. Die senkrecht zur Fahrtrichtung mit der Geschwindigkeit w (s. Abb. 3) zurückgelegten Wege nehmen dadurch proportional zur verstrichenen Zeit zu. Daraus ergibt sich der V- oder keilförmige Verlauf der beiden Wellengruppen. Es gilt: w/v=tan\alpha also w=v*tan\alpha
Abb. 3: Die Wellengruppe als Interferenzwelle (Draufsicht) Aus der Formel für die Phasengeschwindigkeit c=sqrt(g/(2\pi) \lambda)\label(1) folgt tan\alpha=w/v=sqrt(\lambda_w/\lambda_v) und daraus tan^2 \alpha=\lambda_w/\lambda_v , also \lambda_w=\lambda_v* tan^2 \alpha\label(2) Bei kleinen Geschwindigkeiten (tan⁡α=1/√8): \lambda_w=1/8 \lambda_v Aus Gl. 1 folgt: \lambda=(2\pi)/g c^2 und daraus für die Bugwelle, da c = v : \lambda_B=\lambda_v=(2\pi)/g v^2 und für die Querwelle: \lambda_w=(2\pi)/g tan^2 \alpha *v^2 Für die zugehörigen Frequenzen folgt: \nue_v=v/\lambda_v=g/(2\pi) *1/v und \nue_w=w/\lambda_w=(\nue*tan\alpha)/((2\pi)/g tan^2 \alpha *v^2)=g/(2\pi tan\alpha) *1/v Daraus folgt \nue_v/\nue_w=tan\alpha und daraus für die Umlaufdauern der Wassermoleküle auf ihren beiden Kreisen: T_w/T_v=tan\alpha und T_w=T_v*tan\alpha für kleine Geschwindigkeiten T_w=0,35 T_v\label(3)
Während ein Wasserteilchen also einmal in Fahrtrichtung kreist, kreist es knapp dreimal quer dazu (s. Abb. 4 u. 5). Dieses Verhältnis passt zum Erscheinungsbild der Wellengruppe. Wenn man über die Bordwand eines Schiffes schaut, kann man die abgebildete Bewegung erahnen. Es handelt sich um eine dreidimensionale Lissajousche Figur. Weil das Verhältnis der Umlaufzeiten nicht ganzzahlig ist ( T_v: T_w=2,83 ) , erfolgen die Bewegungen nach einem ganzen Umlauf jeweils verschoben (2. Umlauf s. Abb. 4, dünner Strich), wobei die Schnittpunkte S auf dem Zylinder umlaufen. Nach vielen Umläufen ist dann die ganze Zylinderoberfläche regelmäßig mit den Bahnen bedeckt, wie man es auch von zweidimensionalen Lissajouschen Figuren kennt.
Abb. 4: Räumliche Bewegung eines Wasserteilchens, qualitativ (Schrägsicht) Entsprechend Abb.2 liegen neben dem dargestellten virtuellen Zylinder weitere Zylinder, auf welchen sich Wasserteilchen durch die koppelnde Kohäsionskraft gleichartig, aber phasenverschoben, bewegen. Die Teilchen bewegen sich effektiv aber orthogonal zur Gruppenwellenfront bzw. zur Zylinderachse, so als rollte der Zylinder (rückwärtsdrehend wie in Abb. 2). Sie bewegen sich nicht orthogonal zu den Kammlinien der Phasenwellen. Die Phasenwellen sind also keine echten Wellen, sondern sozusagen Scheinwellen. Die Gruppenwellenoberfläche wird aus räumlichen Zykloiden gebildet, von Punkten auf räumlichen Lissajou-Figuren, die sich phasenverschoben in zwei Dimensionen aneinanderreihen. Die um den Winkel δ gegenüber der Gruppenwellenfront angewinkelten sog. Phasenwellen entstehen durch die Interferenz der Bugwelle in v-Richtung und der Querwelle in w-Richtung, wobei ihre Kammlinien durch die Überlagerung der Maxima der beiden Einzelwellen entstehen. Die Kammlinie der v-Welle ist die Mittellinie der ganzen Wellengruppe mit dem Winkel α zur Fahrtrichtung. Die „eigentlich“ (nämlich ganz vorne an der Spitze der Bugwelle) orthogonal zur Fahrtrichtung liegende Kammlinie der v-Welle ist durch die sukzessive Entstehung um den Winkel α angewinkelt, weil ihre weiter außen liegenden Punkte früher entstanden sind (auf der vorderen gestrichelten Linie, s. Abb. 5) und folglich mehr Zeit hatten, um im Ruhesystem, dem Bezugssystem des Erregers, nach hinten zu wandern. Im bewegten Bezugssystem, über Grund, sind die weiter innen liegenden Punkte weiter vorgerückt, weil sie früher entstanden sind (auf der hinteren gestrichelten Linie). Entsprechen ist die Kammlinie der w-Welle, welche gedanklich ursprünglich parallel zur Fahrtrichtung liegt, um den Winkel β zur Fahrtrichtung angewinkelt. Denn ihre Punkte, welche weiter hinten liegen, hatten mehr Zeit, um nach außen zu wandern (unabhängig von der Wahl des Bezugssystems). Obwohl w < v ist, demzufolge auch die dabei zurückgelegten Wege s_w
Abb. 5: oben: \alpha=19,5° (s.Abb.9.6) ; \lambda_v: \lambda_w=8:1 (Gl.2);T_v=2,82 T_w (Gl.3) unten: \alpha=8° (s.Abb.9.1) ; \lambda_v: \lambda_w=50:1 ; T_v=7,12 T_w im hinteren Teil Andeutung der Verbreiterung der Wellengruppe wegen der Koppelung benachbarter Wassermoleküle Wenn der Winkel α kleiner als 19,5° sein kann, dann kann er bei kleinen Geschwindigkeiten des Erregers auch größer sein. Die Keilwelle entsteht entsprechend dem Machschen Kegel, wenn die Erregergeschwindigkeit größer als die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Eigenwelle (abhängig von der Amplitude) wird (wenn in Luft also die Schallmauer durchbrochen wird; mit α = 90°). In Abb. 12 sieht man Winkel α bei Wellengruppen-Wolken, welche deutlich größer als 19,5° sind. In Abb. 13 sind wie in Abb. 5 Wellengruppen mit den α-Werten 30°und 45° dargestellt. Außerdem wird dort die Formel für die Berechnung des Winkels β aus dem Winkel α \beta=arctan(2 tan\alpha) für \alpha<=45°\label(4) hergeleitet. Daraus ergeben sich für die Winkel α,β und δ= β - α folgende Werte-Tripel: (8°; 15,7°; 7,7°); (19,5°; 35,3°; 15,8°), (30°; 49,1°; 19,1°); (45°; 63,4°; 18,4°), welche gut mit den Zeichnungen übereinstimmen. Die interferierte Gesamtwelle, die Wellengruppe, breitet sich mit der Gruppengeschwindigkeit v_g=v*sin\alpha (4) unter dem Winkel α zur Fahrtrichtung aus. Die Kammlinie der Phasenwellen schließt mit der Fahrtrichtung den Winkel β=arcsin(c/v) (4) und mit der Gruppenfront den Winkel δ=β-α ein. Bei kleinen Erregergeschwindigkeiten gilt für diese Geschwindigkeiten näherungsweise α = 19,5° (sin⁡α=1/3), β = 41,8° und δ = 22,3° (4). Während sich nun die Wellengruppe um eine Strecke a (s. Abb. 3) senkrecht zur Gruppenwellenfront fortbewegt, erfährt z.B. ein Maximum durch seine Phasenwelle eine zusätzliche seitliche Verschiebung, legt also in derselben Zeit t eine größere Strecke b zurück und hat damit eine größere Geschwindigkeit. Dabei gilt: b=a/cos\delta
Da die Gruppengeschwindigkeit v_g=a:t ist, ist die Geschwindigkeit b/t dieses Maximums (welches sich orthogonal zu den Kammlinien der Phasenwellen bewegt) , die Phasengeschwindigkeit, somit c=b:t=(a/cos\delta):t also c=v_g/cos\delta und v_g=c*cos\delta\label(5) und bei kleinen Geschwindigkeiten c=1,1 v_g und v_g=0,93 c Dies kann man sich in einem Modellversuch selbst veranschaulichen: Man rolle einen Ausdruck von Abb. 8 (s. Anhang) so auf, dass der Umfang einen Umlauf eines Wasserteilchens beträgt (die Linien sind Berge, Täler und Nulllinien), und mache daraus mit Klebeband eine Rolle (Abb. 6). Wenn man diese Rolle nun rollt oder zwischen zwei Fingern dreht, sieht man, dass sich die schrägen Linien der Phasenwellen schneller voran bewegen und hat ein Modell der Wellengruppe. (Dabei ist zu berücksichtigen, dass hier nur die Rotation von Teilchen (die parallel zur Wellengruppenfront liegen) betrachtet wird, nicht die ganze Welle, s. Abb. 2)
Abb. 6: Wellengruppen-Rolle Die beiden Wellengruppen am Heck eines Erregers entstehen dadurch, dass in der Bugwelle durch die Bewegung und Leistung des Erregers Wasser über die (ungestörte) Wasserfläche gehoben wird, welches hinter ihm fehlt, (so wie in Luft vor dem Erreger ein Überdruck, hinter ihm ein Unterdruck entsteht). In diese Senke strömt von den Seiten nacheinander Wasser. Diese Querwelle interferiert mit dem Rest der Bugwelle, welcher unter dem Erreger hindurchkommen konnte, wobei links und rechts je eine niedrigere Wellengruppe entsteht. Dazwischen zeigt sich der sehr flache Rest der Bugwelle in fast geraden Wellenfronten.
Typisch am Erscheinungsbild einer Wellengruppe ist die Krümmung der Kammlinien der Phasenwellen (s. Abb. 9.5). Sie erklärt sich aus der Dämpfung, die in Flüssigkeiten wegen der inneren Reibung geschwindigkeitsabhängig ist. Die Wassermoleküle beschreiben eine zusammengesetzte Bewegung, die Interferenz einer Kreisbewegung in Bewegungsrichtung (v) und einer Kreisbewegung quer dazu (w) (s. Abb. 7). Die Radien der v-Kreise sind größer als diejenigen der w-Kreise. Darum sind auch die Geschwindigkeitskomponenten der v-Kreise größer und werden stärker gedämpft, wodurch ihre Geschwindigkeiten stärker abnehmen als die der w-Kreise. Weil die v-Komponenten von Geschwindigkeit und Weg s dadurch relativ zu den w-Komponenten verkleinert werden, wandert z.B. ein Maximum auf seinem Weg nach außen nicht mehr so weit seitwärts ( s_v2 < s_v1 ), wodurch sich die Kammlinie dreht bzw. der Winkel δ vergrößert.
Abb. 7: Wellengruppe mit gekrümmten Kammlinien der Phasenwellen (Draufsicht; anstatt der zusammengesetzten Bewegung eines Wasserteilchens wie in Abb. 4 sind die beiden Teilbewegungen, die vertikalen Kreise in v- und in w-Richtung dargestellt). Schlussbemerkungen: Es versteht sich, dass die obigen Aussagen nicht nur für Wasser, sondern für alle Flüssigkeiten und Gase, speziell auch in Luft, gelten sollen. Außerdem kann auch der Erreger ruhen und das Medium an ihm vorbeiströmen. Das kann man oft an Steinen in Flüssen beobachten. Es gibt auch Satellitenfotos (s. Abb. 11 und Quelle 5) von entsprechenden Wolkenformationen, welche hinter hohen Bergen – besonders auf Inseln – entstehen, weil sich in der Luft Druckunterschiede im beschriebenen Muster ausbilden. Auch genügt es, wenn der Stauung z.B. wegen einer entsprechend geformten Ufer- oder Küstenlinie nur zu einer Seite ausgewichen werden kann, also nur ein Zweig des Keils entsteht, die sog. Kelvinwellen. Im dargestellten Modell wird also die Tatsache, dass die Phasengeschwindigkeit höher als die Gruppengeschwindigkeit ist, nicht wie üblich mit der Interferenz von Wellen unterschiedlicher Wellenlängen, Amplituden und Geschwindigkeiten erklärt, siehe (2) und Abb. 10. Denn auch wenn jenes Standardmodell eine Wellengruppe mit höherer Phasengeschwindigkeit liefert, scheint dies ein rein mathematisches Modell zu sein, was mit der Realität nicht viel zu tun hat und viele Fragen offen lässt. Zum einen kann nicht von Sinusfunktionen ausgegangen werde, weil Schwerewellen Zykloide sind, s. Abb. 2. Außerdem wird das räumliche Schwingungs- bzw. Rotationsverhalten nicht berücksichtigt. Und überlagern einander tatsächlich so viele Wellen in so feinen Abstufungen der Wellenlängen wie in Abb. 10 dargestellt? Die Wellenlängen von Oberwellen sind immer nur ganzzahlige Vielfache der Grundwellenlänge und es gibt davon nur eine kleine Anzahl. Die Addition periodischer Funktionen ergibt aber immer eine periodische Funktion. Wie real sind dann die periodischen Wiederholungen der Wellengruppe, welche sich mathematisch bei der Überlagerung der unendlichen Sinusfunktionen ergeben. Gibt es außerdem überhaupt die dargestellten "Unterwellen", mit Wellenlängen bis unendlich? Oberwellen können eine kreisförmige Bahn verformen (s. de-Broglie-Welle des Elektrons), Schwingungen mit einer längeren Periodendauer als der der Rotationsbewegung kann es darauf nicht geben. Schwerewellen beruhen aber auf Rotationsbewegungen, können also nur Oberwellen haben. Empirisch spricht gegen das Standardmodell, dass es die erwähnten Wolkenformationen mit dem Kelvinwellen-Muster gibt. Denn erst die unterschiedlichen Geschwindigkeiten der Einzelwellen, d.h. die Dispersion, bewirken die Vorwärtsbewegung der Phasenwellen innerhalb der Wellengruppe (s. 2 und Abb. 10). In Luft gibt es aber keine Dispersion; folglich kann es dort dem Standardmodell zufolge keine Kelvinwellen geben.
Quellen: (1) Physical Review Letters PRL 110, 214503 (2013) (2) youtu.be/uXbC1QG_-WU Stephan Müller: Phasen und Gruppengeschwindigkeit von Wellen (3) itp.tugraz.at/LV/ewald/AM/am9.pdf auf S. 185 bis 190 (4) www.matheplanet.de, Roland17: Die Gruppengeschwindigkeit von Wasserwellen, Gl. 4, 6, 8 (5) en.wikipedia.org/wiki/Wave_cloud (6) 300px-Wave_Clouds_from_South_Sandwich_Islands.jpg (300×390) (wikimedia.org) Anhang:
Abb. 8: Vorlage für eine Wellengruppen-Rolle (mit psychologischem Verzerrungs-Effekt)
Abb. 9.1: Satellitenaufnahme aus Google Maps, Motorboot bei Puerto Princesa, Philippinen, alpha ca. 8°
Abb. 9.2: Satellitenaufnahme, Schnellboot bei Oslo, Norwegen, alpha ca. 4°
Abb. 9.3: Satellitenfoto, Schiff am Stromboli, Italien, alpha ca. 15°
Abb. 9.4: Satellitenfoto, Schiff am Stromboli, Italien, alpha ca. 10°
Abb. 9.5: Satellitenfoto, Motorboot mit gekrümmten Kelvin-Wellen, Philippinen, alpha ca. 10°
Abb. 9.6; Satellitenfoto, Boot in den Philippinen, alpha ca. 19°
Abb. 10: Vertikaler Querschnitt durch eine Wellengruppe (unten) als Interferenz von Einzelwellen (oben), s. Quelle 2
Abb. 11: Wellengruppen-Wolkenmuster (wave cloud) hinter der Insel Île Amsterdam im südlichen Indischen Ozean, α ca. 14° (5)
Abb. 12: Wellengruppen-Wolken, Südliche Sandwichinseln, Südgeorgien; alpha ca. 45°! (2. oben) Von unten nach oben nimmt alpha zu, wohl wegen abnehmender Windstärke.
Abb. 13.1 und 13.2: Wellengruppe mit α= 30° und Wellengruppe mit α= 45° Wie in Abb. 13.1 dargestellt teilt sich die Kammlinie der Quer- oder w-Welle innerhalb einer Periodenlänge der Bug- oder v-Welle im Verhältnis ihrer beiden Periodendauern auf. Also gilt: a:\lambda_v=T_w :T_v und a=\lambda_v* T_w/T_v und mit Gl. 3: a=\lambda_v*tan\alpha Laut Abb. 13.1 gilt andererseits: tan\alpha=b/a und b=a*tan\alpha Damit folgt: b=\lambda_v*tan\alpha*tan\alpha=\lambda_v*tan^2 \alpha und mit Gl. 2: b=\lambda_w Dann gilt laut Abb. 13.1: tan\beta=2 \lambda_w /a=2 \lambda_w /(\lambda_v*tan\alpha) und mit Gl. 2: tan\beta=(2 tan^2 \alpha)/tan\alpha also: tan\beta=2 tan\alpha und \beta=arctan(2 tan\alpha) .\label(4)
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Die Entstehung und Natur von Wasserwellengruppen [von Roland17]  
Einleitung: Das bestehende Modell für die Erklärung der Wellengruppen in Wasser (s. Abb. 1) von Kelvin (ehemals Thomson, 1887), ist unvollkommen, denn es behauptet für alle Wellenschleppen einen Öffnungswinkel von 2∙19,47° (s. Anhang, Abb. 9.6) und dass die Gruppengeschwindigkeit halb so g
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"Physik: Die Entstehung und Natur von Wasserwellengruppen" | 1 Comment
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Re: Die Entstehung und Natur von Wasserwellengruppen
von: easymathematics am: Mo. 05. April 2021 21:08:13
\(\begingroup\)Danke für diesen tollen Artikel. :)\(\endgroup\)
 

 
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