Stern Mathematik: Beweise, immer nur Beweise
Released by matroid on Fr. 22. Februar 2002 00:35:14 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Puzzle
Der Sinn des Mathematik-Studiums ist, dass man das Beweisen lernt.
Das geht so vor sich, dass in Vorlesungen, Büchern und manchmal Übungen das Beweisen vorgemacht wird.

Ein Beweis besteht aus einer geschlossenen und lückenlosen Ableitung einer zuvor formulierten Behauptung aus den zugrundeliegenden Axiomen und den gegeben Voraussetzungen.

Die Hilfsmittel beim Beweisen sind:

  1. die Regeln der Logik, als elementare Operationen
  2. Beweistechniken, als zusammengesetzte Operationen aus elementaren Operationen (quasi 'große Moleküle', z.B. die vollständige Induktion oder die Technik des Widerspruchsbeweises).
  3. schon bewiesene Behauptungen allgemeiner Art (z.B. Abschätzen von Ungleichungen, a < b => a+c < b+c).
  4. schon bewiesene Behauptungen des Fachgebiets (Sätze, Hilfssätze, Theoreme, z.B. der Mittelwertsatz der Differentialrechnung)
  5. der Einfallsreichtum des Beweisenden in der Kombination von a.-d.



In Übungen wird verlangt, dass man selbst Beweise gibt.

Zweck der meisten Übungen ist nicht, den Stoff zu vertiefen. Vielmehr ist es umgekehrt. Der Stoff ist das Vehikel, an dem man das Beweisen üben kann. [Ich spreche hier nicht von Nebenfachvorlesungen. Physiker oder Wirtschaftswissenschaftler haben ein anderes Interesse. Sie wollen wirkliche Aufgaben mit mathematischen Methoden lösen lernen.]

Puzzle Wenn man mit dem Studium fertig ist, kann man (genügend Zeit gegeben) alles beweisen (was beweisbar ist und wofür man Ehrgeiz entwickelt).
Ist das eine zu optimistische Aussage? Nicht sehr, ich behaupte nicht, dass ein Menschenleben immer 'genügend Zeit' enthält.

Unterscheide Wahr und Falsch

Die Beweise sind für die Mathematik existentiell. Es ist Grundkonsens aller Mathematiker, dass man eine gesicherte Ausgangsbasis zu haben hat.
Aussagen, die andere (früher) gegeben und bewiesen haben, bilden das Fundament, auf dem die nächste Generation baut.
Die Fähigkeit zum Beweis impliziert die Fähigkeit, einen vorgelegten Beweis nachzuvollziehen - und nötigenfalls zu kritisieren.
Es impliziert auch die Fähigkeit, die Richtigkeit eigener Gedanken beurteilen zu können - wenigstens in viel weiterem Maße, als das andere Ausbildungen bewirken.

Puzzle Mir ist es so ergangen, dass ich ca. ab dem Vordiplom gar keine falschen Lösungen zu Übungsaufgaben abgegeben habe. Ich wusste, dass ich die richtige Lösung nicht hatte.
Den 'Beweis auf Verdacht' gibt es nicht. Und anders als vielleicht in der Philosophie, kann man nur mit schönen Worten keine mathematischen Tatsachen ersetzen.
Vielleicht können das andere bestätigen.

Einige Gebote

Ein Beweis ist kein Small-Talk. Er soll solide sein, also Bestand haben. Er soll von vielen gelesen werden. Beweise werden gegeben - sich selbst und anderen. Eine klarer Aufbau, möglichst eine wiedererkennbare Gliederung, eine korrekte Orthographie und die Vermeidung jeglichen Jargons helfen sehr beim Denken, Nachvollziehen und Verstehen.

Ein Beweis muss lückenlos sein. Das schließt nicht aus, dass in einem gedruckten Beweis mancher technische Zwischenschritt unausgeführt bleibt. Es hängt von der Zielgruppe, der Leserschaft ab.
Es werden nur solche Sachen bewusst ausgelassen, die eine Person der Zielgruppe leicht (für sich selbst) ergänzen kann und will.
Die Zielgruppe von Erstsemestern sind deren Übungsleiter. Diese wollen keine Lücken schließen, sondern sollen Studenten anleiten beim Lernen des Beweisens.
Mathe-Erstsemester müssen alles kleinlich genau ausführen. Sie dürfen

  1. nicht 'trivial' oder 'wie man leicht sieht' schreiben

  2. Musterbeispiel: Fermats Randbemerkung.
  3. keine Pünktchenbeweise geben.
    Musterbeispiel: f(n)(x) = 1 + ... + O(x²)
  4. die ausführlichen Rechnungen nicht auslassen.
    Musterbeispiel: Die lineare Abbildung hat A den Eigenvektor (1,4/19,-4/7) [Mathematica lässt grüßen].
  5. keine Sätze verwenden, die zwar wahr sind, aber in der Vorlesung noch nicht dran waren.
    Musterbeispiel (Ana I, erste Übung): Der Mittelwertsatz folgt sofort aus dem Satz von Rolle.
  6. Beweise nicht imitieren,
    Ein imitierter Beweis enthält ebensolche Zeichen wie ein richtiger Beweis, aber sagt nichts über das Problem. Musterbeispiel: A eine symmetrische Matrix. Zeige (TA)n = T(An). Beweis: (TA)n = PTA = T(PA) = T(An).
  7. [Gibt es weitere Gebote?]

Mathematik ist Struktur

Die Mathematik hat zwar viele praktische Anwendungen, aber ihr Selbstzweck ist nicht praktisch orientiert.
Puzzle Mathematik ist Struktur und Beweis. Struktur ist oft schwer zu beschreiben. Strukturen werden derart beschrieben, dass sie möglichst mehrfach anwendbar sind. Aussagen über Strukturen gelten für alle (konkreteren) Gegenstände, die die betreffende Struktur aufweisen. Nur eine Gruppentheorie beschreibt die Eigenschaften (Gesetze) der ganzen Zahlen genauso gut, wie die Eigenschaften von geometrischen Bewegungen oder Permutationen.
Struktur ist abstrakt und Abstraktes ist universell. Der Wert der Struktur zeigt sich in der Anwendung.
Manche nennen das auch 'Verallgemeinerung' oder 'Modellbildung'. Anstatt über Brücken und Inseln zu reden, werden Graphen eingeführt. Nichts spricht dagegen, sich bei Gelegenheit unter den Kanten eines Graphen auch Straßen vorzustellen. Aber unter den Brücken muss kein Wasser fließen, und an den Kanten stehen keine Häuser. Häuser sind uninteressant, wenn man Verbindungen sucht. Mathematik entsteht oft aus Abstraktion realer Probleme.
Die Abstraktion erfordert die Beschreibung der wesentlichen Struktur des Problems. Vor dem Beschreiben liegt das Erkennen dieser Struktur.
Bei der Beschreibung bleibt es nicht. Durch die erkannte Struktur kann das Problem leichter durchschaut werden.
Es kann für Gegenstände mit einer bestimmten Struktur etwas ausgesagt werden. Die Aussagen werden bewiesen. Die bewiesenen Aussagen werden (von anderen) zur Lösung der ursprünglichen Probleme herangezogen.

Mathematik für und durch die Praxis

Die anderen, das sind z.B. Wirtschaftswissenschaftler. [In vielen praktischen Dingen sind Ingenieure den Mathematikern an Lösungskompetenz weit voraus.]
Die Mathematik besteht aus Abstraktion, Struktur, Beweis und Anwendung. Diese vier Pfeiler sind selten in einer Person vereinigt. Mathematiker kommunizieren mit anderen Berufsgruppen. Das geht in zwei Richtungen. Heute heißt das Technologie-Transfer.
  1. In der Physik kann eine Fragestellung auftauchen, die eine neuartige mathematische Theorie hervorbringt.
  2. Ein (zum Spaß) von Mathematikern entwickelter Mathematik-Zweig hat bereits die Grundlage für (eine später nachgefragte) praktische Anwendung gestellt.
Puzzle Für Euler mag das Königsberger Brückenproblem ein Spielzeug gewesen sein. Die Graphentheorie war dann viel später das probate Mittel zur Beschreibung und Lösung von Optimierungsproblemen in Transportnetzen. Die Graphentheorie war nicht fertig, als die Anwendungen auftauchten. Aber sie war da und hat sich dann um die Verbesserung und Erweiterung ihres Instrumentariums erfolgreich bemüht (im Sinne ihrer Anwender).

 

 

Und wie lernt man Beweisen?

Reden lernt man durch reden.
Beweisen lernt man durch beweisen.
Am Anfang des Studiums ist man ein Neuling auf dem Hochseil. Man führt unsichere Bewegungen aus und liegt oft im Netz.
Ein ausgebildeter Akrobat weiß vielleicht noch, dass er es am Anfang auch schwer hatte, aber er kann auch nicht mehr raten, als zu üben - und den Moment abzuwarten, wo aus Unsicherheit über Nacht Souveränität wird.

Genausowenig, wie es einen schmerzfreien Erfolgskurs für Artisten gibt, gibt es solches für angehende Mathematiker.

Dennoch bemühen sich die Ausbilder um Motivation und Förderung des Nachwuchses - jeder auf seine Weise. Vielleicht ist das die Art und Weise, die einem bestimmten Menschen gut entspricht - und einem anderen nicht.
Und manche Seite im Internet will dazu einen Beitrag leisten. Das geht von ganz ernst bis sehr locker, von allgemein bis speziell, aber ein 'man nehme' ist nicht dabei.

Einziger Tipp von mir: Ein Beweis ist höchstens dann richtig, wenn Du selbst ihn (wirklich) verstehst.

Link-Liste zum Thema 'Beweise in der Mathematik'

absteigend geordnet von 'ernsthaft' bis 'lustig'. In Klammern der Veröffentlichende.
Beweistechniken an der Satzgruppe des Pythagoras [Uni Würzburg]
Über Widerspruchsbeweise [Matroid]
Beispiel eines mathematischen Textes mit Beweis [Uni Wuppertal]
Beweisverfahren [Sven Blumberg]
Das Königsberger Brückenproblem [Uni Wuppertal]
Der von Cantor entwickelte Abzählbeweis [Matroid]
Das Prinzip der vollständigen Induktion [Matroid]
Mein erster Beweis [Karsten Schmidt]
Allgemeine Lösung des 12-Kugel-Problems [Dominik Brodowski]
Vorsichtslemma oder Großes Gegenbeispiel [Matroid]
Die Tricks der Professoren [Gunnar Anzinger]
Falsche Beweise [Matroid]

Und einige Bücher:

Was ist Mathematik? [Courant/Robbins]
Das ist o.B.d.A. (oBdA) trivial [Beutelspacher]
Die Architektur der Mathematik [Basieux]
Denkweisen großer Mathematiker [Meschkowski]

Außerdem - und schon gesagt, in Vorlesungen und Büchern wird laut 'vorbewiesen'.

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Zum Schluss, wer möchte üben?

Ich fordere zum
1. Matheplanet-Beweiswettbewerb.

Definition: Ein Graph G ist ein Tripel (V,f,K), wobei V eine nichtleere Menge ist, deren Elemente Ecken heißen sollen, K eine Menge, deren Elemente Kanten heißen sollen und die mit V leeren Durchschnitt hat. f eine Abbildung von K->P2(V)ÈP1(V). f ist die sogenannte Inzidenzrelation.
[P2(V) bezeichnet die Menge der zweielementigen Teilmengen von V, P1(V) sind die 1-elem. Teilmengen von V]
Graphen aufgrund dieser Definition nennt man auch 'ungerichtete Graphen'.

Definition: Die Valenz d(x) der Ecke xÎV ist die Anzahl der Elemente aus kÎK mit {x}Çf(k) ¹Ø.

Definition: Ein Weg ist eine Folge v1-k1-v2-k2-v3-...-vn-kn-vn von Ecken viÎV und Kanten kiÎK, so dass f(ki)={vi,vi+1} und ki¹kj und vi¹vj (für i¹j).

Definition: Ein "Weg von x nach y" (x,yÎV) ist ein Weg, der mit x beginnt und mit y endet.

Definition: Ein Baum ist ein zusammenhängender ungerichteter Graph, in dem es zwischen je zwei Ecken genau einen Weg gibt.

Definition: Der Abstand a(x,y) zwischen zwei Ecken x,y ist die Anzahl der Kanten in einem Weg von x nach y.

Definition: Das Zentrum eines Baumes ist eine Ecke v für die das Maximum der Abstände zu anderen Ecken minimal ist.

Definition: Der Schwerpunkt eines Baumes ist eine Ecke, für die die Summe der Abstände zu den anderen Ecken minimal ist.

Man zeige:
Für jedes mÎIN gibt es einen Baum, in dem a(b,z) > m ist [z das Zentrum und b der Schwerpunkt].

Die eingereichten Musterbeweise werden öffentlich ausgestellt und können von allen Besuchern bewertet werden.
Nur Mut, Du musst ja nicht Deinen Namen angeben. Das kannst Du Dir aufheben, bis Du gewonnen hast.

Wer Fragen hat, soll sie hier stellen. Ich werde die notwendigen Hilfestellungen öffentlich geben. Beweise (als .txt, .doc oder .html) einsenden an contest@matroid.cdeom

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Zur Verschönerung habe ich Bilder von http://www.johnrausch.com/SlidingBlockPuzzles/nob.htm verwendet. Klicke auf ein Bild, wenn Du diese Puzzle online lösen möchtest. Beweise sind auch Puzzle!


 
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Mathematisch für Anfänger
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: Mathematik :: Schüler aufwärts :: Beweistechnik :: Grundstudium Mathematik :: Architektur der Mathematik :: Leicht verständlich :
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202008-08 (5x)https://google.com/search?client=firefox-b-m
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201512-12 (4x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=6&rct=j&q=warum macht man do viele Be...

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"Stern Mathematik: Beweise, immer nur Beweise" | 24 Comments
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Re: Beweise, immer nur Beweise
von: Ende am: Sa. 30. März 2002 19:38:33
\(\begingroup\)Hallo, matroid!

Ich habe leider jetzt erst Deine kleine Aufgabe entdeckt.
Trotzdem meine Frage dazu: Du forderst dazu auf, fuer ein natuerliches m etwas ueber den Abstand von b und z zu zeigen. Was sind denn b und z? Ich konnte leider beides nicht in den Definitionen finden.

Gruss, E.\(\endgroup\)
 

Re: Beweise, immer nur Beweise
von: Ende am: Sa. 30. März 2002 19:54:36
\(\begingroup\)Ich habe noch eine Frage zur Definition des Zentrums eines Baumes.
Das Minimum der Abstaende zu anderen Ecken soll fuer ein Zentrum maximal sein. Ist das Minimum der Abstaende zu anderen Ecken nicht immer 1? Da in einem Baum ja jede Ecke von jeder anderen Ecke aus erreichbar sein soll, muss also die Valenz jeder Ecke mindestens 1 sein. Also ist fuer jede Ecke in einem Baum das Minimum der Abstaende zu anderen Ecken 1. Damit waere dann jede Ecke eines Baumes ein Zentrum.

Gruss, E.\(\endgroup\)
 

Re: Beweise, immer nur Beweise
von: Martin_Infinite am: Di. 26. August 2003 22:07:01
\(\begingroup\)Schöner Artikel!
Ist mal wieder was zum Audrucken und ins
Klassen- zimmer hängen, finde ich 😄

Gruß
Martin\(\endgroup\)
 

Re: Beweise, immer nur Beweise
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 09. Oktober 2003 12:37:41
\(\begingroup\)"AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHHHHHHHHHH............"

(ein Erstsemestler)\(\endgroup\)
 

Matheaufgaben
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 11. Dezember 2003 15:16:56
\(\begingroup\)Es kann sein, dass ich das übersehn habe, aber ich finde keine Aufgaben mit ihren Lösungen. Ich bin nämlich auf der Suche nach ein paar Lösungen für meine Aufgaben, aber auf eurer Seite finde ich das nicht. Für den Notfall hier meine e-mail adresse: DuduBosnak@web.de\(\endgroup\)
 

Re: Beweise, immer nur Beweise
von: matroid am: Do. 11. Dezember 2003 22:16:24
\(\begingroup\)@Anonymous: Was suchst Du denn genau?
Du könntest im Forum schauen bzw. auch suchen (lassen).

Gruß
Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Beweise, immer nur Beweise
von: Eidetiker am: Fr. 06. Februar 2004 21:48:02
\(\begingroup\)Hallo matroid!

Sehr gut, deine Zusammenstellung!
Mich würde deine Antwort auf die Frage interessieren: Du setzt die Regeln (Definitionen) der Logik voraus. Auf jeden Fall sprichst du von elementare Operationen der Logik. Auf welches Axiom soll denn diese Logik zurückgeführt werden? Oder anders gefragt: Woher weisst du, dass die Definitionen der Logik Sinn machen?
Ist das die einzige Möglichkeit im mathematischen Sinne logisch zu sein?

Gruß
Eidetiker \(\endgroup\)
 

Re: Beweise, immer nur Beweise
von: Cerebus am: Do. 16. Juni 2005 00:06:55
\(\begingroup\)Induktion ist entweder ein Satz oder ein Axiom, aber keine zusammengesetzte Regel der Logik. "Die Mathematik hat zwar viele praktische Anwendungen, aber ihr Selbstzweck ist nicht praktisch orientiert." Das ist mir etwas zu dogmatisch. Es gibt viele Gründe Mathematik zu betreiben: Praktische Probleme lösen, Neugier, klug wirken zu wollen.... lg. Michael\(\endgroup\)
 

Re: Beweise, immer nur Beweise
von: FlorianM am: So. 26. Juni 2005 09:56:18
\(\begingroup\)Zu erst mal: Sehr schöner Artikel!! Zweitens habe ich die Linkliste mal durchgeschaut und habe festgestellt, dass "Beweisverfahren [Sven Blumberg]" mit der URL: home.t-online.de/home/raddy/beweis.pdf nicht mehr funktioniet. Hat einer von euch eventuell diese pdf-Datei noch auf dem PC oder so? \(\endgroup\)
 

Re: Beweise, immer nur Beweise
von: paulitiger am: Mi. 30. November 2005 12:36:10
\(\begingroup\)Hallo! Zu diesem sehr schönen und informativen Artikal habe ich doch noch einige Anmerkungen. >Zweck der meisten Übungen ist nicht, den Stoff zu vertiefen. >Vielmehr ist es umgekehrt. Der Stoff ist das Vehikel, an dem man >das Beweisen üben kann. Dazu: Einverstanden. In meiner Studentenzeit habe ich allerdings fast keine positiven Erfahrungen mit Übungen gemacht, vor allem in den 1. Semestern wurde nichts besprochen, sondern allenfalls vorgerechnet. Und damit irgendwas bewiesen werden kann, muss man ja erst mal den Stoff der Vorlesung zumind. in den Grundzügen begreifen. Oder seh ich das falsch? >Am Anfang des Studiums ist man ein Neuling auf dem Hochseil. Man führt unsichere >Bewegungen aus und liegt oft im Netz. >Ein ausgebildeter Akrobat weiß vielleicht noch, daß er es am Anfang auch schwer >hatte, aber er kann auch nicht mehr raten, als zu üben - und den >Moment abzuwarten, wo aus Unsicherheit über Nacht Souveränität wird. > ... >Dennoch bemühen sich die Ausbilder um Motivation und Förderung des Nachwuchses > - jeder auf seine Weise. Vielleicht ist das die Art und Weise, die einem >bestimmten Menschen gut entspricht - und einem anderen nicht. Ok. Nur: Jeder Akrobat oder Sportler hat einen Trainer und wenns ein Kollege ist. Dieser sagt ihm, wo es noch Defizite gibt und macht gelegentlich auch mal einen Verbesserungsvorschlag. Ausführen muss das dann jeder selber, sicher. Leider hab ich wenig von Trainern oder Coaches (auf Neudeutsch) bemerkt. Zudem finden ja auch Prüfungen statt; und ich habe noch nie gehoert, dass dort für persoenliche Fortschritte Punkte vergeben wurden. Statt wird und wurde einfach ein Punkteschema aufgestellt - für die 4 brauchts x Punkte - basta. Gruesse Wolfgang\(\endgroup\)
 

Re: Beweise, immer nur Beweise
von: Hans-im-Pech am: Mi. 30. November 2005 13:02:42
\(\begingroup\)Hallo paulitiger, das ist ja alles richtig, was Du sagst. Nur wie soll man denn da eine Bewertung durchführen, die sicherlich von Nöten ist?! Viele Grüße, HiP\(\endgroup\)
 

Re: Beweise, immer nur Beweise
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 17. März 2006 22:04:07
\(\begingroup\)Hallo, bin auf der Suche nach der Grundstruktur für den Diagonalisierungsbeweis! Der Beweis wird sehr oft in theoretischen Informatik benutzt, im Moment benutzen wir es für Berechenbarkeit! Hoffe das mir jemand helfen kann, bedanke mich schon im Voraus!\(\endgroup\)
 

Grundstruktur des Diagonalisierungsbeweis(es)
von: SchuBi am: Sa. 18. März 2006 01:23:11
\(\begingroup\)Hallo, Unbekannter! Diese Frage läßt sich am besten im Forum beantworten 😄 Stelle sie dort.\(\endgroup\)
 

Re: Beweise, immer nur Beweise
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 17. Mai 2006 17:05:22
\(\begingroup\)Ich habe so langsam Probleme, immer nur geradlinig zu denken. Das schränkt unglaublich ein und ich habe Angst mich dabei selbst zu verlieren. Hat da jemand einen Tip oder sonstiges? Sollte ich das Studium lassen, weil ich wohl vom Wesen her nicht der Typ dazu bin, immer in Strukturen, Regelnund Linien zu denken?\(\endgroup\)
 

Re: Beweise, immer nur Beweise
von: matroid am: Mi. 17. Mai 2006 20:10:41
\(\begingroup\)Nein, such Dir ein Spezialgebiet, daß Deinem Denken entspricht. Auch die Mathematik ist vielfältig. Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Beweise, immer nur Beweise
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 03. April 2007 04:33:42
\(\begingroup\)Danke für diese aufschlußreiche Darstellung! Gruß Andreas P.S.: es hat sich ein toter Link eingeschlichen: "Mein erster Beweis [Karsten Schmidt]" landet auf einem 404.\(\endgroup\)
 

Re: Beweise, immer nur Beweise
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 03. April 2007 13:19:53
\(\begingroup\)Da hat sich die URL des Servers geändert. Momentan ist sein erster Beweis unter www2.informatik.hu-berlin.de/lehrstuehle/automaten/beweis/ zu finden.\(\endgroup\)
 

Re: Beweise, immer nur Beweise
von: Ex_Mitglied_21172 am: Fr. 29. Februar 2008 17:25:06
\(\begingroup\)\(\endgroup\)
 

Re: Beweise, immer nur Beweise
von: Ex_Mitglied_43988 am: Sa. 25. April 2015 14:01:20
\(\begingroup\)Dieser Artikel ist zwar schon sehr alt, aber für mich auch zur heutigen Zeit hilfreich. Danke dafür, matroid! 😄 \quoteon(matroid) Den 'Beweis auf Verdacht' gibt es nicht. \quoteoff Wie meinst du das? Es wurden doch schon viele vermeintliche Beweise vorgelegt, in denen man einen Fehler gefunden hat. Das wäre doch dann sozusagen ein 'Beweis auf Verdacht', da man erst dachte, dass es wirklich ein Beweis wäre. mfg asdf.\(\endgroup\)
 

Re: Beweise, immer nur Beweise
von: weird am: Sa. 25. April 2015 19:03:36
\(\begingroup\)Ich denke mit dem "Beweis auf Verdacht" ist hier gemeint, dass man bei einem Beweis sich nicht einmal selbst ganz sicher ist, ob die Beweisidee in dieser Form in Ordnung ist. Hier sollte man dann einfach ehrlich sein und zugeben, dass man der Sache nicht gewachsen ist und auf eine "Erleuchtung", z.B. durch Fremdhilfe hoffen. Ganz was anderes ist es aber, wenn man sich zu 100% sicher ist, dass ein Beweis in Ordnung ist, obwohl er in Wahrheit einen Denkfehler oder eine Lücke enthält. Das kann jedem mal passieren und ist moralisch nicht so anfechtbar. (Beispielsweise hatte selbst Gauß in seiner Dissertation, wo es um die algebraische Abgeschlossenheit des Körpers der komplexen Zahlen ging, eine Riesenlücke im Beweis, welche erst ca. 100 Jahre später geschlossen werden konnte!) \(\endgroup\)
 

Re: Beweise, immer nur Beweise
von: Ex_Mitglied_43988 am: So. 26. April 2015 13:21:44
\(\begingroup\)@weird: Danke. Das hilft mir für das Verständnis weiter. 😄 \(\endgroup\)
 

Re: Beweise, immer nur Beweise
von: Goswin am: Mo. 23. März 2020 15:17:59
\(\begingroup\)\quoteon(Matroid) Der Sinn des Mathematik-Studiums ist, dass man das Beweisen lernt. \quoteoff Ob das jemals so war, weiß ich nicht. Aber in heutigen Zeiten deckt so eine Definition meiner Meinung nach gerade einmal 50% des "Sinnes der Mathematik" ab; ich würde eher "ein wichtiges Ziel des Mathematik-Studiums" sagen. Der Rest besteht aus der Suche nach interessanten Definitionen und Fragestellungen, egal ob dafür Beweise vorliegen oder nicht. Einen Zusammenhang geschickt modellieren zu lernen scheint mir ein wichtiges mathematisches Studienziel zu sein. Und mit Hilfe von Rechnern auf induktive Art eine Aussage auf ihren Wahrheitsgehalt zu prüfen ebenfalls. Die Aufstellung der Riemannschen Vermutung und die Erfindung der Turingmaschine, zum Beispiel, waren doch großartige mathematische Leistungen!\(\endgroup\)
 

 
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