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Physik: Etwas aus der Raketenphysik Released by matroid on So. 07. Dezember 2003 20:34:38 [Statistics] [Comments] Written by Eagleeye - 16322 x read [Outline] Printer-friendly version -  Choose languageDE EN   \(\begingroup\) Im Folgenden werde ich versuchen mithilfe des Impulssatzes die Raketengleichung herzuleiten. Abschliessend werde ich noch ein Beispiel vorrechnen. [Edit] [To the bottom] m_R -> Masse der Rakete \D m -> Massenaenderung der Rakete in der Zeit \D t v_R -> Geschwindigkeit der Rakete (relativ zum Boden) \D v -> Geschwindigkeitsaenderung der Rakete in der Zeit \D t \D m_T-> Die in der Zeit \D t ausgestossene Treibstoffmasse v_T -> Geschwindigkeit des ausgestossenen Treibstoffes (relativ zum Boden) v_rel -> Ausstroemgeschwindigkeit des Treibstoffgases (relativ zur Rakete) Wie man in der oberen Grafik sieht, fliegt die Rakete der Masse m_R zur Zeit t mit der Geschwindigkeit v_R . Ihr Impuls betraegt dann also Impuls_R_1=m_R*v_R . Dieser Impuls ist gleichzeitig die Impulssumme zur Zeit t, daher gilt auch Impuls_R=Impuls_vorher= m_R*v_R. In der Zeit \D t wird dann die Treibstoffmasse \D m_T mit der Geschwindigkeit v_T ausgestossen. Sie hat den Impuls Impuls_T=m_T*v_T. Gleichzeitig veraendert sich die Geschwindigkeit der Rakete von v_R auf v_R+\D v und ihre Masse von m_R auf m_R+\D m, da ja der Treibstoff, der in der Rakete gelagert war, ausgestossen wurde. Der Impuls der Rakete betraegt nun also Impuls_R_2=(m_R+\D m)* (v_R+\D v). Die Impulssumme nach der Zeit \D t ist deswegen Impuls_nachher=Impuls_T+Impuls_R_2=m_T*v_T+(m_R+\D m)*(v_R+\D v). Man koennte nun meinen, dass wegen des Impulserhaltungssatzes Impuls_vorher=Impuls_nachher ist. Das stimmt nicht ganz, denn auf das System Rakete wirken aeussere Kraefte, die den Impuls_nachher veraendern. Diese aeusseren Kraefte sind Luftreibungskraefte, die hier vernachlaessigt werden, aber vor allem ist es die Erdanziehungs- kraft F_G_R . Das heisst also, die Differenz aus den Impulsen Impuls_nachher und Impuls_vorher ist von Null verschieden. Es gilt also: (Impulsaenderung=Impulssumme_nachher-Impulssumme_vorher) \ll(1)\red \D p=(\D m_T*v_T+(m_R+\D m)*(v_R+\D v))-m_R*v_R<>0 Nochmal, das \D p<>0 wird hervorgerufen durch F_G_R . Unser Ziel ist es mithilfe von Impulsen, die Beschleunigung zu berechnen, die die Rakete erfaehrt, aber vorher brauchen wir noch zwei neue Beziehungen, um \ref(1) vereinfachen zu koennen. (1) Wie wir weiter oben schon gesehen haben, wird die Treibstoff- masse \D m_T in der Zeit \D t aus der Rakete ausgestossen, so dass sich die alte Masse m_R der Rakete auf die neue Masse m_R+\D m aendert. Also muss doch umgekehrt folgendes gelten: Treibstoffmasse + Neue Masse der Rakete = Alte Masse der Rakete Das heisst: \D m_T+(m_R+\D m)=m_R<=>\D m_T=-\D m (2) Nun moechte man in der Rechnung nicht mit den Geschwindigkeiten v_R oder v_T, alle vom Boden aus gesehen werden, rechnen, sondern man moechte lieber die Geschwindigkeit, mit der sich der Treibstoff von der ruhend gedachten Rakete entfernt, einbringen. Diese sich relativ zur Rakete entfernende Treibstoffmasse hat die Geschwindig- keit v_rel , die sogenannte Ausstroemgeschwindigkeit. Sie wird in der Literatur oefters angegeben! Es gilt: v_rel=v_T-(v_R+\D v)<=>v_T=v_rel+v_R+\D v Erlaeuterung: Die relative Geschwindigkeit ist erstmal die Differenz aus der Geschwindigkeit eines sich von einem ruhend gedachten Koerper entfernenden Koerpers und der Geschwindigkeit eines Koerpers, der als ruhend gedacht werden soll. Beispiel: K_1 bewege sich mit v_1=40 km/h und K_2 mit v_2=-30 km/h . Vereinbarung: links (-); rechts (+) Frage: Wie schnell bewegt sich K_2 von dem ruhend gedachten K_1 weg? Anwort: v_rel=v_2-v_1=-30 km/h-40 km/h=-70 km/h K_2 bewegt sich relativ zu K_1 mit 70 km/h nach links! Fassen wir nochmal die zwei neuen Beziehungen zusammen: \ll(2)\red \D m_T=-\D m \ll(3)\red v_T=v_rel+v_R+\D v Diese einfachen Erkenntnisse beruecksichtigen wir bei \ref(1) \D p=(\D m_T*v_T+(m_R+\D m)*(v_R+\D v))-m_R*v_R<>0 <=>\D p=((m_R+\D m)*(v_R+\D v)+\D m_T*v_T)-m_R*v_R <=>\D p=((m_R+\D m)*(v_R+\D v)-\D m*v_T)-m_R*v_R <=>\D p=((m_R+\D m)*(v_R+\D v)-\D m*(v_rel+v_R+\D v))-m_R*v_R <=>\D p=(m_R*v_R+m_R*\D v+\D m*v_R+\D m *\D v-(\D m*v_rel+\D m*v_R+ \D m*\D v)) -m_R*v_R <=>\D p=m_R*v_R+m_R*\D v+\D m*v_R+\D m *\D v-\D m*v_rel-\D m*v_R -\D m*\D v-m_R*v_R <=>\D p=m_R*\D v-\D m*v_rel Jetzt teilen wir beide Seiten der Gleichung durch \D t<>0: <=>(\D p)/(\D t)=(m_R*\D v-\D m*v_rel)/(\D t) Nun wissen wir, dass \D p durch aeussere Kraefte F_A hervorgerufen wird, also gilt wegen F*\D t=\D p<=>F=(\D p)/(\D t) : <=>F_A=m_R*(\D v)/(\D t)-(\D m)/(\D t)*v_rel Da die Rakete die Geschwindigkeitsaenderung \D v erfaehrt, ist (\D v)/(\D t)=a_R. Und weiter: <=>F_A=m_R*a_R-(\D m)/(\D t)*v_rel <=>m_R*a_R=(\D m)/(\D t)*v_rel+F_A <=>a_R=((\D m)/(\D t)*v_rel+F_A)/m_R <=>a_R=((\D m)/(\D t)*v_rel)/m_R+F_A/m_R So, und nun wissen wir, dass die aeussere Kraft F_A die entgegen der Bewegungs- und somit der Beschleunigungskraftrichtung der Rakete wirkende Erdanziehungs- oder Gewichtskraft F_G_R der Rakete ist. Die Luftreibung wird vernachlaessigt, was aber nicht schlimm ist, worauf ich spaeter noch eingehen werde. F_A=-F_G_R Das Minuszeichen vor dem F_G_R muss sein, da diese Kraft entgegen der Bewegungsrichtung der Rakete wirkt. Das oben erwaehnte \D p<>0 ist also negativ (\D p<0), das heisst aber, dass die Impulssumme nachher kleiner ist als die von vorher. Die "Schuld" daran traegt eben diese Kraft; sie verringert die Impulssumme, hindert die Rakete aber nicht an der steigenden Beschleunigung. Der Quotient D=(\D m)/(\D t) wird Durchsatz genannt. Er gibt an, wie viel Treibstoffmasse pro Zeiteinheit ausgestossen wird. Und weiter geht's: <=>a_R=((\D m)/(\D t)*v_rel)/m_R+(-F_G_R)/m_R <=>a_R=(D*v_rel)/m_R-F_G_R/m_R Nun wissen wir, wie man die Beschleunigung a_R der Rakete berechnet. Aber man muss noch beruecksichtigen, dass sich ihre Masse m_R waehrend der Beschleunigung aendert. Es gilt: \ll(4)\red m_R(t)=m_0_R-D*t Das Produkt D*t ist die Treibstoffmasse, die nach der Zeit t ausgestossen wurde. Sie muss natuerlich von der Gesamtmasse m_0_R der Rakete ab- gezogen werden. Wenn die Masse m_R von t abhaengig ist, so auch die Gewichtskraft F_G_R , aber vor allem auch die Beschleunigung a_R . Insgesamt ist dann: a_R(t)=(D*v_rel)/m_R(t)-F_G_R(t)/m_R(t) <=>a_R(t)=(D*v_rel)/m_R(t)-g g ist die Gravitationsfeldstaerke. Es gilt ja: F_G_R=m_R*g. Wir machen auch hier die vereinfachende Annahme, dass sich F_G_R nicht noch zusaetzlich mit 1/((r_(E-R))^2) aendert. r_(E-R) ist der Abstand Erde-Rakete. Es waere dann: F_G_R(r_(E-R),t)=\g*(m_E*m_R(t))/((r_(E-R))^2). Hier muesste man aber die Geschwindigkeit der Rakete kennen, um r_(E-R) in Abhaengigkeit von der Geschwindigkeit v_R(t) berechnen zu koennen. Diese Geschwindigkeit aber wollen wir doch ueber die Beschleunigung berechnen. Man muesste ja dann erst die Kraft F_G_R(r_(E-R),t) berechnen, damit dann die Beschleunigung a_R(t), damit die Geschwindigkeit v_R(t) und dann daraus wieder die Kraft F_G_R(r_(E-R),t), um a_R(t) berechnen zu koennen. Hoert sich nach Rekursion an, eher was fuer den Computer, oder? Naja. Ich frage mich, wie die Nasa soetwas handhabt. Aber weiter: a_R(t)=(D*v_rel)/(m_0_R-D*t)-g Durch Integration der Beschleunigungsfunktion a_R(t) erhaelt man die Geschwindigkeitsfunktion v_R(t). v_R(t) =int(a_R(t),t) =int(((D*v_rel)/(m_0_R-D*t)-g),t) =int(((D*v_rel)/(m_0_R-D*t)),t)-int(g,t) =int(((D*v_rel)/(m_0_R-D*t)),t)-(g*t+C_1) Berechnung des Integrals: int(((D*v_rel)/(m_0_R-D*t)),t)=D*v_rel*int(1/(m_0_R-D*t),t) Substitution: u=m_0_R-D*t Dann ist: du/dt=-D<=>dt=-1/D*du =D*v_rel*int(1/u*(-1/D),u) =D*v_rel*(-1/D)*int(1/u,u) =-v_rel*ln(u)+C_2 Ruecksubstitution: =-v_rel*ln(m_0_R-D*t)+C_2 und weiter: =-v_rel*ln(m_0_R-D*t)+C_2-(g*t+C_1)=v_R(t) =-v_rel*ln(m_0_R-D*t)-g*t+C Wobei C=C_2-C_1 ist. Nun muessen wir noch C mithilfe der Bedingung v_R(0)=0 bestimmen: v_R(0)=-v_rel*ln(m_0_R-D*0)-g*0+C=0 <=>-v_rel*ln(m_0_R)+C=0 <=>C=v_rel*ln(m_0_R) Und einsetzen: v_R(t)=-v_rel*ln(m_0_R-D*t)-g*t+v_rel*ln(m_0_R) <=>v_R(t)=v_rel*ln(m_0_R)-v_rel*ln(m_0_R-D*t)-g*t <=>v_R(t)=v_rel*(ln(m_0_R)-ln(m_0_R-D*t))-g*t <=>v_R(t)=v_rel*ln((m_0_R)/(m_0_R-D*t))-g*t Jetzt haben wir endlich die Geschwindigkeitsfunktion v_R(t)! Die Brennschlusszeit t_B ist nun die Zeit, bei der kein Treibstoff mehr ausgestossen wird, also bleibt die Masse der Rakete ab dann konstant. Dann ist: m_0_R-D*t_B=m_E v(t_B)=v_B m_0_R=m_A m_E ist eben die konstante Masse am Ende der Brennzeit. m_A ist die Anfangs- oder Startmasse. v_B ist die Brennschlussgeschwindigkeit. Insgesamt erhaelt man endlich: \red\double\frameon \big v_B=v_rel*ln((m_A)/(m_E))-g*t_B \frameoff Dies ist die Raketengleichung von Ziolkowskij! Nun berechnen wir noch die erreichte Hoehe. Dazu integrieren wir v_R(t), um die Hoehenfunktion h_R(t) zu erhalten: h_R(t) =int(v_R(t),t) =int((v_rel*ln((m_0_R)/(m_0_R-D*t))-g*t),t) =int((v_rel*ln((m_0_R)/(m_0_R-D*t))),t)-int(g*t*dt) =int((v_rel*ln((m_0_R)/(m_0_R-D*t))),t)-(1/2*g*t^2+C_1) Berechnung des Integrals: int((v_rel*ln((m_0_R)/(m_0_R-D*t))),t)=v_rel*int(ln((m_0_R)/(m_0_R-D*t)),t) Substitution: u=m_0_R-D*t Dann ist: du/dt=-D<=>dt=-1/D*du =v_rel*int(ln(m_0_R/u)*(-1/D),u) =-v_rel/D*int(ln(m_0_R/u),u) =-v_rel/D*int((ln(m_0_R)-ln(u)),u) =-v_rel/D*(int(ln(m_0_R),u)-int(ln(u),u)) =-v_rel/D*(ln(m_0_R)*u-(u*ln(u)-u))+C_2 =-v_rel/D*(ln(m_0_R)*u-u*ln(u)+u)+C_2 =-v_rel/D*u*(ln(m_0_R)-ln(u)+1)+C_2 =-v_rel/D*u*(ln(m_0_R/u)+1)+C_2 Ruecksubstitution: =-v_rel/D*(m_0_R-D*t)*(ln(m_0_R/(m_0_R-D*t))+1)+C_2 und eingesetzt: =-v_rel/D*(m_0_R-D*t)*(ln(m_0_R/(m_0_R-D*t))+1)+C_2-(1/2*g*t^2+C_1)=h_R(t) =-v_rel/D*(m_0_R-D*t)*(ln(m_0_R/(m_0_R-D*t))+1)-1/2*g*t^2+C Wobei C=C_2-C_1 ist. Nun haben wir wieder eine Bedingung, naemlich h_R(0)=0. Also koennen wir damit C bestimmen: h_R(0)=-v_rel/D*(m_0_R-D*0)*(ln(m_0_R/(m_0_R-D*0))+1)-1/2*g*0^2+C=0 <=>-v_rel/D*m_0_R*(ln(m_0_R/m_0_R)+1)+C=0 <=>-v_rel/D*m_0_R*(ln(1)+1)+C=0 <=>C=v_rel/D*m_0_R Eingesetzt ergibt das dann: h_R(t)=-v_rel/D*(m_0_R-D*t)*(ln(m_0_R/(m_0_R-D*t))+1)-1/2*g*t^2+v_rel/D*m_0_R <=>h_R(t)=(-v_rel/D*ln(m_0_R/(m_0_R-D*t))-v_rel/D)*(m_0_R-D*t)+v_rel/D*m_0_R-1/2*g*t^2 <=>h_R(t)=(-v_rel*(m_0_R-D*t))/D*ln(m_0_R/(m_0_R-D*t))-(v_rel*(m_0_R-D*t))/D+(v_rel*m_0_R)/D-1/2*g*t^2 <=>h_R(t)=(-v_rel*(m_0_R-D*t))/D*ln(m_0_R/(m_0_R-D*t))-((v_rel*m_0_R)/D-(v_rel*D*t)/D)+(v_rel*m_0_R)/D-1/2*g*t^2 <=>h_R(t)=(-v_rel*(m_0_R-D*t))/D*ln(m_0_R/(m_0_R-D*t))+v_rel*t-1/2*g*t^2 So, und jetzt haben wir endlich die Hoehenfunktion h_R(t)! Diesmal gilt: h_R(t_B)=(-v_rel*(m_0_R-D*t_B))/D*ln(m_0_R/(m_0_R-D*t_B))+v_rel*t_B-1/2*g*t_B^2 <=>h_B=(-v_rel*m_E)/D*ln(m_A/m_E)+v_rel*t_B-1/2*g*t_B^2 Die nach Brennschluss erreichte Höhe h_B berechnet sich also durch: \red\double\frameon \big h_B=(-v_rel*m_E)/D*ln(m_A/m_E) +v_rel*t_B-1/2*g*t_B^2 \frameoff Obwohl wir den Luftwiderstand vernachlaessigt haben und die Tatsache, dass sich die Erdanziehungskraft mit 1/(r_(E-R))^2 aendert, nicht beruecksichtigt haben, sind die Formeln von Ziolkowski dennoch zu gebrauchen. Denn, wenn sich die Rakete mit immer groesser werdender Geschwindigkeit bewegt, wird zwar der Luftwiderstand mit dem Quadrat der Geschwindigkeit groesser, dafuer aber nimmt doch die Anziehungs- kraft mit dem Quadrat des Abstandes von Erde und Rakete ab. Diese Kraefte heben sich im Groben und Ganzen wieder auf. Das unter- streicht die Genauigkeit der Formel! Ein Beispiel: \double\frameon \blue\big\ Saturn V (Mondrakete): Masse -> 2900 t Nutzlast -> 50 t Durchsatz -> 14 t/s Ausstroemgeschwindigkeit -> 2,5 km/s \frameoff \red Die Brennschlussgeschwindigkeit v_B ist: Die Nutzlast ist 50 Tonnen schwer, der Rest wird verbrannt! t_B=(2,9*10^6 kg-5*10^4 kg)/(1,4*10^4 kg/s)~=203,57 s v_B=2,5*10^3 m/s *ln((2,9*10^6 kg)/(5*10^4 kg))-9,81 m/s^2*203,57 s~=8,1541 km/s \red Die Brennschlusshoehe h_B ist: t_B~=203,57 s h_B=(-2,5*10^3 m/s *5*10^4 kg)/(1,4*10^4 kg/s)*ln((2,9*10^6 kg)/(5*10^4 kg))+2,5*10^3 m/s *203,57 s -1/2*9,81 m/s^2*(203,57 s)^2~=269.4042 km \big\ Jetzt noch die Graphen der Funktionen v_R(t) und h_R(t): \red\big\Die Geschwindigkeitsfunktion v_R(t) \stress\blue\ v in km/s \geo x(0,220) y(0,12) name(vfunktion) c(blue)plot( 2.5*log( 1450/(1450-7*x) )-(981*x)/100000 ) \geooff geoprint(vfunktion,t in s) \stress\Maximalwerte auf den Achsen: x-Achse: 220 y-Achse: 12 Man sieht deutlich, dass sich die Geschwindigkeit in den ersten 1 1/2 Minuten nur linear aendert, aber kurz vor Brennschluss-hier ist er uebrigens erreicht, wenn die gesamte Masse verbrannt ist, etwas schlecht für die Besatzung, aber naja-aendert sie sich noch radikal! In den ersten Minuten musste sie wohl gegen die starke Schwerkraft ankaempfen. Man sieht es ja auch manchmal im Fernsehen, dass z.B. Satellittraegerraketen kurz nach dem Start nur langsam vorankommen. \red\big\Die Hoehenfunktion h_R(t) \stress\blue\ h in km \geo x(0,220) y(0,320) name(hfunktion) c(blue)plot(5/14*(7*x-1450)*log(1450/(1450-7*x))-(981*x^2)/200000+2.5*x) \geooff geoprint(hfunktion,t in s) \stress\Maximalwerte auf den Achsen: x-Achse: 220 y-Achse: 320 Geschrieben habe ich diesen Artikel, weil ich glaubte, dass sich andere fuer die dieses Thema ebenfalls interessieren koennten. Ausserdem ist ja bald Sylvester, ha, ha! Ich finde es super, dass sich so viele in diesen Forum die Muehe machen so tolle Artikel zu schreiben. Waere spitze, wenn dieses perfekte Forum weiterhin durch andere Artikel erweitert werden und somit noch perfekter werden wuerde :-)! Ich hoffe, es sind nicht zu viele Fehler drin und dass ihr damit etwas anfangen koennt! Gruss Eagleeye [Edit] \(\endgroup\) [Show outline only] Get link to this article   Printer-friendly version -  Choose languageDE EN     Comments   Für diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei Write a comment Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen: : Physik :: Raketenphysik :: Impulssatz :: für Physikstudenten :: Schüler aufwärts : Etwas aus der Raketenphysik [von Eagleeye]   Im Folgenden werde ich versuchen mithilfe des Impulssatzes die Raketengleichung herzuleiten. Abschliessend werde ich noch ein Beispiel vorrechnen. [Edit] [Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

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Re: Etwas aus der Raketenphysik von: Schnabbert am: So. 07. Dezember 2003 21:28:25

\(\begingroup\) Hi Eagleeye! Wie Du richtig sagst, verringert sich die Masse der Rakete durch den Treibstoffausstoss. Deswegen muss es m_R - \Delta m heißen. Mfg\(\endgroup\)