\(\begingroup\) Hallo! Hier möchte ich mal meinen Teil über magische Quadrate loswerden. Vielen mögen sie bekannt sein, aber ich denke es gibt einige Dinge die nicht jeder weiß, es kann ganz unterhaltsam sein, sich mit solchen Dingen zu beschäftigen.
Magisches Quadrat aus Dürers Melancholia von 1514.
Ein Magisches Quadrat ist eine wiederholungsfreie Anordnung positiver ganzer Zahlen von 1 bis n², bei der jede Reihe, Spalte und Diagonale dieselbe Summe bilden. (Dabei ist n die Ordnung, Basis, Modul oder Wurzel des Quadrats)
Gleiche Summe in jeder Zeile, Spalte und Diagonalen
ETWAS ZUR GESCHICHTE
Schon in der Antike waren díe Mathematiker von magischen Quadraten fasziniert. Viele glaubten an eine magische Wirkung. Magische Quadrate waren schon in Indien bekannt, von dort her gelangten sie nach Westen. Schon in der Renaissance beschäftigten sich Mathematiker mit der Kontruktion magischer Quadrate mit einer höheren Ordnung als 2. Die Menschen gaben den Quadraten auch astronomische Bedeutungen, zum Beispiel die damals sieben bekannten Planeten.
ZUR KONSTRUKTION
Bisher konnte noch nicht geklärt werden, nach welche mathematischen Gesetzen sich die Zahlen in magischen Quadraten verteilen. Das heißt also, Lösungen entstanden nur durch Zufall und Versuch.
QUADRATE HÖHERER ORDNUNG
Wenn man Quadrate kleinerer Ordnung betrachtet, so stellt man fest das es nur wenige Lösungen gibt (spiegeln, drehen, multiplizieren). Bei Quadraten höherer Ordnung gibt es viele viele Lösungen. Zum Beispiel eines Quadrates mit Ordnung 5. Wieviele Lösungen hat ein solches Quadrat. Man schätzte auf 13.000.000 Lösungen. Später errechnete man es gibt für Quadrate 5. Ordnung (ohne drehen, spiegeln, ...) 275.305.224 Lösungen!!
BESONDERE QUADRATE
Natürlich gibt es bei magischen Quadraten (wie sollte es anders sein) Sonderfälle. Sogenannte diabolische Quadrate. Sie haben noch zusätzliche Eigenschaften, zum Beispiel die Summe der zentralen Kästchen. Oder dasselbe Ergebniss bei der Addition der vier Ecken. Ein gutes Beispiel ist Dürers Quadrat. In dem Bild "Melancholie" (siehe oben).
ANDERE FORMEN
Es gibt nicht nur magische Quadrate sondern auch andere magischen Formen. Wíe zum Beispiel magische Sterne oder Kreise.
BERECHNUNG DER SEITENSUMME
Eíne einfache Formel ist doch schon über magische Quadrate bekannt. Man kann mit Hilfe dieser Formel die Summe der Seiten (Diagonalen, ...) errechnen. Und zwar wie folgt: Man ermittel die Summe der Zahlen, die in die Felder des Quadrates sollen und teilt diese Summe durch die Ordnung. Also zum Beispiel: 3.Ordnung, Zahlen 1 bis 9: 1+2+...+9=45; 45/3=15 -> Summe = 15.
Könnt ihr ein Quadrat der Ordnung 5 oder 6 konstruieren?
Hier möchte ich mal meinen Teil über magische Quadrate loswerden. Vielen mögen sie bekannt sein, aber ich denke es gibt einige Dinge die nicht jeder weiß, es kann ganz unterhaltsam sein, sich mit solchen Dingen zu beschäftigen.
Magisches Quadrat aus Dürers Melancholia von 1514.
WAS I
\(\begingroup\)@Martin
Die Summe aller Zahlen in dem Quadrat ist
sum(k,k=1,n^2)=((n^2)*(n^2+1))/2
Die Summe z in jeder Zeile ist gleich, also 1/n der Gesamtsumme:
z=(n*(n^2+1))/2\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@stolzi
Quadrate ungerader Ordnung sind leicht zu konstruieren.
Oben in der Mitte mit 1 beginnen. Und dann immer nach schräg rechts oben die Folgezahlen eintragen.
Liegt das nächste Feld außerhalb des Quadrates, dann im Feld auf der gegenüberliegenden Seite weiter machen (wie beim verrückten Labyrinth, wenn der Spielstein rausgeschoben wird).
Ist das Feld rechts oberhalb schon besetzt, dann stattdessen ein Feld nach unten gehen.
Das ergibt für 5x5:
eine weitere Möglichkeit bei Quadraten ungerader Ordnung ist es, im mittleren Feld mit der Zahl (n+1)/2 zu beginnen. Nach rechts unten steigen die Zahlen auf. Ist das nächste Feld auf diesem Weg schon besetzt geht man eins nach oben.
Analog geht man in die andere Richtung vor: nach links oben sinken die Zahlen, ist ein Feld besetzt, geht man eins unten.
Diese Vorgehensweise erzeugt Dietmars Variante gespiegelt.
\(\begingroup\)[Edit:] Da war oben ein Tippfehler. Man beginnt natürlich nicht mit (n+1)/2 sondern mit (n^2+1)/2, wobei n die Zahl der Felder pro Reihe bzw. Zeile ist.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Wer kann mir helfen? Wer kann ein magisches 9 x 9 mit den Zahlen 1 bis 81 konstruieren. Startzahl ist die 1 und sie soll im Zentrum des Quadrats stehen. \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ich hab mal ein 9x9 - Quadrat zusammen gebaut. Ich denke, es ist auch korrekt. Hab es allerdings nicht alles kontrolliert.
(16,27,29,40,51,62,64,75,5;26,28,39,50,61,72,74,4,15;36,38,49,60,71,73,3,14,25;37,48,59,70,81,2,13,24,35;47,58,69,80,\red\ 1\black\ ,12,23,34,45;57,68,79,9,11,22,33,44,46;67,78,8,10,21,32,43,54,56;77,7,18,20,31,42,53,55,66;6,17,19,30,41,52,63,65,76)
\(\endgroup\)
\(\begingroup\) \Und dann gibt es auch noch die Methode von Bachet de Mézirac (17. Jahrhundert)
für ungerade Felderzahl. Er schreibt:
"Man nehme die Zahlen nach ihrer natürlichen Reihenfolge in folgender Weise diagonal:
det(, , , ,\red\5, , , , ; , , ,4, ,10, , , ; , ,\black\3, ,9, ,15, , ; ,\red\2, ,\black\8, ,14, ,\red\20, ;1, ,\black\7, ,13, ,19, ,\red\25; ,6, ,\black\12, ,18, ,\red\24, ; , ,\black\11, ,17, ,23, , ; , , ,\red\16, ,22, , , ; , , , ,21, , , , ;) \
Nachdem man so 1/2(n^2 + 1) Felder des auszufüllenden Quadrates von n^2 Feldern ausgefüllt hat, setze man die an jeder Quadratseite außerhalb der befindlichen Zahlen, ohne die Stellung derselben zueinander zu ändern, genau in die an der Gegenseite befindlichen leer gebliebenen Felder."
So erhält man dann:
3
16
9
22
15
20
8
21
14
2
7
25
13
1
19
24
12
5
18
6
11
4
17
10
23
Ich habe das jetzt am Beispiel n=5 gezeigt, das sollte aber bei allen ungeraden n funktionieren!
Viel Spaß mit dem Ausprobieren...
Bernhard\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo,
diese Version dürfte auch nicht sehr bekannt sein, denn hier kann man ein 'perfektes' magisches Quadtat online erzeugen:
www.doermann.com\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Anonymus,
das Verfahren von Dörmann liefert keine magischen Quadrate.
Die eingetragenen Zahlen dürfen nicht doppelt vorkommen,
was aber hier zum Teil der Fall ist:
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hey, ich bin echt kein Mathe Genie, nun wollte ich Fragen ob ihr vielleicht einer Lösung habt zu einem Magischen Quadrat 3x3 mit den Zahlen 2-10. Bei 1-9 habe ich überall die selbe Lösung gefunden, gibts da sonst keine ?
Ich hoffe auf euer Genie 😉
Lg Karina 😛
Antworten bitte per Mail an cyberfoxxy1210@hotmail.com [könnt mich auch im MSN Adden, ich brauch immer ein gescheites MAthe-hirn ;)]\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hat jemand eine Lösung um magische Quadrate ausgehend von der Summe der Zeilen/Spalten zu erzeugen, wenn diese nicht durch die Anzahl der Spalten teilbar ist? also: wie erzeuge ich ein 5x5 magisches Quadrat mit der Zeilensumme 248. Gruß Dirk\(\endgroup\)
\(\begingroup\)hihi habe das magische quadrat vom albrecht dürer gerade in der schule (5.klasse)
Ist colll aber wir haben des nur ganz ganz kurz
\(\endgroup\)
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