Stern Mathematik: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
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Mathematik

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Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
Wann immer wir auch etwas abzählen wollen, verwenden wir die natürlichen Zahlen
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, etc.
Das Addieren, Multiplizieren und Vergleichen damit ist uns sehr vertraut. Man könnte meinen, dass wir alle wissen, womit wir da rechnen. In der Mathematik fragt man sich aber: Wie weit darf uns die Anschauung tragen? Gibt es vielleicht Gesetze, die wir für wahr halten, aber gar nicht stimmen?
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Eine sehr gute Möglichkeit, dieses Problem zu lösen, besteht darin, alle Gesetze, die man kennt, auf bestimmte Grundannahmen zurückzuführen, die wir Axiome nennen. Axiomatisierung hat auch den Vorteil, dass man das Wissen über eine Theorie viel kompakter fassen kann, als es mit einer Aufzählung der bekannten Gesetze, die meistens schon voneinander abhängen, möglich wäre. Wir wollen hier aber nicht uns bekannte Gesetze aus solchen Axiomen folgern, sondern diese Axiomatisierung vereinheitlichen. Das heißt konkret, wir sagen nicht, dass die natürlichen Zahlen so und so sind, die ganzen Zahlen dies und das können, sondern für alle Zahlenbereiche nur ein einziges Axiomensystem verwenden, das so allgemein ist, dass sich damit sogar der Großteil der gesamten Mathematik aufbauen lässt. Gemeint ist das System ZF der Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre, das den Umgang mit Mengen beschreibt. Darauf aufbauend werden wir die Zahlenmengen definieren und deren Axiome beweisen. Damit werden die scheinbar gegensätzlichen Gedanken des Formalismus, also die Gründung der Mathematik auf Axiome, und des Konstruktivismus miteinander verbunden.

Natürliche Zahlen
Zur Einführung der natürlichen Zahlen und dem 2. Teil dieser Artikelserie stellen wir ein paar einfünhrende Ergebnisse zu Ordinalzahlen zusammen, die hier bis einschließlich Seite 11 weiter ausgeführt werden. Eine \big\darkblue Ordinalzahl \normal\black ist eine Menge \alpha, die transitiv ist, d.h. jedes Element von \alpha ist eine Teilmenge von \alpha, und durch \in wohlgeordnet ist, d.h. für alle x,y,z \in \alpha gilt - Irreflexivität: x \notin x - Trichotomie: x \in y \or y \in x \or x = y - Transitivität: x \in y \in z => x \in z - Jede nichtleere Teilmenge von \alpha hat ein \in-kleinstes Element. Ordinalzahlen kennzeichnen wir stets mit griechischen Buchstaben, und in ihrem Zusammenhang schreiben wir oft < anstatt \in. Jedes Element einer Ordinalzahl ist wieder eine Ordinalzahl, ferner ist S(\alpha) := \alpha \union {\alpha} für jede Ordinalzahl \alpha auch eine Ordinalzahl. Es gilt \alpha \in S(\alpha), also anders notiert \alpha < S(\alpha). Wenn wir nun die ersten Ordinalzahlen 0 := \0 , 1 := S(0), 2 := S(1) , 3 := S(2), ... definieren, so gilt also 0 < 1 < 2 < 3 < ..., wie es anders auch nicht sein sollte. Je zwei Ordinalzahlen durch \in vergleichbar, und bei Isomorphie bereits identisch. Anstatt \alpha<\beta\or\alpha=\beta schreiben wir wie üblich \alpha<=\beta. Dies ist genau dann der Fall, wenn \alpha eine Teilmenge von \beta ist. Somit ist \alpha < S(\beta) mit \alpha <= \beta äquivalent. Jede Wohlordnung M ist zu genau einer Ordinalzahl isomorph, man nennt sie den Ordnungstyp von M und bezeichnet sie mit type(M). Dies waren die Ergebnisse über Ordinalzahlen, die wir hier voraussetzen werden. Ganz entscheidend für die Existenz der Menge der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... ist das \big\darkblue Unendlichkeitsaxiom \normal\black in ZF: Es gibt eine induktive Menge. Dabei heißt eine Menge \big\darkblue induktiv \normal\black , wenn sie die 0 enthält und für jedes Element x auch S(x) eines davon ist. Ferner heißt eine Ordinalzahl \alpha \big\darkblue Nachfolgerordinalzahl \normal\black , wenn es eine Ordinalzahl \beta mit \alpha=S(\beta) gibt. \big\darkblue Limesordinalzahlen \normal\black seien die nichtleeren Ordinalzahlen, die keine Nachfolgerordinalzahl sind. Mit diesen Begriffen können wir nun natürliche Zahlen definieren: Eine Ordinalzahl \alpha heißt \big\darkblue natürliche Zahl \normal\black , wenn es keine Limesordinalzahl \beta <= \alpha gibt. Jede nichtleere natürliche Zahl ist eine Nachfolgerzahl. Das bekannte und anschaulich klare Prinzip der vollständigen Induktion sagt aus, dass jede induktive Teilmenge der natürlichen Zahlen die gesamte Menge der natürlichen Zahlen umfasst, die außerdem induktiv ist. Weil wir noch gar nicht wissen, dass diese Menge überhaupt existiert, muss man den ersten Sachverhalt so ausdrücken: Ist \alpha eine natürliche Zahl und x eine induktive Menge, so ist \alpha \in x. Wenn wir das beweisen könnten, so findet man alle natürlichen Zahlen in der nach dem Unendlichkeitsaxiom existierenden induktiven Menge und die Existenz der Menge der natürlichen Zahlen folgt aus dem Ausson- derungsschema in ZF. Nun angenommen, es gibt doch eine natürliche Zahl \alpha und eine induktive Menge x mit \alpha \notin x. Für \alpha \subsetequal x setze \beta = \alpha. Ansonsten gibt es ein kleinstes Element \beta von \alpha - x. So ist \beta = \alpha oder \beta \in \alpha, und sicher \beta \notin x. Wegen 0 \in x ist \beta != 0. Wenn es eine Limesordinalzahl \gamma <= \beta gäbe, so wäre auch \gamma <= \alpha wegen \beta <= \alpha, womit aber \alpha keine natürliche Zahl mehr wäre. Also ist \beta eine nichtleere natürliche Zahl, sodass es eine Ordinalzahl \gamma mit \beta=S(\gamma) gibt. Im Fall \alpha \subsetequal x ist \gamma \in x wegen \gamma \in S(\gamma) = \beta = \alpha. Im anderen Fall ist \gamma \in \beta \in \alpha, also \gamma \in \alpha. Dann würde \gamma \notin x der Minimalität von \beta in \alpha - x widersprechen. In jedem Fall gilt also \gamma \in x. Dann wäre aber auch wegen der Induktivität \beta = S(\gamma) \in x, Widerspruch zu \beta \notin x. Also muss doch \alpha \in x sein. \bigbox Also existiert die Menge der natürlichen Zahlen. Wir bezeichnen sie mit \IN. Wenn man nun eine Aussage \phi(n) für alle n\in\IN beweisen möchte, dann kann man sich also der \big\darkblue vollständigen Induktion \normal\black bedienen: Angenommen man zeigt \phi(0) und \phi(n) => \phi(S(n)). Sei T die Menge aller n\in\IN, die \phi(n) erfüllen. Man hat bereits gezeigt, dass T induktiv ist. Daher ist \IN\subsetequal T, wie wir eben bewiesen haben. Also ist \phi(n) für alle n\in\IN erfüllt. Leicht sieht man ein, dass \IN induktiv und die kleinste Limesordinalzahl ist. Es ist wichtig, dass man Folgen rekursiv definieren kann. Dies sagt der folgende \big\darkblue Dedekindsche Rekursionssatz \normal\black aus: Es sei A eine Menge, a \in A und R eine Abbildung von \IN \cross A in A. Dann gibt es genau eine Abbildung von f von \IN in A mit f(0)=a und f(S(n))=R(n,f(n)) für alle n \in \IN. Zum Beweis setzen wir \nogreeks H={F\subsetequal\IN\cross\A :(0,a)\in\F\and\forall (n,s)\in\F : (S(n),R(n,s))\in\F} \greeks und f = cut(H). Offenbar ist f \in H. Wenn wir zeigen könnten, dass f eine Abbildung ist, so wären wir mit dem Existenz-Beweis schon fertig. Und das bedeutet, dass die Menge X aller n \in \IN, für die es genau ein s \in A mit (n,s) \in f gibt, ganz \IN umfasst, also induktiv ist: Es ist (0,a) \in f. Angenommen es gibt ein b \in A-{a} mit (0,b) \in f. Setze g = f-{(0,b)}. Dann kann man einfach g \in H nachrechnen. Daraus folgt aber der Widerspruch (0,b) \in f \subsetequal g. Damit ist 0 \in X. Nun sei n \in X, es gibt also genau ein s \in A mit (n,s) \in f, also (S(n),R(n,s)) \in f. Um S(n) \in X indirekt zu zeigen, nehmen wir an, dass es ein t \in A - {R(n,s)} mit (S(n),t) \in f gibt. Setze g =f - {(S(n),t)}. Wegen S(n) != 0 ist (0,a) \in g. Sei (m,r) \in g. Es folgt (S(m),R(m,r)) \in f. Für m != n ist S(m) != S(n), also sogar (S(m),R(m,r)) \in g. Für m=n ist f \supseteq g \contains (m,r)=(n,r) und folglich r=s. Wegen R(n,s) != t ist dann auch g \contains (S(m),R(m,r)). Damit haben wir g \in H gezeigt und es folgt der Widerspruch (S(n),t) \in f \subsetequal g. Gibt es eine weitere Abbildung mit den Eigenschaften von f, so muss sie in H liegen und damit f eine Teilmenge davon sein. Dann sind aber, weil sie beide Abbildungen von \IN sind, identisch. Damit ist auch die Eindeu- tigkeit gezeigt und der dedekindsche Rekursionssatz bewiesen. Die all- gemeinere Fassung, die sog. transfinite Rekursion würde hier über das Ziel hinausschießen. Zum Schluss sehen wir noch ein, warum 0,1,2,3,... wirklich genau die natürlichen Zahlen sind. Dies kann überhaupt erst mit dem dedekindschen Rekursionssatz formuliert werden! Damit lässt sich nämlich die n-fache Hintereinanderausführung von Abbildungen definieren, also insbesondere von S bei einer natürlichen Zahl n. Induktion nach n ergibt dann leicht n = S^n(0), und 0,1,2,3,... sind ja gerade die S-Potenzen von 0. Man kann sie formal sogar nur so insgesamt definieren. Was man mit natürlichen Zahlen sonst noch alles anstellen kann, wird hier sehr ausführlich behandelt. Die natürlichen Zahlen können als einzige Grundlage für die weiteren Zahlenmengen angesehen werden, weil wir in den folgenden Teilen dieser Artikelserie nur noch die Eigenschaften der natürlichen Zahlen und nicht mehr konkret ZF benötigen werden. Dies drückte der berühmte Zahlentheoretiker Leopold Kronecker im nachstehenden Zitat aus.
Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott erschaffen,
alles andere ist Menschenwerk.
So, das war's erst einmal. Im nächsten Teil werden wir sehen, wie man mit unseren natürlichen Zahlen, ja sogar ganz allgemein mit Ordinalzahlen, addiert und multipliziert.
1. Teil
2. Teil
3. Teil
4. Teil
5. Teil

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Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1 [von Martin_Infinite]  
Ordinalzahlen und natürliche Zahlen
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"Stern Mathematik: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1" | 15 Comments
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Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: Rebecca am: Di. 17. August 2004 19:22:40
\(\begingroup\)Hi Martin, Am Ende schreibst du: "Was man mit natürlichen Zahlen sonst noch alles anstellen kann, wird hier sehr ausführlich behandelt." Aber bei mir ist hier ein toter Link. Gruß Rebecca PS: Jetzt (20:00) geht der Link\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: Martin_Infinite am: Di. 17. August 2004 20:42:50
\(\begingroup\)Danke für den Hinweis Rebecca, ich hab's korrigiert.\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: matroid am: Di. 17. August 2004 21:31:35
\(\begingroup\)Hi Martin, das Symbol oben gefällt mir gut 😉 Und ein schönes Thema, das Du strikt angegangen bist. Eine gute Leistung, es ist ja ein sehr abstraktes Thema. Man führt also Ordinalzahlen als Mengen ein. Der Gewinn ist, daß man mit ZF nur axiomatische Mengenlehre betreibt, anstatt sich mit einem Mischmasch aus Zahlen, Mengen, Regeln auseinandersetzen zu müssen. Der Nachteil ist, wenn es jemand nicht schon wüßte, was Zahlen sind, würde ihm dieser Ansatz auch nicht aufklären können. Aber das ist nicht Deine Schuld, Martin, so wurde es von anderen ausgedacht und steht in der langen Reihe der Bemühungen, die Mathematik auf ein sicheres Fundament zu stellen. Je weniger verschiedenartige Dinge man vorauszusetzen hat, und je klarer man sagt, was man noch voraussetzt (Axiome sind gewissermaßen Selbstverständlichkeiten), desto sicherer fühlt man sich in allem, was man darauf aufbaut. Falls sich jemand fragt, wie eine Menge aussehen kann, in der jedes Element auch Teilmenge ist, könntest Du noch ein Beispiel geben, wie so etwas nur aussehen kann, oder gemeinhin man es sich vorstellt. Man könnte es sogar als Rätsel stellen, für die Leser. 😉 Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: Martin_Infinite am: Di. 17. August 2004 21:43:05
\(\begingroup\)Hi Matroid, Danke dir für die Blumen, und dass du noch einmal den Sinn von Axiomen beleuchtet hast! 😄 Zum "Rätsel": 0, die leere Menge, ist offenbar eine Ordinalzahl. Wie schon erwähnt, ist S(x) = x u {x} für jede Ordinalzahl x auch eine Ordinalzahl. Damit lauten die ersten Ordinalzahlen: \0 , menge(\0) , menge(\0, menge(\0)) , menge(\0, menge(\0) , menge(\0, menge(\0))) , usw. Sie sind zugleich die ersten transitiven Mengen, und ebenfalls die ersten natürlichen Zahlen 0,1,2,3, usw.. Gruß Martin\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: susi0815 am: Mi. 18. August 2004 17:05:10
\(\begingroup\)Hallo, ich kenne das Kronecker-Zitat nur mit den ganzen Zahlen. Wenn man danach googelt, findet man es in unterschiedlichen Abwandlungen sowohl mit natürlichen als auch mit ganzen Zahlen. Also hab ich mal nachgeschlagen und hoffentlich das Original gefunden (Wußing: Biographien bedeutender Mathematiker, dort zitiert nach Math. Annalen von 1893) Kronecker soll 1886 vor der Berliner Naturforscher-Versammlung gesagt haben: " Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. " Gruß, Susi\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: Gockel am: Mi. 18. August 2004 17:14:24
\(\begingroup\)Hi susi. Ich glaube, dass Kronecker sich da auf das Vorkommen in der Natur bezog... Und da sind eindeutig nur die natürlichen Zahlen gemeint... oder kannst du mir mal einen negativen Baum zeigen? 😉 Ich kenne das Zitat ausschließlich mit natürlichen Zahlen... bis eben wusste ich gar nicht, dass es noch eine andere Version gibt. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: susi0815 am: Mi. 18. August 2004 17:31:53
\(\begingroup\)Naja, wenn ich in mein schlaues Buch gucke, scheint mir der Herr Kronecker eher die gebrochenen und die irrationalen Zahlen zu vermeiden und da ist der Gegensatz nun mal ganze Zahl. Außerdem sollte der von Wußing zitierte Artikel von 1893 das Zitat schon von der Nähe der Zeit her richtig wiedergeben. Ob in dem Zusammenhang vielleicht doch vorwiegend natürliche Zahlen vorgekommen sind, vermag ich nicht zu sagen und würde ich auch nicht spekulieren. Gruß, Susi\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: Martin_Infinite am: Mi. 18. August 2004 18:13:59
\(\begingroup\)Hi Susi, das ist ja interessant, was du da entdeckt hast. Weißt du, ich kenne dieses Zitat schon sehr lange, undzwar ausschließlich mit natürlichen Zahlen, und habe es auch oft rezitiert. Wäre mir irgendwie unangenehm, wenn im Zitat ursprünglich ganze Zahlen gemeint waren. 😉 Gruß Martin\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: susi0815 am: Mi. 18. August 2004 19:25:31
\(\begingroup\)Ich hatte meine Anfängervorlesung "Lineare Algebra" bei einer Professorin, deren Hobby Geschichte der Mathematik war, da wurde man gut mit Zitaten versorgt :) Gruß, Susi\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: Fabi am: Do. 19. August 2004 11:54:39
\(\begingroup\)Hi! Das Zitat passt zwar gut an diese Stelle, bezieht sich aber ursprünglich nicht auf die Konstruktion der anderen Zahlbereiche aus den ganzen/natürlichen Zahlen, sondern eher darauf, dass Kronecker eine Art "Neo-Pythagoräer" war und alles außer den ganzen Zahlen als unnatürlich und unmathematisch ansah - er führte einen Krieg gegen die Analysis und andere "indiskrete" Mathematik. Mit Weierstraß und Cantor hat er sich deshalb lange Zeit gestritten, sogar verhindert, dass Cantor eine Lehrstelle an der Uni Berlin bekommt, weil er seine Arbeiten als keine richtige Mathematik betrachtete. Das Zitat steht in einem meiner Bücher übrigens auch mit ganzen Zahlen. Gruß Fabi\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: Martin_Infinite am: Do. 19. August 2004 15:27:43
\(\begingroup\)Hi Fabi, danke für diese Aufklärung! Ich will mal ehrlich sein, ich habe das Zitat ein wenig missbraucht. Der ursprüngliche Sinn mag zwar anders sein, aber es passte halt so gut in den Kontext hinein :/ Gruß Martin\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: susi0815 am: Do. 19. August 2004 15:42:47
\(\begingroup\)Hallo Martin, Du befindest Dich damit in guter Gesellschaft :) Auch wenn das Zitat ja mal wie von Fabi beschrieben gemeint war, wird es doch meist in dem Sinn, wie Du es benutzt hast, gebraucht. Gruß, Susi \(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 12. Oktober 2007 21:37:23
\(\begingroup\)Beim Beweis des Dedekindschen Rekursionssatzes hat sich ein Fehler eingeschlichen: f muss als Durchschnitt (cut) von H definiert werden, nicht als Vereinigung (union). Aber sonst ein schöner Beweis, kannte ich noch nicht. Danke, Hendrik Vogt\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: Martin_Infinite am: Fr. 12. Oktober 2007 23:21:59
\(\begingroup\)danke, so war es auch gemeint. ich werde es korrigieren.\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: Diophant am: Sa. 11. Oktober 2008 18:56:45
\(\begingroup\)Hallo Martin_Infinite, heute habe ich diesen Artikel gelesen, und möchte nun auch dir mal aus der Sicht des Hobby-Mathematikers ein dickes Lob aussprechen. Die Problematik ist mir zwar nicht ganz neu (ich habe vor Jahren in einem Mengenlehre-Buch darüber gelesen), aber der Artikel scheint mir äußerst gut strukturiert, wissenschaftlich und dabei sehr gut verständlich geschrieben. Und last but not least: das erste Überfliegen hat mich sehr motiviert, mich mit der Thematik eingehender zu befassen. Ich freue mich nun schon auf ein weiteres Studium dieser ganzen Serie! Gruß, Diophant\(\endgroup\)
 

 
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