\(\begingroup\)
Ein wenig Geometrie
In diesem Artikel möchte ich Euch, liebe Planetarier, einige schöne Anwendungen der Topologie in der Geometrie und auch im Alltag vorstellen. Als "Höhepunkt" werde ich die Frage beantworten, ob es immer möglich ist, dass man ein belegtes Brötchen, ganz egal wie die Teile aufeinander liegen, gerecht aufteilen kann, das heißt, dass man einen geraden Schnitt machen kann, so dass alle drei Komponenten des Brötchens gleichzeitig in zwei massengleiche Teile geschnitten werden.
Dabei sollte man sich nicht vorher schon durch den Begriff "Topologie" abschrecken lassen. Ich werde keine schweren Details aufführen, sondern eher anschaulich argumentieren. Auf diese Weise möchte ich euch Einblicke in die Welt der geometrischen Topologie vermitteln.
In diesem Abschnitt formuliere ich den Satz von Borsuk-Ulam. Ich beweise ihn jedoch nicht, weil das nicht der Sinn des Artikels ist. Darüberhinaus ist die Maschinerie, die der Beweis benötigt, zu umfangreich, so dass dafür ein eigener Artikel nötig wäre.
Zunächst aber folgende Standard-Definition aus der Topologie.
\big\ Definition__
S^n :={ x \in \IR^(n+1) ; norm(x)_2 =1} heißt die n-Sphäre__ . Dabei bezeichne norm(.)_2 die euklidische Norm. Anschaulich gesprochen ist dies die n-dimensionale Kugeloberfläche.
\big\ Beispiele.__
- S^1 ist der Einheitskreis auf der Ebene.
- S^2 ist die gewöhnliche Kugeloberfläche im "Raum".
Man nennt zwei Punkte x,y \in S^n antipodal__ zueinander, wenn x=-y gilt. Anders ausgedrückt: Die Gerade, die durch x und y geht, enthält den
Mittelpunkt der Kugel.
Nun kommt der angekündigte Satz.
\big\ Satz__ (Borsuk-Ulam)__
Sei f: S^n->\IR^n eine stetige Funktion. Dann gibt es ein Paar von antipodalen Punkten x,y \in S^n mit f(x)=f(y).
Der Spezialfall n=1 ist mit Hilfe der Techniken aus Analysis leicht zu beweisen. Man benutzt im wesentlichen den Zwischenwertsatz. Der Satz ist äquivalent dazu, dass die Funktion g(x):= f(x)-f(-x) stets eine Nullstelle, das heißt einen Punkt x mit g(x)=0, besitzt.
Der für uns in diesem Artikel interessante Fall wird n=2 sein, denn wir wollen Anwendungen im Raum \IR^3 studieren.
\big\Folgerung__
Zu jeder Zeit existieren zwei Orte auf der Erde, die einen maximalen Abstand zueinander haben (antipodal zueinander) und in denen der gleiche Druck und die gleiche Temperatur herrscht.
\big\ Beweis
Druck und Temperatur sind stetig verteilt... ;-))
\big\ Bemerkung.__
Als eine unmittelbare Folgerung des Satzes erhält man eine anschaulich klare, aber schwer zu beweisende Tatsache: S^n läßt sich nicht in IR^n (topologisch) einbetten. Wer weiß, was eine Einbettung ist, dem brauche ich keine Details vorzuführen, denn es ist wegen dem Satz klar, dass keine injektive Abbildung S^n -> \IR^n existieren kann. Wer den Begriff der Einbettung nicht kennt, der ignoriert ganz einfach diese Bemerkung. Es gibt interessantere Sachen.
\big\ Bemerkung.__
Man könnte sich fragen, ob sich der Satz von Borsuk-Ulam verallgemeinern läßt auf andere geometrische Objekte als die Sphären. In der Dimension 2 zum Beispiel gibt es weitere Flächen__ als die Sphäre S^2. Dazu gehört der Torus T^2 :=S^1 \times S^1 (Doughnutoberfläche). Man könnte dann zwei Punkte antipodal zueinander nennen, wenn die Gerade durch x und y, auch durch den geometrischen Schwerpunkt von T^2 geht. Eine entsprechende Aussage für T^2 wäre dann, dass für jede stetige Abbildung f:T^2->\IR^2 zwei antipodale Punkte x und y existieren, so dass f(x)=f(y) gilt. Diese Aussage ist jedoch falsch. Wir konstruieren (völlig anschaulich) folgendermaßen ein Gegenbeispiel. Betrachte den Torus "von oben", so dass man das Loch sieht. Jetzt projiziere von dieser Sicht auf die Ebene, so dass ein Kreisring entsteht. (Auf gut Deutsch: plattmachen). Dies ist eine stetige Abbildung T^2->\IR^2 . Jetzt sieht man ganz leicht, dass antipodale Punkte auf
verschiedene Punkte der Ebene geschickt werden.
Dieses Gegenbeispiel läßt sich auch auf alle anderen orientierbaren Flächen verallgemeinern. Ein Gegenbeispiel oder einen Beweis für die projektive Fläche habe ich mir noch nicht überlegt.
An dieser Stelle möchte ich mich bei Patrick (chatnick Sidda) bedanken, der mich auf dieses Problem aufmerksam gemacht hat. Nachdem ich dieses Gegenbeispiel konstruiert habe, kam ich überhaupt auf die Idee, diesen Artikel zu schreiben.
Von nun an werden wir uns durchgängig nur mit der Dimension 3 beschäftigen. Wenn ich also Sphäre schreibe, meine ich die zweidimensionale Sphäre - die Oberfläche der dreidimensionalen Kugel.
Überdeckung der Sphäre
Jeder von uns kennt Tennisbälle. Sie sind aus zwei Filzstücken zusammengesetzt. Nun ist es so, dass jedes dieser Stücke jeweils mindestens ein Paar antipodaler Punkte besitzt. (in Wirklichkeit ganz viele). Wir denken uns dabei, dass die "Nahtstellen", also die Stellen, die beide Flächen berühren, zu beiden Flächen zählen. Mathematisch ausgedrückt, sind diese beiden Teile zwei abgeschlossene Teilmengen der Sphäre, die selbige überdecken. Dabei heißt "abgeschlossen" anschaulich, dass die Menge ihren Rand enthält und "überdeckt" bedeutet, dass die Vereinigung dieser beiden Mengen die ganze Sphäre ergibt. Man kann sich leicht überlegen, dass wenn zwei abgeschlossene Teilmengen A und B die Sphäre überdecken, mindestens eine der beiden Mengen ein Paar antipodaler Punkte besitzt. Es ist erstaunlich, dass diese Tatsache auch mit drei Mengen funktioniert und genau das beweisen wir nun mit Hilfe des Satzes von Borsuk-Ulam.
\big\ Satz.__
Seien A_1 , A_2 , A_3 \subset S^2 abgeschlossene Teilmengen mit S^2 = A_1\union\A_2\union\A_3. Dann gibt es ein j\el {1,2,3} so dass A_j mindestens ein Paar antipodaler Punkte besitzt, das heißt es existiert ein x\el A_j mit -x\el A_j.
Dies ist ein sogenannter "bester Satz", denn mit vier Mengen klappt es nicht. Man betrachte dafür ein Tetraeder und seine vier Seitenflächen. Verformt man diese gleichmäßig, so dass das Gebilde kugelrund wird und die vier Seitenflächen zu sphärischen Dreiecken, entsteht dadurch eine Sphäre und keine der 4 Flächen, die den Seitenflächen entsprechen, besitzt Paare antipodaler Punkte.
\big\ Beweis des Satzes.
S^2 ist ein metrischer Raum. Salopp gesagt, haben wir einen Abstandsbegriff auf der Sphäre. Sie wird zum Beispiel vom Abstandsbegriff des umgebenden Raumes \IR^3 vererbt,indem man den dortigen euklidischen Abstand auf die Sphäre einschränkt. Es bezeichne d(x,y), x,y \in S^2 den auf diese Weise definierten Abstand. Diese Funktion ist stetig, wie man aus Analysis kennt. Für eine Teilmenge M\subset S^2 ist auch die Funktion f_M: S^2 \to \IR,
f_M (x):= d(x,M):= inf_(m\el M) d(x,m)
stetig. Dies prüft man leicht nach, indem man mit den Axiomen für Metriken rumtrickst. Aber es ist anschaulich klar: bewege ich mich auf der Sphäre nur ein wenig, so wird sich auch der Abstand zu einer Menge nur wenig ändern - es gibt keine "Sprünge". Nun betrachten wir die Funktionen f_1 := f_A_1 und f_2:=f_A_2. Sprich f_1 ist die (stetige) Funktion, die den Abstand eines Punktes zur Menge A_1 misst und f_2 entsprechend. Die Funktion f:S^2 -> \IR^2, definiert durch f(x):=(f_1 (x), f_2 (x)) ist stetig. Nach Borsuk-Ulam gibt es ein x\el S^2 mit f(x)=f(-x).
1.Fall__ f(x)=f(-x)=0.
Dies bedeutet insbesondere f_1 (x) = f_1(-x)=0. f_1 misst aber den Abstand zu A_1. Nur Punkte in A_1 oder auf dem Rand können den Abstand zu A_1 gleich 0 haben. \(Anschaulich klar, für den Beweis verweise ich wieder auf die Axiome). Weil A_1 abgeschlossen ist, gehört der Rand dazu und daher ist f_1(x)=0 mit x\el A_1 äquivalent. Es folgt x,-x \el A, was zu zeigen war.
2.Fall__ f(x)=f(-x)!=0.
Dies hat f_1(x) = f_1(-x) >0 und f_2(x)=f_2(-x)>0 zur Folge. Nach der Bemerkung im ersten Fall bedeutet das, dass x und -x weder in A_1, noch in A_2 liegen. Weil die drei Mengen A_1, A_2 und A_3 zusammen die Sphäre
überdecken, müssen die Punkte in A_3 liegen, was zu zeigen war.
Nun kommen wir auf die in der Einleitung angesprochene Fragestellung. Angenommen man möchte ein belegtes Brötchen mit einem Schnitt so aufteilen, dass alle einzelnen Teile jeweils in zwei massegleiche Anteile geschnitten werden. Die fairste Aufteilung also, die man sich vorstellen kann. Um dieses Problem exakter zu formulieren benötigen wir eine
\big\ Definition.__no
Eine Teilmenge K\subset \IR^n heißt kompakt__, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Dabei heißt eine Menge beschränkt, wenn sie mit einer Kugel mit einem bestimmten Radius eingefangen werden kann. Zur Erinnerung: eine Teilmenge von \IR^n heißt abgeschlossen, wenn sie ihren Rand enthält.
Die Einzelteile eines belegten Brötchens werden gerade durch kompakte Mengen beschrieben: Sie haben einen Rand und sind nicht allzu groß ;-)
Kompakte Mengen haben den Vorteil, dass Integration über ihnen vom
theoretischen her einfach zu handhaben ist. Ich werde, was elementare Eigenschaften von Volumina von kompakten Mengen angeht, nur anschaulich argumentieren. Eine detaillierte Behandlung des Volumen-Begriffs würde den Rahmen sprengen. Außerdem entspräche dies nicht der Philosophie dieses Artikels.
Der folgende Satz ist die Antwort auf die Frage.
\big\ Satz.__
Seien A,B,C kompakte Teilmengen vom \IR^3. Dann gibt es eine Ebene E, die alle drei Mengen gleichzeitig in volumengleiche Teilmengen aufteilt.
Um das auf das Brötchen-Problem zu übertragen: A ist der Belag, B die obere und C die untere Brötchenhälfte.
\big\ Beweis.
(für den Spezialfall, dass eine der Mengen, sagen wir A, eine Kugel ist.)
Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei der Schwerpunkt der Menge A (=Mittelpunkt der Kugel) gerade der Nullpunkt (ansonsten Verschiebung). Nun teilt jede Ebene durch den Schwerpunkt von A die selbige in volumen\-
gleiche Teile auf. Es genügt daher eine Ebene zu finden, die durch den Ursprung geht, und beide Mengen B und C in volumengleiche Komponenten teilt.
Wir müssen diese Ebenen genauer analysieren, dafür wiederholen wir ein bisschen analytische Geometrie. Jeder nichttriviale Vektor definiert eine Ebene, und zwar ist das der gesamte Teilraum, der orthogonal zum Vektor ist. Umgekehrt kann man jede Ebene durch solch einen Normalenvektor darstellen. Diese Darstellung wird (fast) eindeutig, wenn man den
Normalenvektor normiert. Die einzige Nicht-Eindeutigkeit besteht darin, dass zwei normierte Vektoren genau dann dieselbe Ebene darstellen, wenn sie sich um ein Vorzeichen unterscheiden. Nun sind normierte Vektoren bestimmt durch die Angabe eines Punktes auf der Sphäre: und zwar betrachtet man gerade den Ortsvektor dieses Punktes. Somit definiert jeder Punkt der Sphäre eine Ebene durch den Ursprung. Auf diese Weise bekommen wir alle solche Ebenen und zwei auf diese Weise definierte Ebenen sind genau dann gleich, wenn sie durch antipodale Punkte der Sphäre definiert werden.
Sei nun ein x\el S^2 gegeben. Dieser Punkt bestimmt, wie eben beschrieben, eine Ebene. Betrachte den Halbraum, der durch die Ebene definiert ist, in dem der Punkt x liegt. Bezeichne f_B (x) das Volumen von der Menge die entsteht, wenn man B mit diesem Halbraum schneidet. Diese Funktion ist stetig, das sieht man mit der Integrationstheorie. Anschaulich bedeutet das, dass eine kleine Änderung des Punktes x eben nur eine kleinere Änderung des Volumens von B geschnitten mit dem Halbraum bewirkt. Dies ist klar: eine stetige Änderung von x bewirkt eine stetige Änderung des Halbraums und dies eine stetige Änderung des Volumens vom Rest von B. Auf die gleiche Weise sei f_C (x) definiert. Nun sei g:S^2 ->\IR^2 die Funktion, die durch g(x):=(f_B(x), f_C(x)) definiert ist, sie ist stetig. Der Satz von Borsuk-Ulam besagt, dass es ein x\el S^2 gibt mit g(x)=g(-x). Dies bedeutet f_B(x)=f_B(-x). Nun sind die Ebenen, die durch x und -x definiert sind, identisch. f_B(x) mißt das Volumen von B auf der Seite von x des Halbraums und f_B(-x) die andere Seite. Somit teilt die durch x bzw -x definierte Ebene die Menge B in volumengleiche Teile. Dieselbe Ebene teilt auch C in volumengleiche Teile, da f_C(x)=f_C(-x) gilt. Das war zu zeigen.
Man kann im gesamten Beweis "volumengleich" durch "massegleich" ersetzen, indem man ein Integral bezüglich eines Dichtemaßes betrachtet. Man muss ja nicht annehmen, dass die Massen gleichverteilt sind, was bei Brötchen und Belag ja durchaus nicht der Fall ist.
Ich muss zugeben, dass alle Sätze Existenzsätze sind. Der Satz von Borsuk-Ulam gibt keine Konstruktion der antipodalen Punkte an. Der praktisch veranlagte Mathematiker mag das vielleicht als unbefriedigend empfinden, und er setzt sich ran, um diese Punkte zu approximieren... Was macht man lieber: einen Gott konstruieren, oder die (Nicht-)Existenz von einem Gott beweisen ;-)
Ich persönlich finde diese Existenzsätze höchst ästhetisch, daher wollte ich euch daran teilhaben lassen. Ich hoffe mir ist die Demonstration des Einsatzes der Topologie in anschaulichen Fragestellungen gelungen.
Schließlich sei für den Interessierten gesagt, dass der Satz von Borsuk-Ulam in der Dimension 2 schon mit der Theorie der Fundamentalgruppen und in beliebiger Dimension mit der Homologie-Theorie leicht bewiesen werden kann.
Nachtrag
Ein Beweis des letzten Satzes für die allgemeinste Version (so wie er formuliert ist)
Jeder Einheitsvektor beschreibt eine Ebene, und zwar diejenige, die normal dazu ist. Die Details wurden im letzten Beweis gegeben. Jeder Punkt auf der Sphäre definiert eine Ebene durch den Nullpunkt und antipodale definieren die gleiche Ebene.
Nun sei ein x\el S^2 gegeben und sei E_x die von x definierte Ebene. Für jede der Mengen A,B und C gibt es zu E_x parallele Ebenen E_A (x), E_B (x) und E_C (x), die die Volumina der jeweiligen Mengen halbieren. Definiere d(E_A(x) , E_B (x)) als den orientierten__ Abstand von der Ebene E_A(x) zur Ebene E_B(x). Dies ist folgendermaßen zu vertehen. Da alle Ebenen Parallel sind, kann man den Abstand dieser Ebenen zu E \(und damit zum Nullpunkt) Mit Normalenvektoren n_A, n_B, n_C, die parallel zu x sind und in die selbe Richtung zeigen, messen.
Dann ist d(E_A (x) ,E_ B(x)):= norm(n_A)-norm(n_B). Entsprechend ist d(E_A(x),E_C(x))=norm(n_A)-norm(n_C). Diese Daten hängen stetig von x ab. \(Erinnerung: die Ebenen hingen alle von x ab.) Wie bereits erwähnt erhalten wir die selben Ebenen, wenn wir von x zu -x übergehen. Der einzige Unterschied ist nun, dass die orientierten Abstände das Vorzeichen wechseln.
In Formeln: d(E_A(-x),E_B(-x))=-d(E_A(x),E_C(x)). Entsprechend für den anderen Abstand. Wir erhalten auf diese Weise eine stetige Abbildung f:S^2 -> \IR^2, f(x):= d(E_A(x),E_B(x) , d(E_A(x), E_B(x))).
Der Satz von Borsuk-Ulam garantiert und die Existenz eines x\el S^2 mit f(x)=f(-x). Das heißt wir haben für die erste Komponente der Funktion:
-d(E_A(x), E_B(x))=d(E_A(-x),E_B(-x))=d(E_A(x),E_B(x)).
Dies ist eine Gleichung der Form \lambda=-\lambda in \IR, also muss sie auf beiden Seiten 0 sein. Es ergibt sich d(E_A(x),E_B(x))=0, was zur Folge hat, dass die Ebenen E_A und E_B gleich sind. Völlig analog schließt man
d(E_A(x),E_C(x))=0, das heißt insgesamt, dass alle E_A, E_B und E_C gleich sind. Sie waren aber so definiert, dass sie die Volumina der entsprechenden Mengen A,B bzw C halbieren. Wir haben also eine Ebene gefunden, wie wir sie suchten.
In diesem Artikel möchte ich Euch, liebe Planetarier, einige schöne Anwendungen der Topologie in der Geometrie und auch im Alltag vorstellen. Als "Höhepunkt" werde ich die Frage beantworten, ob es immer möglich ist, dass man ein belegtes Brötchen, ganz egal wie die Teile aufei
\(\begingroup\)Jaja, der Zaos... :-))
Habs nur mal überflogen... kann heute nicht wirklich denken... ☹️
Hättest mal zeigen sollen, dass blöde Brötchen immer auf die Marmeladenseite fallen... 😉
Freue mich schon auf Dienstag... Wird sicher wieder lustig.
Bis dahin, take care, und pass auf, dass Du Dich nicht in ner Kreuzkappe verrennst 😉
mic\(\endgroup\)
von: cow_gone_mad am: Do. 16. Dezember 2004 00:21:27
\(\begingroup\)Hallo Zaos,
jetzt haben wir zwei Zerleger auf dem Matheplaneten. Du und shadowking, der hier eine andere Methode vorgeschlagen hat Ähnliches zu vollbringen. Allerdings braucht man bei dir weniger Schnitte, und keine Verschiebungen. Allerdings kommt bei dir auch weniger raus. Aber deine Beweise sind zumindest mir deutlich klarer.
Meiner Meinung nach ein sehr schönen Artikel. Ein Kompliment hierfür.
Liebe Grüsse,
cow_\(\endgroup\)
von: Eckaaaaaat am: Do. 16. Dezember 2004 10:33:19
\(\begingroup\)Für das Problem eine Teilung zu finden kann man auch einen konstruktiven Beweis angeben.
Für die Menge A wurde ausgenutzt, daß eine Ebene durch den Schwerpunkt, diese in zwei gleiche Teile zerlegt. Das gilt natürlich ebenso für die Mengen B und C. Und zu drei Punkten läßt sich immer eine Ebene finden, die diese Enthält. Liegen die Punkte nicht gerade auf einer geraden ist das sogar noch eindeutig - was will man mehr.
Nachteil der Methode ist natürlich, daß du dann ja nix von der Topologie hättest erzählen können. Interessant an der Topologie sind ja gerade die Methoden mit denen Argumentiert wird - und davon hast du einige gut dargestellt.
Alex
Wo war ich jetzt eigentlich noch stehengeblieben: Achja, ich wollte einen Gott konstruieren.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Zaos,
der 'Brötchensatz' ist für mich höchst erstaunlich. Mein erster Impuls: Sofort ein Gegenbeispiel suchen! Ganz einfach, dachte ich: nimm zwei Kugeln und lege eine Ebene hindurch, so daß die Volumina halbiert sind. Dann lege eine dritte Kugel anderswo in den Raum.
Hmm, klar die eine tut's nun nicht mehr, aber es gibt ja viele Ebenen. Hmm!
Und nun sehe ich, wie gut dieser Satz ist. Was ein so unanschaulich werdendes Problem ist, das wird durch diesen schönen Satz leicht handhabbar. Danke für die gelungene Darstellung.
Gibt es Erkenntnisse, ob bzw. wann man nur genau eine solche Trennebene finden kann?
Gruß
Matroid\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo zusammen,
@Alex
Das stimmt natürlich. Für diesen Satz benötigt man eigentlich keine Topologie. Aber Du hast es richtig erkannt: Es ging mir in erster Linie um die Anwendungen. Und was Ich interessant finde ist die Art und Weise der Argumentation im ganzen Artikel.
Das mit der Eindeutigkeit ist ein guter Punkt. Borsuk-Ulam sagt nichts über die Eindeutigkeit aus.
Zum Kommentar mit "Gott konstruieren": Das war eher allgemein auf die typischen Existenzsätze der Topologie bezogen, nicht speziell auf den 'Brötchensatz'. 😉 War aber auch eher als Spaß gemeint.
Es gibt aber auch konstruktive Ansätze in der Topologie, so ist es nicht....
@matroid
zur Eindeutigkeit: siehe Alex' Kommentar.
gruß
Zaos\(\endgroup\)
von: shadowking am: Do. 16. Dezember 2004 15:46:56
\(\begingroup\)Hallo zusammen,
ich finde Zaos' Artikel sehr gelungen, und einen Artikel zu dem
einen oder anderen topologischen Satz - Brouwerscher Fixpunktsatz,
Haariger-Ball-Satz oder so - hatte ich mir insgeheim auch gewünscht.
Vielen Dank also.
Könnte es aber sein, dass die Beweisskizze, wie sie jetzt ist, die
Zusammenhangseigenschaft, möglicherweise sogar Konvexität, jeder der
drei Mengen A, B, C voraussetzt?
Ohne die gilt nämlich nicht, dass jede Ebene durch den Schwerpunkt
die Menge halbiert. Beispiel: Ich denke mir A als Menge aus drei
disjunkten, gleich großen Kugeln (Würfel gehen auch), so dass der
Schwerpunkt selbst nicht innerhalb von A liegt. Dann kann ich -
genügend großen Abstand der Zusammenhangskomponenten voneinander
vorausgesetzt - eine Ebene durch den Schwerpunkt finden, so dass
diese keinen Punkt mit A gemeinsam hat. Dann liegen immer zwei
Kugeln auf der einen Seite dieser Ebene und eine auf der anderen,
was gegen die Behauptung spräche.
Der Satz gilt noch nicht mal beim gleichseitigen Dreieck; wenn man
es von einer Parallelen zu einer Seite in 2 Teile teilen läßt: Der
Schwerpunkt müsste dafür die Seitenhalbierende im Verhältnis
sqrt(2)/2 : 1-sqrt(2)/2=2,414... : 1 teilen, er teilt sie aber im
Verhältnis 2:1.
Mit dem vollen topologischen Apparat läßt sich der Brötchensatz
aber für beliebige kompakte und messbare Gebiete zeigen, und
eben dort liegt der Vorteil der topologischen Methoden.
Gruß Norbert
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Norbert,
richtig, da muss ich zugegeben, dass ich bei diesem Beweis ein bisschen geschlampt habe. Die Mengen müssen konvex vorausgesetzt werden. Da habe Ich mich zu sehr von der Anschauung leiten lassen und an belegte Brötchen gedacht. (Vielleicht war ich ja gestern so hungrig, weiß ich nicht mehr). Mir ist es nicht aufgefallen. Es gibt auch einen Beweis, der die allgemeine Version -so wie Ich den Satz formuliert habe- wirklich beweist. Ich füge diesen jetzt an. (Mal sehen, ob Ich es hinkriege, ihn den Artikel hinzuzufügen.)
Gruß
Zaos\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ok, der Beweis ist fertig. Wir müssen nur auf Matroid warten, bis er das abgesegnet hat.
In dieser Allgemenheit funktioniert demnach Alex' Konstruktion nicht. Auch was die Eindeutigkeit angeht wirds jetzt schwieriger. Es ist die gleiche Frage, ob die antipodalen punkte im Satz von Borsuk-Ulam eindeutig gewählt werden können. Da gibt es im Allgemeinen sehr viele mögliche Lösungen. Ein Beispiel in der Situation des Borsuk-Ulam-Satzes, wo man wirklich nur ein einziges Paar antipodaler Punkte finden kann sei hier beschrieben. Man projiziere die Sphäre auf die Ebene. Das heißt bei allen Punkten der Sphäre wird die z-Komponente auf 0 gesetzt. Dies ist eine stetige Abbildung der Sphäre in die Ebene. Man sieht dann leicht, dass der "Nord-" und "Südpol" das einzige Paar antipodaler Punkte bildet, welche auf das selbe abgebildet wird.
Ich hatte im Artikel die Bemerkung gemacht, dass Ich mir noch nicht überlegt habe, ob ein analogar Satz für die projektive Ebene gilt. Mir ist aber jetzt aufgefallen, dass es dort keinen Sinn macht von antipodalen Punkten zu sprechen. Man kann auf nicht orientierbaren Flächen nicht klassisch integrieren, und daher gibts keine sinnvolle Definition vom geometrischen Schwerpunkt. Jedenfalls nicht, dass Ich wüßte.
Gruß
Zaos \(\endgroup\)
von: shadowking am: Fr. 17. Dezember 2004 00:15:34
\(\begingroup\)Hallo nochmals!
Jetzt ist der Beweis in Ordnung. Mir fiel gerade ein,
dass man diese Zerlegungseigenschaft im n\-dimensionalen Raum
für n kompakte messbare Mengen auch per Induktion zeigen kann:
vec(Induktionsanfang:)
haben wir inzwischen für S_2; S_1 ist noch leichter.
vec(Induktionsvoraussetzung:)
Die kompakten messbaren Mengen A_1 ,..., A_n lassen sich mit einem
ebenen Schnitt simultan halbieren.
vec(Induktionsschluss:)
S^(n+1) geht aus ]-\pi/2 , \pi/2 ]\cross S^n hervor, indem man die
"Längenkreise" {\phi}\cross S^n an zwei antipodalen Punkten o, -o
zusammenheftet. o soll dabei die Teilungseigenschaft für
A_1 ,..., A_n vec(nicht) besitzen \(sonst geht ein
Stetigkeitsargument kaputt\).
Zu jedem \phi \el I := ]-\pi/2 , \pi/2 ] gibt es n.I.V. einen Punkt
z(\phi)=(\phi,\theta(\phi) (\theta: "Breite") aus {\phi}\cross S^n,
so dass eine zum Ortsvektor von (\phi,\theta(\phi)) senkrechte
Ebene E(\phi) A_1 ,..., A_n simultan halbiert.
Stetiges Ändern von \phi ändert z(\phi) stetig.
-z(\phi)=(\phi,-\theta(\phi)) hat die gleiche Teilungseigenschaft
wie z(\phi), so dass auf S^(n+1) zwei stetige Wege \gamma_1, \gamma_2
existieren mit
z(\phi) \el \gamma_1 => -z(\phi) \el \gamma_2.
Aus Stetigkeitsgründen hängen diese Wege an ihren Enden
zusammen und bilden einen geschlossenen Weg
\gamma_1\union\gamma_2=\Gamma in S^(n+1), der zu S_1
homotop ist und für den gilt:
z \el \Gamma => -z \el \Gamma.
Sei G(z) die Parallele zu E(z), die A_(n+1) halbiert, t(z)
das orientierte Teilverhältnis, in dem E(z) die Strecke
array(z,-z)^- teilt, und v(z) das vec(orientierte)
Teilverhältnis, in dem G(z) diese Strecke teilt.
Es gilt t(-z))-t(z) und v(-z)=-v(z).
Auf \Gamma gilt dann für die Funktion f(z):=t(z)-v(z):
f(-z)=t(-z)-v(-z)=-t(z)-(-v(z))
=-(t(z)-v(z))=-f(z).
Der Parameter z durchlaufe stetig \Gamma.
Nun schlägt der Mittelwertsatz zu: In \Gamma existiert
ein u, für das f(u) gerade 0 ist. Hier sind die
Teilungsverhältnisse gleich und die Ebenen, die einerseits
A_1 ,..., A_n und andererseits A_(n+1) halbieren, identisch.
Es gibt also eine Ebene, die A_1 ,..., A_(n+1) simultan
halbiert.
\bigbox
Die Mathematik zeigt also, dass sogar zwei "göttliche" Idealvorstellungen
möglich sind: einerseits die beliebige Vervielfältigung materieller Güter
mit dem Auswahlaxion, andererseits eine in jeder Hinsicht gerechte Teilung
mit Hilfe der Topologie.
Leider sind in beiden Fällen nur Existenzsätze möglich; nach der
Realisation wird die Menschheit also wohl noch etwas suchen müssen.
Gruß Norbert\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo!
Ich finde diesen Artikel wirklich gut gelungen!! Es ist schön anschaulich erklärt, so das man auch als Laie die Chance hat mitzukommen!
Viele Grüße\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Gonzbert
vielen Dank. Das hört man gerne. Genau das war auch mein Ziel: Jedem "Laien", wie Du es sagst, was zu bieten.
@Norbert
Ich verstehe leider etwas bei deinem Induktionsargument nicht. Und zwar an der Stelle wo Du schreibst, dass für alle \phi aus ]-pi/2 , pi/2[ nach I.V. ein Punkt, so dass die dadurch definierte Ebene die Mengen A_1 , .. A_n halbiert. Die Induktionsannahme trifft aber nur eine Aussage über n kompakte Teilmengen vom \IR^n. Deine Mengen sind aus \IR^(n+1).
Der Beweis, den Ich angegeben habe, läßt sich aber auf jede beliebige Dimension verallgemeinern. Der Satz von Borsuk-Ulam gilt ja in jeder Dimension.
Gruß
Zaos
\(\endgroup\)
von: shadowking am: Sa. 18. Dezember 2004 13:07:50
\(\begingroup\)Tja, das habe ich wohl übersehen. Ich halte es aber nicht für so
schlimm: Schließlich hat man in der um 1 höheren Dimension auch
eine Schnittebene um 1 höherer Dimension, die kompakte messbare
Gebiete um 1 höherer Dimensionen teilen kann. Statt der
Maßfunktion für den Rn nimmt man dann die für den Rn+1.
Da man von der Maßfunktion nur die Stetigkeit benötigt, die ja auch
im höherdimensionalen Fall gewährleistet ist, müsste der Beweis
eigentlich halten. Aber es spielt keine Rolle; ich habe nur zuerst
eine Idee gehabt, die ich darstellen wollte; nun ist doch etwas
Längliches und Häßliches draus geworden.
Gruß Norbert\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Zaos,
ein schöner Artikel, irgendwie mag ich solche geheimnisvollen Sätze...
Auf jeden Fall gut zu lesen, und sehr schön und anschaulich erklärt!
Gruß, Bastl
P.S. Achja, und ich hab gerade den Kategorienartikel entdeckt, als ich dir zu deinem ersten Artikel gratulieren wollte 😉
Den werd ich gleich mal lesen!\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Norbert
Schade, dass diese "Kleinigkeit" den Beweis in Unlängen zieht, denn deine Beweisidee gefällt mir!
@Difform
vielen Dank. Du hast den anderen Artikel erst jetzt entdeckt?? ich dachte Du kennst ihn schon. 😉
gruß
Zaos\(\endgroup\)
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
Mathematik: Ein wenig Geometrie
Printer-friendly version
Get link to this article
Comments
Dieser Artikel ist im Verzeichnis der 
