Physik: Eine nicht-relativistische Herleitung der dynamischen Massenformel
Released by matroid on Di. 01. Februar 2005 11:08:15 [Statistics]
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Physik

\(\begingroup\) Eine nicht-relativistische Herleitung der dynamischen Massenformel Schon vor der Veröffentlichung von Einsteins (Spezieller) Relativitätstheorie im Jahre 1905 gab es die Idee, daß die Energie Masse- eigenschaften besitzt, was durch die berühmte Gleichung E=mc² zum Ausdruck gebracht wird.

Anlaß für diese frühe Einsicht waren die Selbstinduktion, die als Trägheitserscheinung gedeutet werden kann, und die Erkenntnis des österreichischen Physikers Friedrich Hasenöhrl, der bereits 1904 in den Annalen der Physik in seinem Aufsatz "Zur Theorie der Strahlung bewegter Körper" ausführte, daß der Energie E der Hohlraumstrahlung eine Masse m=E/c² zuzuschreiben ist. Dabei rechnete er ohne zusätzliche Annahmen nach der Maxwellschen Theorie. Bisweilen wird gegen Einstein der Vorwurf erhoben, den von Hasenöhrl gefundenen Zusammenhang zwischen beiden Größen bei der Veröffentlichung seiner eigenen Energie-Masse- Formel nicht erwähnt zu haben. Da beide Forscher in geringem zeitlichen Abstand im selben Wissen- schaftsorgan publizierten, ist anzunehmen, daß Einstein Hasenöhrls Arbeit kannte. Führt man heutzutage, etwa im Gymnasium, die Spezielle Relativitätstheorie ein, wird häufig (mit Zwischenschritten, die ich hier auslasse) diese Reihenfolge gewählt: Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit - Lorentz-Transformation - dynamische Masse - Äquivalenz von Masse und Energie. Die Formel E=mc² steht hierbei am Ende einer langen Deduktionskette; doch ist, wenn man nur die Abhängigkeit der Masse von der Geschwindigkeit herleiten möchte, auch das Umgekehrte möglich. Dies wurde von Franz von Krbek in seinem Lehrbuch "Grundzüge der Mechanik" gezeigt und wird im folgenden leicht verändert wiedergegeben. Geht man von E=c²m aus, dann ist, da m als veränderlich vorausgesetzt wird, dE=c²dm. Bezeichnet weiter F eine Kraft, unter deren Einfluß der Körper in ihrer Richtung den Weg s zurücklegt, gilt auch dE=Fds. Wird außerdem berücksichtigt, daß nach Newton die Kraft gleich der Ableitung des Impulses mv nach der Zeit ist, F=d(mv)/dt, dann folgt mit ds=vdt und unter Beachtung der Produktregel: c²dm=(vdm+mdv)·v. Trennung der Variablen dm/m=vdv/(c²-v²) und Integration auf beiden Seiten mit der Integrationskonstanten mo (Ruhmasse) ergibt die bekannte Massenformel m=mo/sqrt(1-v²/c²). Bemerkenswert an dieser Herleitung ist außer ihrer Kürze, daß sie ohne die von der Relativitätstheorie postulierten Eigenschaften von Raum und Zeit auskommt. Hans-Jürgen Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem ("Ockhams Messer")
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Eine nicht-relativistische Herleitung der dynamischen Massenformel [von Hans-Jürgen]  
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"Physik: Eine nicht-relativistische Herleitung der dynamischen Massenformel" | 14 Comments
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Re: Eine nicht-relativistische Herleitung der dynamischen Massenformel
von: cow_gone_mad am: Di. 01. Februar 2005 12:10:05
\(\begingroup\)Hallo Hans-Juergen! "Dabei rechnete er ohne zusätzliche Annahmen nach der Maxwellschen Theorie." Er rechnete also in einer relativistischen Theorie. Die Maxwellgleichungen sind nämlich lorentzinvariant und nicht galileiinvariant, also eine relativistische Theorie. Sie waren genauer gesagt auch Einsteins Ausgangspunkt, um die spezielle Relativitästheorie zu finden. Genauso verwendest du die relativistische Gleichung E = mc^2. Diese ist nämlich richtig formuliert eigentlich auch Lorentzinvariant. Allerdings verwende ich hier schon wieder meine Sicht, was relativistisch ist, nämlich lorentzinvariant (Gleichungen bleiben unter Lorentztransformationen invariant) und ich weiss nicht, ob wirklich jeder damit was anfangen kann. Deine Herleitung ist allerdings mal wieder ein schönes Beispiel dafür: Man kann an vielen Punkten starten und kommt immer ans Gleiche. Das ist ja das schöne an der Physik. Man nimmt immer die Annahmen, zu denen man Lust hat. Liebe Grüsse, cow_\(\endgroup\)
 

Re: Eine nicht-relativistische Herleitung der dynamischen Massenformel
von: Spock am: Di. 01. Februar 2005 20:43:26
\(\begingroup\)Hallo Hans-Jürgen, ich danke Dir für diese schöne Alternative zur sonst üblichen Herleitung einer der wichtigstens Beziehungen der SRT. Gruß Juergen\(\endgroup\)
 

Re: Eine nicht-relativistische Herleitung der dynamischen Massenformel
von: Janko am: Mi. 02. Februar 2005 09:55:45
\(\begingroup\)OK für den letzten Schritt fehlt mir die logik. Ich weiß nicht wie ich das rechnen soll Zitat: dm/m=vdv/(c²-v²) und Integration auf beiden Seiten mit der Integrationskonstanten mo (Ruhmasse) wie will man das mit m0 integrieren wenn man auf der rechten Seite keine masse sondern dv hat? Kann mir einer aufschreiben was da als erstes rauskommt nachdem man es integriert hat\(\endgroup\)
 

Re: Eine nicht-relativistische Herleitung der dynamischen Ma
von: kostja am: Mi. 02. Februar 2005 12:27:27
\(\begingroup\)Hallo Janko! Du musst links nach m und rechts nach v integrieren. mfG Kosntantin\(\endgroup\)
 

Re: Eine nicht-relativistische Herleitung der dynamischen Massenformel
von: Hans-Juergen am: Do. 03. Februar 2005 09:19:03
\(\begingroup\)Hi Janko, kleiner Tipp: nenne die beim Integrieren von dm/m=vdv/(c²-v²) auftretende Integrationskonstante vorübergehend ln K ! Hans-Jürgen \(\endgroup\)
 

Re: Eine nicht-relativistische Herleitung der dynamischen Massenformel
von: Janko am: Do. 03. Februar 2005 14:28:08
\(\begingroup\)Jo danke für die Tipps. Jetzt hab ichs ...fast Das m0 bzw ln(k) fällt bei mir raus *heul* dm/m=vdv/(c²-v²) dm/m=-1/2*(-2v/c²-v²) dv |Integrieren ln(m) +ln(k)=-1/2*ln(c²-v²) + ln(k) ln(m*k)=ln(k/sqrt(c²-v²)) m*k=k/sqrt(c²-v²) m=1/sqrt(c²-v²)\(\endgroup\)
 

Re: Eine nicht-relativistische Herleitung der dynamischen Massenformel
von: Hans-Juergen am: Do. 03. Februar 2005 15:08:41
\(\begingroup\)Hallo Janko, ich freu' mich, daß Du weitergerechnet hast. Nicht verzweifeln! Die beiden Integrationskonstanten links und rechts sind ja völlig willkürlich und können daher als verschieden angenommen werden, so daß es z. B. so weitergeht: ln(m)+ln(k1)=-1/2*ln(c²-v²) + ln(k2). Bringst Du jetzt ln(k1) mit Minus auf die andere Seite und wendest eine der logarithmischen Rechenregeln an, entsteht ln(m)=-1/2*ln(c²-v²) + ln(k2/k1) , und für k2/k1 kannst Du dann K setzen. Mit freundlichen Grüßen, Hans-Jürgen \(\endgroup\)
 

Re: Eine nicht-relativistische Herleitung der dynamischen Massenformel
von: Janko am: Do. 03. Februar 2005 16:08:21
\(\begingroup\)Ok danke erstmal jetzt blick ich auch durch ^^ Aber ich finds schon irgendwie ziehmlich dreist von den Physikern vorauszusetzen, dass K=m0. Das darf man nach meiner einfachen Denkweise wohl nur machen, wenn man die Formel schon kennt und demnach weiß was da rauskommen muß. \(\endgroup\)
 

Re: Eine nicht-relativistische Herleitung der dynamischen Massenformel
von: Hans-Juergen am: Do. 03. Februar 2005 18:02:20
\(\begingroup\)Hi Janko, Dein Urteil ist vorschnell und unzutreffend. Die Formel m=const/sqrt(1-v²/c²) mit einer irgendwie bezeichneten Konstanten "const" im Zähler der rechten Seite ergibt für v=0 ebendiese Konstante. Sie hat die Dimension "Masse", genau wie das m auf der linken Seite, und es handelt sich bei ihr um diejenige Masse, die der Körper hat, wenn er sich nicht bewegt. Die Konstante "Ruhmasse" zu nennen, ist also etwas ganz Natürliches, die Bezeichnung mo dagegen nebensächlich; man könnte auch etwas anderes nehmen. Auf keinen Fall ist es nötig, schon vorher zu wissen, "was rauskommt". Alles folgt aus dem Ansatz E=mc² und den übrigen, in meinem obigen Beitrag genannten Voraussetzungen zwangsläufig; da gibt es keine Willkür oder "Dreistigkeit", die Du den Physikern vorwirfst. Hans-Jürgen \(\endgroup\)
 

Re: Eine nicht-relativistische Herleitung der dynamischen Massenformel
von: Janko am: Fr. 04. Februar 2005 16:12:29
\(\begingroup\)Jo habs jetzt verstanden. Bei meinem Fehler ging ich davon aus, das folgendes mathematisch erlaubt ist: Wenn man das Integral(f(x) dx) berechnet, erhält man F(x)+c, c ist hierbei eine beliebige Konstante die nicht x enthält. Bei der linken Seite "dm/m" der zu integrierenden Gleichung, darf die Konstante also alles außer m enthalten. Demnach auch v und demnach auch therme die c²-v² enthalten. Dann würde natürlich etwas ganz anderes rauskommen. Ok, dann danke für dein Mühe Hans-Jürgen Gruß, Janko \(\endgroup\)
 

Re: Eine nicht-relativistische Herleitung der dynamischen Massenformel
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 20. August 2006 18:35:42
\(\begingroup\)Das ist Quatsch . Der Term sqrt(1-v²/c²) ist relativistisch. Mach dir erst mal klar was mit rRelativistisch gemeint ist. HJ\(\endgroup\)
 

Re: Eine nicht-relativistische Herleitung der dynamischen Massenformel
von: matroid am: So. 20. August 2006 21:52:45
\(\begingroup\)Was bedeutet es denn? Es wäre halt schön, wenn Du allen hier, die es nicht wissen, erklärtest, was Du mit Deiner Kritik meinst. Möglicherweise müßten zunächst die Begriffe und deren Bedeutung noch einmal beschrieben werden? Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Eine nicht-relativistische Herleitung der dynamischen Massenformel
von: Hans-Juergen am: Mo. 21. August 2006 10:51:49
\(\begingroup\)Hi, ich möchte darauf hinweisen, daß ich nicht mit dem Anonymus "HJ" identisch bin. Hans-Jürgen\(\endgroup\)
 

Re: Eine nicht-relativistische Herleitung der dynamischen Ma
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 10. April 2007 13:58:56
\(\begingroup\)Ich sehe es auch so, dass die Herleitung sehr wohl relativistisch ist. finde den titel also nicht sehr aussagekräftig, aber schöne herleitung. mfg\(\endgroup\)
 

 
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