Mathematik: Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme
Released by matroid on So. 20. Februar 2005 11:46:34 [Statistics]
Written by MathSG1982 - 23652 x read [Outline] Printable version Printer-friendly version -  Choose language   
Mathematik

\(\begingroup\) Hallo liebe Planetarier, in diesem Artikel beschäftige ich mich mit der Singulärwertzerlegung und ihrer Bedeutung bei der Lösung von Minimierungsproblemen. Man versucht dabei Probleme auf lineare Gleichungssysteme Ax=b zurückzuführen . Diese können jedoch überstimmt sein und sind damit (oft) nicht eindeutig lösbar. Wir suchen dann nach einer Lösung x, so dass die euklidische Norm von (Ax-b) minimal wird. (An Kenntnissen setze ich das "Lineare Algebra-Grundstudium" und ein wenig mehrdimensionale Analysis voraus.) Viel Spaß beim Lesen !

\big\ Einleitung Viele mathematische Probleme können auf lineare Gleichungssysteme der Form Ax=b zurückgeführt werden. Ist A quadratisch und regulär, ist die Lösung eindeutig. Doch dies ist nicht immer der Fall. Im Folgenden werden wir uns besonders für den Fall, dass A rechteckig ist, interessieren. Dabei spielt die Singulärwertzerlegung einer Matrix eine große Rolle. Mit ihr lässt sich die sogenannte Pseudoinverse \(später mehr dazu) berechnen, die für die Lösung von Minimierungsproblemen verwendet werden kann.
\big\ Definition (Singulärwertzerlegung): Sei A \in \IC^(m\cross\ n) eine beliebige komplexe Matrix mit r=rang(A). Die Zerlegung A=V\Sigma U^\* heißt die Singulärwertzerlegung von A. V \in \IC^(m\cross\ m) und U \in \IC^(n\cross\ n) sind dabei unitäre Matrizen und \Sigma = (\sigma_1,0,...,...,...,...,0;0,\sigma_2,0,...,...,...,0;.,.,.,.,.,.;0,...,...,\sigma_r,0,...,0;.,.,.,.,.,.;0,...,...,...,...,...,0) \in \IR^(m \cross\ n). Die Zahlen \sigma_i >0 (i=1,...,r) heißen die Singulärwerte von A. Wir werden nun zeigen, dass für jede Matrix eine Singulärwertzerlegung existiert. \big\ Satz : Sei A \in \IC^(m \cross\ n), r=rang(A). Dann existieren Zahlen \sigma_1 >= \sigma_2 >=...>=\sigma_r > 0 und unitäre Matrizen U \in \IC^(n \cross\ n), V \in \IC^(m\cross\ m) mit A=V\Sigma U^\*. \big\ Beweis: Die Matrix A^\* A \in \IC^(n \cross\ n) ist hermitesch (=> reelle Eigenwerte) und damit diagonalisierbar. Es existiert also eine unitäre Matrix U \in \IC^(n \cross\ n) mit U^\* (A^\* A) U = diag(\sigma_1^2,...,\sigma_n^2), mit \sigma_i > 0 für i=1,...,r und \sigma_i = 0 für i>r. Sei U_r = (u_1 ,..., u_r) (u_i - Spaltenvektoren von U) und \Sigma_r = diag(\sigma_1 ,..., \sigma_r). Es gilt: U_r^\* (A^\* A) U_r = \Sigma_r ^2 . Sei nun V_r = A U_r \Sigma_r^(-1). Die Matrix V_r \in \IC^(m\cross\ r) ist unitär, wie man schnell nachrechnet, die Spalten bilden also ein Orthonormalsystem. Damit ist A=V_r \Sigma_r U_r^\* . Ergänzen wir die Matrix V_r mit orthonormierten Spalten zu V \in \IC^(m \cross\ m) und setzen \Sigma = (\Sigma_r,0;0,0) \in \IR^(m \cross\ n) , so gilt \big\ A=V\Sigma U^\* . \big\Bemerkungen: 1) Die Singulärwerte von A sind eindeutig bestimmt. 2) Die Singulärvektoren u_1 ,...,u_r und v_1 ,...,v_r sind bis auf einen Faktor \alpha \in \IC mit abs(\alpha)=1 eindeutig bestimmt. 3) Au_i = fdef(\sigma_i v_i, 1<=i<=r;0 , i>r) , A^\* v_i = fdef(\sigma_i u_i , 1<=i<=r;0 , i >r) 4) A = \sum(\sigma_i v_i u_i^\*,i=1,r) 5) Für die euklidische Norm von A gilt: norm(A)_2 = \sigma_max 6) norm(A)_F = (\sum(abs(a_ij)^2,i;j))^(1/2) = (\sum(\sigma_i ^2,i=1,r))^(1/2) 7) Den obigen Beweis kann man auch mit AA^\* durchführen. Die Singulärwerte ändern sich nicht. Die normierten Eigenvektoren von AA^\* sind dann die Spalten von V. Die Spalten von U erhält man dann mit Hilfe von 3). Auch hier muss man eventuell die Matrix U ergänzen. \big\ Lemma 1: Sei A \in \IC^(m \cross\ n) und P\in \IC^(m\cross\ m), Q\in \IC^(n\cross\ n) unitäre Matrizen. Dann haben die Matrizen A und B=PAQ die gleichen Singulärwerte. \big\ Lemma 2: Sei A \in \IR^(n \cross\ n). Dann existieren eine unitäre Matrix Q \in \IR^(n \cross\ n) und eine symmetrische positiv semidefinite Matrix P \in \IR^(n\cross\ n) mit A=QP. \big\ Beweis von Lemma 2: Sei A=V\Sigma U^T die Singulärwertzerlegung von A mit U,V,\Sigma \in \IR^(n\cross\ n). Definiere P=U\Sigma U^T. P ist symmetrisch und ähnlich zu \Sigma. Weil \Sigma positiv semidefinit ist, gilt dies auch für P. Weiter ist Q:=VU^T als Produkt unitärer Matrizen unitär. Damit gilt A=QP, also die behauptete Darstellung. \big\ Beispiel 1: Wir bestimmen nun die Singulärwertzerlegung von A = (10,5,-10;2,-11,10) \in \IR^(2\cross\ 3). AA^T = (225,-135;-135,225) Die Eigenwerte von AA^T sind \lambda_1 =360 und \lambda_2 =90. Ein normierter Eigenvektor zu \lambda_1 ist v_1=(-1/sqrt(2);1/sqrt(2)) und zu \lambda_2 gehört v_2=(1/sqrt(2);1/sqrt(2) \sigma_1=sqrt(\lambda_1)=6*\sqrt(10) und \sigma_2=\sqrt(\lambda_2)=3*\sqrt(10) sind die Singulärwerte der Matrix A. Wir wissen (nach obigen Bemerkungen), dass A^T v_1 = \sigma_1 u_1 und A^T v_2 = \sigma_2 u_2 => u_1 = (-2/sqrt(45);-4/sqrt(45);5/sqrt(45)) und u_2 = (6/sqrt(45);-3/sqrt(45);0)=(2/sqrt(5);-1/sqrt(5);0) Wir müssen nun einen normierten Vektor u_3 finden, der zu u_1 und u_2 orthogonal ist. u_3 = (1/3;2/3;2/3) erfüllt diese Kriterien (Berechnung durch z.B. Kreuzprodukt). => U=(-2/sqrt(45),2/sqrt(5),1/3;-4/sqrt(45),-1/sqrt(5),2/3;5/sqrt(45),0,2/3), V=(-1/sqrt(2),1/sqrt(2);1/sqrt(2),1/sqrt(2)) und \Sigma=(6*sqrt(10),0,0;0,3*sqrt(10),0) Damit gilt: A=V\Sigma U^T \big\ Beispiel 2: Wir wollen von der Matrix A=(3/sqrt(2),-3/sqrt(2),0;0,0,0;sqrt(2),sqrt(2),0) eine Darstellung A=QP bestimmen (siehe Lemma 2). Dazu berechnet man zunächst die Singulärwertzerlegung. Diese sieht u.a. wie folgt aus: A=V\Sigma U^T=(1,0,0;0,0,-1;0,1,0)*(3,0,0;0,2,0;0,0,0)*(1/sqrt(2),-1/sqrt(2),0;1/sqrt(2),1/sqrt(2),0;0,0,1) Damit ist P=U\Sigma U^T = (5/2,-1/2,0;-1/2,5/2,0;0,0,0) und Q=VU^T = (1/sqrt(2),-1/sqrt(2),0;0,0,-1;1/sqrt(2),1/sqrt(2),0) Es gilt also: A=QP
In diesem kurzen Abschnitt werden wir uns mit der Pseudoinversen einer Matrix beschäftigen. Um diese vernünftig definieren zu können, brauchen wir die Singulärwertzerlegung. \big\ Definition 1: Sei A\in \IR^(n\cross\ m), n>=m und rang(A)=m. Dann hat die Matrix A^T A \in \IR^(m\cross\ m) bekanntlich vollen Rang, ist also invertierbar. Die Matrix A^\+ = (A^T A)^(-1) A^T \in \IR^(m \cross n) heisst die Pseudoinverse von A. Hier sieht man, dass es sich um die Verallgemeinerung der Inversen einer Matrix handelt. Wenn A quadratisch und invertierbar ist, dann ist offensichtlich A^(-1)=A^\+. Wir wollen nun A^\+ mit Hilfe der Singulärwertzerlegung von A ausdrücken: Sei A\in \IR^(n\cross\ m), n>=m und rang(A)=m. A^\+ = (A^T A)^(-1) A^T = ((V\Sigma U^T)^T V\Sigma U^T)^(-1) (V\Sigma U^T)^T = = (U \Sigma^T \Sigma U^T)^(-1) (U\Sigma^T V^T) (\*) Mit \Sigma^T \Sigma = diag(\sigma_1^2,...,\sigma_m^2) (\sigma_i >0) erhält man: (\*) = U*diag(1/\sigma_1^2,...,1/\sigma_m^2)*\Sigma^T V^T = U*\Sigma^\+ V^T, wobei \Sigma^\+ = (\Sigma^T \Sigma)^(-1)*\Sigma^T = (1/\sigma_1,0,...,...,...,...,0;0,1/\sigma_2,0,...,...,...,0;.,.,.,.,.,.;0,...,...,1/\sigma_m,0,...,0) \in \IR^(m \cross\ n) In Definition 1 mussten wir einige Einschränkungen bzgl. des Ranges von A "hinnehmen". Wir sind aber nun in der Lage (mit Hilfe der Singulärwertzerlegung von A), die Pseudoinverse noch allgemeiner zu definieren. Sei A\in \IR^(n\cross\ m) beliebig, r=rang(A), mit der Singulärwertzerlegung A=V\Sigma U^T. Wir definieren nun: A^\+ = U \Sigma^\+ V^T, mit \Sigma^\+ = (1/\sigma_1,0,...,...,...,...,0;0,1/\sigma_2,0,...,...,...,0;.,.,.,.,.,.;0,...,...,1/\sigma_r,0,...,0;0,...,...,...,...,...,0;.,.,.,.,.,.;0,...,...,...,...,...,0) \in \IR^(m \cross\ n) Also: \Sigma^\+ = (\Sigma_r^\+,0;0,0), \Sigma_r^\+ = diag(1/\sigma_1,...,1/\sigma_r) \in \IR^(r\cross\ r) \big\ Definition 2 (Verallgemeinerung von Def.1): Sei A\in \IR^(n\cross\ m) beliebig mit r=rang(A) und sei A=V\Sigma U^T die Singulärwertzerlegung von A. \Sigma_r^\+ := diag(1/\sigma_1,...,1/\sigma_r), wobei \sigma_i > 0 (i=1,...,r) die Singulärwerte von A seien. Dann heißt die Matrix A^\+=U * (\Sigma_r^\+,0;0,0)*V^T \in \IR^(m\cross\ n) die Pseudoinverse von A. \big\ Beispiel: Wir wollen die Pseudoinverse von A=(10,-5,10;2,-11,10) berechnen. Die Singulärwertzerlegung von A (vgl. Beispiel 1 aus Abschnitt 1) : A=V\Sigma U^T ,mit U=(-2/sqrt(45),2/sqrt(5),1/3;-4/sqrt(45),-1/sqrt(5),2/3;5/sqrt(45),0,2/3), V=(-1/sqrt(2),1/sqrt(2);1/sqrt(2),1/sqrt(2)) und \Sigma=(6*sqrt(10),0,0;0,3*sqrt(10),0) Es gilt damit: \Sigma^\+ = (1/(6*\sqrt(10)),0;0,1/(3*\sqrt(10));0,0) \in \IR^(3\cross\ 2) => A^\+ = U\Sigma^\+ V^T = (7/90,1/18;-1/90,-1/18;-1/36,1/36) ist die Pseudoinverse von A.
Jetzt kommt natürlich die Frage: Das ist ja alles schön und gut, doch wozu braucht man die Singulärwertzerlegung und die Pseudoinverse ? In diesem Abschnitt werden wir diese Frage beantworten. Dazu werden auch einige Beispiele vorgerechnet. \big\ Motivation: Sei A \in \IR^(n \cross\ m), m min Berechnung von Pz : Sei z^\* = Pz \in R(A). Dann ist z^\* = Ay für ein y\in \IR^m . Definiere nun die Funktion F: \IR^m -> \IR, F(y)=norm(z-Ay)_2^2. Gesucht ist also das Minimum der Funktion F. F(y)= = norm(z)_2^2 - 2 + norm(Ay)_2^2 = z^T Ay = \sum(z_i * ((Ay))_i,i=1,n) = \sum(z_i*sum(A_(ij) y_j,j=1,m),i=1,n) = y^T A^T Ay = sum(y_i ((A^T Ay))_i,i=1,m)=\sum(sum(y_i ((A^T A))_ij y_j,j=1,m),i=1,m) Wir wollen nun das Differential von F berechnen: \pd\ () /\pd\ y_k = \sum(z_i * A_(ik),i=1,n)=((A^T z))_k => \pd\ () /\pd\ y = A^T z und \pd\ () /\pd\ y = 2*A^T Ay => \pd / (\pd y) F(y)= 2*A^T Ay - 2*A^T z = 0 <=> A^T Ay = A^T z Hier wurde nur die notwendige Bedingung geprüft. Es handelt sich allerdings tatsächlich um das Minimum von F. D.h. die Lösung des Minimierungsproblems norm(Ay-z)_2 -> min ist äquivalent zur Lösung der Normalengleichung A^T Ay =A^T z , sofern A vollen Rang hat (A^T A also invertierbar ist). A^T Ay = A^T z <=> y= (A^T A)^(-1) A^T z = A^\+ z Multipliziert man die Pseudoinverse mit z, erhält man also die Lösung des Minimierungsproblems. Wir müssen uns jetzt noch fragen, was passiert, wenn rang(A)=r beliebig ist. Dann kann unter Umständen die Normalengleichung nicht eindeutig lösbar sein (wenn A nicht vollen Rang hat). Arbeitet man in diesem Fall mit der verallgemeinerten Pseudoinversen A^\+ (über die Singulärwertzerlegung), so erhält man, dass y_\* = A^\+ z eine Lösung des Minimierungsproblems ist. y_\* hat unter allen Lösungen die kleinste euklidische Norm und ist dadurch eindeutig bestimmt. \big\ Zusammenfassung: Sei A \in \IR^(n\cross\ m) eine beliebige reelle Matrix und sei b\in \IR^n. Dann ist die Lösung des Minimierungsproblems norm(Ax-b)_2 -> min durch x_\* = A^\+ b gegeben. Dabei ist A^\+ die verallgemeinerte Pseudoinverse, die man über die Singulärwertzerlegung von A erhält. Im nächsten Abschnitt werden wir uns nun mit konkreten Beispielen befassen.
\big\ Beispiel 1: Gegeben sind Punkte (x_i , y_i)\in \IR^2 (i=1,...,n). Durch diese Punkte soll ein Kreis gelegt werden. Wir werden nun dieses Problem in ein lineares Ausgleichsproblem "überführen". Dazu schauen wir uns in die Kreisgleichung an: Sei (\alpha,\beta) \in \IR^2 der gesuchte Mittelpunkt des Kreises und r sein Radius. => (x_i - \alpha)^2 + (y_i - \beta)^2 = r^2 (i=1,...,n) ist zu erfüllen <=> x_i^2 + y_i^2 = 2*x_i \alpha + 2*y_i \beta + (r^2 - \alpha^2 - \beta^2)=2x_i \alpha + 2y_i \beta + \omega In Matrizenschreibweise: (2x_1,2y_1,1;..,..,..;..,..,..;2x_n,2y_n,1)(\alpha;\beta;\omega)=(x_1^2+y_1^2;..;..;x_n^2+y_n^2) Mit A=(2x_1,2y_1,1;..,..,..;..,..,..;2x_n,2y_n,1) \in \IR^(n\cross\ 3) Die Punkte sind paarweise verschieden. Also hat A vollen Rang. Multiplikation mit A^T und das Lösen der so entstandenen Normalengleichung liefert uns den Mittelpunkt sowie \omega. r erhält man mit der Gleichung r^2 = \omega + \alpha^2 + \beta^2. Wir haben also den gesuchten Kreis gefunden. \big\Beispiel 2: Für die Schwingung f(t)=A*sin(t+\phi2) sollen die Amplitude A und der Phasenwinkel \phi2 aus der folgenden Messtabelle bestimmt werden: f(0) = sqrt(2) , f(\pi/4)=2 , f(\pi/2) = sqrt(2) Wir formulieren diese Aufgabe zunächst als ein Minimierungsproblem: f(0)=A*sin(\phi2) = sqrt(2) f(\pi/4)=A*sin(\pi/4+\phi2) = A*(1/2 sqrt(2)*sin(\phi2) + 1/2 sqrt(2)*cos(\phi2))=2 f(\pi/2)=A*sin(\pi/2+\phi2)=A*cos(\phi2)=sqrt(2) In Matrizenschreibweise: Cx = (1,0;sqrt(1/2),sqrt(1/2);0,1)(A*sin(\phi2);A*cos(\phi2))=b=(sqrt(2);2;sqrt(2)) Die Matrix C hat vollen Rang. Wir können also mit C^T multiplizieren: C^T *Cx = (3/2,1/2;1/2,3/2)(A*sin(\phi2);A*cos(\phi2))=C^T b = (2*sqrt(2);2*sqrt(2)) => x = (\sqrt(2);\sqrt(2))=(A*sin(\phi2);A*cos(\phi2)) Wegen A^2=(A*sin(\phi2))^2+(A*cos(\phi2))^2=4, ist die Amplitude A=2, also sin(\phi2)=cos(\phi2)=sqrt(1/2) => \phi2 = \pi/4 \(ebenso wäre A=-2 und \phi2 = 5/4 *\pi eine Lösung, was keinen Unterschied machen würde). => f(t)= 2*sin(t+\pi/4) (hier ist die Lösung sogar exakt) \big\Beispiel 3: Gegeben sind 3 Messpaare (1,2) , (2,5) und (3,10). Gesucht ist die Ausgleichsgerade, also die Gerade, die zu allen 3 Punkten minimalen Abstand hat. Ansatz: Wir schreiben die Gerade in der Form g(x)=c_1(x-2)+c_2 (2 ist der "Mittelpunkt" der Messreihe) g(1)=-c_1 + c_2 = 2 g(2)=c_2 = 5 g(3)=c_1 + c_2 = 10 In Matrixschreibweise: (-1,1;0,1;1,1)(c_1;c_2) = (2;5;10) Wir multiplizieren die Gleichung mit (-1,0,1;1,1,1) und erhalten: (2,0;0,3)(c_1;c_2) = (8;17) => c_1 =4 und c_2 = 17/3 => g(x)=4*(x-2)+17/3 \geo ebene(500,500) xy(0,11) name(bild1) plot( 4*(x-2)+17/3, funktionsname) punkt(1,2,(1,2)) punkt(2,5,(2,5)) punkt(3,10,(3,10)) \geooff geoprint(bild1,g(x))
Natürlich könnte man hier noch viele weitere Beispiele anführen. Aber ich denke, dass bereits diese 3 Beispiele zeigen, wie hilfreich die Normalengleichung bzw. die Pseudoinverse bei der Lösung solcher oder ähnlicher Probleme sind. So, dann hoffe ich mal, dass es euch Spaß gemacht und ihr alles verstanden habt. (Wahrscheinlich werde ich den Artikel noch erweitern. Es gibt nämlich noch die Möglichkeit mit Hilfe einer QR-Zerlegung das Minimierungsproblem zu lösen.) Bis denne MathSG
\(\endgroup\)
Get link to this article Get link to this article  Printable version Printer-friendly version -  Choose language     Kommentare zeigen Comments  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Numerik :: Reine Mathematik :: Mathematik :
Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme [von MathSG1982]  
Ein interessanter Numerik-Artikel über die Singulärwertzerlegung und ihre Anwendungen in der Numerik.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
Aufrufzähler 23652
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 5023 externe Seitenaufrufe zwischen 2012.01 und 2021.12 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
https://google.de4789.5%9.5 %
https://google.com440.9%0.9 %
https://duckduckgo.com330.7%0.7 %
https://www.bing.com591.2%1.2 %
https://www.ecosia.org320.6%0.6 %
https://google.at10%0 %
http://s7-eu.ixquick.com144328.7%28.7 %
http://google.de237547.3%47.3 %
http://www.bing.com1703.4%3.4 %
http://google.lu961.9%1.9 %
http://google.ru941.9%1.9 %
http://google.fr761.5%1.5 %
http://google.no601.2%1.2 %
https://google.es230.5%0.5 %
https://www.startpage.com50.1%0.1 %
https://www.qwant.com20%0 %
http://r.duckduckgo.com50.1%0.1 %
http://www.ecosia.org40.1%0.1 %
http://google.com20%0 %
http://de.cyclopaedia.net10%0 %
http://ecosia.org10%0 %
http://suche.t-online.de20%0 %
http://search.snapdo.com30.1%0.1 %
http://search.conduit.com30.1%0.1 %
http://de.search.yahoo.com10%0 %
http://start.mysearchdial.com10%0 %
http://172.28.64.110%0 %
http://www.holasearch.com10%0 %
http://www.startxxl.com10%0 %
https://startpage.com10%0 %
http://suche.web.de10%0 %
https://eu.startpage.com10%0 %
http://search.webssearches.com10%0 %
http://isearch.avg.com10%0 %
http://suche.gmx.net10%0 %

Aufrufer der letzten 5 Tage im Einzelnen
Insgesamt 25 Aufrufe in den letzten 5 Tagen. [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2021.12.01 12:02-17:32 (2x)https://google.de
2021.11.02-2021.12.01 (21x)https://google.com/
2021.11.06-2021.11.30 (2x)https://google.com

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 4896 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2012-2019 (1443x)http://s7-eu.ixquick.com/do/metasearch.pl
2013-2018 (517x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
2020-2021 (359x)https://google.de/
2015-2016 (122x)http://www.bing.com/search?q=singulärwertzerlegung bedeutung&form=OPRTSD&p...
202005-12 (107x)https://google.de/url?sa=t
2012-2014 (96x)http://google.lu/url?sa=t&rct=j&q=
201501-01 (94x)http://google.ru/url?sa=t&rct=j&q=
201402-02 (94x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=singulärwertzerlegung ausgleichsproblem
201407-07 (93x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=4&ved=0CCIQFjAD
201506-06 (91x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=singulärwertzerlegung
201309-10 (90x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=singulärwertzerlegung für dummies
201201-01 (83x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=tikhonov singulärwertzerlegung pseudoinv...
201401-01 (81x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=singulärwertzerlegung norm
201305-05 (81x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zeigen dass die singularwertzerlegung von ...
201307-07 (80x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wozu gibt es die singulärwertzerlegung
201504-04 (76x)http://google.fr/url?sa=t&rct=j&q=
201203-03 (76x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=singulärwete
201405-05 (71x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=9&ved=0CEAQFjAI
201306-06 (70x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=warum singulärwertzerlegung in der numer...
201207-07 (67x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=singulärwertzerlegung standardabweichung
201202-02 (66x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zwei stufen svd,matlab
201503-03 (66x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=singuulärwertzerlegung
201412-12 (63x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=unstetigkeit abbildung matrix auf pseudoinv...
201505-05 (60x)http://google.no/url?sa=t&rct=j&q=
201403-03 (60x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=singulärwertzerlegung beispiel
201204-04 (58x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=warum a^ta und aa^t dieselben eigenwerte l...
201311-11 (57x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=singulärwertzerlegung matrix berechnen
2020-2021 (56x)https://www.bing.com/
201507-07 (54x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=9&ved=0CDMQFjAIahUKEwj-q_jA9-HGAhUjfH...
201211-11 (52x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=svd eigenwertzerlegung hermitesch allgemein
201206-06 (48x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wozu singulärwertzerlegung gut
201212-12 (43x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wozu singulärwertzerlegung
201303-03 (40x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=singulärwertzerlegung matlab dauert zu l...
201205-05 (38x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wozu singularwertzerlegung
201301-01 (37x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=svd berechne matrix a
201308-08 (36x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wozu braucht man eine singulärwertzerleg...
201302-02 (35x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=singulärwertzerlegung wozu
2020-2021 (30x)https://duckduckgo.com/
2020-2021 (27x)https://www.ecosia.org/
202007-07 (23x)https://google.es
201208-08 (22x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=singulärwertzerlegung beschreibung numer...
202108-10 (21x)https://google.com/
2015-2016 (21x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=4&rct=j&q=singulärwertzerlegung
2015-2016 (19x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=7&rct=j&q=singulärwertzerlegung
201210-10 (19x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=singulärwertzerlegung anwendung
201304-04 (17x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=singulärwertzerlegung hermitesche matrix
201606-06 (10x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=7&rct=j&q=singulärwertzerlegung ra...
202010-10 (9x)https://google.de
201603-03 (7x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=5&rct=j&q=singulärwertzerlegung
201605-05 (6x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&rct=j&q=singulärwertzerlegung f...
202103-10 (5x)https://www.startpage.com/

[Top of page]

"Mathematik: Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme" | 10 Comments
The authors of the comments are responsible for the content.

Re: Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme
von: Wally am: So. 20. Februar 2005 17:45:52
\(\begingroup\)Hallo, MathSG, ein Artikel mit schönen Beispielen. Bitte hau mich nicht, wenn ich gleich was verbessere: 1. die Singulärvektoren sind natürlich nur bei einfachen Singulärwerten bis auf den Betrag eindeutig bestimmt 2. Du beginnst mit A^* A. In den Beispielen nimmst du das Produkt A A^*. Das ergibt dieselben Singulärwerte, aber in einem einführenden Artikel solltest du entweder etwas dazu sagen (z.B. wie sich die Singulärwertzerlegung von A^* aus der von A ergibt),oder das genauso machen. Viele Grüße Wally\(\endgroup\)
 

Re: Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme
von: MathSG1982 am: Mo. 21. Februar 2005 13:53:51
\(\begingroup\)Hallo Wally, ich hau dich nicht. 😄 Bin kein gewalttätiger Mensch. Habe deine Anmerkung zu AA^* geändert. Vielen Dank ! gruß sven\(\endgroup\)
 

Re: Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme
von: Juergen am: Mi. 23. Februar 2005 15:29:17
\(\begingroup\)Hallo MathSG, einen schönen Artikel hast du verfasst. Drei Anmerkungen hätte ich dazu: 1. Im Beweis des aller ersten Satzes über die Existenz der SWZ schreibst du, das A^*A hermitesch ist und damit reelle Eigenwerte besitzt. Du benötigst aber die (natürlich ebenfalls geltende) Eigenschaft, dass A^*A positiv semidefinit ist, da die Eigenwerte ja nichtnegativ sein sollen. 2. Gleich danach kommen ein paar Bemerkungen. Ich würde noch eine hinzufügen: Ist die Matrix A selbst positiv semidefinit (was nach meinem Verständnis quadratisch und hermitesch impliziert), dann kann man in der SWZ U=V wählen, was dann der üblichen Hauptachsentransformation entspricht. 3. Die Def. der Psuedoinversen ist nicht davon abhängig, dass die Ausgangsmatrix reell ist. Das klappt auch mit komplexen Matrizen. Gruß Jürgen\(\endgroup\)
 

Re: Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 12. Oktober 2005 15:05:12
\(\begingroup\)Hi, das ist der erste nützliche Beitrag zur SVD, den ich im Netz gefunden habe, respekt. Ich hab dazu noch eine Frage, du bestimmt die Eigenwerte von AA^T. Kann man auch A^TA nehmen, was ist der Unterschied?? Kann mir jemand eine SVD von folgender Matrix berechnen?? 1 2 A= 2 4 3 6 Vielen Dank im vorraus!! \(\endgroup\)
 

Re: Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 02. Dezember 2005 15:00:23
\(\begingroup\)Hallo, ich habe die Singulaerwertzerlegung deiner Matrix A=1 2 2 4 3 6 berechnet.Hier das Ergebnis: U=-0,2673 0,9562 0,1195 -0,5345 -0,0439 -0,8440 -0,8018 -0,2895 0,5228 S=8,3666 0 0 0 0 0 V=-0,4472 0,8944 -0,8944 -0,4472 mit A=V*S*(U)transponiert Du kannst uebrigens mit dem Befehl[U,S,V]=svd(A) in Matlab dir selbst Singulaerwertzerlegungen berechnen lassen.(falls du Zugriff auf Matlab hast.Weiterhin viel Spass mit Singulaerwerten. Gruss, Steffi Ach ja, soweit ich verstanden habe,geht es so: Wenn A Element K^n,m ist und n>=m, so nimmst du die Eigenwerte von A^T*A, ist aber m>=n, so nimmst du die von A*A^T.(Ist n=m, so ist es egal, welche du nimmst.\(\endgroup\)
 

Re: Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 21. Januar 2006 18:04:13
\(\begingroup\)Danke für den hilfreichen Text. IMHO muss es bei "Definition 1" R^mxn heißen.\(\endgroup\)
 

Re: Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 26. Februar 2006 17:51:14
\(\begingroup\)Ich habe einen Artikel gesucht aus dem klar hervorgeht, wozu pseudoinverse und singulaerwertzerlegung gut sind (da unser Skript an diesem Punkt etwas schwaechelt). Ich bin hier fuendig geworden. Danke schoen! humml\(\endgroup\)
 

Re: Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 16. Januar 2007 20:41:53
\(\begingroup\)einfach super!! könntest du es zum runterladen einstellen? lg jimmy \(\endgroup\)
 

Re: Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 31. Januar 2007 20:31:40
\(\begingroup\)ich versteh einfach nicht wie das sigma zustande kommt 1 1 0 0 0 1 bei 3 kleinen sigmas wurzelaus5 1 und 0 zb ist sigma wurzelaus2 0 0 0 1 0 wo is die 3 zeile hin ? okay verstanden klein sigma > als null nun aber bei 1 1 1 0 0 1 ist gross sigma : sqrt(3)0 0 1 0 0 wieso steht hier ne 0 0 zeile ? die eigenwerte berechnen is ja keine krise danke georg\(\endgroup\)
 

Re: Singulärwertzerlegung und Minimierungsprobleme
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 09. Januar 2015 21:41:21
\(\begingroup\)Ein wirklich toller Artikel! Bei meiner Vorbereitung hat er mir sehr geholfen.\(\endgroup\)
 

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]