Mathematik: Sierpiński- und Pascal-Dreieck
Released by matroid on Sa. 19. März 2005 11:34:02 [Statistics]
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Mathematik

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Sierpiński- und Pascal-Dreieck

Das Sierpiński-Dreieck ist die bekannte Strichfigur:

Bild

Man kann es auf (mindestens) zwei verschiedene Weisen annähern.



Zum einen mittels Zufallszahlen als Fraktal:

Bild

zum andern mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks:

Bild

Bei dieser Figur werden die Binomialkoeffizienten nicht mit ihren Zahlenwerten wiedergegeben, sondern als kleine Kreise angedeutet. Die durch 5 teilbaren
sind rot gefärbt.

Weitere Beispiele sind hier zu sehen:

Bild

Alle Teiler der rot markierten Binomialkoeffizienten sind Primzahlen.

Die Ähnlichkeit mit dem Sierpiński-Dreieck nimmt ab oder geht ganz verloren,
wenn man zusammengesetzte Zahlen betrachtet:

Bild

Bild

doch ist das nicht bei allen der Fall, wie die beiden nächsten Beispiele zeigen:

Bild

Bild

Durch sie kann man vermuten, daß sich sierpiński-ähnliche Pascaldreiecke
ergeben, wenn die zusammengesetzten Teiler das Quadrat von Primzahlen
sind. Leider widerlegt das folgende Beispiel diese Vermutung:

Bild

Auch scheint das Pascaldreieck für t=62, eine Zahl, die weder prim
noch das Quadrat einer Primzahl ist, frei von Störungen zu sein und
damit ebenfalls dem Sierpiński-Dreieck zu ähneln:

Bild

So ist insgesamt keine klare Regel erkennbar, jedenfalls keine einfache.
Vielleicht weiß jemand hier auf dem Matheplaneten mehr darüber -
es würde mich freuen.

Hans-Jürgen


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Sierpinski- und Pascal-Dreieck von Hans-Juergen  
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"Mathematik: Sierpiński- und Pascal-Dreieck" | 11 Comments
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Re: Sierpiński- und Pascal-Dreieck
von: Gonzbert am: Sa. 19. März 2005 11:54:59
\(\begingroup\)
Hallo Hans-Jürgen! :)

Schöner Artikel! Mit welchem Programm hast du denn die Bilder erstellt? Ein selbstgeschriebenes Programm oder mit irgendeinem CAS?

Viele Grüße\(\endgroup\)
 

Re: Sierpiński- und Pascal-Dreieck
von: Martin_Infinite am: Sa. 19. März 2005 16:49:42
\(\begingroup\)
Hi Hans-Jürgen,
 
hier hattest du uns ja schon einen Vorgeschmack gegeben :D
 
Sehr interessant! Kannst du vielleicht den Code deines Programmes posten? Dann muss das nicht jeder selbst machen ;)
 
@Gonzo: Pascal-Dreieck? ;)
 
 Gruß
Martin\(\endgroup\)
 

Re: Sierpiński- und Pascal-Dreieck
von: Rebecca am: Sa. 19. März 2005 18:39:17
\(\begingroup\)
Hallo Hans-Jürgen,

eine interessante Frage, gefunden habe ich bis auf Link 1 und Link 2 nichts darüber.

Wer selber Muster erzeugen will, kann diesen Link benutzen.

Gruß
Rebecca
\(\endgroup\)
 

Re: Sierpiński- und Pascal-Dreieck
von: Hans-Juergen am: Sa. 19. März 2005 18:40:04
\(\begingroup\)
Hi Gonzo, hi Martin,

so habe ich's mit Turbo Pascal 5.0 gemacht:

program binko; {Pascal-Dreieck mit farbigen Punkten}
uses crt, graph;

var fa,t,x,y:integer;
    m,n:longint;
    b: array[0..60,0..60] of longint;
    ch:char;
    s:string;

procedure graphinit;
var graphdriver, graphmode: integer;
begin
graphdriver:= detect;
initgraph(graphdriver,graphmode,'');
setgraphmode(graphmode);
setbkcolor(15);
end;

procedure dreieck;
begin
 for t:=2 to 31 do
 begin
 str(t,s);
 setcolor(9);
 outtextxy(10,20,'Pascal-Dreieck:');
 outtextxy(10,30,'Durch t teilbare');
 outtextxy(10,40,'Binomialkoeffizienten');
 outtextxy(10,50,'rot gef„rbt. (t=1...31)');
 outtextxy(10,60,'Weiter mit der Leertaste.');
 outtextxy(10,70,'Aufh”ren mit A.');
 outtextxy(60,120,'t=');outtextxy(76,120,s);
 for y:=60 downto 26 do
 begin
  for x:=0 to 59-y do
  begin
  n:=60-y;m:=x+1;
  if (m=1) or (m=n) then
   b[n,m]:=1
  else
  b[n,m]:=b[n-1,m-1]+b[n-1,m];
  if b[n,m] mod t=0 then fa:=12 else fa:=9;
  setcolor(fa);setfillstyle(1,fa);
  fillellipse(16*x+8*y-150,650-10*y,5,5);
  end;
 end;
 repeat ch:=readkey until (ch=' ') or (ch='a');
 if ch=' ' then cleardevice;
 if ch='a' then closegraph;
 end;
 closegraph;
end;

begin
graphinit;
dreieck;
end.

- jedenfalls zunächst. Weil ich mangels ausreichender
Rechengenauigkeit mit den Teilerzahlen t nicht so hoch kam,
wie ich wollte (was an meinen Programmierkünsten liegen
kann), griff ich auf eine alte Programmiersprache namens
Comal zurück. Die kennt kaum jemand, außer in Schleswig-
Holstein, wo sie viele Jahre lang an Gymnasien unterrichtet
wurde, und evtl. noch in ein, zwei süddeutschen Bundesländern.
Mit ihr kam ich bis t=100, und das Programm sieht so aus:

0010 // PASDR.CML
0020 USE system
0030 showkeys(0)
0040 USE turtle
0050 graphicscreen(7)
0060 hideturtle
0070 DIM b(0:60,0:60)
0080 b(1,1):=1
0090 window(-40,40,-30,30)
0100 PRINT AT 1,3: "Pascal-Dreieck:"
0110 PRINT AT 2,3: "Durch t teilbare"
0120 PRINT AT 3,3: "Binomialkoeffizienten"
0130 PRINT AT 4,3: "rot gefärbt. (tmax=100)"
0140 PRINT AT 8,3: "Weiter  : Leertaste"
0150 PRINT AT 9,3: "Aufhören: Taste A"
0160 t:=1
0170 FOR t:=2 TO 100 DO
0180   PRINT AT 6,9: "t = ",t
0190   FOR y:=58 TO 1 STEP -1 DO
0200     FOR x:=0 TO 57-y DO
0210       n:=58-y; m:=x+1
0220       IF m=1 OR m=n THEN
0230         b(n,m):=1
0240       ELSE
0250         b(n,m):=b(n-1,m-1)+b(n-1,m)
0260       ENDIF
0270       IF b(n,m) MOD t=0 THEN
0280         fa:=4
0290       ELSE
0300         fa:=10
0310       ENDIF
0320       pc(fa); circle(x+0.5*y-30,y-30,0.3)
0330       fill(x+0.5*y-30,y-30)
0340     ENDFOR x
0350   ENDFOR y
0360   REPEAT ta$:=KEY$ UNTIL ta$ IN " aA"
0370   IF ta$ IN "aA" OR t=100 THEN
0380     clearscreen
0390     END
0400   ENDIF
0410 ENDFOR t

Ich hoffe, Ihr könnt damit etwas anfangen.
Vielleicht macht jemand das Ganze einmal in
C++ oder einer anderen modernen Sprache.

Herzliche Grüße,
Hans-Jürgen
\(\endgroup\)
 

Re: Sierpiński- und Pascal-Dreieck
von: Hans-Juergen am: Sa. 19. März 2005 19:33:51
\(\begingroup\)
Hallo Rebecca,

danke für die Links, vor allem den ersten,
wo mir die Nachbildung des Sierpinski-Dreiecks
durch das "Pfeilspitzen"-Fraktal besonders gut
gefällt.

Viele Grüße,
Hans-Jürgen
 \(\endgroup\)
 

Re: Sierpiński- und Pascal-Dreieck
von: viertel am: So. 20. März 2005 06:32:40
\(\begingroup\)
Hi,
ich hatte mir dieses Programm auch schon mal geschrieben. Hier gibt's das als zip: www.dvisoft.de/allerlei/PascalDreieck.zip
Gruß vom 1/4\(\endgroup\)
 

Re: Sierpi?ski- und Pascal-Dreieck
von: continuous am: So. 20. März 2005 11:45:40
\(\begingroup\)
Hallo zusammen,
ich hätte noch folgende kurze Möglichkeit zu bieten:
//Puffer initialisieren
bool buffer[1024];
for(int i(0); i < 1024; ++i)
  buffer[i] = false;
buffer[250] = true;
int i(0), j(512);
 
//zeichnen
for(int y(1); y < 256; ++y) {
  for(int x(1); x < 510; ++x) 
    if( buffer[x+j] = (buffer[x+i-1] ^ buffer[x+i+1]) )
      setpixel(x,y, 0xFFFFFF);
  i ^= 512; j ^= 512;
}

Gruß Christian\(\endgroup\)
 

Re: Sierpiński- und Pascal-Dreieck
von: Hans-Juergen am: So. 20. März 2005 21:03:36
\(\begingroup\)
Hallo Dietmar,

danke für Dein Programm, das mit höherer
Rechengenauigkeit sehr viel mehr Zeilen
erzeugen kann als meines. So läßt sich
mit ihm ein größerer Teil des Bildes für
den oben erwähnten, ominösen Teiler 62
anzeigen. Es enthält, wie die Bilder von
anderen zusammengesetzten Zahlen,
Abweichungen vom "reinen" sierpinski-ähnlichen
Pascal-Dreieck, wie sie im Grunde zu erwarten
sind.

Ich habe mir auch noch die Bilder von 121=11²
und 169=13² angesehen, die das über 5² und 7²
Gesagte fortsetzen, außerdem dritte Potenzen
von Primzahlen, nämlich 5³ und den Anfang von 7³ -
auch sie sind "rein". Diese Ergebnisse tragen dazu
bei, das Ganze besser zu verstehen.

Mit besten Grüßen,
Hans-Jürgen



 \(\endgroup\)
 

Re: Sierpiński- und Pascal-Dreieck
von: huepfer am: Mo. 21. März 2005 16:26:53
\(\begingroup\)
Hallo Hans-Juergen,

schön, dass Du das Sierpinski-Dreieck nochmal aufgreifst. Ich möchte die Linksammlung, die es oben gibt, noch erweitern.
Im meinem Artikel zum Sierpinski-Dreieck gibt es neben weiteren Methoden der Erzeugung auch noch einiges an Interessantem rund um das Sierpinski-Dreieck.
Weitere Programme zur Erstellung des Sierpinski-Dreiecks gibt es auch im Buch "Algorithmen für Chaos und Fraktale", das im Literaturverzeichnis des o.g. Artikels stehen müsste.

Gruß
   Felix\(\endgroup\)
 

Re: Sierpiński- und Pascal-Dreieck
von: BorisK am: Di. 22. März 2005 15:34:36
\(\begingroup\)
Hi Leute

Ich finde den Artikel wirklich sehr interessant. Auch Rebeccas dritten Link fand ich sehr interessant. Ist es nicht vielleicht sogar möglich über Regelmäßigkeiten dieser Dreiecke und der Verschiebung von eben jenen zu beweisen in welchen Gebieten sich Primzahlen aufhalten?

Ich denke nicht das es sehr effektiv ist aber das sollte sich doch eventuell beweisen lassen können oder?

Gruß Boris\(\endgroup\)
 

Re: Sierpiński- und Pascal-Dreieck
von: Ex_Mitglied_maxbauer am: Sa. 09. Januar 2016 19:56:46
\(\begingroup\)
Wer genau schaut sieht, dass bei t=62 die Spitzen links und rechts mit dem dritten Punkt beginnen. d.h., das gezeigte Dreieck ist die erste "Störung".
Wenn man genauer darüber nachdenkt ist ein störungsfreies Bild zwingend prim.

Gruß

Volker\(\endgroup\)
 

 
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