In der Schule lernt man schon Abstände zwischen Ebenen, Geraden und Punkten zu berechnen, und das häufigste Hilfsmittel ist wohl die Hesse'sche Normalenform. Ich möchte diese Normalenform auf n-dimensionale affine Räume verallgemeinern, womit man dann eine Möglichkeit hat den Abstand eines Punktes zu einem (n-1)-dimensionalen affinen Unterraum zu berechnen.
Zunächst ein paar Formalitäten, wer diese nicht lesen möchte, kann sie auch beruhigt überspringen, denn sie sind für das weitere Verständnis nicht unbedingt nötig.
Seien H_1=P_1+U_1 und H_2=P_2+U_2 affine Unterräume des \calA^n, wobei P_1 und P_2 Punkte sind und U_1 und U_2 Teilmengen des Translationsraumes T(\calA). Der Abstand der affinen Unterräume ist folgendermaßen definiert:
Definition__: d(H_1,H_2) := inf menge(abs(PQ^>)|P\el\H_1, Q\el H_2).
Mit anderen Worten ist der Abstand d(H_1, H_2) also das Infimum der Abstände zwischen Punkten der affinen Unterräume.
Ohne Beweis möchte ich hier 2 Tatsachen angeben:
\stress\(1)\normal\ Der Abstand zweier affiner Unterräume ist endlich.
\stress\(2)\normal\ In je 2 affinen Unterräumen H_1 und H_2 gibt es 2 Punkte mit minimalem Abstand.
Es ergibt sich also d(H_1, H_2)=inf menge(abs(PQ^>)|P\el\H_1, Q\el H_2) = d(P_0, Q_0) = abs((l_0)^>) mit (l_0)^>=array(pr^array(\void\senkrechtauf))_array((U_1+U_2)^array(\void\senkrechtauf)) array(P_1 P_2)^>. array(l_0)^> ist also die orthogonale Projektion des Vektors array(P_1 P_2)^> auf das orthogonale Komplement von U_1+U_2.
Die Hesse'sche Normalenform lernt man in der Schule normalerweise kennen, um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene, also einer Hyperebene im \IR^3 zu berechnen.
Dies kann man verallgemeinern für Hyperebenen im n-dimensionalen affinen Raum.
Eine array(affine Hyperebene)__ H\subset\ \calA^n mit dim(H)=n-1 ist bestimmt durch die Lösungsmenge einer__ linearen Gleichung der Form sum(a_k*x_k,k=1,n)=b. \stress\(3)\normal\
\stress\(3)\normal\ ist eindeutig bestimmt bis auf einen konstanten Faktor. Betrachtet man den Koeffizientenvektor
a^>=(a_1;...;a_n) kann man diesen normieren, also durch abs(a^>) teilen. OBdA ist nun abs(a^>)=1 und \stress\(3)\normal\ ist nun eindeutig bestimmt bis auf ein Vorzeichen. Man kann nun also wiederrum OBdA annehmen, dass b >= 0 ist.
\blue Die Gleichung \stress\(3)\normal\ mit abs(a^>)=1 und b>=0 ist die array(Hesse'sche Normalenform)__ der Hyperebene H.
Abstandsberechnung mit der Hesse'schen Normalenform
Die Hyperebene H kann man sehr gut mit dem Normalenvektor a^> beherschen. Es ist dann nämlich:
H=menge((1;x^>)| braket(a^>,x^>)=b).
Die 1 bei (1;x^>) deutet lediglich an, das es sich um einen Punkt handelt, und nicht um einen Vektor. Dies ist nur Konvention, wobei Vektoren, also Elemente des Translationsraumes, eine führende 0 in der Koordinatenschreibweise bekommen. Man kann sich x^> auch als Ortsvektor zum Punkt x vorstellen.
Für den Translationsraum der Hyperebene T(H) gilt nun: T(H)=U=menge((0;x^>)| braket(a^>,x^>)=0)=array(a^>)^array(\void\senkrechtauf).
Jetzt kommt nun die eigentliche Abstandsberechnung. Sei Q\el\H und braket(a^>,x^>)=b die Hesse Normalform von H und P\el\calA^n. Dann gilt:
\blue d(P,H)=abs(braket(a^>, QP^>)) für den Abstand des Punktes P von der Hyperebene H.
\black array(Beweis:)__ Der ist nun ein Einzeiler. Nach Definition ist d(P,H)=abs(array(l_0)^>) mit array(l_0)^>=array(pr^array(\void\senkrechtauf))_array(U^array(\void\senkrechtauf)) QP^>=array(pr^array(\void\senkrechtauf))_array(\IR*a^>) QP^>=braket(a^>,QP^>)*a^>=> abs(array(l_0)^>)=abs(braket(a^>,QP^>)) \checked.
Mit der Hesse'schen Normalenform kann man nicht nur sehr einfach den Abstand zwischen einem Punkt und einer Hyperebene berechnen, es ergeben sich auch 3 offensichtliche Folgerungen:
\stress\(1)\normal\ \darkblue Es ist P\el\H <=> d(P,H)=0 <=> QP^>\senkrechtauf a^> <=> QP^>\el array(a^>)^array(\void\senkrechtauf)=T(H). \black Mit anderen Worten ist der Verbindungsvektor des Punktes Q und des Punktes P schon im Translationsraum der Hyperebene enthalten, wenn P selbst in der Hyperebene liegt.
\stress\(2)\normal\ \darkblue d(0,H)=abs(braket(a^>,Q0^>))=abs(braket(a^>,0^>)-braket(a^>,Q^>))=abs(0-b)=b. \black Um den Abstand des Nullpunktes von der Hyperebene zu berechnen ist also keinerlei Aufwand nötig, man kann ihn direkt in der Hesse Normalform ablesen.
\stress\(3)\normal\ \darkblue Das Vorzeichen von braket(a^>,PQ^>) gibt an, auf welcher Seite von H der Punkt P liegt.
Die In der Schule lernt man schon Abstände zwischen Ebenen, Geraden und Punkten zu berechnen, und das häufigste Hilfsmittel ist wohl die . Ich möchte diese Normalenform auf n-dimensionale affine Räume verallgemeinern, womit man dann eine Möglichkeit hat
\(\begingroup\)hallo,
kann mich auch an das thema aus lin alg 2 erinnern.
ich wuerde gerne wissen wie du das bild gemacht hast.
das ist im gegensatz zu denen die ich mit maple mache wirklich super gut.
ich lese aus matroids antwort dass das nicht so einfach mit den standardprogrammen funktioniert, also was ist dein geheimnis?
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi!
Mein Geheimnis war die google-Bildersuche ;-). Ich kriege solche Bilder leider auch nicht so schön hin, deshalb hab ich mir ein fertiges besorgt, aber das Copyright ist ja noch dabei! :)
Viele Grüße\(\endgroup\)
\(\begingroup\)habe das geheimnis gelueftet...
und zwar werden diese bilder mit einem 3d grafikdesign programm gemacht, welches sich povray schimpft, das programm ist fuer windows und voellig kostenlos,
sieht mir wie c code aus, also wird alles per text gemacht, aber es gibt da solche makros und include files die speziel fuer geometrie darstellung gemacht sind.
ist bestimmt eine einarbeitung wert bei dem resultat ;)\(\endgroup\)
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In der Schule lernt man schon Abstände zwischen Ebenen, Geraden und Punkten zu berechnen, und das häufigste Hilfsmittel ist wohl die Hesse'sche Normalenform. Ich möchte diese Normalenform auf n-dimensionale affine Räume verallgemeinern, womit man dann eine Möglichkeit hat den Abstand eines Punktes zu einem (n-1)-dimensionalen affinen Unterraum zu berechnen. 
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