Was in den früheren Schuljahren einfach unter dem Thema "Funktionen" behandelt wird, nennt sich in der Oberstufe Analysis und ist meist das erste und umfassendste von den Themenbereichen der Mathematik, die zum Ende der Schullaufbahn und Beginn des Studiums behandelt werden.
Eben weil dies ein so umfangreiches, anspruchsvolles und manchmal auch problematisches Thema ist, möchte ich den MP und seine Besucher/Bewohner mit einer Artikel-Reihe zum Thema Analysis für Oberstufen-Schüler bereichern.
Teil I: Folgen Sie mir!
Wir werden dabei so vorgehen, wie es in den meisten Lehrplänen der Oberstufe gemacht wird.
Im ersten Teil wollen wir uns deshalb den so genannten Zahlenfolgen und der Grenzwertbetrachtung widmen, da diese die Basis der heutigen Analysis darstellen (nicht nur in der Schule).
Folgen? Wofür zum Teufel brauche ich das? wird sich der ein oder andere vielleicht denken (okay, das denkt sich meiner Erfahrung nach die Mehrheit der Schüler eines Mathekurses :D)
Ehrlich gesagt: Ich weiß keine bessere Antwort als Ihr braucht es halt, um den Rest zu verstehen.
Aber schwafeln wir nicht: Stürzen wir uns ins Geschehen! Was ist eine Folge?
Nun vor allem ist es erstmal eine Abfolge von Objekte jeglicher Art. In der Schule sind das fast immer reelle Zahlen.
Um etwas formaler zu werden:
Eine Funktion \IN->\IR wird \darkblue\ Zahlenfolge__\black genannt.
Notiert wird das sehr häufig als (an). Hierbei ist a einfach der Name der Folge. Das n drückt aus, dass n hier die Variable (das Funktionsargument) ist, die die natürlichen Zahlen durchläuft.
Das Element der Zahlenfolge an n-ter Stelle wird dann als an geschrieben.
(Achtung: Man muss zwischen der Folge als gesamtes (an) und einem einzelnen Element an unterschieden)
Zur Anschauung fehlen also nur noch ein paar Beispiele:
\geo
ebene(500,200)
x(0,10)
y(1,3)
nolabel()
color(red)
punkt(0,3) print(a_0,0.2,2.97)
punkt(1,1.5) print(a_1,1.2,1.47)
punkt(2,2.25) print(a_2,2.2,2.25)
punkt(3,1.875) print(a_3,3.2,1.84)
punkt(4,2.0625) print(a_4,4.2,2.03)
punkt(5,1.96875) print(a_5,5.2,1.93)
punkt(6,2.015625) print(a_6,6.2,1.98)
punkt(7,1.9921875) print(a_7,7.2,1.96)
punkt(8,2.00390625) print(a_8,8.2,1.97)
punkt(9,1.998046875) print(a_9,9.2,1.97)
print(a_n=2+(-1/2)^n,8,3)
\geooff
\geoprint()
Und hier noch eins:
\geo
ebene(500,200)
x(0,5.2)
y(-1,4)
nolabel()
color(red)
punkt(0,0.1) print(a_0,0.1,0)
punkt(1,0.2) print(a_1,1.1,0.1)
punkt(2,0.4) print(a_2,2.1,0.3)
punkt(3,0.8) print(a_3,3.1,0.7)
punkt(4,1.6) print(a_4,4.1,1.5)
punkt(5,3.2) print(a_5,5.1,3.1)
print(a_n=1/5*2^(n-1),4.3,4.1)
\geooff
\geoprint()
Dabei kann man Zahlenfolgen natürlich auch Eigenschaften zuordnen, die andere Funktionen auch besitzen können.
Eine Zahlenfolge kann zum Beispiel array(\darkblue\ monoton steigend \(fallend\))__\black sein.
Formal heißt das:
Die Zahlenfolge ((a_n)) heißt monoton steigend (bzw. fallend), wenn für na_m) gilt.
Anschaulich formuliert: Wenn m weiter rechts auf der x-Achse als n ist, dann muss a_m auch weiter oben (respektive unten) sein als a_n, damit \(a_n\.\) monoton steigend (fallend) ist.
Aber wie bei Funktion gilt auch für Folgen: eine Zahlenfolge muss weder monoton steigend noch fallend sein.
\(Anmerkung: Man unterscheidet manchmal streng monoton steigend\/fallend und nur monoton steigend\/fallend. Die strenge Version meint dabei das, was ich geschrieben hab, während bei "einfacher" Monotonie a_n<=a_m \(bzw. a_n>=a_m\.\) zugelassen ist.\)
Auch Begriffe wie Beschränktheit, die vielleicht schon bekannt sind, lassen sich übertragen:
Eine Folge heißt array(\darkblue\ nach oben bzw. unten beschränkt)__\black||, wenn es eine Zahl s\el\IR gibt mit a_n<=s bzw. a_n>=s für alle n.
Ist eine Folge nach oben und unten beschränkt, sagt man kürzer auch einfach nur, die Folge sei \darkblue\ beschränkt__\black||.
Mit Folgen direkt verbunden sind die Grenzwerte. Sie treten überall dort auf, wo man über jede Beschränkung hinaus will, wenn man z.B. einen Vorgang im Gedankenexperiment "unendlich oft" wiederholt oder zwei Punkte "beliebig dicht" aneinander kommen lassen will.
Für Folgen werden nur Grenzwerte betrachtet, bei denen man das n gegen unendlich gehen lässt.
Anschaulich ist ein Grenzwert ein Wert, an den sich die Folge "in der Unendlichkeit" annähert, also zu dem der Abstand beliebig gering wird bei wachsendem n.
Um das formalisieren zu können, benutzt man die so genannten Epsilon-Umgebungen.
Eine \e\-Umgebung von g ist dabei ein Bereich um eine reelle Zahl g. Speziell der Bereich von g-\e bis g+\e ist damit gemeint.
\(Übrigens wird hier die bekannte Konvention getroffen, dass mit \e in der Analysis meistens array(beliebige positive reelle)__ Zahlen gemeint sind.\)
Zwei \e\-Umgebungen für die erste Beispielfolge:
hier ist g=2 gewählt (rote Linie). Der breitere Streifen stellt die 0.2\-Umgebung, der dünnere die 0.05\-Umgebung von g dar.
\geo
ebene(500,200)
x(-0.2,10)
y(1,3)
nolabel()
print(1,-0.2,1.1)
print(2,-0.2,2)
print(3,-0.2,3)
color(99ffcc)
punkt(0,1.8,q1,hide)
punkt(0,2.2,q2,hide)
punkt(11,1.8,q3,hide)
punkt(11,2.2,q4,hide)
strecke(q1,q2)
strecke(q1,q3)
strecke(q3,q4)
strecke(q2,q4)
fill(1,2,99ffcc)
color(33ff66)
punkt(0,1.95,r1,hide)
punkt(0,2.05,r2,hide)
punkt(11,1.95,r3,hide)
punkt(11,2.05,r4,hide)
strecke(r1,r2)
strecke(r1,r3)
strecke(r3,r4)
strecke(r2,r4)
fill(1,2,33ff66)
color(red)
punkt(0,2,a1,hide)
punkt(3,2,a2,hide)
strahl(a1,a2)
punkt(0,3) print(a_0,0.2,2.97)
punkt(1,1.5) print(a_1,1.2,1.47)
punkt(2,2.25) print(a_2,2.2,2.25)
punkt(3,1.875) print(a_3,3.2,1.84)
punkt(4,2.0625) print(a_4,4.2,2.03)
punkt(5,1.96875) print(a_5,5.2,1.93)
punkt(6,2.015625) print(a_6,6.2,1.98)
punkt(7,1.9921875) print(a_7,7.2,1.96)
punkt(8,2.00390625) print(a_8,8.2,1.97)
punkt(9,1.998046875) print(a_9,9.2,1.97)
print(a_n=2+(-1/2)^n,8,3)
\geooff
\geoprint()
Hier ist sehr schön das Konzept des Annäherns für wachsendes n zu sehen:
Für \e=0.2 liegen alle a_n für n>=3 innerhalb der \e\-Umgebung. Bei \e=0.05 ist der Schwellenwert n>=5, wie man sieht (oder sich berechnen kann).
Andersrum kann man an der zweiten Beispielfolge erkennen, dass diese keinen Grenzwert besitzt, denn von jeder Zahl, die wir für einen Grenzwert halten könnten, entfernen sich die nächsten Folgenglieder immer weiter, anstatt sich anzunähern.
Mit diesem Konzept kann man nun den Begriff des array(\darkblue\ Grenzwert)__\black\ es definieren:
Eine reelle Zahl g heißt Grenzwert der Zahlenfolge ((a_n)), wenn es für jedes \e>0 eine natürliche Zahl n_0 gibt, so dass alle a_n mit n>=n_0 in der \e\-Umgebung von g liegen.
Oder in Formeln:
\forall\e>0: \exists n_0\el\IN: n>=n_0 => abs(g-a_n)<\e
Hier hilft die Anschauung sehr stark weiter: Die \e\-Umgebungen des Grenzwertes kann man sich wie in der Darstellung als Streifen vorstellen. Wenn für jeden - noch so schmalen - dieser Streifen um die Zahl g, die Folge ab einem n_0 innerhalb der jeweiligen \epsilon\-Umgebung liegt, so muss sich die Folge unweigerlich an diese Zahl g beliebig dicht annähern, denn wir können die \e-Umgebungen ja beliebig verschmälern. g muss also der gesuchte Grenzwert sein.
Die Schreibweise, die hierfür verwendet wird, ist der \darkblue\ Limes__\black||. Exisitiert ein solcher Grenzwert g, dann schreibt man: lim(n->\inf,a_n)=g. Man spricht in diesem Fall auch von \darkblue\ Konvergenz__\black und sagt, die Folge (a_n) array(\darkblue\ konvergiert gegen g)__\black||.
Existiert der Grenzwert nicht, heißt das dann \darkblue\ Divergenz__\black und man sagt, die Folge (a_n) \darkblue\ divergiert__\black||.
Bei Divergenz unterscheidet man noch zwei besondere Fälle. Zum einen, dass a_n beliebig groß wird für wachsende n. Dann schreibt man auch lim(n->\inf,a_n)=\inf.
Wird a_n für wachsendes n beliebig klein, schreibt man lim(n->\inf,a_n)=-\inf.
Das sind allerdings nur Schreibweisen. Das deutet weder an, dass die Folgen in irgendeinem Sinne mit konvergierenden Folgen vergleichbar sind, noch dass man mit diesem \inf in irgendeinem Sinne rechnen könnte.
Die \inf-Zeichen sind eher als "beliebig groß" bzw. "beliebig klein" zu verstehen, aber keinesfalls als Zahlen. Insbesondere sind beliebte Dinge wie 1/\inf=0 schlichtweg falsch, da \inf nichts ist, womit man rechnen kann.
\big\darkgreen\ Beispiele__:
Einige Folgen und ihre Grenzwerte sollten immer im Hinterkopf vorhanden sein.
Am einfachsten sind dabei die konstanten Folgen:
a_n=a $ $ (a\el\IR)
lim(n->\inf,a_n)=a
Auch wichtig sind die \darkblue\ Nullfolgen__\black||, deren Grenzwert 0 ist. Bekannt sollten folgende Nullfolgen sein:
a_n=c/n^k $ $ (c\el\IR, k\el\IR_>0)
lim(n->\inf,a_n)=0 (wie gesagt, sind dies ja Nullfolgen)
a_n=q^n $ $ (q\el\IR und abs(q)<1)
lim(n->\inf,a_n)=0
Eine sehr häufig vorkommende Folge ist diese hier:
a_n=(1+c/n)^n $ $ (c\el\IR)
lim(n->\inf,a_n)=exp(c)
Durch Substitution \(d.h. Ersetzen\) von n=1/m ergibt sich eine andere Schreibweise dieses Grenzwertes und dieser Folge:
a_m=(1+cm)^(1/m) $ $ (c\el\IR)
lim(m->0,a_m)=exp(c)
Neben Grenzwerten für Zahlenfolgen \(also Funktionen \IN->\IR\) sind Grenzwerte für beliebige Funktionen \IR->\IR in der Analysis wichtig.
Dabei treten allerdings viele Neuerungen auf: Die noch unbedeutendste ist die Rückkehr zur gewohnten Schreibweise für Funktionen. Wir schreiben wieder f(x) anstelle von (a_n).
Viel wichtiger ist, dass wir die Grenzwerte nun unterscheiden müssen, da wir x nicht nur gegen \inf sondern auch gegen -\inf und sogar gegen bestimmte reelle Zahlen laufen lassen können.
Anschaulich bleibt aber gleich, dass wir uns bei der Grenzwertbetrachtung wieder eine Annäherung vorstellen müssen.
Grenzwerte gegen eine reelle Zahl
Für den ersten Fall nutzen wir unser Wissen über Zahlenfolgen und deren Grenzwerte aus.
Um jetzt den Grenzwert einer Funktion f(x) für x gegen a\el\IR zu untersuchen, betrachten wir Folgen \(x_n\.\), deren Glieder x_n alle im Definitionsbereich (gegebenenfalls ausgenommen a) von f liegen und lim(n->\inf,x_n)=a erfüllen.
Ausgehend von diesen konstruieren wir zu jeder Folge \(x_n\.\) eine Folge \(f_n\.\) mit f_n=f(x_n).
Anschaulich bedeutet das, dass wir uns Punkte aus dem Definitionsbereich von f nehmen (eine Folge x_n) und so auf dem Graph von f entlang immer dichter an die Stelle a heranrücken. Jede Folge \(x_n\.\) beschreibt dabei eine andere Art der Annäherung, da andere Folgenglieder x_n auch andere Punkte auf dem Graph von f beschreiben.
Wir können es uns an dieser Funktion mal verdeutlichen:
\geo
ebene(500,250)
x(-4,4)
y(0,1)
plot(exp(-x^2/4),f)
print(f(x)=exp(-x^2/4),-0.5,0.5)
print(a=0,-0.1,0.3)
nolabel()
color(990000)
punkt(f,4)
punkt(f,2)
punkt(f,1)
punkt(f,0.5)
punkt(f,0.25)
punkt(f,0.125)
punkt(f,0.0625)
punkt(f,0.03125)
punkt(f,0.015625)
print(\darkred\ x_n=(1/2)^(n-2),2.5,1)
color(000099)
punkt(f,-3)
punkt(f,-2.25)
punkt(f,-1.6875)
punkt(f,-1.265625)
punkt(f,-0.949218)
punkt(f,-0.711914)
punkt(f,-0.533935)
punkt(f,-0.400451)
punkt(f,-0.300338)
punkt(f,-0.225254)
punkt(f,-0.168940)
punkt(f,-0.126705)
punkt(f,-0.095029)
punkt(f,-0.071272)
punkt(f,-0.053454)
punkt(f,-0.040090)
punkt(f,-0.030068)
punkt(f,-0.022551)
punkt(f,-0.016913)
print(\darkblue\ x_n=3*(3/4)^n,-4,1)
\geooff
\geoprint()
Existiert für jede der Folgen \(x_n\.\) der Grenzwert der zugehörigen Folge \(f_n\.\) und stimmen alle__ diese Grenzwerte überein, so wird diese Zahl als array(\darkblue\ Grenzwert der Funktion an der Stelle a)__\black bezeichnet und als lim(x->a,f(x)) notiert.
Wichtig ist, dass für die Existenz des Grenzwertes alle Einzelgrenzwerte übereinstimmen müssen. Das sieht man auch ein, denn jede Folge \(x_n\.\) beschreibt eine andere Art sich auf dem Graph von f der Stelle a anzunähern. Wenn man auf jedem "Annäherungsweg" zum selben Wert kommt, dann ist das der Grenzwert der Funktion.
Auch hier werden zwei Spezialfälle besonders behandelt: Gilt für alle \(f_n\.\) lim(n->a,f_n)=+-\inf, dann setzt man auch lim(x->a,f(x)=+-\inf.
Falls das Verhalten der \(f_n\.\) aber irgendwie uneinheitlich ist, also z.B. einige konvergieren und andere divergieren oder einige gegen +\inf und andere gegen -\inf gehen, so ist lim(x->a,f(x)) undefiniert.
Okay wir haben nun eine Vorstellung, was Grenzwerte von Folgen und Funktionen sind.
Aber das Bestimmen von Grenzwerten fällt uns doch relativ schwer, da die Definition mit dem Epsilon zwar sehr anschaulich, aber unhandlich ist. Sie eignet sich nur, wenn man schon eine Vermutung über den Grenzwert g hat und diesen nur mit der Definition bestätigen will. Und selbst das nur in einfachen Fällen.
Nützlich wären also Sätze, die es uns erlauben, Grenzwerte direkter zu berechnen. Dazu gibt es die so genannten Grenzwertsätze:
Sind \(a_n\.\) und \(b_n\.\) konvergente Folgen, so gilt:
\darkred lim(n->\inf,(a_n+-b_n))=lim(n->\inf,a_n)+-lim(n->\inf,b_n)
\darkred lim(n->\inf,(a_n*b_n))=lim(n->\inf,a_n)*lim(n->\inf,b_n)
\darkred lim(n->\inf,a_n/b_n)=lim(n->\inf,a_n)/lim(n->\inf,b_n) $ $ \(falls lim(n->\inf,b_n)!=0 ist\)
Die Richtigkeit dieser Sätze wird anschaulich sehr schnell deutlich: Wenn \(a_n\.\) und \(b_n\.\) Grenzwerte - nennen wir sie der Einfachheit halber a bzw. b - haben, dann nähern sich die Folgenglieder beliebig dicht an diese Werte an.
Und wenn die a_n beliebig dicht an a sowie die b_n beliebig dicht an b herankommen, dann müssen die Glieder der Folge \(a_n+b_n\.\) auch beliebig dicht an a+b herankommen.
Genauso schnell macht man sich die Gültigkeit der anderen Sätze klar.
Natürlich kann man sie aber auch formell beweisen. Mit Hilfe der
Grenzwertdefinition geht das auch vergleichsweise schnell \(Hier einmal am Beispiel des Grenzwertsatzes der Addition\):
Sei lim(n->\inf,a_n)=a und lim(n->\inf,b_n)=b. Wir wollen zeigen, dass a+-b der Grenzwert der Folge \(a_n+-b_n\.\) ist, dazu betrachten wir den Ausdruck
abs((a_n+-b_n)-(a+-b))=abs((a_n-a)+-(b_n-b))<=abs(a_n-a)+abs(b_n-b)
Dass die letzte Umformung erlaubt ist, folgt aus der Ungleichung $ $ abs(x+y)<=abs(x)+abs(y), die für alle reellen Zahlen gültig ist, wie man sich leicht überzeugen kann.
Da aufgrund der Voraussetzung, dass \(a_n\.\) und \(b_n\.\) konvergieren, abs(a_n-a) und abs(b_n-b) beliebig klein werden können für wachsendes n, kann auch ihre Summe beliebig klein werden.
Also ist die gesuchte Ungleichung abs((a_b+-b_n)-(a+-b))<\epsilon für alle \epsilon>0 erfüllt, a+-b ist also der gesuchte Grenzwert.
Die andern beiden Sätze sind etwas vertrackter, aber ebenfalls machbar.
Das Tolle an diesen Sätzen ist: Da Grenzwerte von Funktionen über Folgen von Funktionswerten definiert wurden, übertragen sich die Grenzwertsätze von Folgen direkt auf Grenzwerte von Funktionen (hier sei a\el\IR oder +-\inf):
\darkred lim(x->a,(f(x)+-g(x)))=lim(x->a,f(x))+-lim(x->a,g(x))
\darkred lim(x->a,(f(x)*g(x)))=lim(x->a,f(x))*lim(x->a,g(x))
\darkred lim(x->a,f(x)/g(x))=lim(x->a,f(x))/lim(x->a,g(x)) $ $ \(falls lim(x->a,g(x))!=0 ist\)
Voraussetzung ist natürlich auch hier, dass die Grenzwerte lim(x->a,f(x)) und lim(x->a,g(x)) auch existieren. Wie man sich leicht überlegt, gelten die Grenzwertsätze auch, wenn man nur rechts\- bzw. linksseitige Grenzwerte betrachtet statt der hier aufgeführten beidseitigen.
Widmen wir uns doch mal ein paar Anwendungen für die Grenzwerte:
So können wir unsere Beispielfolgen und -Funktionen sehr schnell auf Konvergenz prüfen:
array(1.Beispiel)__:
a_n=2+(-1/2)^n
Es gilt nach den Grenzwertsätzen:
lim(n->\inf,a_n)=lim(n->\inf,2)+lim(n->\inf,(-1/2)^n)=2+0=2
lim(n->\inf,(-1/2)^n)=0 ist dabei die Anwendung der Regel lim(n->\inf,q^n)=0 für abs(q)<1.
Das Ergebnis, das wir also bereits bei Einführung der \epsilon\-Definition ermittelt hatten, lässt sich auch mit den Grenzwertsätzen bestätigen.
array(2.Beispiel)__:
f(x)=5*exp(-x/2)
lim(x->\inf,f(x))=lim(x->\inf,5)*lim(x->\inf,exp(-1/2*x))=5*0=0
Auch dieses Ergebnis konnten wir bereits an der Darstellung des Funktionsgraphen erkennen und hiermit auch formell bestätigen.
array(3.Beispiel)__:
Die Grenzwertsätze ermöglichen uns auch die Behandlung komplexerer Funktionen, wie dieser z.B.:
f(x)=(x^3+4x^2-5)/(1/3*x^3-3*x+17)
lim(x->+-\inf,f(x))=lim(x->+-\inf,(x^3(1+4/x-5/x^3))/(x^3(1/3-3/x^2+17/x^3)))=lim(x->+-\inf,(1+4/x-5/x^3)/(1/3-3/x^2+17/x^3))
=lim(x->+-\inf,(1+4/x-5/x^3))/lim(x->+-\inf,(1/3-3/x^2+17/x^3))=(lim(x->+-\inf,1)+lim(x->+-\inf,4/x)-lim(x->+-\inf,5/x^3))/(lim(x->+-\inf,1/3)-lim(x->+-\inf,3/x^2)+lim(x->+-\inf,17/x^3))
=(1+0-0)/(1/3-0+0)=3
Ein Spezialfall ist es, wenn der Grenzwert lim(x->a,f(x)) für a\el\IR existiert und dann auch mit f(a) übereinstimmt \(vorausgesetzt, dass a im Definitionsbereich von f liegt\)
Tritt dieser Fall auf, so spricht man davon, dass f array(\darkblue\ an der Stelle a stetig)__\black ist.
Ist eine Funktion für jede Stelle ihres Definitionsbereichs stetig, so sagt man kürzer auch einfach nur sie sei \darkblue\ stetig__\black||.
Stetigkeit heißt also insbesondere, dass man Grenzwertbildung und Funktionswertermittlung vertauschen kann:
lim(n->\inf,f(x_n))=f(lim(n->\inf,x_n))
Das nutzt man bei einigen Umformungen zur Ermittlung von Grenzwerten aus.
Anschaulich ist eine stetige Funktion nichts anderes als eine Funktion, deren Graph sich "in einem Zug" zeichnen lässt, also keine Sprünge aufweist.
Ein Beispiel für eine stetige Funktion ist die Betragsfunktion:
\geo
ebene(400,266)
x(-3,3)
y(-1,3)
plot(abs(x))
print(f(x)=abs(x)=fdef(x,x>=0;-x,x<0),0.1,-0.1)
\geooff
\geoprint()
Ein unstetige Funktion ist z.B. die Signum\-Funktion, die wir weiter oben schon hatten:
\geo
ebene(400,200)
x(-4,4)
y(-2,2)
nolabel()
punktform(of)
punkt(0,0,O)
punktform(o)
punkt(0,1,p1)
punkt(1,1,p2,hide)
strahl(p1,p2)
punkt(0,-1,q1)
punkt(-1,-1,q2,hide)
strahl(q1,q2)
print(f(x)=sgn(x)=fdef(1,x>0;0,x=0;-1,x<0),0.1,-0.1)
\geooff
\geoprint()
Diese kann man offensichtlich nicht in einem Zug zeichnen, weil an der Stelle 0 ein Sprung auftritt. Dort ist auch die Bedingung verletzt, dass der Grenzwert existieren und mit dem Funktionswert übereinstimmen muss.
Problematisch wirds bei Definitionslücken... manchmal sagt man, dass diese keine Unstetigkeitsstellen seien, weil sie ja nicht zum Definitionsbereich dazugehören, oft zählt man sie aber trotzdem dazu.
Funktionen wie diese können also manchmal Uneinheitlichkeiten nach sich ziehen, weil einem verschiedene Auffassungen von Unstetigkeitsstellen begegnen können.
\geo
xy(-3,3)
plot((-3*x+2)/(x^2+1))
nolabel()
color(ffffff)
punktform(of) punkt(0,2)
color(000000)
punktform(o) punkt(0,2)
print(f(x)=(-3x^2+2x)/(x^3+x),0.1,-1)
\geooff
\geoprint()
Wenn man sich erst klar gemacht hat, was stetige Funktionen sind, so kann man sich genauso leicht mit Hilfe der Grenzwertsätze klarmachen, dass gilt:
Sind f und g stetige Funktionen, so sind auch f(x)+-g(x), f(x)*g(x), f(g(x)) und für g(x)!=0 auch f(x)/g(x) stetige Funktionen.
\darkgreen\big\ Beispiele__:
Wie man leicht erkennt, sind die Funktionen f(x)=x und f(x)=a für ein konstantes a\el\IR stetige Funktionen.
Aufgrund der Grenzwertsätze ergibt sich damit, dass auch jede Polynomfunktion wie z.B. x^3+4x^2-4x+7 und alle gebrochenrationalen Funktionen \(mit Ausnahme eventueller Nullstellen der Nennerfunktion\) wie z.B. (-3x+2)/(x^2+1) stetig sind.
Andere Beispiele für stetige Funktionen sind exp(x), die trigonometrischen Funktionen sin(x),cos(x),tan(x) etc., deren Umkehrfunktionen, Wurzelfunktionen und viele mehr.
Besonders die Grenzwertbetrachtung und die Stetigkeit von Funktionen erfüllen eine wichtige Rolle in der Analysis, wie wir im nächsten Teil sehen werden, wo wir mit der Differentialrechnung eine der wichtigsten Anwendungen der Grenzwertbetrachtung kennenlernen werden.
Bleibt also gespannt auf Teil II der Anarchie-Reihe.
Ansonsten hoffe ich, dass ich euch einen interessanten und lehrreichen Einstieg in das Thema Folgen & Grenzwerte gegeben habe.
lim(m->f,g)=Gockel.
\(\begingroup\)Hi Gockel!
Wow, ein schöner Artikel! :) Das wird bestimmt vielen auf ihrem Weg zum Abitur helfen, wenn sie ihn denn erstmal gefunden haben. Dazu tragen meiner Meinung nach besonders die vielen Beispiele bei.
Viele Grüße
Frank
P.S. Die fed-Diagramme sind echt gut gelungen!\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Gockel,
wieder einmal ein sehr guter und anschaulicher Artikel
(....wieder ein guter "Gockel".....;als Markenzeichen)
von Dir. Danke!
Gruss Peter \(\endgroup\)
\(\begingroup\)ich find den artikel auch sehr gut (vielleicht liegt das daran das ich sonst nie mit Ana zu tun hatte aber wer weiss, wie dein zweiter Artikel wird^^)
Meru\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Danke ihr alle.
Teil zwei ist schon fertig und wird in wenigen Tagen von mir freigegeben *mit dem großen Zaunpfahl nach den Testlesern wink*
Ich hoffe, dass er euch genauso gut gefällt. Aber seid gespannt :)
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Einfach hammer, ich bin froh, dass ich heute zeit hatte und grade den aktuelle Anfang dieser Reihe mitbekommen habe. Da ich jetzt nach einem halben keine Analysis mehr hatte aber wiederum in einem halben jahr (fast) schon wieder mein abi schreiben muss, wollte ich sowieso anfangen wieder analysis zu lernen und zu üben. Wie schon gesagt, das wird mir wirklich eine sehr große Hilfe. Ich bedanke mich im namen aller bald-Abitur-schreiber, denn gerade sowas brauchen wir :)
Ich warte sehnsüchtig auf die nächsten Teile.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)hallo gockel,
Netter Artikel :) Hab einen Tipfehler unter "Grenzwert gegen Unendlich" gefunden. Du schreibst das als einzigster Unterschied zum Grenzwert gegen eine reele Zahl, lim x_n = a sein muss ;) was ja nicht stimmt.
Gruss\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Holibert:
Gockel will hiermit offensichtlich den Unterschied
n -> OO statt n -> a mit einer reellen Zahl a herausstreichen.
Daß der Limes selbst mit a bezeichnet wird,
ist etwas unglücklich und
soll die beiden Fälle Konvergenz und Divergenz gemeinsam bezeichnen.
Das ist aber hier nicht das Wesentliche, sondern die Stelle!
So sehe ich das jedenfalls.
Liebe Grüße, Franz
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ne das ist schon korrekt... da sollte wirklich
lim(n->\inf,x_n)=+-\inf $ stehen
Da war ich wohl mit meinen Gedanken woanders... Ich werds gleich korrigieren lassen.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Was mir fehlt, ist die Anwendung der Grenzwertdefinition bei den Beispielen. Es wird kein Mal vorgerechnet wie man die Konvergenz über Epsilon und N(e) zeigt. Eigentlich wird kein einziger Beweis geliefert der die Grenzwertdefinition anwendet.\(\endgroup\)
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