Mathematik: Kategorien 3: Ja Mono Epi Iso Released by matroid on Mi. 01. Juni 2005 08:11:29 [Statistics] Written by Martin_Infinite - 7279 x read [Outline] Printer-friendly version -  Choose languageDE EN   \(\begingroup\) Ja Mono Epi Iso! Hallo Freunde der Kategorientheorie, dieser Artikel setzt Zaos' Einführung in die Kategorientheorie fort. Es werden die Begriffe Monomorphismus, Epimorphismus und Isomorphismus in beliebigen Kategorien eingeführt. Sie verallgemeinern die Begriffe Injektion, Surjektion und Bijektion der Kategorie der Mengen, jedoch leider i.A. nicht die entsprechenden Begriffe Mono-, Epi- und Isomorphismus aus der Algebra, wie wir an ein paar Beispielen sehen werden. [Edit] [To the bottom] Die Begriffe Mono-,Epi- und Isomorphismus Schauen wir uns die Situation zunächst in vec(Set) an, der Kategorie der Mengen und Abbildungen. \stress\darkgreen\Lemma 1\normal Es seien f : X -> Y, g : Y -> Z Abbildungen. \darkgreen 1. Ist g \circ f injektiv, so auch f. \darkgreen 2. Ist g \circ f surjektiv, so auch g. Beweis. 1. Sei g \circ f injektiv. Für alle x,x^~ \in X mit f(x)=f(x^~) gilt auch g(f(x))=g(f(x^~)), also x=x^~ nach Voraussetzung. \bigbox 2. Sei g \circ f surjektiv. Für jedes z \in Z gibt es dann ein x \in X mit z=g(f(x)). Daher ist f(x) ein Urbild von z unter g. Weil z \in Z beliebig war, ist g surjektiv. \bigbox \stress\darkgreen\Lemma 2\normal Es sei f : X -> Y eine Abbildung. Genau dann ist f bijektiv, \darkgreen\wenn f invertierbar ist. Beweis. Sei f bijektiv. Dann gibt es für alle y \in Y genau ein x \in X mit y=f(x). Daher ist die konverse Relation f^(-1) eine Abbildung Y -> X. Ferner gilt offenbar f \circ f^(-1)=id_Y und f^(-1) \circ f = id_X, d.h. f^(-1) ist zu f invers. Es sei umgekehrt f invertierbar, d.h. es gibt eine Abbildung g : Y -> X mit f \circ g = id_Y und g \circ f = id_X. Weil id_X injektiv ist, ist f nach Lemma 1.1 injektiv, und weil id_Y surjektiv ist, ist f nach Lemma 1.2 surjektiv, zusammen also bijektiv. \bigbox Das folgende Lemma zeigt, wie eng die Begriffe injektiv und surjektiv miteinander verwandt sind, nämlich dual. \stress\darkgreen\Lemma 3\normal Es sei f : X -> Y eine Abbildung. \darkgreen 1. Genau dann ist f injektiv, wenn für alle Z und alle Abbildungen \darkgreen array( ) g,h : Z -> X aus f \circ g = f \circ h bereits g = h folgt. \darkgreen 2. Genau dann ist f surjektiv, wenn für alle Z und alle Abbildungen \darkgreen array( ) g,h : Y -> Z aus g \circ f = h \circ f bereits g = h folgt. Beweis. 1. Es sei f injektiv. Ferner sei Z eine Menge und g,h Abbildungen Z -> X mit f \circ g = f \circ h. Für alle z \in Z gilt dann f(g(z))=f(h(z)), also g(z)=h(z), weil f injektiv ist. Es folgt g=h. Zur Umkehrung wählen wir x,x^~ \in X mit x != x^~ beliebig. Setze Z=menge(x,x^~) und definiere g,h : Z -> X durch g(x)=x, g(x^~)=x^~ und h(x)=x^~, h(x^~)=x. Angenommen f(x)=f(x^~). Dann gilt f \circ g = f \circ h, also g=h nach Voraussetzung. Es folgt der Widerspruch x=g(x)=h(x)=x^~. array(Folglich ist f injektiv. \bigbox) 2. Es sei f surjektiv. Ferner sei Z eine Menge und g,h Abbildungen Y -> Z mit g \circ f = h \circ f. Für alle y \in Y gibt es ein x \in X mit f(x)=y, sodass g(y)=g(f(x))=h(f(x))=h(y) ist. Damit ist g=h gezeigt. Zur Umkehrung: Sei f ein Epimorphismus. Wenn f nicht surjektiv ist, gibt es ein y \in Y mit y \notin Im(f). Setze Z=menge(y, menge(y)) und definiere g : Y \to Z durch a \mapsto fdef(y,a=y;menge(y),sonst), weiter h : Y \to Z durch a \mapsto menge(y). Dann gilt g \circ f = h \circ f, also g = h nach Voraussetzung. Dann ist aber y=g(y)=h(y)=menge(y), Widerspruch. \bigbox Der Beweis zeigt, dass man bei der Rückrichtung nur 2-elementige Mengen Z brauchte, doch das ist hier nicht so wichtig. Die beiden letzten Lemmata charakterisieren injektive, surjektive und array(bijektive Abbildungen nur mit) der Hintereinanderausführung von Abbildungen, was also kategoriell erfasst werden kann. Dies motiviert die allgemeine makro(def,\darkblue vec(%1)) \stress\Definition\normal Sei f : A -> B ein Morphismus einer beliebigen Kategorie. 1. f heißt def(Monomorphismus), wenn f linkskürzbar ist, wenn also für array( ) alle Objekte C und alle Morphismen g,h : C -> A aus f \circ g = f \circ h array( ) bereits g=h folgt. 2. f heißt def(Epimorphismus), wenn f rechtskürzbar ist, wenn also für array( ) alle Objekte C und alle Morphismen g,h : B -> C aus g \circ f = h \circ f array( ) bereits g=h folgt. Das bedeutet, dass f in der dualen Kategorie array( ) ein Monomorphismus ist. 3. f heißt def(Isomorphismus), wenn f invertierbar ist, wenn es also einen array( ) Morphismus g : B -> A mit f \circ g = id_B und g \circ f = id_A gibt. Man sagt array( ) auch, dass g zu f invers ist. Wenn es einen solchen Isomorphismus array( ) gibt, nennen wir A und B def(isomorph) und schreiben A ~= B. 4. f heißt def(Automorphismus), wenn f ein Endomorphismus (d.h. A = B) array( ) und ein Isomorphismus ist. Die vorigen Lemmata zeigen also, dass in vec(Set) die Monomorphismen genau die Injektionen, die Epimorphismen genau die Surjektionen, und die Isomorphismen genau die Bijektionen sind. Wählt man im Beweis diskrete Topologien, so erhält man das entsprechende Ergebnis für vec(Top). Genau dann sind zwei Mengen gleichmächtig, wenn sie in der Kategorie vec(Set) isomorph sind. Es spricht also nichts dagegen, X ~= Y anstatt abs(X)=abs(Y) für gleichmächtige X,Y zu schreiben. Wir sehen jetzt, dass Lemma 1 in jeder Kategorie gilt, und dass die Komposition von Mono\-,Epi\- oder Isomorphismen wieder solche sind. \stress\darkgreen\Lemma 4\normal Es seien f : A -> B, g : B -> C Morphismen einer Kategorie. \darkgreen 1. Ist g \circ f ein Monomorphismus, so auch f. \darkgreen 2. Ist g \circ f ein Epimorphismus, so auch g. \darkgreen 3. Sind f,g Monomorphismen, so auch g \circ f. \darkgreen 4. Sind f,g Epimorphismen, so auch g \circ f. \darkgreen 5. Sind f,g Isomorphismen, so auch g \circ f. Beweis. 1. f \circ h = f \circ h^~ => (g \circ f) \circ h = (g \circ f) \circ h^~ => h= h^~ \bigbox 2. Man könnte es ähnlich nachrechnen, oder über Dualisierung argu- mentieren, was die Folge aus 1. verdeutlicht: g \circ f Epimorphismus => f \circ g Monomorphismus in der dualen Kategorie bigop(=>,,,1.) g Monomorphismus in der dualen Kategorie => g Epimorphismus. \bigbox 3. (g \circ f) \circ h = (g \circ f) \circ h^~ => g \circ (f \circ h) = g \circ (f \circ h^~) => f \circ h = f \circ h^~ => h = h^~ \bigbox 4. Man könnte es wieder ähnlich nachrechnen, oder 3. dualisieren. \bigbox 5. Es gibt Morphismen f^~ : B -> A, g^~ : C -> B mit f \circ f^~ = id_A, f \circ f^~=id_B und g \circ g^~ = id_B, g \circ g^~=id_C. Es folgt (f^~ \circ g^~) \circ (g \circ f)=id_A sowie (g \circ f) \circ (f^~ \circ g^~)=id_C. \bigbox makro(def,\darkblue vec(%1)) \stress\darkgreen\Korollar\/Definition \normal\Die Automorphismen eines Objektes A bilden mit der Komposition eine Gruppe, die def(Automorphismengruppe) def(Aut(A)). In vec(Set) ist die Automorphismengruppe gerade die symmetrische Gruppe und wird mit Sym(A), S(A) oder S_A anstatt mit Aut(A) bezeichnet. In vec(K\-Vec), der Kategorie der Vektorräume über einen festen Körper K zusammen mit linearen Abbildungen, schreibt man GL(A) anstatt Aut(A). Und bei Gruppen lässt man die Bezeichnung. Also trotz der unterschiedlichen Bezeichnungen und anscheinend unterschiedlichen Definitionen im konkreten Fall haben all diese Gruppen eine gemeinsame kategorielle Beschreibung. Das ist eine Aufgabe der Kategorientheorie, gemeinsame Beschreibungen für in der Mathematik oft auftretenden Strukturen herauszuarbeiten. makro(def,\darkblue vec(%1)) \stress\darkgreen\Lemma 5\normal In jeder Kategorie ist ~= eine Äquivalenzrelation auf den Objekten. Beweis. Jedes Objekt ist mittels seiner Identität zu sich selbst isomorph, womit ~= reflexiv ist. Die Transitivität von ~= folgt aus Lemma 4.5. Wählt man für einen Isomorphismus einen dazu inversen Morphismus aus, so ist dieser wieder ein Isomorphismus, bloß in die andere Richtung, sodass opimg(~=) symmetrisch ist. \bigbox Die Äquivalenzklassen heißen in diesem Fall def(Isomorphieklassen). Es ist leicht einzusehen, dass jeder Isomorphismus sowohl ein Mono\- als auch ein Epimorphismus ist. Doch bei dieser Implikation könnte man noch zwei Begriffe zwischenschalten, die an sich interessant sind und oft in der Kategorientheorie benutzt werden. makro(def,\darkblue vec(%1)) \stress\Definition \normal\Sei f : A -> B ein Morphismus einer beliebigen Kategorie. 1. f heißt def(Sektion), wenn es einen Morphismus g : B -> A mit g \circ f = id_A array( ) gibt. Man sagt auch, dass f eine Sektion von g ist, oder dass array( ) g den Sektion f besitzt. 2. f heißt def(Retraktion), wenn es einen Morphismus g : B -> A mit f \circ g = id_B array( ) gibt. Man sagt auch, dass f eine Retraktion von g ist, oder dass array( ) g die Retraktion f besitzt. Auch hier haben wir selbstverständlich eine Dualität: Retraktionen sind genau die Sektionen in der dualen Kategorie. Genau dann ist f eine Sektion von g, wenn g eine Retraktion von f ist. Insbesondere sind Retraktionen genau die Morphismen, die eine Sektion besitzen, und Sektionen sind genau die Morphismen, die eine Retraktion besitzen. Man kann die Definition des Monomorphismus auch so formulieren, dass er höchtens eine Sektion besitzt, und dual dazu einen Epimorphismus dadurch definieren, dass er höchstens eine Retraktion besitzt. \stress\darkgreen\Lemma 6\normal Jede Sektion ist ein Monomorphismus. Dual dazu \darkgreen\ist jede Retraktion ein Epimorphismus. Beweis. Sei f eine Sektion. Dann gibt es einen Morphismus g mit g \circ f = id. Aus f \circ h = f \circ h^~ dann h = id \circ h = (g \circ f) \circ h = g \circ (f \circ h)= g \circ (f \circ h^~) =(g \circ f) \circ h^~ = id \circ h^~ = h^~, sodass f ein Monomorphismus ist. \bigbox Als nächstes charakterisieren wir Isomorphismen: \stress\darkgreen\Lemma 7\normal Für einen Morphismus f : A -> B sind äquivalent: \darkgreen 1. f ist ein Isomorphismus. \darkgreen 2. f ist eine Retraktion und ein Monomorphismus. \darkgreen 3. f ist eine Sektion und ein Epimorphismus. \darkgreen 4. f ist eine Sektion und eine Retraktion. Beweis. (1) => (2): Qua defintionem ist ein Isomorphismus eine Retraktion, aber auch eine Sektion und damit ein Monomorphismus. \bigbox (2) => (1): Es gibt einen Morphismus g: B -> A mit f \circ g = id_B. Es folgt f \circ (g \circ f)=(f \circ g) \circ f = id_B \circ f = f, also weil f ein Monomorphismus ist, sogar g \circ f = id_A. \bigbox (1) <=> (3): Dualisierung von (1) <=> (2). \bigbox (1) => (4): Unmittelbare Folge der Definition. \bigbox (4) => (1): f besitzt als Sektion eine Retraktion g : B -> A und als Retraktion eine Sektion h : B -> A. Es folgt g=g \circ id_B = g \circ (f \circ h) = (g \circ f) \circ h = id_A \circ h = h. Also ist g nicht nur eine Sektion von f, sondern auch eine Retraktion von f. Folglich ist f ein Isomorphismus. \bigbox makro(def,\darkblue vec(%1)) \stress\darkgreen\Korollar\/Definition \normal\ Isomorphismen sind sowohl Mono\- als auch Epimorphismen, \darkgreen\kurz def(Bimorphismen). Jede Sektion und jede Retraktion eines \darkgreen\Isomorphismus f ist bereits ein inverser Morphismus. Dieser ist \darkgreen\eindeutig bestimmt und wird mit def(f^(-1)) bezeichnet. Für Isomorphismen \darkgreen\A bigop(\textrightarrow,,,f) B bigop(\textrightarrow,,,g) C gilt (g \circ f)^(-1)=f^(-1) \circ g^(-1) . Letzteres ergibt sich aus dem Beweis von Lemma 4.5. [Edit] Konkrete Kategorien makro(def,\darkblue vec(%1)) Okay, genug der trivialen Feststellungen ;\-) Jetzt vergleichen wir Injektionen, Surjektionen und Bijektionen mit Monomorphismen, Epimorphismen und Isomorphismen in gewissen Kategorien. Dafür müssen wir für die Kategorien eine gemeinsame Beschreibung finden, in denen Objekte Mengen und Morphismen Abbildungen sind, damit die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv überhaupt einen Sinn machen. makro(def,\darkblue vec(%1)) \stress\Definition \normal\Ein Funktor F : \calK -> \calL heißt def(treu) (engl. faithful), wenn er injektiv für parallele Morphismen ist, d.h. für alle Morphismenpaare f,g : A -> B von \calK gilt F(f)=F(g) => f = g. Eine def(konkrete Kategorie) ist eine Kategorie \calK zusammen mit einem treuen Funktor \calK -> vec(Set). Dies bedarf wohl der Erläuterung. Bei einer konkreten Kategorie \calK haben wir also einen Funktor F : \calK -> vec(Set), d.h. eine Vorschrift, die jedem Objekt A von \calK eine Menge F(A) zuordnet, und die jedem Morphismus f : A -> B von \calK eine Abbildung F(f) : F(A) -> F(B) zuordnet, und zwar mit den Eigenschaften \label(1) F(f \circ g)=F(f) \circ F(g) \label(2) F(id_A)=id_(F(A)) makro(def,\darkblue vec(%1)) Weil dieser Funktor treu ist, entsprechen Morphismen von \calK ihren Abbildungen. Der identische Morphismus entspricht wegen (1) der identischen Abbildung und die Komposition entspricht wegen (2) der Hintereinanderausführung von Abbildungen. Konkrete Kategorien sind also im Prinzip nichts anderes als Kategorien mit Mengen als Objekten und Abbildungen als Morphismen, wie erwartet. Beispiele sind sämtliche Kategorien von algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringen, Körpern, Moduln oder Ordnungen. In diesen Fällen ordnet man einer Struktur mit Verknüpfungen \/ Relationen die Trägermenge, und den Morphismen die zugehörigen Abbildungen zu. Die Struktur wird also gänzlich vergessen, man spricht daher auch von einem def(Vergiß-Funktor) (engl. forgetful functor) \stress\Definition \normal\Ein Morphismus einer konkreten Kategorie heißt injektiv (surjektiv, bijektiv), wenn dies die zugehörige Abbildung ist. Man beachte, dass dies mit den gewöhnlichen Definitionen von injektiv, surjektiv und bijektiv bei algebraischen Strukturen übereinstimmt. Allerdings geht man z.B. mit der Bezeichnung Ringepimorphismus für surjektive Ringhomomorphismen zu weit, wir wir gleich sehen werden. Es sollte also im Allgemeinen von injektiven Homomorphismen anstatt Monomorphismen, surjektiven Homomorphismen anstatt Epimorphismen und bijektiven Homomorphismen anstatt Isomorphismen gesprochen werden. Oder man sagt jeweils "im algebraischen Sinne" oder "im kategoriellen Sinne" dazu. \stress\darkgreen\Lemma 8\normal In jeder konkreten Kategorie gilt \darkgreen 1. Jede Injektion ist ein Monomorphismus. \darkgreen 2. Jede Surjektion ist ein Epimorphismus. \darkgreen 3. Jede Sektion ist injektiv. \darkgreen 4. Jede Retraktion ist surjektiv. \darkgreen 5. Jeder Isomorphismus ist bijektiv. Beweis. Sei f : A -> B ein Morphismus einer konkreten Kategorie (\calK,F). 1. Sei f^~ := F(f) injektiv. Es sei C ein Objekt und g,h : C -> A Morphismen mit f \circ g = f \circ h. Es folgt f^~ \circ F(g) = f^~ \circ F(h). Weil f^~ als Injektion nach Lemma 3 ein Monomorphismus in vec(Set) ist, folgt F(g)=F(h), aufgrund der Treuheit von F also g=h. Also ist f ein Monomorphismus in \calK. \bigbox 2. Dualisierung der 1. Aussage. \bigbox 3. Es gebe einen Morphismus g : B -> A mit g \circ f = id_A. Anwendung von F ergibt F(g) \circ F(f) = id_(F(A)). Weil die rechte Seite injektiv ist, ist dies nach Lemma 1 ebenfalls F(f). \bigbox 4. Dualisierung der 3. Aussage. \bigbox 5. Wenn f ein Isomorphmismus ist, so ist f eine Sektion, also nach 3. injektiv, sowie eine Retraktion, also nach 4. surjektiv, zusammen bijektiv. \bigbox [Edit] Nun untersuchen wir die Umkehrungen dieser Aussagen. \stress\darkgreen\Lemma 9\normal In der Kategorie vec(Grp) der Gruppen sind alle Epimorphismen surjektiv. Beweis. Sei f : G -> H ein Epimorphismus in vec(Grp) und U=f[G] dessen Bild. Wir machen eine Fallunterscheidung nach den Index von U in H. Angenommen [H : U] > 2. Dann wähle drei verschiedene und damit disjunkte Nebenklassen U, Ux, Uy. Damit lässt sich eine Permutation \pi \in S_H durch \pi(ux)=uy, \pi(uy)=ux für u \in U und \pi(h)=h sonst definieren. Nun betrachte für jedes h \in H die Linksmultiplikation L(h) mit h. Dann ist L ein Morphismus H -> S_H und ebenso L^~ : h \mapsto \pi^(-1) \circ L(h) \circ \pi. Für alle g \in G, h \in H gilt L^~(f(g))(h)=\pi^(-1) (f(g) \pi(h)) = \pi^(-1)(f(g)) h = f(g) h = L(f(g))(h) Folglich gilt L^~ \circ f = L \circ f, nach Voraussetzung also L^~ = L. Dann ist aber ux uy = L(ux)(uy)=L^~(ux)(uy)=\pi^(-1) (ux \pi(uy))=array(\pi^(-1) (ux) uy = uy uy) woraus sich der Widerspruch x=y ergibt. Angenommen [H : U]=2. Dann ist U normal in H, sodass wir die Faktor- gruppe H \/ U betrachten können. Die besteht nur aus zwei Elementen H, uH, wobei u \in U \\ H. Aufgrund der Definition von U liegen die Bilder von f im Kern der kanonischen Projektion \pi : H -> H \/ U. Wenn 0 den trivialen Homomorphismus H -> H \/ U bezeichnet, der alles auf H schickt, so gilt also \pi \circ f = 0 \circ f, nach Voraussetzung also \pi = 0. Dann hat H\/U aber nur ein Element, Widerspruch. Es bleibt [H : U] = 1. Dann ist U=H, d.h. f ist surjektiv. \bigbox Bei Ringen und Monoiden geht das jedoch schief: \stress\darkgreen\Lemma 10\normal In vec(Rng) und vec(Mon) gibt es nicht\-surjektive Bimorphismen. Beweis. Wir betrachten die Inklusion \iota : \IZ -> \IQ, die natürlich nicht surjektiv ist. Aber weil vec(Rng) eine konkrete Kategorie ist, ist \iota als Injektion ein Monomorphismus. Um zu seigen, dass \iota auch ein Epimorphismus ist, betrachten wir einen R Ring und Ringhomomorphismen a,b : \IQ -> R mit a \circ \iota = b \circ \iota, d.h. a und b stimmen auf den ganzen Zahlen überein. Daraus folgt aber schon a=b: a(p/q) = a(p) * a(1/q) * a(1) = b(p) * a(1/q) * b(1) = b(p) * a(1/q) * b(q) * b(1/q)=b(p) * a(1/q) * a(q) * b(1/q) = b(p) * a(1) * b(1/q) = b(p) * b(1) * b(1/q) = b(p/q) Bei Monoiden kann man die Inklusion \IN -> \IZ nehmen. \bigbox Damit erlangen die Begriffe Epimorphismus und surjektiver Homomorphismus verschiedene Bedeutungen! Die Inklusion \IZ -> \IQ ist zwar im algebraischen Sinne kein Epimorphismus, im kategoriellen Sinne schon. Ferner sehen wir, dass Isomorphismus i.A. ein stärkerer Begriff als Bimorphismus ist. In vec(Set) fallen diese Begriffe aber zusammen, und ebenso bei Gruppen, Ringen und Moduln, wie wir nun sehen werden: \stress\darkgreen\Lemma 11\normal In vec(Grp), vec(Rng) und vec(R\-Mod) (R Ring) sind alle Monomorphismen injektiv. Beweis. In all diesen Kategorien besitzen Morphismen f : A -> B einen Kern Kern(f), der die Eigenschaft hat, genau dann trivial zu sein, wenn f injektiv ist. Die Inklusionsabbildung \iota : Kern(f) -> A wird unter f auf den Nullhomomorphismus geschickt. Dasselbe geschieht mit dem Nullhomomorphismus Kern(f) -> A selbst, sodass \iota=0 ist, sobald f ein Monomorphismus ist. Daraus folgt Kern(f)=Im(\iota)=menge(0). \bigbox Bemerkung: Eine Verallgemeinerung dieses Lemmas liegt auf der Hand, soll hier aber nicht besprochen werden, weil dafür zunächst einige Begriffe \(additive Kategorie, universelle Eigenschaft des Kernes\) einzuführen wären. Man sieht auch so, wann das Lemma funktioniert, bzw. in welchen Kategorien. Es geht z.B. nicht in der Kategorie, die diejenigen Teilmengen von \IZ als Objekte besitzt, die 0 beinhalten, und diejenigen Abbildungen als Morphismen besitzt, die 0 festlassen. Solch ein Kern besitzt nicht jede Kategorie. Mit dieser Idee bekommen wir ein Gegenbeispiel für Lemma 11 in der Unterkategorie vec(Div) von vec(Ab), der teilbaren abelschen Gruppen. Dabei heißt eine abelsche Gruppe A \darkblue vec(teilbar)\black , wenn es für alle a \in A und n \in \IN_>0 ein a^~ \in A mit a=n a^~ gibt. Z.B. ist \IQ eine teilbare abelsche Gruppe, und damit ebenfalls \IQ \/ \IZ, weil sich Teilbarkeit offenbar auf epimorphe Bilder überträgt. \stress\darkgreen\Lemma 12\normal In vec(Div) gibt es Bimorphismen, die nicht injektiv sind. Beweis. Wir betrachten die kanonische Projektion f : \IQ -> \IQ \/ \IZ. Sie ist surjektiv, aber nicht injektiv. Sei A eine teilbare abelsche Gruppe und a,b : X -> \IQ Morphismen mit f \circ a = f \circ b. Diese Gleichung besagt, dass a-b nur ganzzahlige Werte annimmt. Angenommen a != b. Dann gibt es ein x \in X mit a(x)-b(x)!=0. Weil X teilbar ist, gibt es dann ein y \in X mit x=2(a(x)-b(x))*y. Es folgt a(x)-b(x)=a(2(a(x)-b(x))*y)-b(2(a(x)-b(x))*y) =2(a(x)-b(x))*(a(y)-b(y)) und damit der Widerspruch a(y)-b(y)=1/2 \notin \IZ. \bigbox Dual zu Lemma 11 ist ein Morphismus in gewissen Kategorien genau dann surjektiv, wenn sein Kokern trivial ist: \stress\darkgreen\Lemma 13\normal In vec(Ab) und vec(R\-Mod) ist jeder Epimorphismus surjektiv. Bei Vektorräumen kann man dies sogar noch weiterführen: \stress\darkgreen\Lemma 14\normal In vec(K\-Vec) (K Körper) ist jeder surjektive Morphismus eine \darkgreen\Retraktion, und jeder injektive Morphismus eine Sektion. Beweis. Sei f : V -> W eine lineare Abbildung zwischen K\-Vektorräumen. 1. Es sei f surjektiv. Wähle mit Hilfe des Auswahlaxioms einen zu Kern(f) komplementären Unterraum U von V aus. Dann gibt es für alle w \in W genau ein u \in U mit w=f(u). Dies induziert eine lineare Abbildung g : W -> U \subseteq V mit f(g(f(v)))=f(v) für alle v \in V, also f \circ g = id_W aufgrund der Surjektivität von f. \bigbox 2. Es sei f injektiv. Wähle mit Hilfe des Auswahlaxioms eine Basis B von V aus. Dann ist f[B] linear unabhängig, sodass sich f[B], wieder mittels Auswahlaxiom, zu einer Basis von W ergänzen lässt. Bilde f(b) auf b zurück und alle anderen Basisvektoren auf den Nullvektor von V ab. Dies induziert eine lineare Abbildung g : W -> V mit g(f(b))=b. Weil V von B erzeugt wird, folgt g \circ f = id_V. \bigbox Die eben bewiesenen Aussagen über Vektorräume lassen sich mit einer kleinen Einschränkung auch in vec(Set) beweisen, zumal bei den Retraktionen und Sektionen auf keinerlei Struktur geachtet werden muss. \stress\darkgreen\Lemma 15\normal In vec(Set) ist jede Injektion mit nichtleerem Definitionsbereich eine Sektion. Beweis. Sei f : A -> B eine Injektion und A nichtleer. Dann gibt es also ein a \in A. Aufgrund der Injektivität von f können wir die Bilder davon wieder auf ihre Urbilder abbilden, und den Rest von B konstant auf a. Dies definiert eine Retraktion von f. \bigbox Bei Vektorräumen ist uns schon das Auswahlaxiom als Hilfsmittel begegnet. Bei Mengen gilt sogar \stress\darkgreen\Lemma 16\normal Das Auswahlaxiom ist damit äquivalent, dass in vec(Set) jede \darkgreen\Surjektion eine Retraktion ist. Beweis. Es gelte das Auswahlaxiom. Sei f : A -> B eine Surjektion. Dann lässt sich für jedes b \in B ein Element der Faser f^(-1)(menge(b)) auswählen. Die Auswahlfunktion ist eine Sektion von f. Die Umkehrung ist wesentlich schwieriger: Es sei jede Surjektion eine Retraktion. Sei (( A_i ))_(i \in I) eine Familie von nichtleeren Mengen. Wir betrachten deren disjunkte Vereinigung X := biguplus(A_i,i \in I) = union(A_i \cross menge(i),i \in I) Da die A_i \cross menge(i) paarweise disjunkt sind, können wir eine Abbildung f : X -> I durch (a,i) -> i für a \in A_i definieren. Weil jedes A_i nichtleer ist, ist f surjektiv. Nach Voraussetzung besitzt f eine Sektion g : I -> X, d.h. es gilt f \circ g = id_I. Sei i \in I. Schreibe g(i)=(a,j) mit j \in I, a \in A_j . Anwendung von f ergibt i=j und damit g(i)=(a,i) mit a \in A_i. Führt man daher die 1. Projektion nach g aus, erhält man eine Auswahlfunktion von array((( A_i ))_(i \in I) . \bigbox) [Edit] So, hier möchte ich den Artikel beenden! Vielleicht kurz zur Entstehung: Die Aussagen des Artikels habe ich im Grunde genommen nur vereinzelt gefunden, daher wollte ich sie einmal zu diesem Thema zusammenführen. Sirjective hat korrekturgelesen und Irrlicht hat mir die Beweisidee für Lemma 14.1 sowie diesen schönen Titel gegeben - Danke euch dafür! Als grobe Zusammenfassung kann man sagen, dass in konkreten Kategorien "surjektiver Morphismus" i.A. stärker als "Epimorphismus" ist, analog mit injektiv und bijektiv. In den Kategorien der R-Moduln, insbesondere der Vektorräume und der abelschen Gruppen, der Gruppen und der Mengen fallen die Begriffe aber zusammen. Bis zum nächsten Artikel, in dem dann die Begriffe Mono-,Epi- und Isomorphismus einfach so als bekannt vorausgesetzt werden Dann werden auch wieder Diagramme exzessiv verwendet. Man hätte sie auch hier verwenden können, z.B. lässt sich die Aussage, dass f zu g invers ist, mit dem folgenden kommutativen Diagramm beschreiben: Und alle Beweise bzw. Rechnungen des ersten Abschnittes hätten über Diagrammjagd gehen können. Zum Beispiel lässt sich Lemma 4.5, also (g \circ f)^(-1) = f^(-1) \circ g^(-1) einfach durch Duplizieren und Verkleben der Diagramme zeigen: Martin Artikel zur Kategorientheorie Teil 1 (von Zaos): Kategorientheorie Teil 2 (von Zaos): Kategorien und Diagrammjagd Teil 3: Ja Mono Epi Iso Teil 4: Universelle Eigenschaften Teil 5: Limites und Kolimites Teil 6: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern Teil 7: Fixpunkte in der Kategorientheorie Teil 8: Adjunktionen: Wie man zwischen zwei Kategorien eine Brücke baut Teil 9: Koenden ohne Ende - Integrale in der Kategorientheorie Teil 10: 2-Kategorien - Einstieg in die höhere Kategorientheorie [Edit] \(\endgroup\) [Show outline only] Get link to this article   Printer-friendly version -  Choose languageDE EN     Comments   Für diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen: : Kategorientheorie :: Reine Mathematik : Kategorien 3: Ja Mono Epi Iso [von Martin_Infinite]   Dieser Artikel setzt Zaos' Einführung in die Kategorientheorie fort. Es werden die Begriffe Monomorphismus, Epimorphismus und Isomorphismus in beliebigen Kategorien eingeführt. Sie verallgemeinern die Begriffe Injektion, Surjektion und Bijektion. [Edit] [Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

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"Mathematik: Kategorien 3: Ja Mono Epi Iso" | 12 Comments

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Re: Kategorien 3: Ja Mono Epi Iso von: Hans-im-Pech am: Mi. 01. Juni 2005 18:07:41

\(\begingroup\)Hallo Martin, ich bin beeindruckt! 😉 Wirklich gut gemachte, harte Mathematik. 😉 Eine kleine - sprachliche - Korrektur hätte ich noch bei Lemma (5): Der Satz vor der Definition von Split und Retraktion ist nicht sehr glücklich. 😉 *besserwisser* Viele Grüße und DANKE für den schönen Artikel, HiP\(\endgroup\)