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Mathematik: Lösung der kubischen Gleichung durch die Tschirnhaus-Transformation
Released by matroid on Fr. 01. Juli 2005 19:59:21 [Statistics] [Comments]
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Mathematik

\(\begingroup\) Über die kubische Gleichung ist hier schon viel referiert worden. Auch ich habe vor einiger Zeit ein Approximations-Verfahren postuliert,$bei dem die kubische Parabel y = (x-x_[n])^3 an die Kurve y = x^3 + ax^2 + bx +c zur Nullstellenbestimmung angenähert wird. Heute will ich jedoch eine rein analytische Methode vorstellen, die vielleicht noch nicht jeder kennt, und auf Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (1646\-1716) zurückgeht.

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\big\ Lösen der kubischen Gleichung durch die Tschirnhaus-Transformation Bemerkung: Auf das Überführen der Normalform in die reduzierte Form wird hier nicht mehr eingegangen. x^3 + px + q = 0 x^2 + p + q/x = 0 Sub.: p + q/x = \phi x + 2p/3 + y x^2 + \phi x + 2p/3 + y = 0 x_1;2 = (-\phi +- sqrt(\phi^2 - 4y -8p/3))/2 ((-\phi +- sqrt(\phi^2 - 4y -8p/3))/2)^3 + p((-\phi +- sqrt(\phi^2 - 4y -8p/3))/2) + q = 0 -4\phi^3 + 12\phi y + 4\phi p + 8q +-(sqrt(\phi^2 - 4y - 8p/3))(4\phi^2 - 4y + 1 1/3 p) = 0 (\phi^2 - 4y - 8p/3)(\phi^4 - 2 \phi^2 y + y^2 + (2 \phi^2 p)/3 -2py/3 + p^2/9) = (\phi^3 - 3 \phi y - \phi p - 2q)^2 \phi^6-6\phi^4 y-2\phi^4 p+9\phi^2 y^2-4y^3+2\phi^2 py-1 2/3 \phi^2 p^2+1 1/3 p^2 y-8p^3/27 =\phi^6-6\phi^4 y-2\phi^4 p+9\phi^2 y^2-4q\phi^3+6\phi^2 py + 12\phi qy+4\phi pq+ \phi^2 p^2+4q^2 y^3+(p\phi^2 + 3q\phi -(p^2)/3)y +(2p^2 \phi^2)/3-q\phi^3+q^2+pq\phi + 2p^3/27 = 0
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p\phi^2+3q\phi-p^2/3 = 0 \phi_n = ( -3q+-sqrt(9q^2+4p^3/3) )/2p y_n = root(3,-2/3 \phi_n ^2 p^2 +q\phi_n ^3 -q^2-pq\phi_n - 2/27 p^3) x = (-\phi_n+-sqrt(\phi_n ^2 - 4y_n -8p/3))/2 bindi
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: Mathematik :: kubische Gleichung :: Tschirnhaus-Transformation :
Lösung der kubischen Gleichung durch die Tschirnhaus-Transformation [von bindi]  
Über die kubische Gleichung ist hier schon viel referiert worden. Auch ich habe vor einiger Zeit ein Approximations-Verfahren postuliert, bei dem die kubische Parabel y = (x-x_[n])^3 an die Kurve y = x^3 + ax^2 + bx +c zur Nullstellenbestimmung angenähert wird. Heute will ich jedoch eine
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"Mathematik: Lösung der kubischen Gleichung durch die Tschirnhaus-Transformation" | 5 Comments
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Re: Lösung der kubischen Gleichung durch die Tschirnhaus-Transformation
von: valentin am: So. 03. Juli 2005 11:21:58
\(\begingroup\)Hm, ich zaehle 4 Loesungen. Dabei darf ein Polynom 3ten Grades doch maximal 3 Nullstellen besitzen - Erhalte ich somit immer in einer der Kombinationen einen negativen Radikanden ? -- Valentin EDIT: aber nein, das geht ja auch nicht, dann sind es ja nur zwei Loesungen, die bleiben... \(\endgroup\)
 

Re: Lösung der kubischen Gleichung durch die Tschirnhaus-Transformation
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 06. Juli 2005 13:04:00
\(\begingroup\)hallo bindi, ich verfolge deine artikel über kubanische gleichungen schon seit geraumer zeit. doch in diesem fall bin ich mir auch nicht ganz im klaren und muss mich valentin anschließen - ein Ponynom 3. Klasse darf doch nur 3 Nullstellen besitzen, oder ?\(\endgroup\)
 

Re: Lösung der kubischen Gleichung durch die Tschirnhaus-Transformation
von: Buri am: Di. 24. Januar 2006 08:52:45
\(\begingroup\)Die Lebensdaten von Ehrenfried Walt(h)er von Tschirnhaus(en) - es gibt unterschiedliche Schreibweisen - sind: 10. April 1651 in Kieslingswalde (heute Sławnikowice) bei Görlitz; 11. Oktober 1708 in Dresden. Er, und nicht, wie allgemein angenommen, Johann Friedrich Böttger, ist der europäische Erfinder des Porzellans (Meißner Porzellan, im Englischen "Dresden China" genannt - für die Engländer ist Meißen und Dresden fast dasselbe). Siehe hier.
Gruß Buri\(\endgroup\)
 

Re: Lösung der kubischen Gleichung durch die Tschirnhaus-Transformation
von: Hans-Juergen am: Di. 24. Januar 2006 12:01:02
\(\begingroup\)Danke, Buri, für diese Richtigstellung und für den Hinweis auf die Wikipedia-Seite über Tschirnhaus und Böttger. Viele Grüße, Hans-Jürgen\(\endgroup\)
 

Re: Lösung der kubischen Gleichung durch die Tschirnhaus-Tra
von: univernity am: Mi. 01. Februar 2006 15:13:40
\(\begingroup\)Hi, aus der Antwort zu dem ersten Kommentar geht immer noch nicht hervor, wie genau die Lösungen lauten. Ich habe die Transformation bei einer konkreten Gleichung durchgeführt und 4 Lösungen für x herausbekommen, von denen keine bei Einsetzen in meine Gleichung 0 ergibt. Wie ist denn jetzt der Umstand mit den 4 Lösungen zu erklären?\(\endgroup\)
 

 
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