Mathematik: Hauptachsentransformation Released by matroid on So. 17. Juli 2005 20:20:17 [Statistics] Written by pendragon302 - 34789 x read [Outline] Printer-friendly version -  Choose languageDE EN   \(\begingroup\) Hauptachsentransformation Mit diesem Artikel möchte ich euch zeigen, wie man eine Hauptachsentranformation durchführt. Zunächst zeige ich euch allgemein, also im \IR^n, eine Hauptachsentransformation. Weil ich aber nicht vorhabe, jedes kleinste Detail zu beweisen, muss ich ein paar Kenntnisse der Linearen Algebra voraussetzen. [Edit] [To the bottom] pdf-Version des Artikels Was ist überhaupt eine Hauptachsentransformation und wozu dient sie? Wenn wir im einem x_1, x_2, ..., x_n- Koordinatensystem eine Gleichung zweiten Grades einer Fläche haben, dessen höchste Potenz 2 ist, wissen wir oft nicht um was für eine Fläche es sich handelt. Durch eine geeignete Transformation der Koordinatenachsen, also durch Drehung des Systems und paralleles Verschieben, haben wir vielleicht die Möglichkeit zu erkennen um was es sich bei der Gleichung für eine Fläche handelt. Wobei handelt es sich zum Beispiel im \IR^2 bei der Gleichung 2x^2+3xy-2y^2-4x-3y-23=0 oder 13x^2+7y^2+6*sqrt(3)*x*y+(52-6*sqrt(3))*x+(-14+12*sqrt(3))*y=12*sqrt(3)-43 Was ist im \IR^3 5x^2+5y^2+8z^2-8*x*y+4*x*z+4*y*z-36=0? Welche Kenntnisse brauchen wir um eine Hauptachsaentransformation durchzuführen? Ganz wichtig ist es sich mit Eigenwerten, Eigenvektoren, Orthonormalbasen, dem Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren und allgemein der Matrizenrechnung auszukennen. Man sollte folgende Definitionen und Rechenregeln kennen: Definition: A sei eine nxn- Matrix. Eine reelle Zahl \l heisst Eigenwert zu A falls es einen Vektor vec(x)\el\ \IR^n, vec(x)!=0^> gibt mit A*vec(x)=\l*vec(x). Dann heisst vec(x) Eigenvektor zum Eigenwert \l. Die Eigenwerte von A sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms von A p_a (\l)=det(A-\l*E) Satz: Jede symmetrische Matrix besitzt Eigenvektoren die paarweise orthogonal und eine Orthonormalbasis des \IR^n bilden. Bei k verschiedenen Eigenwerte einer symmetrischen Matrix sind die dazugehörigen Eigenvektoren orthogonal. Kommt der Eigenwert \l k-fach vor gibt es zu diesem Eigenwert k verschiedene Eigenvektoren, die nicht umbedingt orthogonal sind, dann muss man mit dem Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren paarweise senkrechte Eigenvektoren zu diesem Eigenwert finden. Regeln wie (A*B)^T=B^T*A^T oder, dass das Produkt von zwei orthogonalen Matrizen wieder orthogonal ist, sollten bekannt sein. Beschränken wir uns auf den \IR^2 und \IR^3, denn nur in diesen Vektorräumen können wir uns vorstellen um was es sich handelt. Man könnte auch eine Hauptachsentransformation im \IR^4 durchführen aber wer kann sich schon etwas Vierdimensionales vorstellen? Im \IR^2 hat so eine Gleichung 2ten Grades die Form \a*x^2+\b*y^2+\gamma*x+\d*y+\mue=0 solche Gleichungen kennen wir, sie können eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel darstellen, die man auch Kegelschnitte nennt. Diese Gleichung kann aber auch einen "entarteten" Fall darstellen und zwar einen Punkt, die leere Menge, eine Gerade oder ein Geradenpaar darstellen. Im \IR^3 hat so eine Gleichung die Form a*x^2+b*y^2+c*z^2+d*xy+e*xz+f*yz+g*x+h*y+i*z+j=0 Hier gibt es schon einige mehr Typen, die die Gleichung annehmen kann. Hierbei kann es zum Beispiel um eine Ebene, einen elliptischen Zylinder, einen hyperbolischen Parabolid, zweischaligen Hyperbolid uvm. handeln. Sie heissen auch Flächen zweiter Ordnung. Allgmein im \IR^n hat so eine Gleichung die Form a_1*x_1^2+a_2*x_2^2+...+a_n*x_n^2+b_11*x_1*x_2+b_12*x_1*x_3+...+c_1*x_1+...+c_n*x_n+d=0 Dies ist ausgeschrieben doch eine ziemlich lange Gleichung, man versucht sie daher abzukürzen. In Zukunft schreibe ich Matrizen mit Großbuchstaben, Vektoren fett und Vektoren der Koordinatenachsen mit Pfeil und reele Zahlen normal. Sei A=((a_ij))_ij\el\ \IR^(nxn) symmetrisch, vec(c)=(c_1;.;.;.;c_n), x^>=(x_1;.;.;.;x_n)\el\ \IR^n und a\el\ \IR dann lässt sich die obige Gleichung auch in Form (x^>)^T*A*x^>+vec(c)^T*x^>+a=0. Multiplizieren wir diese Gleichung aus erhalten wir sum(a_ii*x_i^2,i=1,n)+sum(2*a_ij*x_i*x_j,i!=j)+sum(c_i*x_i,i=1,n)+a=0 Solche Formen nennt man auch Quadriken. Warum kommen in den Summanden immer nur zwei Faktoren plus Koeffizient vor, naja sonst wäre es keine Fläche. Kommen wir zu unseren obigen Beispielen zurück 2x^2+3xy-2y^2-4x-3y-23=0 lässt sich auch als (x,y)*(2,3/2;3/2,-2)*(x;y)+(-4,-3)*(x;y)-23=0 schreiben, hier wäre A=(2,3/2;3/2,-2), vec(c)=(-4;-3) und a=-23 5x^2+5y^2+8z^2-8*x*y+4*x*z+4*y*z-36=0 lässt sich auch als (x,y,z)*(5,-4,2;-4,5,2;2,2,8)*(x;y;z)-36=0 schreiben Hier wäre A=(5,-4,2;-4,5,2;2,2,8), vec(c)=(0,0,0) und a=-36 Dies kann der Leser nachprüfen. [Edit] Unser Ziel ist es die Gleichung (x^>)^T*A*x^>+vec(c)^T*x^>+a=0 durch eine Koordinatentranformation x^>=T*u^>+vec(f) (vec(f)\el\ \IR^n) auf eine der Normalformen a,b,c zu bringen \lr(a) u_1^2/\a_1^2+...+u_k^2/\a_k^2-u_(k+1)^2/\a_(k+1)^2-...-u_m^2/(\a_m)^2=0 \lr(b) u_1^2/\a_1^2+...+u_k^2/\a_k^2-u_(k+1)^2/\a_(k+1)^2-...-u_m^2/(\a_m)^2-1=0 \lr(c) u_1^2/\a_1^2+...+u_k^2/\a_k^2-u_(k+1)^2/\a_(k+1)^2-...-u_m^2/(\a_m)^2+2u_(m+1)=0 Nähern wir uns der Lösung langsam an. Versuchen wir zuerst durch x=S*y in \lr(1) (x^>)^T*A*x^>+vec(c)^T*x^>+a=sum(a_ii*x_i^2,i=1,n)+sum(2*a_ij*x_i*x_j,i!=j)+sum(c_i*x_i,i=1,n)+a=0 die gemischten Terme also den Summand sum(2*a_ij*x_i*x_j,i!=j) null werden zu lassen. Dies ist aber nur möglich wenn a_ij=0 für i!=j ist. (S*y^>)^T*A*S*y^>+vec(c)^T*S*y^>+a=(y^>)^T*S^T*A*S*y^>+vec(c)^T*S*y^>+a=0 Wir müssen S also so wählen, dass S^T*A*S eine Diagonalmatrix wird. Da A symmetrisch ist gibt es eine ONB (S_1, ...,S_n) des \IR^n, die aus Eigenvektoren von A besteht. Wählt man S mit den Spalten S_1, ...,S_n und ordnet man dies so, dass det(S)>0 gilt, ist S^T*A*S=S^(-1)*A*S ein Diagonalmatrix in deren Hauptdiagonalen die Eigenwerte von A stehen, welche nicht alle von Null verschieden sein müssen. Setzen wir vec(b)=(b_1, ...,b_n)=vec(c)^T*S, auch hier müssen die b_i nicht von Null verschieden sein. sum(a_ii*x_i^2,i=1,n)+sum(2*a_ij*x_i*x_j,i!=j)+sum(c_i*x_i,i=1,n)+a=0 geht (1) mit x^>=S*y^> über in \lr(2) sum(\l_i*y_i^2,i=1,n)+sum(b_i*y_i,i=1,n)+a=sum((\l_i*y_i^2+b_i*y_i),i=1,n)+a=0 Nun können wir in der letzten Summe eine quadratische Ergänzung machen. Falls \l_i!=0 ist, ist \l_i*y_i^2+b_i*y_i=\l_i*(y_i^2+b_i/\l_i*y_i)=\l_i*((y_i+b_i/2\l_i)^2-b_i^2/4\l_i^2) =\l_i*(y_i+b_i/2\l_i)^2-b_i^2/4\l_i Dies motiviert z_i=y_i+b_i/2\l_i zu setzen. Also y^>=z^>+vec(q) mit vec(q)=(-b_1/2\l_1, ...,-b_m/2\l_m, 0,...,0)^T Das führt uns auf \lr(3) sum(\l_i*(z_i)^2,i=1,m)+sum(b_i*z_i,i=m+1,n)+d=0 mit d=a-sum(b_i^2/4\l_i,i=1,m) Für den Fall vec(p)=(b_(m+1);...;b_n)=(0;...;0) sind wir fertig und haben unser Ziel die Normalform erreicht. Für den Fall vec(p)!=0 versuchen wir durch z^>=G*u^>+vec(h) auf folgende Form zu bringen \lr(4) sum(\l_i*u_i^2,i=1,k)+norm(vec(p))*u_(m+1)=0 G sollte schon eine orthogonale Matrix sein. Warum? Das werden wir gleich sehen. Zunächst ergänzen wir vec(p_1)=vec(p)/norm(vec(p)) zu einer ONB (vec(p)_1, ..., vec(p)_(n-m)) des \IR^(n-m). Dies erreichen wir mit dem Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren. Sei R die Matrix deren Spalten die Elemente der ONB des \IR^(n-m) sind. Schreiben wir (3) so um dass wir bequem substituieren können sum(\l_i*z_i,i=1,m)+sum(b_i*z_i,i=m+1,n)+d=0 => (z^>)^T*V*z^>+vec(w)^T*z^>+d=0 mit V=(\l_1,.,.,.,0,;.,.,,,.,;.,,.,,.,;.,,,.,.,;0,.,.,.,\l_m;,,,,,0) und vec(w)=(0,...,0,b_(m+1) ,...,b_n)^T [Edit] Sei nun G=(E_m,0;0,R), dann gilt G^T=G^(-1) Einsetzen von z^>=G*u^>+vec(h) liefert (G*u^>+vec(h))^T*V*(G*u^>+vec(h))+vec(w)^T*(G*u^>+vec(h))+d=0 =>((u^>)^T*G^T+vec(h)^T)*V*(G*u^>+vec(h))+vec(w)^T*(G*u^>+vec(h))+d=0 =>(u^>)^T*G^T*V*G*u^>+vec(h)^T*V*G*u^>+(u^>)^T*G^T*V*vec(h)+vec(h)^T*V*vec(h)+vec(w)^T*G*u^>+vec(w)^T*vec(h)+d=0 Offensichtlich ist G^T*V*G=V, G^T*V=V, V*G=V. Entscheidend ist jedoch was vec(w)^T*G ist. Da die ersten m Komponenten von vec(w) Null sind sind auch die ersten m Komponenten vec(w)^T*G Null. G hat die Form (E_m,0;0,R). Die m+1-te spalte von G ist 1/norm(vec(p))*(0,...,b_(m+1), ...,b_n)^T=1/norm(vec(p))*vec(w) Dabei ist vec(w)^T*1/norm(vec(p))*vec(w)=norm(vec(p)) da norm(vec(w))=norm(vec(p)) ist. Alle anderen Spalten von (0;R) sind zu vec(w) orthogonal, also ist vec(w)^T*G=norm(vec(p))*E_(m+1). Hätten wir vec(p_1)=1/norm(vec(p))*vec(p) an dritter stelle in der ONB gewählt so wäre vec(w)^T*G=norm(vec(p))*E_(m+3). Also geht die ganze Gleichung über in (u^>)^T*V*u^>+vec(h)^T*V*u^>+(u^>)^T*V*vec(h)+vec(h)^T*V*vec(h)+norm(vec(p))*E_(m+1)*u^>+vec(w)^T*vec(h)+d=0 Wie müssen wir nun vec(h) wählen? vec(h)^T*V*u^>+(u^>)^T*V*vec(h)+vec(h)^T*V*vec(h) soll in der Gleichung verschwinden und vec(w)^T*vec(h)+d. wählen wir vec(h)=-d/norm(vec(p))^2*vec(w) erhalten wir vec(h)^T*V=0^> und V*h=0^> und vec(w)^T*vec(h)=vec(w)^T*(-d/norm(vec(p))^2*vec(w))=-d, also vec(w)^T*vec(h)+d=0 Also erhalten wir mit z^>=G*u^>+vec(h) unsere Gleichung (4) (u^>)^T*V*u^>+norm(vec(p))*u_(m+1)=sum(\l_i*u_i^2,i=1,m)+norm(vec(p))*u_(m+1)=0 [Edit] Am Anfang war x^>=S*y^>, dann war y^>=z^>+vec(q) und dann war z^>=G*u^>+vec(w). Also x^>=S*(G*u^>+vec(w)+vec(q))=S*G*u^>+S*(vec(w)+vec(q)) mit T=S*G und vec(f)=S*(vec(w)+vec(q)) haben wir endgültig unser Ziel erreicht. Nun möchte ich euch zunächst im \IR^2 zeigen an welcher Normalform ihr erkennt um welche Fläche es sich handelt. Ich schreibe statt u_1 und u_2 wieder x und y x^2/a^2+y^2/b^2=0 Punkt x^2/a^2-y^2/b^2=0 zwei sich schneidende Geraden x^2=0 Gerade x^2/a^2+y^2/b^2=1 Ellipse -x^2/a^2-y^2/b^2=1 leere Menge x^2/a^2-y^2/b^2=1 Hyperbel x^2/a^2=1 zwei parallele Geraden -x^2/a^2=1 leere Menge x^2/a^2+2y=0 Parabel Im \IR^3 schreibe ich statt u_1, u_2, u_3 wieder x,y,z x^2=0 Ebene x^2/a^2 2 parallele Ebenen x=0 Ebene x^2/a^2+y^2/b^2=0 Gerade x^2/a^2-y^2/b^2=0 zwei sich schneidende Ebenen x^2/a^2+y^2/b^2=1 elliptischer Zylinder x^2/a^2-y^2/b^2=1 hyperbolischer Zylinder x^2/a^2+2*y=0 parabolischer Zylinder x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=0 Punkt x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=0 Kegel x^2/a^2+y^2/b^2+2z=0 elliptisches Parabeloid x^2/a^2-y^2/b^2+2z=0 hyperbolisches Parabeloid x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1 Ellipsoid x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1 einschaliges Hyperboloid x^2/a^2-y^2/b^2-z^2/c^2=1 zweischaliges Hyperboloid [Edit] Nun möchte ich euch noch zwei Beispiele zeigen. 1) Im \IR^2 5x_1^2+8x_2^2+4*x_1*x_2+14/sqrt(5)*x_1-52/sqrt(5)*x_2-11=0 Zunächst schreiben wir es in Matrixschreibweise (x^>)^T*A*x^>+vec(c)^T*x^>+a=0 x^>=(x_1;x_2), A=(5,2;2,8), vec(c)=(14/sqrt(5);-52/sqrt(5)) und a=-11 p_A (\l)=det(A-\l*E)=(5-\l)*(8-\l)-4=\l^2-13\l+36=(\l-4)(\l-9) A hat also die Eigenwerte 4 und 9. Eigenvektor zu 4 ist (2;-1) Eigenvektor zu 9 ist (1;2) Die beiden Vektoren sind schon orthogonal also müssen wir nur noch normieren. Eine ONB des \IR^2 ist span((1/sqrt(5)*(2;-1)) \, (1/sqrt(5)*(1;2))) Damit erhalten wir als Matrix S=1/sqrt(5)*(2,1;-1,2) mit x^>=S*y^> geht die Gleichung über in 4*y_1^2+9*y_2^2+16*y_1-18*y_2-11=0 => 4*(y_1^2+4y_1)+9*(y_2^2-2y_2)-11=0 =>4*(y_1+2)^2-16+9*(y_2-1)^2-9-11=0 =>4*(y_1+2)^2+9*(y_2-1)^2-36=0 Setzen wir nun y^>=z^>+(-2;1) erhalten wir 4z_1^2+9z_2^2=36 =>z_1^2/3^2+z_2^2/2^2=1 Es handelt sich also im z_1, z_2- system um eine Ellipse mit den Achsen 3 und 2. Es war x^>=S*y^> und y^>=z^>+(-2;1), damit folgt x^>=S*z^>+1/sqrt(5)*(3;-5) Der Nullpunkt des z-Systems liegt also im Punkt 1/sqrt(5)*(3,5) des x-Systems. Wie liegen denn nun die Hauptachsen des neuen Systems? Dazu benötigen wir die Bilder der kanonischen Achsenvektoren aus dem z-System. x^>=S*(1;0)+1/sqrt(5)*(3;-5) und x^>=S*(0;1)+1/sqrt(5)*(3;-5). [Edit] Für den \IR^3 ist folgende Gleichung gegeben: -3x_1^2+4x_2^2-3x_3^2-10x_1*x_3-6*sqrt(2)*x_1-10*sqrt(2)*x_3-14=0 => x^T*(-3,0,-5;0,4,0;-5,0,-3)*x+(-6*sqrt(2),0,-10*sqrt(2))*x-14=0 Die Eigenwerte sind 4,-8,2 und die dazugehörigen Eigenvektoren sind (0;1;0),(1;0;1),(1;0;-1). Als Drehmatrix nehmen wir S=1/sqrt(2)*(1,0,1;0,sqrt(2),0;-1,0,1) Damit liefert x=S*y 2y_1^2+4y_2^2-8*y_3^2+4*y_1-16y_3-14=0 =>2*(y_1+1)^2+4y_2^2-8*(y_3+1)^2-8=0 y=z+(-1;0;-1) 2z_1^2+4z_2^2-8z_3^2-8=0 =>z_1^2/4+z_2^2/2-z_3^2=1 Nach unsere Tabelle ist dies ein einschaliger Hyperboloid. Uns interessiert noch, wo der neue Nullpunkt ist. x=S*(z+(-1;0;-1))=S*z+(-2*sqrt(2);0;0) [Edit] Sei nun 1/4*x_1^2+x_1*x_2+x_2^2+x_3^2+x_1*x_3+2x_2*x_3+3x_1+1=0 => x^T*(1/4,1/2,1/2;1/2,1,1;1/2,1,1)*x+(3,0,0)*x+1=0 Die Matrix hat den Rang 1 also Null als zweifachen Eigenwert. Da die Spur gleich der Summe der Eigenwerte ist, ist 9/4 dritter Eigenwert. Man erhält V_(9/4) (A)=span((1;2;2)) Man kann ebenso (2,1,-2) \el\ V_0 (A) raten. Nun brauchen wir noch den zweiten Vektor aus dem Eigenraum zum Eigenwert 0. Den können wir gleich mit dem Kreuzprodukt erhalten (1;2;2)x(2;1;-2)=(-6;6;-3). Normieren wir diese Vektoren und schreiben sie gleich als Matrix erhalten wir S=1/3*(1,2,-2;2,1,2;2,-2,-1) Mit (3,0,0)*S=(1,2,-2) ergibt dies 9/4*y_1^2+y_1+2y_2-2y_3+1=0 => 9/4*(y_1+2/9)^2+2*y_2-2*y_3+8/9=0 y=z+(-2/9;0;0) 9/4*z_1^2+2*z_2-2*z_3+8/9=0 Jetzt sind wir dahin gekommen, dass wir versuchen müssen auf obige Gleichung (4) zu kommen. Hier ist V=(9/4,0,0;0,0,0;0,0,0) vec(w)=(0,2,-2) d=8/9 m=1 vec(p)=(2,-2) => norm(vec(p))=sqrt(8)=sqrt(2)*2 Wir suchen eine ONB des \IR^(3-1) Wir erkennen vec(p) \senkrechtauf\ (1;1) Damit erhalten wir R=(1/sqrt(2),1/sqrt(2);-1/sqrt(2),1/sqrt(2)) Also ist G=(1,0,0;0,1/sqrt(2),1/sqrt(2);0,-1/sqrt(2),1/sqrt(2)) Mit h=-8/(9*norm(vec(p)))*vec(w)=-4/(9*sqrt(2))*(0;2;-2) Die Substitution z=G*u+(0;-4*sqrt(2)/9;4*sqrt(2)/9) bringt uns 9/4*u_1^2+sqrt(2)*2*u_2=0 dies ist unsere Normalform. Sie stellt einen parabolischen Zylinder dar. Substituieren wir zurück x=S*(G*u+(0;-4*sqrt(2)/9;4*sqrt(2)/9)+(-2/9;0;0)) Der neue Nullpunkt ist S*(-2/9;-4*sqrt(2)/9;4*sqrt(2)/9)=(- 16*sqrt(2)/27 - 2/27; 4*sqrt(2)/27 - 4/27; 4*sqrt(2)/27 - 4/27) S*G=(1/3, 2*sqrt(2)/3, 0; 2/3, - sqrt(2)/6, sqrt(2)/2; 2/3, - sqrt(2)/6, - sqrt(2)/2) Damit ist dann x=(1/3, 2*sqrt(2)/3, 0; 2/3, - sqrt(2)/6, sqrt(2)/2; 2/3, - sqrt(2)/6, - sqrt(2)/2)*u+(- 16*sqrt(2)/27 - 2/27; 4*sqrt(2)/27 - 4/27; 4*sqrt(2)/27 - 4/27) [Edit] Von großem Interesse ist zu wissen wie das neue Koordinatensystem nach der Transformation bzgl des ursprünglichen liegt. Dazu sollte man den neuen Ursprung kennen und die neuen Koordinatenachsen. Bei der Endsubstitution x^>=T*u^>+vec(f) ist der neue Nullpunkt gerade der Punkt dessen Ortsvektor vec(f) ist. Dies lässt sich leicht einsehen wenn wir uns überlegen, dass wir in unserer Substitution nur u^>=0^> setzen müssen, da wir das Bild des Ursprungs im u-System im alten x-System sehen wollen. Doch was sind die Achsen? Welche paarweise orthogonalen Vektoren aus den x-System bilden das neue u-System? Im u-System haben die Koordinatenachsen folgende Darstellung (e^>)_1, (e^>)_2, ...,(e^>)_n. Das sind die Einheitsvektoren, die Bilder dieser Vektoren bilden im x-System das neue u-System. Also sind die Spalten von T die Vektoren, welche den Hauptachsen die Richtung geben. Gruß Artur Koehler (alias pendragon302) Literatur: Rep. der Linearen Algebra II, Holz Wille [Edit] \(\endgroup\) [Show outline only] Get link to this article   Printer-friendly version -  Choose languageDE EN     Comments   pdf-Datei zum Artikel öffnen, 227 KB, vom 22.10.2008 21:53:38, bisher 13050 Downloads Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen: : Lineare Algebra :: Hauptachsentransformation :: Grundstudium Mathematik :: Analytische Geometrie :: Kegelschnitte : Hauptachsentransformation [von pendragon302]   Mit diesem Artikel möchte ich euch zeigen, wie man eine Hauptachsentranformation durchführt. Zunächst zeige ich euch allgemein, also im IR^n, eine Hauptachsentransformation. Weil ich aber nicht vorhabe, jedes kleinste Detail zu beweisen, muss ich ein paar Ke ... [Edit] [Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

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"Mathematik: Hauptachsentransformation" | 9 Comments

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Re: Hauptachsentransformation von: Wauzi am: Mo. 18. Juli 2005 00:45:38

\(\begingroup\)Gut gemacht. Selten findet man die Hauptachsentransformation aus dieser Blickrichtung. Meist ist es doch ein theoretischer Ansatz, der möglichst allgemein einen allgemeinen Vorgang ganz allgemein beschreibt. Wie schön, auch einmal gezeigt zu bekommen, was man konkret damit anfangen kann. Dies sollte sich so mancher Dozent der LA I einmal ansehen. Theorie ist schön und auch gut, aber eine passende Anwendung als Motivation ist eindeutig besser. Ganz dickes Lob. Wauzi \(\endgroup\)