Trägheitsmomente beziehen sich immer auf (Koordinaten-)Achsen, daher müssen wir über die folgenden Koordinatensysteme einige Worte verlieren. Wir benutzen "rechtsdrehende" Koordinatensysteme (rechte-Hand-Regel, 3-Finger-Regel der rechten Hand), wobei man sich die Richtung der dritten Koordinatenachse nach der "Schraubenregel" verdeutlichen kann. Wenn z.B. die x-Achse gegen den Uhrzeigersinn auf die y-Achse gedreht wird, "schaut" die positive z-Achse aus der Zeichenebene heraus und wird graphisch durch einen Punkt gekennzeichnet. Die entgegengesetzte Richtung ("schaut" in die Ebene hinein) wird graphisch durch ein Kreuz gekennzeichnet.
Im unten gezeigten Bild zeigt die positive x- sowie z-Achse aus der Zeichenebene heraus und die positive y-Achse in die Zeichenebene hinein.
Widmen wir uns jetzt aber dem eigentlichen Problem, dem Ermitteln von Massenträgheitsmomenten. Das Massenträgheitsmoment J eines Körpers ist definiert als
\red\frameon
\ll(1) J=int(r^2,m,M,)
\frameoff
wobei M die gesamte Masse des Körpers und r der lotrechte Abstand des Massenelements dm zur betrachteten Achse ist. r steht somit senkrecht auf der Achse und ist damit \stress\ nicht \normal\ zwangsläufig der Ortsvektor vom Koordinatenursprung zum Massenelement, und auch \stress\ nicht \normal\ zwangsläufig der evtl. Radius einer Kugel oder eines Zylinders.
Um Verwechselungen zu vermeiden, ist es daher ratsam, die aus ref(1) folgende Definition zu benutzen.
\red\frameon
\ll(1.1) J_x= int((y^2+z^2),m,M,)
\ll(1.2) J_y= int((x^2+z^2),m,M,)
\ll(1.3) J_z= int((x^2+y^2),m,M,)
\frameoff
Bevor wir mit konkreten Beispielen starten, benötigen wir noch zwei Hilfsmittel und eine Anmerkung.
\stress\ Der Satz von Steiner.
Wenn das Trägheitsmoment J_SP bezogen auf eine Achse, die durch den Schwerpunkt geht, bekannt ist, dann kann man das Trägheitsmoment J bzgl. einer dazu parallelen Achse wie folgt berechnen.
\red\frameon
\ll(2) J=J_SP+M d^2
\frameoff
wobei M die Gesamtmasse und d der Abstand der Achsen ist.
Da die Trägheitsmomente nichts anderes als eine Summe über unendlich viele Massenelemente dm sind, können wir diese Summe in Teilsummen aufspalten, die man beliebig addieren und subtrahieren kann (unter Beachtung des Steiner\-Anteils). D.h., man kann z.B. das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders durch Subtraktion zweier Zylinder mit Außenradius und Innenradius berechnen.
Anmerkung: Bei allen betrachteten Körpern setzen wir Homogenität, also eine konstante Dichte voraus.
nach oben
\stress\ Jetzt starten wir aber endlich mit konkreten Beispielen:
\red\big\ Zylinder(schlanker Stab, dünne Scheibe, Hohlzylinder)
\blue\big\ Zylinder
Gegeben ist ein Zylinder \(Abb. s.o.) mit Masse M, Radius R, Länge L und Dichte \rho.
Das Trägheitsmoment bezogen auf die z\-Achse ist nach ref(1.3) J_z,SP= int((x^2+y^2),m,M,)
Um es zu berechnen, wählen wir Zylinderkoordinaten.
x=r cos(\phi) , y=r sin(\phi) , z=z
mit 0<=r<=R , 0<=\phi<2\pi und -L/2<=z<=L/2
Es gilt: x^2+y^2=r^2
Für das Massenelement dm gilt: dm=\rho dV
Für das Volumenelement dV gilt: dV= r dr d\phi dz
Dann gilt:
J_z,SP=\rho int(int(int(r^3,r,0,R),\phi,0,2\pi),z,-L/2,L/2)=\rho R^4/4 2\pi L=1/2 \rho L \pi R^4
Mit M=\rho L \pi R^2 folgt:
\blue\ll(3.1) J_z,SP=1/2 M R^2
Um J_x,SP und J_y,SP zu berechnen, nutzen wir die Symmetrie
J_x,SP=J_y,SP=>J_x,SP=1/2 (J_x,SP+J_y,SP)
Mit ref(1.1) und ref(1.2) folgt:
J_x,SP=1/2 (int((y^2+z^2),m,M,)+ int((x^2+z^2),m,M,))=1/2 int((x^2+y^2+2z^2),m,M,)=>
J_x,SP=1/2 int((x^2+y^2),m,M,)+int(z^2,m,M,)=1/2 J_z,SP +int(z^2,m,M,)=1/4 M R^2+int(z^2,m,M,)
int(z^2,m,M,)=\rho int(int(int(z^2 r,r,0,R),\phi,0,2\pi),z,-L/2,L/2)=\rho R^2/2 2\pi 2/3 (L/2)^3=>
int(z^2,m,M,)=1/12 \rho \pi R^2 L^3=1/12 M L^2
Dies führt zu
J_x,Sp=J_y,SP=1/4 M R^2+1/12 M L^2=>
\blue\ll(3.2)J_x,Sp=J_y,SP=1/12 M (L^2+3R^2)
\blue\big\ schlanker Stab
Für den schlanken Stab gilt: R<nach oben
\
\red\big\ Kugel (Hohlkugel)
\blue\big\ Kugel
Für die Berechnung möchte ich Euch zwei Möglichkeiten zeigen. Erstens die Integration unter Verwendung des Volumenintegrals, und zweitens die Integration eines schon bekannten Trägheitsmoments.
\light\ Die erste Möglichkeit:
Wir wählen zweckmäßigerweise Kugelkoordinaten
x=r cos(\phi) sin(\theta) , y=r sin(\phi) sin(\theta) , z=r cos(\Theta)
mit 0<=r<=R , 0<=\phi<2\pi und 0<=\theta<=\pi
Ausnutzen der Symmetrie J_x,SP=J_y,SP=J_z,SP=J_SP $ergibt:
J_SP=1/3 (J_x,SP+J_y,SP+J_z,SP)
Einsetzen von ref(1.1)\-||ref(1.3) $liefert
J_SP=1/3 (int((y^2+z^2),m,M,)+int((x^2+z^2),m,M,)+int((x^2+y^2),m,M,))=>
J_SP=2/3 int((x^2+y^2+z^2),m,M,)=2/3 int(r^2,m,M,)
Mit dm=\rho dV $und dV=r^2 sin(\theta) dr d\phi d\theta $folgt:
J_SP=2/3 \rho int(int(int(r^4 sin(\theta),r,0,R),\phi,0,2\pi),\theta,0,\pi)=>
J_SP=2/3 \rho (R^5/5 2\pi 2)=8/15 \rho \pi R^5
Mit M=\rho V=\rho 4/3 \pi R^3 $folgt:
\blue\ll(4.1) J_SP=2/5 M R^2
\light\Die zweite Möglichkeit:
\
Bei dieser Möglichkeit stellen wir uns vor, daß die Kugel aus unendlich vielen Scheiben mit dem Radius r(z) besteht. Das Trägheitsmoment ist dann:
J_z,SP=int(,J_(z\,SP\,Scheibe),,)
Mit ref(3.5) folgt:
J_z,SP=1/2 int(r^2(z),m,M,)
Pythagoras liefert: r^2(z)=R^2-z^2
Mit dm= \rho \pi r^2(z) dz $ergibt sich:
J_z,SP=1/2 \rho \pi int((R^2-z^2)^2,z,-R,R)=>
J_z,SP=1/2 \rho \pi int((R^4-2 R^2 z^2+z^4),z,-R,R)=>
J_z,SP=1/2 \rho \pi (2 R^5-4/3 R^5+2/5 R^5)=>
J_z,SP=8/15 \rho \pi R^5
Mit M=\rho 4/3 \pi R^3 $folgt:
J_z,SP=2/5 M R^2
Symmetrie liefert J_SP=J_x,Sp=J_y,Sp=J_z,Sp=>
\blue\ll(4.1)J_SP=2/5 M R^2
\blue\big\ Hohlkugel
Die Hohlkugel läßt sich \(analog zum Hohlzylinder) durch Subtraktion einer Kugel mit Innenradius R_i und Masse M_i von einer Kugel mit Außenradius R_a und Masse M_a berechnen.
Aus ref(4.1) folgt:
J_SP=2/5 (M_a R_a^2-M_i R_i^2)
mit M_a=\rho 4/3 \pi R_a^3 und $M_i=\rho 4/3 \pi R_i^3 $folgt:
J_SP=\rho 8/15 \pi (R_a^5-R_i^5)
mit M=\rho 4/3 \pi (R_a^3-R_i^3) $folgt:
\blue\ll(4.2) J_SP=2/5 M (R_a^5-R_i^5)/(R_a^3-R_i^3)
\blue\big\ dünnwandige Hohlkugel
Für eine dünnwandige Hohlkugel gilt: $R_i~=R_a~=R
Setzt man dies in ref(4.2) ein, erhält man 0\/0, sodaß man keine Aussage machen kann und den Term umformen muß.
Polynomdivision ergibt:
(R_a^5-R_i^5)/(R_a-R_i)=R_a^4+R_i R_a^3+R_i^2 R_a^2+R_i^3 R_a+R_i^4 $und
(R_a^3-R_i^3)/(R_a-R_i)=R_a^2+R_i R_a+R_i^2=>
(R_a^5-R_i^5)/(R_a^3-R_i^3)=(R_a^4+R_i R_a^3+R_i^2 R_a^2+R_i^3 R_a+R_i^4)/(R_a^2+R_i R_a+R_i^2)=>
(R_a^5-R_i^5)/(R_a^3-R_i^3)=5/3 R^2 $mit R_i~=R_a~=R
Dann folgt mit ref(4.2)
\blue\ll(4.3) J_SP=2/3 M R^2
\red\frameon
\red\stress\ Kugel
\ll(4.1) J_SP=2/5 M R^2
\red\stress\ Hohlkugel
\ll(4.2) J_SP=2/5 M (R_a^5-R_i^5)/(R_a^3-R_i^3)
\red\stress\ dünnwandige Hohlkugel (R_i~=R_a~=R)
\ll(4.3) J_SP=2/3 M R^2
\frameoff
nach oben
\red\big\ Kegel
\
Gegeben ist ein Kegel mit Masse M, Radius R und Höhe H.
Um die Trägheitsmomente J_x, J_y und J_z, bezogen auf ein Koordinatensystem, welches in der Kegelspitze liegt, zu berechnen, nutzen wir wieder die bekannten Trägheitsmomente der Scheibe.
J_z=int(,J_(z\,SP\,Scheibe),,)
Mit ref(3.5) folgt:
J_z=1/2 int(r^2(z),m,M,)
Mit dm=\rho \pi r^2(z) dz $und r(z)/z=R/H $folgt:
J_z=1/2 \rho \pi (R/H)^4 int(z^4,z,0,H)=>
J_z=1/2 \rho \pi (R/H)^4 1/5 H^5=1/10 \rho \pi R^4 H
Mit M=\rho V=1/3 \rho \pi R^2 H $folgt:
\blue\ll(5.1) J_z=3/10 M R^2
Um J_x und J_y zu berechnen, greifen wir wieder auf die Scheibe zurück und erhalten unter Berücksichtigung des Steiner\-Anteils mit ref(3.6) und ref(2)
J_x=J_y=int(,J_(x\,SP\,Scheibe),,)+int(z^2,m,M,)=1/4 int(r^2(z),m,M,)+int(z^2,m,M,)=>
J_x=J_y=1/2 J_z+int(z^2,m,M,)
int(z^2,m,M,)=\rho \pi int(r^2(z) z^2,z,0,H)=>
int(z^2,m,M,)=\rho \pi (R/H)^2 int(z^4,z,0,H)=>
int(z^2,m,M,)=1/5 \rho \pi R^2 H^3
Mit M=1/3 \rho \pi R^2 H $folgt
int(z^2,m,M,)=3/5 M H^2
Dann ergibt sich für J_x und J_y
J_x=J_y=1/2 3/10 M R^2+3/5 M H^2=>
\blue\ll(5.2) J_x=J_y=3/20 M (R^2+4 H^2)
\red\frameon
\red\stress\ Kegel
\ll(5.1) J_z=3/10 M R^2
\ll(5.2) J_x=J_y=3/20 M (R^2+4 H^2)
\frameoff
nach oben
\
\red\big\ Quader (dünnes Brett)
\blue\big\ Quader
\
Gegeben ist der oben abgebildete Quader mit der Masse M und den Kantenlängen a, b und c.
Für J_x,SP ergibt sich mit ref(1.1):
J_x,SP=int((y^2+z^2),m,M,)
Mit dm=\rho dx dy dz folgt:
J_x,SP=\rho int(int(int((y^2+z^2),x,-a/2,a/2),y,-b/2,b/2),z,-c/2,c/2)=>
J_x,SP=\rho int(int((y^2 a+z^2 a),y,-b/2,b/2),z,-c/2,c/2)=>
J_x,SP=\rho int((1/12 b^3 a+z^2 a b),z,-c/2,c/2)=>
J_x,SP=\rho (1/12 b^3 a c+1/12 c^3 a b)=>
J_x,SP=1/12 \rho a b c (b^2+c^2)
Mit M=\rho a b c folgt:
\blue\ll(6.1) J_x,SP=1/12 M (b^2+c^2)
Um J_y,SP zu berechnen, muß in ref(6.1) nur die Länge b gegen die Länge a ausgetauscht werden, und es ergibt sich:
\blue\ll(6.2) J_y,SP=1/12 M (a^2+c^2)
Analog ergibt sich:
\blue\ll(6.3) J_z,SP=1/12 M (a^2+b^2)
\blue\big\ dünnes Brett
Für das Brett gilt: c<nach oben
\red\big\ Dreieck\-Profil
\
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck\-Profil mit der Grundseite G, Höhe H und Länge L. Das KO\-System liegt in der Ecke mit dem rechten Winkel.
Die Geradengleichung für die Hypotenuse ist z(y)=H(1-y/G).
Mit dm=\rho dx dy dz und ref(1.1) folgt für J_x:
J_x=\rho int(int(int((y^2+z^2),x,-L/2,L/2),z,0,H(1-y/G)),y,0,G)=>
\small\(da z=z(y), muß erst über z und dann über y integriert werden)
J_x=\rho L int(int((y^2+z^2),z,0,H(1-y/G)),y,0,G)=>
J_x=\rho L int((H (1-y/G) y^2+1/3 H^3 (1-y/G)^3),y,0,G)=>
J_x=\rho L (H 1/12 G^3+1/3 H^3 1/4 G)=>
J_x=1/24 \rho L G H (2 G^2+2 H^2)
mit M=\rho 1/2 L G H folgt:
\blue\ll(7.1) J_x= 1/12 M (2 G^2+2 H^2)
Für J_y folgt mit ref(1.2):
J_y=\rho int(int(int((x^2+z^2),x,-L/2,L/2),z,0,H(1-y/G)),y,0,G)=>
J_y=\rho int(int((1/12 L^3 +L z^2),z,0,H(1-y/G)),y,0,G)=>
J_y=\rho int((1/12 L^3 H (1-y/G)+L 1/3 H^3 (1-y/G)^3),y,0,G)=>
J_y=\rho (1/12 L^3 H 1/2 G+L 1/3 H^3 1/4 G)=>
J_y=1/24 \rho L G H (L^2+2 H^2)
Mit M=\rho 1/2 G H L folgt:
\blue\ll(7.2) J_y= 1/12 M (L^2+2 H^2)
Für J_z folgt mit ref(1.3):
J_z=\rho int(int(int((x^2+y^2),x,-L/2,L/2),z,0,H(1-y/G)),y,0,G)=>
J_z=\rho int(int((1/12 L^3 +L y^2),z,0,H(1-y/G)),y,0,G)=>
J_z=\rho int((1/12 L^3 H (1-y/G)+L H (1-y/G) y^2),y,0,G)=>
J_z=\rho (1/12 L^3 H 1/2 G+L H 1/12 G^3)=>
J_z=1/24 \rho L G H (L^2+2 G^2)
Mit M=\rho 1/2 G H L folgt:
\blue\ll(7.3) J_z= 1/12 M (L^2+2 G^2)
\red\frameon
\red\stress\ Dreieck\-Profil
\ll(7.1) J_x=1/12 M (2 G^2+2 H^2)
\ll(7.2) J_y=1/12 M (L^2+2 H^2)
\ll(7.3) J_z=1/12 M (L^2+2 G^2)
nach oben
\red\big\ I\-Profil
Im letzten Abschnitt möchte ich die Vorgehensweise für komplexere Körper vorstellen, deren Trägheitsmomente man nur sehr schwer bzw. gar nicht durch direkte Integration berechnen kann. Hier bleibt nur der Weg, die betrachteten Körper in Körper mit schon bekannten (bzw. leichter zu berechnenden) Trägheitsmomenten zu zerlegen. Das resultierende Trägheitsmoment erhält man dann durch Addition bzw. Subtraktion oder Integration der einzelnen Trägheitsmomente unter Beachtung der jeweiligen Steiner-Anteile.
Stellvertretend für die vielen Profile (I, Z, L, T, U, ...) möchte ich hier das I-Profil vorstellen.
\
Das oben abgebildete I\-Profil kann man sich als einen großen Quader der Breite B, Höhe H und Länge L vorstellen, von dem zwei kleine Quader der Breite b=1/2 (B-t), Höhe h=H-2 t und Länge L abgezogen werden.
Der Schwerpunktsabstand der kleinen Quader vom Gesamtschwerpunkt beträgt d=1/2 (b+t).
Kennzeichnen wir das Trägheitsmoment für den großen Quader mit dem Index 1 und für die kleinen Quader mit dem Index 2, dann ergibt sich unter Beachtung der Symmetrie:
J_x,SP=J_x,1-2 J_x,2
J_y,SP=J_y,1-2 J_y,2
J_z,SP=J_z,1-2 J_z,2
Mit ref(6.1)\-||ref(6.3) gilt:
J_x,1=1/12 M_1 (H^2+L^2)=1/12 \rho B H L (H^2+L^2)
J_y,1=1/12 M_1 (B^2+L^2)=1/12 \rho B H L (B^2+L^2)
J_z,1=1/12 M_1 (B^2+H^2)=1/12 \rho B H L (B^2+H^2)
Analog ergibt sich unter Beachtung der Steiner\-Anteile ref(2):
J_x,2=1/12 M_2 (h^2+L^2)+ 0=1/12 \rho b h L (h^2+L^2)
J_y,2=1/12 M_2 (b^2+L^2)+ M_2 d^2=1/12 \rho b h L (b^2+L^2+12 d^2)
J_z,2=1/12 M_2 (b^2+h^2)+ M_2 d^2=1/12 \rho b h L (b^2+h^2+12 d^2)
Damit ergibt sich:
J_x,SP=1/12 \rho B H L (H^2+L^2)-2/12 \rho b h L (h^2+L^2)=>
J_x,SP=1/12 \rho L (B H (H^2+L^2)-2 b h (h^2+L^2))
J_y,SP=1/12 \rho B H L (B^2+L^2)-2/12 \rho b h L (b^2+L^2+12 d^2)=>
J_y,SP=1/12 \rho L (B H (B^2+L^2)-2 b h (b^2+L^2+12 d^2))
J_z,SP=1/12 \rho B H L (B^2+H^2)-2/12 \rho b h L (b^2+h^2+12 d^2)=>
J_z,SP=1/12 \rho L (B H (B^2+H^2)-2 b h (b^2+h^2+12 d^2))
Aus M= \rho B H L- 2 \rho b h L=\rho L (B H-2 b h) folgt \rho L=M/(B H-2 b h).
Damit erhält man letztendlich:
\blue\ll(8.1) J_x,SP=1/12 M (B H (H^2+L^2)-2 b h (h^2+L^2))/(B H-2 b h)
\blue\ll(8.2) J_y,SP=1/12 M (B H (B^2+L^2)-2 b h (b^2+L^2+12 d^2))/(B H-2 b h)
\blue\ll(8.3) J_z,SP=1/12 M (B H (B^2+H^2)-2 b h (b^2+h^2+12 d^2))/(B H-2 b h)
\red\frameon
\red\stress\I\-Profil
\ll(8.1) J_x,SP=1/12 M (B H (H^2+L^2)-2 b h (h^2+L^2))/(B H-2 b h)
\ll(8.2) J_y,SP=1/12 M (B H (B^2+L^2)-2 b h (b^2+L^2+12 d^2))/(B H-2 b h)
\ll(8.3) J_z,SP=1/12 M (B H (B^2+H^2)-2 b h (b^2+h^2+12 d^2))/(B H-2 b h)
mit b=1/2 (B-t) , h=H-2 t , d=1/2 (b+t)
\frameoff
nach oben
_____________________________________________________________________________________
Wenn dieser Artikel ein paar Leuten hilft, die Herleitung der Trägheitsmomente zu verstehen, dann hat er seinen Zweck erfüllt.
Dank Thomas (alias Tigger ) aus der AG Artikel LaTeXen steht dieser Artikel auch als PDF zur Verfügung.
(Die pdf weist einen Fehler bei der Achsbeschriftung auf. Siehe Kommentar von AdalbertHuebner vom 06.07.2015)
Allen MP-Bewohnern wünsche ich noch einen schönen Sommer.
Liebe Grüße
Georg
(alias KingGeorge)
nach oben
Der Autor möchte Euch in diesem Artikel die gängigsten Massenträgheitsmomente vorstellen, die in der Mechanik unerlässlich sind. In der Überschrift hat er eine Klammer um das Wort Masse gesetzt, weil diese Berechnungen und "Tricks" auf (Flächen-)Trägheitsmomente übertragbar sind.
\(\begingroup\)Hallo,
Kritik (pos. als auch neg.) ist erwünscht.
Wenn jemand Verbesserungsvorschläge hat oder meint es fehlen noch ein paar MTM's dann soll sie/er es sagen.
Scheut euch auch nicht Rechtschreibfehler, auch wenn sie noch so peinlich sind, zu offenbaren.
lg
Georg\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Georg,
ein gelungener Artikel (den ich eigentlich selbst mal schreiben wollte).
Ergänzungsvorschläge zu weiteren MTM's habe ich nicht.
Evtl. könntest du die Überschriften "Stab" und "Scheibe" modifizieren: "Dünner Stab" bzw. "Dünne Scheibe". Aber das ist eine Stilfrage, da du ja gleich nach der Überschrift selbst die Eingrenzungen R << L bzw. L << R vornimmst.
Wegen deiner Aufforderung, Rechtschreibfehler zu offenbaren, habe ich mir erlaubt, die 8 fehlenden Kommata selbst zu ergänzen und auch einen Rechtschreibfehler zu korrigieren.
Gruß
Rebecca\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Rebecca,
Danke für die Korrekturen und Vorschläge.
Die Modifizierung der Überschriften habe ich vorgenommen. Das ist besser. Dadurch wird gleich deutlich was gemeint ist.
lg
Georg
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo, Georg,
nicht nur ein astreiner Artikel, sondern auch eine Bereicherung für das große Archiv, das die Artikel des Planeten mittlerweile bilden. So wird Planetariern und solchen, die im Internet verzweifelt nach bestimmten Erklärungen und Herleitungen suchen, eine wirkliche Fundgrube geboten. Insbesondere Arbeiten wie diese und Grundlagentexte wie die von Artur ermöglichen es immer mehr, bei anderen Artikeln und Fragen im Forum auf diese Arbeiten zu verweisen.
Grüße
Site\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@ King George: Thx für den Artikel, wirklich gut! Der Artikel ist Grundlage für ca 50% meiner Facharbeit, ohne den wär ich ziemlich am Ende.... ;)
MfG, Retard\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Alex,
Es freut mich, daß ich dir helfen konnte.
Als ich in deinem Alter war, war ich froh zu verstehen, was eine Ableitung ist. Wenn ich also sehe womit du dich beschäftigst, kann ich nur sagen : Respekt.
lg
Georg\(\endgroup\)
\(\begingroup\)EIne Frage, giobt es eine einfache Näherung, um aud dem Flächenmoment 1. bzw. 2. Ordnung und der Masse/Dichte eoines Körpers das Massenträgheitsmoment zu errechnen?
Ich hoffe auf antwort, und sage bereits DANKE!\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Anonymous,
mir sind keine Näherungen bekannt.
Man könnte lediglich aus dem Moment 2-ter Ordnung auf das Massenträgheitsmoment schließen, wenn man dort eine Dimension vernachlässigt.
z.B.: Moment 2-ter Ordnung für einen Kreis : I = 1 / 4 A R^2
MTM für eine dünne Scheibe : J = 1 / 4 m R^2
lg
Georg\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo!
Erstmal muss ich sagen ein klasse Beitrag zum Theman Massenträgheitsmomente! Kann mir vieleicht jemand helfen bei der Berechnung der Massenträgheitsmomente der zwei möglichen Doppelkegel (Fall 1: die Kegel berühren sich an der Spitze, Fall 2: Die zwei Kegel teilen sich die Bodenfläche) ? Mit zu berücksichtigen wäre auch noch der Fall, dass die zwei Kegel aus unterschiedlichem Material bestehen könnten (aber da müssten ja dann nur die Werte für die Dichte Einfluss haben) Ich hab leider keine AHnung wie ich da Anfangen soll....wär jedenfalls sehr nett wenn mir jemand helfen könnte. Danke und Gruß Mathias\(\endgroup\)
von: KingGeorge am: Mi. 22. November 2006 22:19:20
\(\begingroup\)Hallo Mathias,
da Integrale nichts anderes als Summen über unendlich viele Elemente sind, kannst du die Trägheitsmomente in deinem Fall einfach addieren.
Wenn das Koordinatensystem nicht in der Spitze sondern in der Grundfläche des Kegels liegt, kannst du die Momente mit dem Satz von Steiner berechnen.
Da wir auf dem MP ein Forum haben, in dem man auch hervorragend Formeln posten kann, würde ich vorschlagen, daß du dich für detaillierte Nachfragen dort meldest.
lg
Georg
P.S.: Die Anmeldung im Forum ist kostenlos, verpflichtet zu nichts und tut nicht weh. 😉\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Moin Georg,
ich bin zwar Physikingenieur, aber das ist lange her.
Wie ist die Formel für das Trägheitsmoment einer Stange mit einer Masse (Kugel) am anderen Ende. Drehachse ist das leichte Ende.
Gruß, Toni\(\endgroup\)
\(\begingroup\) Hallo Toni,
du kannst die beiden Momente einfach addieren.
Also Moment der Stange J_Stange=1/12 m_Stange L^2+m_Stange (L/2)^2 +
Moment der Kugel J_Kugel=2/5 m_Kugel R^2+m_Kugel (L+R)^2 ,
wobei du den Steiner-Anteil nicht vergessen darfst.
lg
Georg
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo!
Ich habe das Gefühl, dass bereits in den ersten Herleitungszeilen ein kleiner Fehler ist. Für das Trägheitsmoment eines Vollzylinders, der um eine Achse rotiert, die senkrecht zur Symmetrieachse steht und durch seinen Schwerpunkt geht (hier: Jy bzw. Jz) sind als Integrationsgrenzen für die Länge des Zylinders (L/2) und (-L/2) angegeben. Setzt man das in 1/3 L^3 ein und beachtet "obere Grenze minus untere Grenze" dann man damit aber nicht auf (L/2)^3. Wie lauten denn die richtigen Grenzen? Von 0 bis (L/2)?
Beste Grüße,
Lukas\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Lukas,
du täuscht dich. 😉
int(z^2,z,-L/2,L/2)=stammf(1/ 3 z^3,-L/2,L/2)=1/3 (L/2)^3-1/3 (-L/2)^3=2/3 (L/2)^3
Das steht so im Artikel und ist korrekt.
lg
Georg
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)hallo,
ich hab mal eine frage zu dem trägheitsmoment des kegels.
und zwar versteh ich nicht, wie man von (1/10)*pi*p*R^4*H auf (3/10)m*R^2 kommt. kann mir das jemand kurz erklären, das wär ganz toll!!
lg alice\(\endgroup\)
\(\begingroup\) Hallo Alice,
das folgt aus der Formel für die Masse M eines Kegels
M=Dichte*Volumen_Kegel=\rho*V_Kegel=\rho*(1/3 \pi R^2 H)=>
\rho=(3 M)/(\pi R^2 H)
Das mußt du jetzt nur noch in die Formel für J_z=1/10 ... einsetzen.
lg
Georg
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)sorry,
da muss ich nochmal nachhaken.
wenn ich habe: (1/10)*pi*p*R^4*H und dann V=(1/3)*pi*R^2*H einsetzen will, sollte doch da stehen: (1/10)-(1/3)*p*V*R^2
es ist aber nur: (1/10)*p*V*R^2
was passiert mit dem (1/3) ?\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Alice,
1) Nein, du ersetzt rho , dann steht da 1/10*3 ...
2) Da das sehr wahrscheinlich auch andere interessiert wäre es ratsam im Mechanik-Forum einen neuen Thread zu eröffnen!
3) Warum hast du dich denn gleich nach deiner Frage wieder vom MP abgemeldet. 😵
lg
Georg\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo steph,
der Quader hat die Kantenlängen a,b und c. Das Koordinatensystem liegt im Schwerpunkt. Also sind die Integrationsgrenzen
-a/2<=x<=a/2 , -b/2<=y<=b/2 , -c/2<=z<=c/2
Ob man zuerst über x oder y oder z integriert ist egal, da die Integrationsgrenzen unabhängig voneinander sind.
lg
Georg\(\endgroup\)
\(\begingroup\)ok, wie wäre das dann zb beim würfel? auch bei -a/2 angefangen? und bestimmt man das volumen dann auch durch ein dreifachintegral, obwohl man ja nur eine seitenlänge hat?\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo,
ja, auch beim Würfel hat man ein Dreifachintegral.
"Er" ist ja schließlich auch ein dreidimensionales "Gebilde".
Man hat lediglich 3 mal identische Integrationsgrenzen.
lg
Georg\(\endgroup\)
\(\begingroup\)"de gustibus discutandum " :
Die formale 0 / 0 Undeterminierung ( siehe Formel 4.2, Dünne Körper ) lässt sich auch durch L'Hospital - Methode, zwar ableitend in den Zähler und Nenner der Brücke beseitigen ...
lohnt sich erwähnt zu sein, Endergebnisse dieselbe, nur Zahlenwerk etwa eleganter ! 😉
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)ich danke dir! man findet nichts anderes im internet, was besser ist! gute arbeit und viel viel dank für die mühe!
lg ein physiker\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Kann jemand mir die Formel für das Trägheitsmoment eines Quaders, dessen Drehachse einen Winkel von 45° mit der Schwerpunktachse hat?
hier ein Bild:
http://s7.directupload.net/images/120204/76cz3xas.png
Danke im Voraus.
Harald
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Leute,
das würde mich auch interessieren. Leider konnte ich es allerdings nicht nachvollziehen, wie ich zur Gleichung komme.
J von Quader ist kein Problem. Jedoch konnte ich für Harald's Bild keine Gleichung aufstellen. Gruß, Frank
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Erstmal großen Respekt für den tollen Artikel - hat mir sehr beim Verständnis geholfen!
Was mir jedoch noch nicht ganz klar ist, ist folgender Schritt (beim Beispiel mit dem Zylinder):
Um J_x,SP und J_y,SP zu berechnen, nutzen wir die Symmetrie
J_x,SP=J_y,SP=>J_x,SP=1/2 (J_x,SP+J_y,SP)
Wie kommt man darauf, dass J_x,SP=1/2 (J_x,SP+J_y,SP)
ist? Ich glaub ich seh hier grad den Wald vor lauter Bäumen nicht...
Schöne Grüße
Bernhard
\(\endgroup\)
von: KingGeorge am: Sa. 24. November 2012 18:56:33
\(\begingroup\) Hallo Bernhard,
das folgt aus
2 J_x,SP=J_x,SP +J_x,SP
ersetzen eines J_x,SP durch J_y,SP auf der rechten Seite ergibt
2 J_x,SP=J_x,SP +J_y,SP=>
J_x,SP=1/2 (J_x,SP +J_y,SP)
lg
Georg
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Mhm, vielleicht sollte man beim Kreiskegel verdeutlichen, dass es sich nicht um die Hauptträgheitsmomente handelt, also vorallem 5.2.
Hat mich viel Mühe gekostet zu checken, warum ich nicht auf dein Ergebnis komme, bis ich gemerkt habe, dass ich mich auf den Schwerpunkt beziehen wollte und du dich auf die Spitze bezogen hast :D
Gerade weil du dich im restlichen Artikel immer auf die Schwerpunkte bezogen hast.
Grüße Verrain
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo,
Wer was zum Thema "rauskriegen" will, ist hier richtig.
Straighte Mathematik und jede Menge aus der Trickkiste -
herrlich. Ich mag die "DOSige" Web-Version fast noch lieber
als die "schicke" pdf. Vielen Dank aber für beide - soviel
Wissen frei Haus - unbezahlbar.
Gruß AH
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Georg,
ist auch keiner...war nur zu faul, noch mal nach
oben zu 3.6 zu scrollen (bin hier mit meinem
Smartphone unterwegs) und das mit der dünnen
Scheibe und dem Steiner-Anteil zu checken
und dachte daher, da würde anstatt dJx,sp
(dJz,sp)/2 hingehören. Krass, was
man da alles veranstalten kann...
Demütigst, AH\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Anonymous,
meinen Namen habe ich gewählt,
weil den wahrscheinlich noch
keiner hat - soll 'n bisschen
lustig sein. Wissenschaftler...
...ja, aber kein Genie. Es arbeitet
ja auch nicht jeder Mechaniker
bei Ferrari. Mathemäßig gibt's
hier viele stärkere, glaub' ich.
Die Artikel hier sind, wie bereits
erwähnt, unbezahlbar. Dank und
Gruß
AH\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo,
die pdf-Version weist bei der Erläuterung zur "Verquerung der Achsen im Raum" eingangs des Artikels beim dritten Bildchen einen Fehler auf -
die Achsen sind falsch bezeichnet.
Hab'dazu ein Bild hochgeladen, wie hängt man das hier an
per Smartphone-Androiden ?
Gruß AH
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/43213_AchsenFehler.png\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo AH,
danke für den Hinweis. Ich werde in der web-Version einen Hinweis auf den Fehler mit Verweis auf deinen Kommentar einstellen.
Gruß
Georg\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo KingGeorge,
ich hab' da noch'n paar Makel in der pdf-Datei entdeckt -
aber sieh selbst...
Ich werde die Datei in der nächsten Zeit nach und nach weiterlesen,
soll ich etwaige Fehler weiter reporten ?
Gruß AH
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/43213_FehlendeL.PNG\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo AH,
ja, wenn du weitere Fehler findest, poste sie bitte.
Ich warte dann mit der Korrektur oder den Hinweisen auf die Fehler noch ein bisschen.
Gruß
Georg\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo,
hier bin ich wieder,
nachdem ich mir die Kugel gegeben habe.
Hoffe, es ist verständlich, das Bild.
Gruß AH
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/43213_dz.png\(\endgroup\)
\(\begingroup\)a ha,
das theta im zweiten bild im bild ist zwar etwas undeutlich,
aber ansonsten ist alles soweit gut erkennbar,
vielleicht sollte man eine andere korrekturfarbe verwenden?
orange oder lila zum beispiel...\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo,
bin jetzt durch bis zum/vor/bei Quader...
Gruß AH
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/43213_HochA.png\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo,
eine Alternative zur Rechnung da oben,
kurz und formlos notiert...
(Ra^5-Ri^5)/(Ra^3-Ri^3)
=f1(Ri)/f2(Ri) mit Ri->Ra
l'Hospital
=(-5*Ri^4)/(-3*Ri^2) = 5/3*Ri^2
...Ri in R umtaufen, fertig.
Gruß AH
Bin jetzt bis vor'm I-Profil, liest sich gut... \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo,
hab' fertig,
hier meine letzten Kriteleien
und als Zugabe eine kleine Abhandlung von mir.
Gruß AH
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/43213_Fertig.png
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/43213_Erkl_rb_r.png\(\endgroup\)
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
Printer-friendly version
Widmen wir uns jetzt aber dem eigentlichen Problem, dem Ermitteln von Massenträgheitsmomenten. Das Massenträgheitsmoment J eines Körpers ist definiert als
\red\frameon
\ll(1) J=int(r^2,m,M,)
\frameoff
wobei M die gesamte Masse des Körpers und r der lotrechte Abstand des Massenelements dm zur betrachteten Achse ist. r steht somit senkrecht auf der Achse und ist damit \stress\ nicht \normal\ zwangsläufig der Ortsvektor vom Koordinatenursprung zum Massenelement, und auch \stress\ nicht \normal\ zwangsläufig der evtl. Radius einer Kugel oder eines Zylinders.
Um Verwechselungen zu vermeiden, ist es daher ratsam, die aus ref(1) folgende Definition zu benutzen.
\red\frameon
\ll(1.1) J_x= int((y^2+z^2),m,M,)
\ll(1.2) J_y= int((x^2+z^2),m,M,)
\ll(1.3) J_z= int((x^2+y^2),m,M,)
\frameoff
Bevor wir mit konkreten Beispielen starten, benötigen wir noch zwei Hilfsmittel und eine Anmerkung.
\stress\ Der Satz von Steiner.
Wenn das Trägheitsmoment J_SP bezogen auf eine Achse, die durch den Schwerpunkt geht, bekannt ist, dann kann man das Trägheitsmoment J bzgl. einer dazu parallelen Achse wie folgt berechnen.
\red\frameon
\ll(2) J=J_SP+M d^2
\frameoff
wobei M die Gesamtmasse und d der Abstand der Achsen ist.
Da die Trägheitsmomente nichts anderes als eine Summe über unendlich viele Massenelemente dm sind, können wir diese Summe in Teilsummen aufspalten, die man beliebig addieren und subtrahieren kann (unter Beachtung des Steiner\-Anteils). D.h., man kann z.B. das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders durch Subtraktion zweier Zylinder mit Außenradius und Innenradius berechnen.
Anmerkung: Bei allen betrachteten Körpern setzen wir Homogenität, also eine konstante Dichte voraus.
\blue\big\ Zylinder
Gegeben ist ein Zylinder \(Abb. s.o.) mit Masse M, Radius R, Länge L und Dichte \rho.
Das Trägheitsmoment bezogen auf die z\-Achse ist nach ref(1.3) J_z,SP= int((x^2+y^2),m,M,)
Um es zu berechnen, wählen wir Zylinderkoordinaten.
x=r cos(\phi) , y=r sin(\phi) , z=z
mit 0<=r<=R , 0<=\phi<2\pi und -L/2<=z<=L/2
Es gilt: x^2+y^2=r^2
Für das Massenelement dm gilt: dm=\rho dV
Für das Volumenelement dV gilt: dV= r dr d\phi dz
Dann gilt:
J_z,SP=\rho int(int(int(r^3,r,0,R),\phi,0,2\pi),z,-L/2,L/2)=\rho R^4/4 2\pi L=1/2 \rho L \pi R^4
Mit M=\rho L \pi R^2 folgt:
\blue\ll(3.1) J_z,SP=1/2 M R^2
Um J_x,SP und J_y,SP zu berechnen, nutzen wir die Symmetrie
J_x,SP=J_y,SP=>J_x,SP=1/2 (J_x,SP+J_y,SP)
Mit ref(1.1) und ref(1.2) folgt:
J_x,SP=1/2 (int((y^2+z^2),m,M,)+ int((x^2+z^2),m,M,))=1/2 int((x^2+y^2+2z^2),m,M,)=>
J_x,SP=1/2 int((x^2+y^2),m,M,)+int(z^2,m,M,)=1/2 J_z,SP +int(z^2,m,M,)=1/4 M R^2+int(z^2,m,M,)
int(z^2,m,M,)=\rho int(int(int(z^2 r,r,0,R),\phi,0,2\pi),z,-L/2,L/2)=\rho R^2/2 2\pi 2/3 (L/2)^3=>
int(z^2,m,M,)=1/12 \rho \pi R^2 L^3=1/12 M L^2
Dies führt zu
J_x,Sp=J_y,SP=1/4 M R^2+1/12 M L^2=>
\blue\ll(3.2)J_x,Sp=J_y,SP=1/12 M (L^2+3R^2)
\blue\big\ schlanker Stab
Für den schlanken Stab gilt: R<
\
Bei dieser Möglichkeit stellen wir uns vor, daß die Kugel aus unendlich vielen Scheiben mit dem Radius r(z) besteht. Das Trägheitsmoment ist dann:
J_z,SP=int(,J_(z\,SP\,Scheibe),,)
Mit ref(3.5) folgt:
J_z,SP=1/2 int(r^2(z),m,M,)
Pythagoras liefert: r^2(z)=R^2-z^2
Mit dm= \rho \pi r^2(z) dz $ergibt sich:
J_z,SP=1/2 \rho \pi int((R^2-z^2)^2,z,-R,R)=>
J_z,SP=1/2 \rho \pi int((R^4-2 R^2 z^2+z^4),z,-R,R)=>
J_z,SP=1/2 \rho \pi (2 R^5-4/3 R^5+2/5 R^5)=>
J_z,SP=8/15 \rho \pi R^5
Mit M=\rho 4/3 \pi R^3 $folgt:
J_z,SP=2/5 M R^2
Symmetrie liefert J_SP=J_x,Sp=J_y,Sp=J_z,Sp=>
\blue\ll(4.1)J_SP=2/5 M R^2
\blue\big\ Hohlkugel
Die Hohlkugel läßt sich \(analog zum Hohlzylinder) durch Subtraktion einer Kugel mit Innenradius R_i und Masse M_i von einer Kugel mit Außenradius R_a und Masse M_a berechnen.
Aus ref(4.1) folgt:
J_SP=2/5 (M_a R_a^2-M_i R_i^2)
mit M_a=\rho 4/3 \pi R_a^3 und $M_i=\rho 4/3 \pi R_i^3 $folgt:
J_SP=\rho 8/15 \pi (R_a^5-R_i^5)
mit M=\rho 4/3 \pi (R_a^3-R_i^3) $folgt:
\blue\ll(4.2) J_SP=2/5 M (R_a^5-R_i^5)/(R_a^3-R_i^3)
\blue\big\ dünnwandige Hohlkugel
Für eine dünnwandige Hohlkugel gilt: $R_i~=R_a~=R
Setzt man dies in ref(4.2) ein, erhält man 0\/0, sodaß man keine Aussage machen kann und den Term umformen muß.
Polynomdivision ergibt:
(R_a^5-R_i^5)/(R_a-R_i)=R_a^4+R_i R_a^3+R_i^2 R_a^2+R_i^3 R_a+R_i^4 $und
(R_a^3-R_i^3)/(R_a-R_i)=R_a^2+R_i R_a+R_i^2=>
(R_a^5-R_i^5)/(R_a^3-R_i^3)=(R_a^4+R_i R_a^3+R_i^2 R_a^2+R_i^3 R_a+R_i^4)/(R_a^2+R_i R_a+R_i^2)=>
(R_a^5-R_i^5)/(R_a^3-R_i^3)=5/3 R^2 $mit R_i~=R_a~=R
Dann folgt mit ref(4.2)
\blue\ll(4.3) J_SP=2/3 M R^2
\red\frameon
\red\stress\ Kugel
\ll(4.1) J_SP=2/5 M R^2
\red\stress\ Hohlkugel
\ll(4.2) J_SP=2/5 M (R_a^5-R_i^5)/(R_a^3-R_i^3)
\red\stress\ dünnwandige Hohlkugel (R_i~=R_a~=R)
\ll(4.3) J_SP=2/3 M R^2
\frameoff
\
Gegeben ist ein Kegel mit Masse M, Radius R und Höhe H.
Um die Trägheitsmomente J_x, J_y und J_z, bezogen auf ein Koordinatensystem, welches in der Kegelspitze liegt, zu berechnen, nutzen wir wieder die bekannten Trägheitsmomente der Scheibe.
J_z=int(,J_(z\,SP\,Scheibe),,)
Mit ref(3.5) folgt:
J_z=1/2 int(r^2(z),m,M,)
Mit dm=\rho \pi r^2(z) dz $und r(z)/z=R/H $folgt:
J_z=1/2 \rho \pi (R/H)^4 int(z^4,z,0,H)=>
J_z=1/2 \rho \pi (R/H)^4 1/5 H^5=1/10 \rho \pi R^4 H
Mit M=\rho V=1/3 \rho \pi R^2 H $folgt:
\blue\ll(5.1) J_z=3/10 M R^2
Um J_x und J_y zu berechnen, greifen wir wieder auf die Scheibe zurück und erhalten unter Berücksichtigung des Steiner\-Anteils mit ref(3.6) und ref(2)
J_x=J_y=int(,J_(x\,SP\,Scheibe),,)+int(z^2,m,M,)=1/4 int(r^2(z),m,M,)+int(z^2,m,M,)=>
J_x=J_y=1/2 J_z+int(z^2,m,M,)
int(z^2,m,M,)=\rho \pi int(r^2(z) z^2,z,0,H)=>
int(z^2,m,M,)=\rho \pi (R/H)^2 int(z^4,z,0,H)=>
int(z^2,m,M,)=1/5 \rho \pi R^2 H^3
Mit M=1/3 \rho \pi R^2 H $folgt
int(z^2,m,M,)=3/5 M H^2
Dann ergibt sich für J_x und J_y
J_x=J_y=1/2 3/10 M R^2+3/5 M H^2=>
\blue\ll(5.2) J_x=J_y=3/20 M (R^2+4 H^2)
\red\frameon
\red\stress\ Kegel
\ll(5.1) J_z=3/10 M R^2
\ll(5.2) J_x=J_y=3/20 M (R^2+4 H^2)
\frameoff
\
Gegeben ist der oben abgebildete Quader mit der Masse M und den Kantenlängen a, b und c.
Für J_x,SP ergibt sich mit ref(1.1):
J_x,SP=int((y^2+z^2),m,M,)
Mit dm=\rho dx dy dz folgt:
J_x,SP=\rho int(int(int((y^2+z^2),x,-a/2,a/2),y,-b/2,b/2),z,-c/2,c/2)=>
J_x,SP=\rho int(int((y^2 a+z^2 a),y,-b/2,b/2),z,-c/2,c/2)=>
J_x,SP=\rho int((1/12 b^3 a+z^2 a b),z,-c/2,c/2)=>
J_x,SP=\rho (1/12 b^3 a c+1/12 c^3 a b)=>
J_x,SP=1/12 \rho a b c (b^2+c^2)
Mit M=\rho a b c folgt:
\blue\ll(6.1) J_x,SP=1/12 M (b^2+c^2)
Um J_y,SP zu berechnen, muß in ref(6.1) nur die Länge b gegen die Länge a ausgetauscht werden, und es ergibt sich:
\blue\ll(6.2) J_y,SP=1/12 M (a^2+c^2)
Analog ergibt sich:
\blue\ll(6.3) J_z,SP=1/12 M (a^2+b^2)
\blue\big\ dünnes Brett
Für das Brett gilt: c<
\
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck\-Profil mit der Grundseite G, Höhe H und Länge L. Das KO\-System liegt in der Ecke mit dem rechten Winkel.
Die Geradengleichung für die Hypotenuse ist z(y)=H(1-y/G).
Mit dm=\rho dx dy dz und ref(1.1) folgt für J_x:
J_x=\rho int(int(int((y^2+z^2),x,-L/2,L/2),z,0,H(1-y/G)),y,0,G)=>
\small\(da z=z(y), muß erst über z und dann über y integriert werden)
J_x=\rho L int(int((y^2+z^2),z,0,H(1-y/G)),y,0,G)=>
J_x=\rho L int((H (1-y/G) y^2+1/3 H^3 (1-y/G)^3),y,0,G)=>
J_x=\rho L (H 1/12 G^3+1/3 H^3 1/4 G)=>
J_x=1/24 \rho L G H (2 G^2+2 H^2)
mit M=\rho 1/2 L G H folgt:
\blue\ll(7.1) J_x= 1/12 M (2 G^2+2 H^2)
Für J_y folgt mit ref(1.2):
J_y=\rho int(int(int((x^2+z^2),x,-L/2,L/2),z,0,H(1-y/G)),y,0,G)=>
J_y=\rho int(int((1/12 L^3 +L z^2),z,0,H(1-y/G)),y,0,G)=>
J_y=\rho int((1/12 L^3 H (1-y/G)+L 1/3 H^3 (1-y/G)^3),y,0,G)=>
J_y=\rho (1/12 L^3 H 1/2 G+L 1/3 H^3 1/4 G)=>
J_y=1/24 \rho L G H (L^2+2 H^2)
Mit M=\rho 1/2 G H L folgt:
\blue\ll(7.2) J_y= 1/12 M (L^2+2 H^2)
Für J_z folgt mit ref(1.3):
J_z=\rho int(int(int((x^2+y^2),x,-L/2,L/2),z,0,H(1-y/G)),y,0,G)=>
J_z=\rho int(int((1/12 L^3 +L y^2),z,0,H(1-y/G)),y,0,G)=>
J_z=\rho int((1/12 L^3 H (1-y/G)+L H (1-y/G) y^2),y,0,G)=>
J_z=\rho (1/12 L^3 H 1/2 G+L H 1/12 G^3)=>
J_z=1/24 \rho L G H (L^2+2 G^2)
Mit M=\rho 1/2 G H L folgt:
\blue\ll(7.3) J_z= 1/12 M (L^2+2 G^2)
\red\frameon
\red\stress\ Dreieck\-Profil
\ll(7.1) J_x=1/12 M (2 G^2+2 H^2)
\ll(7.2) J_y=1/12 M (L^2+2 H^2)
\ll(7.3) J_z=1/12 M (L^2+2 G^2)
Stellvertretend für die vielen Profile (I, Z, L, T, U, ...) möchte ich hier das I-Profil vorstellen.
\
Das oben abgebildete I\-Profil kann man sich als einen großen Quader der Breite B, Höhe H und Länge L vorstellen, von dem zwei kleine Quader der Breite b=1/2 (B-t), Höhe h=H-2 t und Länge L abgezogen werden.
Der Schwerpunktsabstand der kleinen Quader vom Gesamtschwerpunkt beträgt d=1/2 (b+t).
Kennzeichnen wir das Trägheitsmoment für den großen Quader mit dem Index 1 und für die kleinen Quader mit dem Index 2, dann ergibt sich unter Beachtung der Symmetrie:
J_x,SP=J_x,1-2 J_x,2
J_y,SP=J_y,1-2 J_y,2
J_z,SP=J_z,1-2 J_z,2
Mit ref(6.1)\-||ref(6.3) gilt:
J_x,1=1/12 M_1 (H^2+L^2)=1/12 \rho B H L (H^2+L^2)
J_y,1=1/12 M_1 (B^2+L^2)=1/12 \rho B H L (B^2+L^2)
J_z,1=1/12 M_1 (B^2+H^2)=1/12 \rho B H L (B^2+H^2)
Analog ergibt sich unter Beachtung der Steiner\-Anteile ref(2):
J_x,2=1/12 M_2 (h^2+L^2)+ 0=1/12 \rho b h L (h^2+L^2)
J_y,2=1/12 M_2 (b^2+L^2)+ M_2 d^2=1/12 \rho b h L (b^2+L^2+12 d^2)
J_z,2=1/12 M_2 (b^2+h^2)+ M_2 d^2=1/12 \rho b h L (b^2+h^2+12 d^2)
Damit ergibt sich:
J_x,SP=1/12 \rho B H L (H^2+L^2)-2/12 \rho b h L (h^2+L^2)=>
J_x,SP=1/12 \rho L (B H (H^2+L^2)-2 b h (h^2+L^2))
J_y,SP=1/12 \rho B H L (B^2+L^2)-2/12 \rho b h L (b^2+L^2+12 d^2)=>
J_y,SP=1/12 \rho L (B H (B^2+L^2)-2 b h (b^2+L^2+12 d^2))
J_z,SP=1/12 \rho B H L (B^2+H^2)-2/12 \rho b h L (b^2+h^2+12 d^2)=>
J_z,SP=1/12 \rho L (B H (B^2+H^2)-2 b h (b^2+h^2+12 d^2))
Aus M= \rho B H L- 2 \rho b h L=\rho L (B H-2 b h) folgt \rho L=M/(B H-2 b h).
Damit erhält man letztendlich:
\blue\ll(8.1) J_x,SP=1/12 M (B H (H^2+L^2)-2 b h (h^2+L^2))/(B H-2 b h)
\blue\ll(8.2) J_y,SP=1/12 M (B H (B^2+L^2)-2 b h (b^2+L^2+12 d^2))/(B H-2 b h)
\blue\ll(8.3) J_z,SP=1/12 M (B H (B^2+H^2)-2 b h (b^2+h^2+12 d^2))/(B H-2 b h)
\red\frameon
\red\stress\I\-Profil
\ll(8.1) J_x,SP=1/12 M (B H (H^2+L^2)-2 b h (h^2+L^2))/(B H-2 b h)
\ll(8.2) J_y,SP=1/12 M (B H (B^2+L^2)-2 b h (b^2+L^2+12 d^2))/(B H-2 b h)
\ll(8.3) J_z,SP=1/12 M (B H (B^2+H^2)-2 b h (b^2+h^2+12 d^2))/(B H-2 b h)
mit b=1/2 (B-t) , h=H-2 t , d=1/2 (b+t)
\frameoff
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