Mathematik: Über fermatsche Pseudoprimzahlen
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Mathematik

\(\begingroup\) Wann ist eine fermatsche Pseudoprimzahl eine fermatsche Pseudoprimzahl? Der Titel dieses Artikels umfaßt eine Frage. Damit diese Frage beantwortet werden kann, muß man erstmal wissen, was eine fermatsche Pseudoprimzahl ist.
  • Was ist eine fermatsche Pseudoprimzahl? Eine Pseudoprimzahl ist eine zusammengesetzte natürliche Zahl, die in wenigstens einer ihrer Eigenschaften einer Primzahl gleicht. Das bedeutet nicht, dass eine zusammengesetzte natürliche Zahl, die in einer beliebigen Eigenschaft einer Primzahl gleicht, automatisch zur Pseudoprimzahl wird. So gilt zwar, dass für eine Primzahl größer 3 gilt, dass sie entweder die Form 6n-1 oder 6n+1 haben muß, umgekehrt wird aber nicht aus jeder zusammengesetzten natürlichen Zahl, die der Form 6n-1 oder 6n+1, automatisch eine Pseudoprimzahl.


  • Die Eigenschaft, auf die sich die fermatsche Pseudoprimzahl bezieht, ist der kleine fermatsche Satz a^p == a mod p, der besagt, dass für jede natürliche Zahl a gilt: p \| a^p-a. Nochmal in Worte gefaßt: Eine Primzahl p teilt jedes a^p-a. Dieser Satz läßt sich modifizieren: Für jede Primzahl p gilt a^(p-1) == 1 mod p, wenn (und nur wenn) a teilerfremd zu p ist. Nun ist es sehr umständlich, zu jedem Primzahlkandidaten q zu testen, ob für jedes zu q teilerfremde a tatsächlich a^(q-1) == 1 mod q gilt. Aus diesem Grund macht man Stichproben. Nun gibt es zusammengesetzte natürliche Zahlen q, für die für zwei oder mehrere Zahlen a, im Extremfall sogar alle a, die teilerfremd zu q sind, die Gleichung a^(q-1) == 1 mod q gilt. Das bekannteste Beispiel ist die Sarrus-Zahl 341, die das Produkt von 11 und 31 ist. Die 341 ist pseudoprim zur Basis 2, das heißt: 2^(340) == 1 mod 341. Die Basis 2 ist sowieso eine gute Basis, da wenige zusammengesetzte natürliche Zahlen, im Vergleich zu den Primzahlen, zu ihr pseudoprim sind. Pseudoprimzahlen zur 2 sind z.B.: 341, 561, 645, 949, 1105, 1387, 1729, 1905, 2047, 2465, 2701, 2821, 3277, 4033, 4369, 4371, 4681, 5461, ... Darunter finden sich auch alle Carmichael-Zahlen. Auch zu allen anderen Primzahlen gibt es zusammengesetzte natürliche Zahlen, die zu diesen pseudoprim sind. So ist die 91 pseudoprim zur 3, die 124 zur 5, die 25 zur 7 und die 15 ist pseudoprim zur 11.
  • Gibt auch zusammengesetzte natürliche Zahlen a, zu denen natürliche Zahlen n existieren, die pseudoprim zu a sind? Diese Frage läßt sich mit Ja beantworten. So ist die 15 eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 11. Wenn eine ungerade, zusammengesetzte Zahl q aber eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis a ist, so ist sie auch eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis q-a. Wenn 15 also pseudoprim zur Basis 11 ist, so ist 15 auch pseudoprim zu 15-11=4. Tatsächlich, es gilt 4^14 == 1 mod 15.
  • Gibt es fermatsche Pseudoprimzahlen, die zu keiner Primzahl pseudoprim sind, die kleiner als diese Pseudoprimzahl sind? Auch hier ist die Antwort ja. Die kleinste fermatsche Pseudoprimzahl, auf die dies zutrifft, ist die 39. Sie ist pseudoprim zu den Basen 14 und 25.
  • Ist vielleicht jede zusammengesetzte natürliche Zahl eine fermatsche Pseudoprimzahl zu irgendeiner Basis a? Dies ist vielleicht die umstrittenste Frage. Zuerst die Argumente, die dafür sprechen: Für jede natürliche Zahl n > 1 gilt 1^(n-1) == 1 mod n. Damit gilt auch x*n+1^(n-1) == 1 mod n. Insbesondere gilt n+1^(n-1) == 1 mod n. Für ungerade Zahlen n gilt x*n-1^(n-1) == 1 mod n für alle x*n-1 > 1 Beispiele: 7^5 == 1 mod 6 und 8^8 == 1 mod 9. Aber ist das auch offiziell? Zumindest kann man Folgen bei OEIS als Hinweis dafür deuten. Was spricht dagegen? Wenn man x*n+1^(n-1) == 1 mod n und x*n-1^(n-1) == 1 als Kriterien für fermatsche Pseudoprimzahlen zuläßt, hat man ein sicheres Kriterium, um fermatsche Pseudoprimzahlen zu identifizieren. Dieses widerspricht aber dem Gedanken der Pseudoprimzahl. Denn genauso wie man einer Zahl nicht unbedingt automatisch ansieht, ob sie eine Primzahl ist, kann man auch einer Zahl nicht ohne weiteres ansehen, das sie eine fermatsche Pseudoprimzahl ist. Mit den beiden erwähnten Kriterien ist das aber ohne weiteres Möglich, weil es sich um Eigenschaften handelt, die alle natürlichen Zahlen, bzw. alle ungeraden, natürlichen Zahlen betrifft.
    Das man eine Basis, oder mehrere Basen, bei Kenntnis einer Basis bestimmen kann, widerspricht dem Gedanken der Pseudoprimzahl wiederum nicht, denn man muß ja wenigstens erst mal die Kenntnis von einer Basis besitzen, um weitere Basen zu berechnen.
Wer die Frage "Gibt es Pseudoprimzahlen, die zu gar keiner Primzahl pseudoprim sind" vermißt hat? die Antwort: "Es wird sie vermutlich nicht geben". Interessant wäre die Frage natürlich schon, ob es zu einer Pseudoprimzahl p, deren Basen a < p, die selbst keine Primzahlen sind gibt, so das sämtliche Basen x*p+a wiederum keine Primzahlen sind. Hier diverse Sequenzen der OEIS zum nachschlagen: Quellen:
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Über fermatsche Pseudoprimzahlen [von arbol01]  
Was ist eine fermatsche Pseudoprimzahl? Was sind ihre Eigenschaften
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"Mathematik: Über fermatsche Pseudoprimzahlen" | 14 Comments
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Re: Über fermatsche Pseudoprimzahlen
von: deda am: Mo. 21. November 2005 20:21:55
\(\begingroup\)Grausig! Mir ist es schleierhaft, warum so ein Artikel freigegeben wird, wenn im Forum korrektes Deutsch erwartet wird. Aber vielleicht gilt das ja nicht für Artikel. Ich habe diesen Artikel jedenfalls nicht zu Ende gelesen, weil es mir zu anstrengend war. Gruß deda \(\endgroup\)
 

Re: Über fermatsche Pseudoprimzahlen
von: murmelbaerchen am: Di. 22. November 2005 08:06:10
\(\begingroup\)Hallo deda, was bist Du denn so hart in Deinem Urteil? Was hat Dich denn besonders gestört? Auch mir unterläuft bei zeiten schon einmal der ein oder andere Formulierungsfehler. Natürlich zählt neben dem Inhalt auch die Form, aber ich habe Deinen Kommentar nach dem Artikel gelesen und hätte nicht so scharf kritisiert. Das der Artikel etwas umgangssprachlich geschrieben ist und gelegentlich die alte und neue Rechtschreibung gemischt wurden, ist zwar nicht das non plus ultra, aber auch nicht das letzte vom letzten. Ich finde es gut, daß sich auch andere Mitglieder den Artikel widmen und man hier nicht nur die "üblichen Verdächtigen" (die ich übrigens sehr schätze) findet. In der Hinsicht sind wir ein wenig verwöhnt, da z.B. Gockel und Martin(_Infinite), um zwei zu nennen, die Latte für die Qualität eines Artikels recht hoch legen. Deda, ich hoffe, daß Du den Artikel vielleicht doch noch zu Ende liest und mit ein wenig Abstand Dein Urteil für Dich relativieren kannst, denn der erste Artikel ist immer der schwerste und so ermuntere ich in der Hinsicht gerne zu ein wenig Nachsicht. Viele Grüsse an Euch zwei Murmelbärchen\(\endgroup\)
 

Re: Über fermatsche Pseudoprimzahlen
von: Wally am: Di. 22. November 2005 11:53:03
\(\begingroup\)Vielleicht sollte man den Titel abändern... "Wann ist eine fermatsche Pseudoprimzahl eine fermatsche Pseudoprimzahl?" Darauf ist die Antwort "immer", egal ob man weiß, was das ist oder nicht. Wally\(\endgroup\)
 

Re: Über fermatsche Pseudoprimzahlen
von: arbol01 am: Di. 22. November 2005 15:51:50
\(\begingroup\)Vielleicht sollte man den Titel abändern... "Wann ist eine fermatsche Pseudoprimzahl eine fermatsche Pseudoprimzahl?" Darauf ist die Antwort "immer", egal ob man weiß, was das ist oder nicht. Das stimmt schon, aber es sollte ein wenig provozieren. Arbol01 \(\endgroup\)
 

Re: Über fermatsche Pseudoprimzahlen
von: deda am: Di. 22. November 2005 16:24:11
\(\begingroup\)Hallo murmelbaerchen und arbol01, hart in meinem Urteil bin ich, weil bei mir der Eindruck entsteht, dass hier mit zweierlei Maß gemessen wird. Ich weiß nicht, ob freigegebene Artikel vor der Freigabe wirklich von matroid gelesen werden, aber wenn über dem Artikel steht "freigegeben von matroid", dann gehe ich davon aus, dass jemand diesen Artikel gelesen hat und einer der Verantwortlichen dieser Seite ihn für "gut für die Veröffentlichung" befunden hat. Und wenn ich dann im Forum Beiträge lese bzw. Artikel lese, in denen Studienanfänger oder Neulinge gemaßregelt werden, weil sie sich nicht richtig ausdrücken oder eine unpassende Überschrift benutzen etc., und man ihnen zum Teil mit Arroganz begegnet, dann ist das der Moment in dem mir der Kragen platzt. Studienanfänger und Neulinge wissen es oftmals gar nicht besser, weil sie manchmal gar nicht wissen, um was es geht. Ich finde es immer lobenswert, wenn jemand versucht sich mit Mathematik auseinander zu setzen oder versucht einen Artikel zu schreiben und es lag mir fern arbol01 zu entmutigen. Wie schon geschrieben: Mich stört, dass hier für mich mit zweierlei Maß gemessen wird. Maßregelungen für Studenten die aus Unwissenheit (und darum suchen sie ja Hilfe) mathematisch und vom Ausdruck her nicht korrekt sind und auf der anderen Seite Freigabe solcher Artikel (und ich gehe wirklich davon aus, dass sie zuvor gelesen werden). Und konkret zum Artikel: Ich würde mich freuen, wenn sich arbol01 noch mal Gedanken über die folgenden Formulierungen macht: "...dass zu jeder natürlichen Zahl a gilt:..." "...Nun ist es sehr umständlich, zu jedem Primzahlkandidaten q zu testen,...." "...im vergleich zu dem Primzahlen,..." "...Gibt es auch natürliche Zahlen, zu denen es Pseudoprimzahlen, die keine Primzahlen sind?" "..., ob es eine es zu einer Pseudoprimzahl p, ..." Und ob es auch üblich ist Carmicheal statt Carmichael zu schreiben, weiß ich nicht. Ich konnte hoffentlich deutlich machen, dass sich meine negative Kritik nicht in erster Linie an arbol01 richtet, sondern an die sich mir darstellende Philosophie des Matheplaneten. Gruß deda\(\endgroup\)
 

Re: Über fermatsche Pseudoprimzahlen
von: Gockel am: Di. 22. November 2005 17:20:00
\(\begingroup\)Hi deda, arbol Kritik-kritisier-bärchen. Viele MPler denken genauso wie deda. Insbesondere und vor allem zähle ich mich dazu. Ich habe mich allerdings entschlossen, meine Kritik per PM arbol zu schicken. Ich kann an der "Philosophie der Matheplaneten", wie du es nennst, deda, nichts grundlegend Falsches entdecken. Es ist zwar wirklich so, dass ich (u.A.) manchmal überreagiere im Forum, weil ich vielleicht einen schlechten Tag hatte und dann auch noch teilweise echt grauenhaft unorthographische Posts lese(n muss). Vom Prinzip her bin ich aber dafür, dass dieser Artikel genau wie im Forum auch nach seiner äußeren Form und nicht nur nach den Intentionen des Autors bewertet werden sollte. Die Intentionen waren sicherlich gut, das bezweifle ich nicht und ich habe im PM-Austausch mit deda in der Tat einen durchaus gegenteiligen Eindruck gewonnen. Wenn ich hier mal aus dem Nähkästchen plaudern darf, dann sollte ich vielleicht erwähnen, dass sich im Laufe dieses PM-Austausches mit arbol herrausstellte, dass er bisher viel auf Wikipedia unterwegs war und sich dort angewöhnt hat, Artikel vor allem mit Inhalt zu versehen und die "Feinarbeit" wie Orthographie den Leuten zu überlassen, die sowas gerne machen. Das ist keineswegs als Rechtfertigung oder als Verurteilung von arbol gedacht, ich schreibe dies zu Klärung der Umstände. Es ist korrekt, dass wir ihn darauf hinweisen, dass Rechtschreibung und Grammatik bei uns sehr geschätzt und nach anderen Maßstäben bewertet werden, als andernorts im Internet. Dies haben wir nun aber zur Genüge getan und so rufe ich euch nun auf, mit mir den Artikel abzuändern, sodass die Satzkonstruktionen wieder verständlich und die orthographischen und grammatischen Fehler ausgebessert werden. Ich werde dies auf jeden Fall nach und nach in Angriff nehmen, denn ich finde die Idee des Artikels durchaus gut und fortsetzenswert. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Über fermatsche Pseudoprimzahlen
von: Ende am: Di. 22. November 2005 17:21:23
\(\begingroup\)Hallo deda! Ich will Dir auf Deinem Kreuzzug nicht in die Quere kommen, aber ich wundere mich dann doch schon, dass Du, wenn Dich das Mass so stoert, hier solch einen Kommentar abgibst, wo doch das Mass zu Gunsten des Artikelanfaengers und -neulings ausgelegt wurde, anstatt im Forum zu kommentieren, wenn und wo Neulinge zu hart angegangen werden. Hier hast Du mit Deinem ersten Kommentar schlicht arbols Aufwand und Arbeit herabgewuerdigt. "Ich habe [...] nicht zu Ende gelesen, [...]" ist rein destruktiv, und mir ich sehe nicht, wo und wie Du Dich von den Kommentaren im Forum abzusetzen glaubst. Davon abgesehen gibt es gute Gruende dafuer, dass im Forum auf ein Mindestmass an Form geachtet wird. Zum einen wird das im Studium selbst auch erwartet, zum anderen kommt das spaeter im Berufsleben noch umso staerker hinzu. Dass der eine oder andere noch etwas ungeschickt darin ist, Neuankoemmlingen dies so nahezubringen, dass es auch ankommt, ist ja eine andere Frage. Da koenntest Du dann ja in Einzelfaellen in privaten Nachrichten Hilfestellung geben. So wie Du es hier gemacht hast, hast Du Dich jedenfalls schoen in die Reihe derer eingefuegt, die Dir den 'Kragen platzen' lassen. Gruss, E.\(\endgroup\)
 

Re: Über fermatsche Pseudoprimzahlen
von: matroid am: Di. 22. November 2005 19:28:24
\(\begingroup\) Hi deda, ich nehme Deine Kritik ernst und an. Die Beiträge und Artikel hier sollen gut sein, und was Du schreibst soll mich und andere anspornen, daran zu arbeiten und festzuhalten. Weiter soll unser Auftreten nicht arrogant sein, und es soll gerade bei Neulingen im Forum immer angenommen werden, daß die Anfänger von heute mit der richtigen Ansprache auch ihre Schwierigkeiten überwinden und zu guten Mathematikern werden. Ich habe persönlich immer das Ziel, die Leute da abzuholen, wo sie stehen. Wenn das mir oder anderen nicht immer gelingt, dann ist es ein Grund, daran zu arbeiten. Beste Grüße Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Über fermatsche Pseudoprimzahlen
von: Beckx am: Di. 22. November 2005 20:39:45
\(\begingroup\)Hallo zusammen, ich muss deda teilweise zustimmen. Ich finde es nicht gut, dass die Korrektheit der mathematischen Sprechweise und Orthographie (bzw. Orthografie) teilweise so ernst genommen werden. Viele müssen die mathematische Sprache erst noch lernen. Auch die Wahl einer Überschrift ist oft gar nicht einfach, wenn man sich noch nicht völlig in der Materie befindet. Außerdem sollte bedacht werden, dass nicht jeder, der Mathematik studiert auch der deutschen Sprache "perfekt" mächtig ist. Gleichzeitig finde ich aber auch das Vorhaben den Matheplaneten qualitativ auf seinem hohen Niveau zu halten löblich und wichtig. Das sehe ich genauso in Bezug auf die Artikel. Ein paar Rechtschreibfehler passieren jedem mal und machen einen Artikel deswegen in keiner Form schlechter. Wie im Forum sollte man den Autor nett auf seine Fehler ansprechen und ihn bitten diese zu korrigieren. Auch wenn du (deda) sagst, dass du arbol nicht entmutigen möchtest, tust du mit deiner Kritik genau das. Um deinen Unmut zum Ausdruck zu bringen, hättest du doch Matroid oder einem anderen Senior eine PM schicken können. Zusätzlich hättest du noch argol auf seine Fehler ansprechen können. Die Formulierung „Grausig! Mir ist es schleierhaft, warum so ein Artikel freigegeben wird…“ kann der Autor des Artikels doch nur als persönliche Kritik auffassen. Ich finde das argol gegenüber ziemlich daneben und hoffe, dass er weiß, dass das hier nicht ALLE so sehen! Beste Grüße Beckx \(\endgroup\)
 

Re: Über fermatsche Pseudoprimzahlen
von: Plex_Inphinity am: Mi. 23. November 2005 01:41:01
\(\begingroup\)Hi, um auch mal etwas auf den Inhalt einzugehen 😄 \boxon \blue "Wenn eine natürliche zusammengesetzte Zahl q aber eine Pseudoprimzahl zur Basis a ist, so ist sie auch eine Pseudoprimzahl zur Basis q-a" \boxoff Wieso das? Beispielsweise ist 124 pseudoprim zur 5, wie du selbst schreibst, aber 124 ist doch nicht pseudoprim zu 124-5=119 , weil (119)^124==(-5)^124==(-1)^124*5^124==5 != 119 (mod 124) Es gilt also nur für ungerade q, würde ich sagen. und wegen der Frage: Ist vielleicht jede zusammengesetzte natürliche Zahl eine fermatsche Pseudoprimzahl zu irgendeiner Basis a? Die Antwort gibst du doch selbst. Jede zusammengesetze Zahl q ist fermatsche Pseudoprimzahl zu q+1. Vielleicht sollte man die Frage anders stellen? Ist jede zusammengesetzte natürlichen Zahl eine fermatsche Pseudoprimzahl zu einer Basis a != 1 (mod q)? Allerdings hat man da schon 4 als Gegenbeispiel. Also muß man die Frage noch etwas variieren. Gruß von Plex\(\endgroup\)
 

Re: Über fermatsche Pseudoprimzahlen
von: arbol01 am: Mi. 23. November 2005 02:14:27
\(\begingroup\)@Plex Beispielsweise ist 124 pseudoprim zur 5, wie du selbst schreibst, aber 124 ist doch nicht pseudoprim zu 124-5=119 , weil (119)^124==(-5)^124==(-1)^124*5^124==5 != 119 (mod 124) Es gilt also nur für ungerade q, würde ich sagen. Guter Einwand. Ich werde das korrigieren. und wegen der Frage: Ist vielleicht jede zusammengesetzte natürliche Zahl eine fermatsche Pseudoprimzahl zu irgendeiner Basis a? Die Antwort gibst du doch selbst. Jede zusammengesetze Zahl q ist fermatsche Pseudoprimzahl zu q+1. Sollte ich die Antwort nicht geben? Es ist ja keine Frage, sondern ein Artikel, beziehungsweise soll ein Artikel sein. gruß, Arbol01 \(\endgroup\)
 

Re: Über fermatsche Pseudoprimzahlen
von: arbol01 am: Mi. 23. November 2005 02:41:32
\(\begingroup\)@Plex Ist jede zusammengesetzte natürlichen Zahl eine fermatsche Pseudoprimzahl zu einer Basis a != 1 (mod q)? Das wäre eine Umkehrung dessen, was ich wissen wollte. Die Frage müßte dann strenger gefasst werden: Ist jede zusammengesetzte natürlichen Zahl eine fermatsche Pseudoprimzahl zu einer Basis a != 1 (mod q) und a != (q-1) (mod q)? Diese Frage müßte man dann wirklich verneinen, weil 4 und 6 keine Pseudoprimzahlen der ersteren Form (a != 1 (mod q)) und auf 9 weder a != 1 (mod q) noch a != (q-1) (mod q) zutrifft. Gerade darum geht doch aber die Frage: Ist eine gerade Zahl q mit ausschliesslich a = 1 (mod q) eine fermatsche Pseudoprimzahl, und ist eine ungerade Zahl mit ausschließlich a = 1 (mod q) und a = (q-1) (mod q) eine fermatsche Pseudoprimzahl. Die meisten Quellen schweigen sich darüber eisig aus. In den entsprechenden OEIS-Sequenzen (siehe die Links) sind sie enthalten. Persönlich würde es mir gar nichts ausmachen, wenn diese Hüllen-Pseudoprimzahlen (es sind ja im Grunde nichts anderes als Hüllen) ausgeschlossen wären. Aber dann müßte dies auch extra definiert werden. Mit dieser Frage steht und fällt eine andere Frage: Sind alle Arten von Pseudoprimzahlen auch fermatsche Pseudoprimzahlen? Wenn alle natürlichen Zahlen fermatsche Pseudoprimzahlen sind (Primzahlen ein- oder ausgeschlossen) dann sind auch alle Arten von Pseudoprimzahlen (inklusive der perrinschen Pseudoprimzahlen und der Zeisel-Zahlen) fermatsche Pseudoprimzahlen. Wenn man die Hüllen-Pseudoprimzahlen aus der Menge der fermatschen Pseudoprimzahlen herausnimmt, dann wird diese Frage schon viel schwieriger, bzw. es würde Pseudoprimzahlen geben, die keine fermatschen Pseudoprimzahlen sind. Gruß, Arbol01\(\endgroup\)
 

Re: Über fermatsche Pseudoprimzahlen
von: Hans-Juergen am: Fr. 25. November 2005 20:26:37
\(\begingroup\)Hi, nicht zum Artikel, sondern zu einem bestimmten Wort in einem der vorstehenden Kommentare: Weiß jemand verbindlich, ob es nach der "Neuschreib" Orthografie oder Ortografie heißt? Letzteres wäre konsequent. Gruß, Hans-Jürgen\(\endgroup\)
 

Re: Über fermatsche Pseudoprimzahlen
von: Gockel am: Fr. 25. November 2005 20:34:36
\(\begingroup\)Hi Hans-Jürgen. Nach der neuen Rechtschreibung sind die beiden(!) Schreibweisen Orthografie und Orthographie erlaubt. Das th ist von der neuen Rechtschreibung meines Wissens weitestgehend unangetastet. Für mich unverständlich ist allerdings, warum im Gegensatz dazu, dass das ph fast überall angetastet wird. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

 
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