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Schauen wir uns dazu einen kleinen Teilbogen an :
Die Länge \Delta l_i kann durch die Länge der Sekante \Delta s_i angenähert werden, welche die Länge \sqrt((\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2+(\Delta z_i)^2) hat. Damit gilt für die Gesamtlänge der Kurve C
l=\Delta l_1+...+\Delta l_(n-1)\approx\Delta s_1+...+\Delta s_(n-1)
=\sqrt((\Delta x_1)^2+(\Delta y_1)^2+(\Delta z_1)^2)+...+\sqrt((\Delta x_(n-1))^2+(\Delta y_(n-1))^2+(\Delta z_(n-1))^2)
Nach dem Grenzübergang n->\inf nähert sich \Delta s_i der Teilbogenlänge \Delta l_i an und es gilt dl=ds, wobei ds=sqrt(dx^2+dy^2+dz^2)=sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2)* dt damit ist dann
l=int(,l,C)=int(sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2)dt.
Damit haben wir unsere Grundlage geschaffen das Kurvenintegral bezüglich der Bogenlänge einzuführen. An dieser Stelle werde ich keine Beispiele zeigen, sondern im nächsten Kapitel.
Dies ist unsere Grundlage, um unser Kurvenintegral einzuführen. Wir setzen ein stetiges Vektorfeld und eine glatte Kurve voraus. Unsere Kurve befindet sich nun in einem Vektorfeld. Stellt euch einen Punkt im Raum vor, dieser wird entlang unserer Kurve mit der immer wechselnden Kraft K(x,y,z) verschoben. Die Frage ist nun, wie groß ist die Arbeit, die verrichtet werden muss. Die folgende Abbildung zeigt uns ein Vektorfeld (grüne Pfeile) und eine Kurve.
Betrachten wir nun ein kleines Bogenelement dl; wir werden dort die Arbeit dA berechnen. Wir können den Bogen dl durch die Tangente T(x,y,z) mit norm(T)=1 approximieren, dann ist die Arbeit die in diesem Bogenelement wirkt dA=(K* T)dl=K*(T* dl)=K* d vec(x).
Die gesamte Arbeit A erhalten wir dann, wenn wir integrieren,
A=int(K,vec(x),C,)=int(K* T,l,C)
Dabei ist natürlich zu beachten, dass K jedem Punkt auf der Kurve einen Vektor zuordnet, sodass K wie folgt aussehen könnte: K(x,y,z)=(u(x,y,z);v(x,y,z);w(x,y,z))
Ist unsere Kurve C durch p(t)=(x(t);y(t);z(t)) beschrieben, so gilt für den allgemeinen Tangentialvektor im Punkt p(t)=(x;y;z) T_(allg)(x,y,z)=p'(t)=(dx(t)/dt;dy(t)/dt;dz(t)/dt), normieren wir noch T_(allg), so erhalten wir
T(x,y,z)=1/norm(T_(allg))* T_(allg)=1/sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2)*(dx(t)/dt;dy(t)/dt;dz(t)/dt)
Beachten wir noch, dass für die Länge des Bogenelements dl=sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2)dt gilt, lässt sich dA=K* Tdl schreiben mit dA=K* T*sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2)*dt=K(x(t),y(t),z(t))*(dx(t)/dt;dy(t)/dt;dz(t)/dt)dt
also ist A=int(K(x(t),y(t),z(t))*(dx(t)/dt;dy(t)/dt;dz(t)/dt),t,a,b) oder auch kürzer A=int(K(p(t))* p'(t),t,a,b). Dieses Integral wird auch als (Kurvenintegral zweiter Art) bezeichnet. Wir haben uns dem Kurvenintegral über dem Begriff der Arbeit genähert, indem wir eine Kurve über ein Kraftfeld integriert haben, doch unsere Definition lässt sich auch auf ein beliebiges auf der Kurve C stetiges Vektorfeld definieren. Ist vec(h) ein auf der Kurve C: p(t)=(x(t);y(t);z(t)), t\el\intervall(a,b) stetiges Vektorfeld, so ist das Kurvenintegral über vec(h) entlang der Kurve C
int(vec(h)(p),vec(x),C)=int(vec(h)(p(t))* p'(t),t,a,b)
Führen wir eine Parametertransformation durch, die die Durchlaufrichtung nicht ändert, so ist das Kurvenintegral gleich. Sei r eine Abbildung von intervall(c,d) auf intervall(a,b) stetig. Da r die Durchlaufrichtung nicht ändern darf, muss r' auf intervall(c,d) größer Null sein. Sei dazu P(u)=p(r(u)), u\el\intervall(c,d) dann müssen wir zeigen, dass
int(vec(h)(P(u))* P'(u),u,c,d)=int(vec(h)(p(t))* p'(t),t,a,b) ist. Aus der Gleichung P(u)=p(r(u)) folgt, dass P'(u)=p'(r(u))* r'(u) ist. Also ist int(vec(h)(P(u))* P'(u),u,c,d)=int(vec(h)(p(r(u)))* p'(r(u))* r'(u),u,c,d), nun substituieren wir t=r(u)=> dt=r'(u)* du und beachten, dass r(c)=a und r(d)=b ist, folgt
int(vec(h)(P(u))* P'(u),u,c,d)=int(vec(h)(p(t))* p'(t),t,a,b)
array(Beispiel:)__ Sei das Vektorfeld vec(h) gegeben durch h(x,y,z)=(xy;yz;xz) und eine Kurve durch p(t)=(t;t^2;t^3), t\el\[-1,1] dann ist vec(h)(p(t))* p'(t)=vec(h)(t,t^2,t^3)*(1;2t;3t^2)
=(t* t^2;t^2* t^3;t* t^3)*(1;2t;3t^2)=t* t^2* 1+t^2* t^3* 2t+t* t^3* 3t^2=t^3+5t^6 und damit ist
int(t^3+5t^6,t,-1,1)=10/7
Linearität: Sind vec(h) und vec(g) zwei Vektorfelder auf der Kurve C und a ein Skalar, so gilt:
int(a*(vec(h)+vec(g)),vec(x),C,)=a*(int(vec(h),vec(x),C,)+int(vec(g),vec(x),C,))
Umgekehrter Durchlaufsinn: Seien C und -C dieselben Kurven nur mit entgegengesetztem Durchlaufsinn so gilt:
int(vec(h),vec(x),C,)=-int(vec(h),vec(x),-C,)
Das macht man sich schnell klar, wenn man sich die Tangente anschaut. Sei p(t) die Parametrisierung von C dann ist r(t)=p(a+b-t) und deren Tangentenvektor r'(t)=-p'(a+b-t)
\big Kurvenintegrale über Gradientenfelder
Ist unser Vektorfeld vec(h) der Gradient einer stetig differenzierbaren sklalaren Funktion f(x,y,z), also vec(h)=\Nabla f ist, so hängt der Wert des Kurvenintegrals nicht vom Weg ab, sondern nur von den Endpunkten des Weges. Sei p(t) unsere Kurve und dann gilt:
int( \Nabla f,vec(x),C)=f(p(b))-f(p(a))
Zum Beweis benötigen wir lediglich die Kettenregel df(p(t))/dt=\Nabla f(p(t))* p'(t). Also ist
int(\Nabla f,vec(x),C)=int(\Nabla f(p(t))* p'(t),t,a,b)
=int(df(p(t))/dt,t,a,b)=int(,f(p(t)),a,b)=f(p(b))-f(p(a))
Damit lässt sich leicht einsehen, dass entlang geschlossener Kurven in einem Gradientenfeld der Wert des Kurvenintegrals stets Null ist. Für geschlossene Kurven gilt p(a)=p(b).
Das Bild zeigt ein Gradientenfeld und drei Kurven. Wäre die Aufgabe entlang C_1 zu integrieren, könnten wir C_1 auch durch C_2 oder C_3 ersetzen, je nachdem für welchen Weg es sich leichter integrieren lässt.
array(Beispiel:)__ Wir wollen das Vektorfeld vec(h)=(P(x,y);Q(x,y))=(y^2;2xy-e^y) entlang des Kreisbogens p(t)=(cos(t);sin(t)), t\el\intervall(0,\pi/2) integrieren. Zuerst überprüfen wir, ob es sich wirklich um ein Gradientenfeld handelt. Dazu müssen wir (\partial P(x,y))/(\partial y)=(\partial Q(x,y))/(\partial x) nachweisen. Dies wird erfüllt, da beides gleich 2y ist. Jetzt haben wir zwei Möglichkeiten: Wir integrieren das Vektorfeld irgendeines Weges der diese beiden Endpunkte hat, also nicht unbedingt entlang des Kreisbogens, oder wir bestimmen die Funktion f, die als Gradient dieses Vektorfeld hat. Wir nehmen den zweiten Weg. Es gelte also (\partial f)/(\partial x)=y^2, (\partial f)/(\partial y)=2xy-e^y. Integrieren wir die erste Gleichung nach x, so erhalten wir f(x,y)=xy^2+g(y) Dies leiten wir wieder nach y ab und setzen es gleich der zweiten Gleichung: (\partial f)/(\partial y)=2xy+g'(y)=2xy-e^y => g'(y)=-e^y => g(y)=-e^y+c
Also ist f(x,y)=xy^2-e^y+c. Damit erhalten wir als Wert des Integrals f(p(\pi/2))-f(p(0))=f(0,1)-f(1,0)=-e+c-(-1+c)=1-e.
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