Mathematik: Der Abstand zwischen 2 Primzahlen wird beliebig groß.
Released by matroid on Sa. 28. Juli 2001 13:56:27 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Die Anzahl der Primzahlen ist unendlich. (Siehe Mehr über Primzahlen).
Dennoch bilden die Primzahlen kein Muster. Wenn man die natürlichen Zahlen durchgeht und Primzahlen sucht, dann ist es nicht vorhersagbar, wieviele Zahlen man prüfen muß, bis man die nächste Primzahl findet.
Zu Anfang findet man recht häufig Primzahlen, die 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 usw.
Aber in höheren (und sehr hohen) Bereichen der Zahlen, wird der Abstand von der einen zur nächsten Primzahl beliebig groß.

Was heißt das?
Denk dir eine Zahl, z.B. 1.000.000 (eine Million), und man kann zeigen, daß es irgendwo in den natürlichen Zahlen zwei Primzahl p1 und p2 gibt, zwischen denen keine anderen Primzahlen liegen und deren Abstand größer ist als 1.000.000.
Und für jeden anderen gewünschten Abstand, z.B. 1.000.000.000.000.000 gilt das gleiche.


Warum das? Und warum kann man das so sagen, obwohl es keine Formel für die Primzahlberechnung gibt?
Man beweist es so: Wenn m eine beliebige natürliche Zahl ist, dann betrachte die Zahlen:

m! + 2
m! + 3
m! + 4
...
m! + m-1
m! + m
Alle diese Zahlen sind keine Primzahlen, denn m! ist durch 2 teilbar und also auch m!+2.
m! ist auch durch 3 teilbar und darum ist auch m!+3 durch 3 teilbar.
Und schließlich ist m!+m durch m teilbar.

Was hat man damit gezeigt?
Es gibt in den natürlichen Zahlen für jede beliebige Zahl m (den Abstand) einen Bereich mit m-1 aufeinanderfolgenden Zahlen, die alle keine Primzahlen sind. Das bedeutet: Der Abstand zwischen 2 Primzahlen wird beliebig groß.


 
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Der Abstand zwischen 2 Primzahlen wird beliebig groß. [von matroid]  
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"Mathematik: Der Abstand zwischen 2 Primzahlen wird beliebig groß." | 3 Comments
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Re: Der Abstand zwischen 2 Primzahlen wird beliebig groß.
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 25. Dezember 2002 15:52:53
\(\begingroup\)Da die Riehmann-Vermutung noch nicht bewiesen ist, kann man nicht sagen, ob es keine Formel gibt, die nur Primzahlen gibt. Es schaut so aus, als ob es keine Formel geben würde, aber bewiesen ist es noch nicht\(\endgroup\)
 

Re: Der Abstand zwischen 2 Primzahlen wird beliebig groß.
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 23. Januar 2004 23:18:24
\(\begingroup\)war hochinteressant\(\endgroup\)
 

Re: Der Abstand zwischen 2 Primzahlen wird beliebig groß.
von: arbol01 am: Mi. 30. November 2005 19:05:43
\(\begingroup\)Dazu gibt es (mindestens) zwei Variationen: Variation A über das kleine gemeinsame Vielfache kgV(2,3,..,n): Da das kgv(2,3,..,n) durch alle Zahlen von 2 bis n teilbar ist, sind kgV(2,3,..,n)+2 bis kgV(2,3,..,n)+n auch keine Primzahlen. Etwas subtiler ist Variation B: Dabei wird das Produkt aus den ersten n Primzahlen p# (engl. Primorial) verwendet. Nimmt man das Produkt 2*3*5*7 = 210. Alle Zahlen von 210+2 bis 210+10 sind zusammengesetzte Zahlen. Das funktioniert, obwohl 210 nicht durch 4, 8 und 9 teilbar ist. Warum? Ganz einfach: Alle Zahlen zwische 2 und 10 sind zu 210 nicht teilerfremd, auch 4, 8 und 9 nicht. Erst die nächste Primzahl 11 ist Teilerfremd zu 210, und deshalb könnte 210+11 = 221 eine Primzahl sein. Alle Zahlen zwischen 210+2 bist 210+10 können es aber nicht sein. Gruß, Arbol01 \(\endgroup\)
 

 
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