Mathematik: Was sind quaternionische Fraktale?
Released by matroid on Fr. 17. Februar 2006 13:00:05 [Statistics]
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Mathematik

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Was sind quaternionische Fraktale?

Vorbemerkung
In meiner Arbeit beschreibe ich, wie man eigentlich zu quaternionischen Fraktalen kommt und gebe Ansätze, wie man sie untersuchen könnte.
Dabei will ich dem Leser vor allem nahe bringen, wie ich dabei vorgegangen bin - somit ist die ganze Arbeit chronologisch aufgebaut (also in der zeitlichen Reihenfolge, in der ich die verschiedene Erkenntnisse gesammelt habe)!
Nun genug gesagt, den Rest könnt ihr ja selbst in der PDF-Datei lesen.

Würde mich natürlich über positive und auch negative Kritik freuen, da es meine 1. mathematische Arbeit überhaupt ist :) Viel Spass!



1 Einleitung
1.1 Motivation
Ich bin ein Mensch, der gerne einmal an einem Problem sitzt und es zu lösen versucht. Meine Motivation ist,das Resultat bzw. die Lösung herauszufinden. Daher interessiere ich mich auch sehr für die Mathematik. Da ich später gerne einmal Mathematik studieren möchte, entspringt sicherlich auch ein Teil meiner Motivation aus diesem Ziel.

1.2 Vorgehen
Durch Zufall las ich in der Mediothek über Fraktale ein Buch, welches mich sofort in seinen Bann zog. Aus dieser Faszination heraus begann ich immer mehr Bücher zu lesen. Da ich mich dann entschied, meine Maturarbeit ¨uber Fraktale zu schreiben, wollte ich etwas machen, was nicht schon Tausende von Personen irgendwo in Arbeiten niedergeschrieben hatten. Im deutschen Sprachraum gibt es zu meinem Thema eigentlich noch keine Bücher. Es gibt zwar einige englische Bücher, doch diese sind ziemlich schwer zu verstehen. Also musste ich mich einerseits per Internet in das Thema einarbeiten, andererseits musste ich ständig mit einem Englischwörterbuch für Wissenschaften, englische Bücher über Quaternionen und/oder Fraktale lesen. Da ich für diese ganze Arbeit einen Grossteil von Themen erarbeiten musste, welche ich vorher noch nie behandelt habe, musste ich praktisch bei Null anfangen. Das hat mich dann dazu veranlasst, dass ich meine Arbeit chronologisch aufbaue, d.h. das 1. Kapitel in meiner Arbeit ist auch das Erste, was ich gelernt habe. Zuerst habe ich meine Arbeit noch in WinWord verfasst; doch schon schnell stellte sich heraus, dass WinWord nicht geeignet ist für mathematische Arbeiten, da z.B. mathematische Symbole sehr umständlich darzustellen sind.
Also lernte ich noch Latex, was auch wieder einige Zeit in Anspruch nahm. Nach diesen ersten Hürden musste ich mich dann entscheiden, was überhaupt mein genaues Thema sein soll. Dazu musste ich mir natürlich auch gewisse Ziele setzen. Ich setzte mir die Ziele, dass ich möglichst einfach erklären will was Fraktale, Quaternionen und quaternionische Fraktale sind, und ich wollte auch unbedingt lernen wie man quaternionische Fraktale auf dem Computer erstellen kann und was dabei der Computer eigentlich macht. Aus diesen Zielen heraus entstand dann auch der Arbeitstitel, denn aus meiner Sicht führen meine Ziele auf die Frage hinaus, was quaternionische Fraktale sind.

Die Arbeit liegt als pdf-Datei vor. Hier das
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Motivation
1.2 Vorgehen
2 Fraktale
2.1 Definitionsversuch
2.2 Klassische Fraktale
2.3 Komplexe Fraktale
2.3.1 Mandelbrotmengen
2.3.2 Juliamengen
2.3.3 Newton-Fraktale
2.4 Hyperkomplexe und quaternionische Fraktale
2.5 Verfahren zur Darstellung von Fraktalen
3 Quaternionen
3.1 Definition
4 Quaternionische Fraktale
4.1 Möglichkeiten zur Darstellung quaternionischen Fraktalen
4.2 Was passiert beim Darstellen auf dem PC?
4.3 Unterschied zwischen 2D- und 3D-Fraktalen
4.3.1 Initialisierung
4.3.2 Darstellung
4.4 Untersuchung von quaternionischen Fraktalen
5 Schlusswort
6 Anhang
6.1 ChaosPro
7 Quellenverzeichnis

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: Mathematik :: Fraktale :
Was sind quaternionische Fraktale? [von nevermind240585]  
In meiner Arbeit beschreibe ich, wie man eigentlich zu quaternionischen Fraktalen kommt und gebe Ansätze, wie man sie untersuchen könnte. Dabei will ich dem Leser vor allem nahe bringen, wie ich dabei vorgegangen bin - somit ist die ganze Arbeit chronologisch aufgebaut (also in der zeitlichen Reihenfolge, in der ich die verschiedene Erkenntnisse gesammelt habe)!
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"Mathematik: Was sind quaternionische Fraktale?" | 9 Comments
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Re: Was sind quaternionische Fraktale?
von: LutzL am: Fr. 17. Februar 2006 15:39:25
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Hi,

erstmal eine schöne Beschreibung eines Mathe-Experiments.

2.) ich nehme an (gerade beim Menger-Schwamm), dass die Bilder der klassischen Fraktale ebenfalls aus der Wikipedia stammen. Bitte dazu ebenfalls einen Quellennachweis oder Hinweis, dass diese dorther sind. Schau bitte auch in die commons.w..., da es dort evtl. schönere Bilder gibt.

3.) Quaternionen sind reell 4-dimensional. Die Reduktion von 4 auf 3 auf 2 Dimensionen sollte etwas besser erklärt werden.

4.) Im deutschen oder englischen Wikipedia-Artikel gibt es einen Link auf eine Seite, die die Theorie der allgemeinen Julia-Mengen sehr schön erläutert.

5.) Die Formel zu Hausdorff-Dimension solltest Du auch in TeX setzen, das Bild ist arg verwaschen und im Original ja auch TeX.

6.) Zu einem der weiter hinten stehenden Probleme: Jedes rein imaginäre Einheitsquaternion definiert eine komplexe Ebene. Wie Du richtig schreibst, definieren Quaternionen Drehungen, und zwar jedes Einheitsquaternion q eine Drehung fed-Code einblenden der rein imaginären Quaternionen. Nimmt man den komplexen Teil von q und normiert ihn zu einem rein imaginären Quaternion e, so ist q=cos(a)+sin(a).e und die Drehung zu q hat die Rotationsachse e mit Rotationswinkel 2a. Man kann sich in der Tat fragen, wieweit sich hierdurch die Parametermenge reduzieren läßt.

7.) in 4.1. Entweder als Tupel (x,y,z,w) oder als Summe x+iy+jz+kw. Gleich nachfolgend: auch das komplexe Mandelbroit-Fraktal kann man sinnvoll nur mit dem Computer bauen. Ich habe es mal mit Millimeterpapier und einem progrmmierbaren Taschenrechner mit 480Bytes Programmspeicher versucht, es war mühsam.

8.) Der prinzipielle Unterschied zwischen 2D und 3D ist, dass man 2D einfach Pixel einfärben kann, 3D muss aber eine Oberfläche definiert werden und per Raytraching oder einfacherer 3D-Verfahren dargestellt werden. 2D ist es egal, wo die Grenze liegt, das Zusammenfügen der Pixel zur Figur macht der Betrachter mit seiner visuellen Brainsoft. 3D muss der Computer schon die Figur erkennen. Schatten und Highlights sind da nachgelagerte Probleme.

9.) In 4.4 solltest Du verraten, ob Du jetzt eine Julia- oder eine Mandelbroit-Menge darstellst. Du solltest auch nicht von einem Startwert reden, der ist für jeden Punkt anders, sondern vom Parameter der Juliamenge. Bei Mandelbroit ist es umgekehrt, da ist der Startwert der Iteration immer 0 und der zu beurteilende Punkt der Parameter.

10.) Du solltest Deine hyperkomplexen Zahlen etwas genauer definieren. Ich kenne nur Quaternionen, Oktonionen und ? (von Dimension 16) als hyperkomplexe Zahlen. Einfach die quaternionische Multiplikation kommutativ machen geht nicht, da dann 1=-1 folgt.

Ciao Lutz

PS: 11.) Geh nochmals kritisch alle Wörter mit "ss" durch. Ich bin mir sicher, dass es auch in neuester Rechtschreibung "heißt" heißt, und auch den Gauß würde ich in der ursprünglichen Schreibung lassen. Dass das alle Auslande anders machen, sollte kein Hindernis sein.\(\endgroup\)
 

Re: Was sind quaternionische Fraktale?
von: nevermind240585 am: Fr. 17. Februar 2006 17:57:16
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@LutzL: Danke vielmals für die Verbesserungsvorschläge !! Zum 11. Tipp, in der Schweiz gibt es kein "ß" mehr sondern nur noch "ss" (steht auch in meinem Duden so)- hmm... ist wohl in Deutschland anders?!

Danke noch einmal!!
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Re: Was sind quaternionische Fraktale?
von: weserus am: Fr. 17. Februar 2006 23:58:05
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Hallo Nevermind,

'Hut ab' von mir für Deine bisherige Leistung und Arbeit.
Ich habe nur ein paar kleine Schreibfehler und an einer
Stelle den Satzbau durch einen Vorschlag korrigiert.
Wichtig sind LutzL's Hinweise;insbesondere musst Du bei
Bildern im Detail die Quelle angeben(Urheberrechte).Auch
darauf hat LutzL zu Recht hingewiesen.
'heisst' und 'Gauss' schreibt man (leider) jetzt mit 'ss'.
Mit Deiner Zielsetzung und ihrer Umsetzung hast Du eine
'Leistung' gebracht, die meiner Meinung nach noch über
die eigentliche Arbeit hinausgeht. Diese Arbeitsmethode wird
Dir immer helfen.Viel Glück!
Gruss Peter\(\endgroup\)
 

Re: Was sind quaternionische Fraktale?
von: Rebecca am: Sa. 18. Februar 2006 00:31:49
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Hi Peter,

ich muss dir widersprechen. Auch nach der neuen Falschschreibung gilt (Auszug aus dem amtlichen Regelwerk §25):

Für das scharfe (stimmlose) s nach langem Vokal oder Diphthong
schreibt man ß, wenn im Wortstamm kein weiterer Konsonant folgt.
Das betrifft Wörter wie:
Maß, Straße, Grieß, Spieß, groß, grüßen; außen, außer, draußen,
Strauß, beißen, Fleiß, heißen

Steht der Buchstabe ß nicht zur Verfügung, so schreibt man ss. In der
Schweiz
kann man immer ss schreiben.

Gruß
Rebecca
\(\endgroup\)
 

Re: Was sind quaternionische Fraktale?
von: weserus am: Sa. 18. Februar 2006 14:50:19
\(\begingroup\)
Hallo Rebecca,

danke für den Hinweis! Du kannst, sollst und musst mir
widersprechen, wann immer es nötig ist; dann aber bitte
ohne 'e'. :-)
Deine Begründung hat mich (vorläufig)überzeugt.

Gruss Peter\(\endgroup\)
 

Re: Was sind quaternionische Fraktale?
von: LutzL am: Mo. 20. Februar 2006 09:39:46
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Hi nochmals,

bitte diskutiere Deinen LaTeX-Kopfbereich im entsprechenden Forum. Die PDF-Datei führt bei mir zum Einfrieren des Acrobat-Readers (7.0.5), das dürfte auch für andere ein Lesehindernis sein.

Nochmals zur Mathematik: Jedes Quaternion q lässt sich als x+y*e mit imaginärem Einheitsquaternion e und reellen x,y schreiben. Damit verläuft die Iteration von fed-Code einblenden vollständig in der durch e definierten Kopie der komplexen Ebene. Insbesondere ist das Konvergenzverhalten für variierende imaginärem Einheitsquaternionen e bei festen (x,y) dieselbe, woraus sich die Rotationssymmetrie in einigen der Schnitte ergibt.

Ciao Lutz\(\endgroup\)
 

Re: Was sind quaternionische Fraktale?
von: nevermind240585 am: Mo. 20. Februar 2006 14:27:22
\(\begingroup\)
@LutzL
Der Kopf- und Fussbereich sieht wie folgt aus : "
\pagestyle{headings}
\pagestyle{fancyplain}
\lhead{}
\chead{Was sind
quaternionische Fraktale?}
\rhead{}
\lfoot{Pascal D. Christen}
\cfoot{Maturarbeit 2005/2006}
\rfoot{Seite
\thepage
\hspace{2pt} von
\pageref{LastPage}}"
-brauchst du sonst noch 'was?

Danke für die Erläuterung des Zusammenhanges zwischen quat. Frkatalen und quat. Rotation!!!\(\endgroup\)
 

Re: Was sind quaternionische Fraktale?
von: LutzL am: Mo. 20. Februar 2006 15:04:17
\(\begingroup\)
Hi,

irgendwas stimmt mit dem pdf nicht. Mit einem Standardkopf wie Du ihn benutzt, sollte ein problemloses File entstehen. Es muss etwas sehr seltsames sein, wenn der Acroreader Probleme hat, der Ghostview aber nicht. Welche pdf-bezogenen Pakete benutzt Du? Wie hast Du das pdf-File erstellt? Am besten wäre pdflatex.

Ciao Lutz

Edit: Alles Stop. Scheint wirklich ein sehr lokales Problem zu sein.


Übrigens, neben dem Mandelbrot-Porträt, nach der Rekursionsgleichung, fehlt ein Leerzeichen.\(\endgroup\)
 

Re: Was sind quaternionische Fraktale?
von: nevermind240585 am: Mo. 20. Februar 2006 20:30:24
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@LutzL nochmals Danke! Werde in den nächsten Tagen eine verbesserte Version (mit deinen Tipps und Verbesserungsvorschlägen)uppen!\(\endgroup\)
 

 
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