Mathematik: Distributionen
Released by matroid on Di. 21. Februar 2006 21:51:30 [Statistics]
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Analysis

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Dieser Artikel beschäftigt sich mit einer Einführung in die Theorie der Distributionen. Diese stellen in einem Sinne eine Verallgemeinerung von Funktionen dar. Ich möchte als erstes klären, was eine Distribution überhaupt ist, und danach darauf eingehen, in welchem Sinn dies den Funktionsbegriff verallgemeinert.
Danach möchte ich noch darauf eingehen, wie man die wichtigen Operationen des Differenzierens und des Fouriertransformierens auf Distributionen ausdehnt.

Für die Wissenden sei hier erwähnt, dass ich in diesem Artikel sogenannte temperierte Distributionen behandele.


Motivation


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Grundlegende Definitionen



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Die wichtigsten Beispiele


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Differenzieren von Distributionen


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Die Fouriertransformation


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Pullbacks


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Abschluss


Ich hoffe diese kurze Einführung war nicht zu schnell. Ich bin hier nicht wirklich in die Theorie der Distributionen eingetaucht, sondern habe nur einen Überblick geben wollen, was sie eigentlich sind.
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Es gibt ausserdem noch Operationen die sehr viel schwieriger fortzusetzen sind, wie zum Beispiel die Faltung oder kann das Pullback dann nur für Submersionen bewiesen werden. Multiplizieren von Distributionen ist nur in einigen Spezialfällen möglich. Ausserdem ist noch eine interessante Fragestellung, wann eine Distribution als Ableitung einer stetigen Funktion dargestellt werden kann. Auch für dieses Problem gibt es Antworten. Allerdings würden sie den Rahmen hier sprengen, genau wie auch die Lösbarkeitsfrage von partiellen Differentialgleichungen durch Distributionen, oder die Existenz von Fundamentallösungen.

Anhang: Ableitungen von Distributionen


In diesem Abschnitt möchte ich noch ein paar Eigenschaften von Distributionen und Ableitungen zusammenfassen. Dies geschieht in Form eines Anhangs, da ich einiges verwenden möchte, was ich zuvor nicht unbedingt erwähnt habe.

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: Analysis :: Distributionen :: Reine Mathematik :
Distributionen [von cow_gone_mad]  
Dieser Artikel beschäftigt sich mit einer Einführung in die Theorie der Distributionen mit einer Motivation aus der Physik.
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"Mathematik: Distributionen" | 11 Comments
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Re: Distributionen
von: Wally am: Mi. 22. Februar 2006 10:15:19
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Hallo, cow-gone-mad,

die Zusammenstellung der Themen und die Präsentaion gefällt mir.

Ich habe noch ein paar Vorschläge, die hauptsächlich daher kommen, dass ich ein paar Beispiele mehr noch besser fände.

1. Wie wär's mit der Heaviside-Funktion als weiterem Beispiel. Man hätte dann auch sofort die Delta-Distribution als Ableitung.

2. Du solltest vielleicht deutlicher herausstellen, dass die Ableitung für reguläre Distributionen die "normale" Ableitung ist

3. Streich doch noch heraus, dass die F.T der Delta-Distibution in Null gerade die 1 ist, so dass Delta als neutrales Element in Faltungsalgebren erhält.

Viele Grüße

Wally\(\endgroup\)
 

Re: Distributionen
von: cow_gone_mad am: Mi. 22. Februar 2006 13:09:50
\(\begingroup\)
Hallo Wally :-)

Erstmal danke, ich glaube ich werde mich irgendwann ans Verbessern machen.

Aber noch ein Kommentar zu 3. Es stimmt schon, dass man Delta dann als 1 in Faltungsalgebren hat. Allerdings muss man sich davor mit den technischen Schwierigkeiten die Faltung zwischen 2 Distributionen zu erklären herumschlagen. Dafür muss man sich dann erstmal mit translationsinvarianten Operatoren auseinander setzen.

Liebe Grüsse,
cow_\(\endgroup\)
 

Re: Distributionen mit Updates
von: cow_gone_mad am: Mi. 22. Februar 2006 20:36:57
\(\begingroup\)
Hallo zusammen :-)

Ich will nur kurz auf ein paar Updates im Artikel aufmerksam machen. Vor allem der Anhang ist neu.

Liebe Grüsse,
cow_\(\endgroup\)
 

Re: Distributionen
von: syngola am: Do. 23. Februar 2006 11:06:21
\(\begingroup\)
Hallo Cow,

sehr schoener Artikel, schade nur dass man recht viel Ahnung haben muss von Distributionen um ueberhaupt zu verstehen was da alles vor sich geht. Aber auf jeden Fall ein guter Anreiz sich damit etwas naeher zu beschaeftigen!

Gruss, Peter\(\endgroup\)
 

Re: Distributionen
von: cow_gone_mad am: Do. 23. Februar 2006 17:43:42
\(\begingroup\)
Hallo Peter :-)

Ich habe eigentlich versucht das nötige Wissen über Distributionen möglichst gering zu halten. Was ich nicht mache ist auf die genauen Eigenschaften der Schwartzklasse einzugehen, zum Beispiel was die Konvergenz wirklich bedeutet. Dies ist auf jeden Fall nötig, wenn man tiefer in das Thema eintauchen möchte.
Allerdings ist dann der Zugang über Funktionen mit kompaktem Träger deutlich günstiger.

Aber ich habe diesen Artikel auch nicht geschrieben, um eine wirklich ausführliche Erklärung der Distributionentheorie zu liefern. Er soll eher eine Erklärung: "Was ist das?", "Was kann man?" und eine Motivation sein sich damit zu beschäftigen. Also glaube ich bei dir hat er es getan :-)

Liebe Grüsse,
cow_\(\endgroup\)
 

Re: Distributionen
von: continuous am: Fr. 24. Februar 2006 12:44:22
\(\begingroup\)
Hallo cow,

eine Frage an dich: zu jedem linearen Differentialoperator gibt es ja eine Fundamentallösung im Distributionssinne.
Kann man diese auch konstruktiv angeben?

Grüße,
Christian
\(\endgroup\)
 

Re: Distributionen
von: continuous am: Fr. 24. Februar 2006 12:44:36
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PS: schöner Artikel!\(\endgroup\)
 

Re: Distributionen
von: cow_gone_mad am: Fr. 24. Februar 2006 13:35:10
\(\begingroup\)
Hallo Christian :-)

Oben steht nicht, dass sie existieren! Das stimmt nämlich nicht ...

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Und Danke!!!

Liebe Grüsse,
cow_


[1] techmath.uibk.ac.at/wagner/psfiles/TRIER.ps\(\endgroup\)
 

Re: Distributionen
von: continuous am: Fr. 24. Februar 2006 13:47:22
\(\begingroup\)
Danke Cow,

ich meinte ja auch nur mit konstanten Koeffizienten...

Grüße,
Christian\(\endgroup\)
 

Re: Distributionen
von: cow_gone_mad am: Fr. 24. Februar 2006 21:49:48
\(\begingroup\)
Hallo zusammen :-)

Noch eine Anmerkung zur Behandelbarkeit mit Distributionen. Man kann mit ihnen prinzipiell nur lineare Probleme behandeln, da man sie nicht multiplizieren kann.
Also muss man bei nicht linearen Problemen noch immer zu anderen Mitteln greifen. (Zum Beispiel Einstein Gleichungen).

Liebe Grüsse,
cow_\(\endgroup\)
 

Re: Distributionen
von: Nodorsk am: Mo. 18. September 2006 22:36:45
\(\begingroup\)
Hallo cow,

das ist ein schön zu lesender Artikel, gefällt mir gut.

Gruß
Marc
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