\(\begingroup\)In meinen Artikeln (siehe hier) habe ich einige Funktionen gezeigt, die in der Schule, sogar im Abitur, sehr gerne genommen werden und von denen eine komplette Kurvendiskussion gefordert werden könnte.
Deshalb möchte ich euch mit diesem Artikel die Kurvendiskussionen einiger Funktionen exemplarisch zeigen.
Ich werde mich zuerst auf ganzrationale Funktionen, gebrochenrationale Funktionen, e-Funktion, Logarithmusfunktion (und Scharen), Wurzel-Funktionen und Trigonometrische Funktionen beschränken.
Somit solltet ihr die wichtigsten Funktionen untersuchen können, die euch im Schulalltag begegnen werden.
Der Artikel soll aber weiterhin vervollständigt werden. (Alle sind aufgerufen)
Vorgesehen sind vor allem Funktionen, die Schülern begegnen. :-)
1) Zu allererst wird der Definitionsbereich der Funktion bestimmt, da sich dadurch bei der weiteren Untersuchung eventuell Einschränkungen machen lassen.
2) Wenn die Funktion an bestimmten Stellen nicht definiert ist, so muss überprüft werden, ob an diesen Stellen ein Grenzwert existiert oder die Funktion gegen Unendlich strebt. Entsprechend ergibt sich, ob die Funktion eine stetig behebbare Definitionslücke oder eine Polstelle hat.
Diese Untersuchung bezieht sich vor allem auf gebrochenrationale Funktionen.
Des weiteren kann das Verhalten für betragsgroße x untersucht werden.
3) Die Funktion muss auf Symmetrie untersucht werden.
4) Die Nullstellen der Funktion müssen bestimmt werden. Es kann auch der y-Achsenabschnitt erwartet werden.
5) Ableitungen werden gebildet. In unseren Fällen reichen maximal drei Ableitungen.
6) Die Funktion wird auf mögliche Extrempunkte untersucht.
7) Wendepunkte sollten nicht vergessen werden.
Dabei schaut auch auf so genannte Sattelpunkte und vergesst nie die notwendige und hinreichende Bedingung (dazu aber später mehr).
8) Gibt es Asymptoten? Wie verläuft der Graph?
9) Zum Schluss wird der Wertebereich angegeben.
Solche Punkte sollten bei Kurvendiskussionen berücksichtig werden. Dies kann aber je nach Funktion variieren!
Eine Erklärung zu den einzelnen Punkten findet man im Artikel von Gockel.
Folgende Funktion f(x)=(3x^3+x^2-4)/(4x^2-16) soll untersucht werden.
\grey\ 1. Definitionsbereich:
Die Funktion ist nicht definiert an den Stellen, an denen das Nennerpolynom 4x^2-16 Null wird.
0=4x^2-16
16=4x^2
x=+-2
D=\IR \\ {-2,2}.
\grey\ 2. Symmetrie:
Untersuche auf Punktsymmetrie zu O(0 \| 0) \(man sagt
oft vereinfachend "Punktsymmetrie"\). Dafür müsste gelten: f(-x)=-f(x)
f(-x)=-f(x)
(-3x^3+(-x)^2-4)/(4(-x)^2-16) =- (3x^3+x^2-4)/(4x^2-16)
- (3x^3-x^2+4)/(4x^2-16)=- (3x^3+x^2-4)/(4x^2-16)
Falsche Aussage.
Somit ist der Graph von f vec(nicht) zum Ursprung symmetrisch.
Er ist aber dennoch punktsymmetrisch, und zwar zum Punkt (0, 1/4).
Zur Überprüfung kann man ansetzen:
f(x)-1/4 = -(f(-x)-1/4)
(3*x^3+x^2-4)/(4*x^2-16)-1/4 = -(3*(-x)^3+(-x)^2-4)/(4*(-x)^2-16)+1/4
(3*x^3+x^2-4)/(4*x^2-16)-(x^2-4)/(4*x^2-16) = -(-3*x^3+x^2-4)/(4*x^2-16)+(x^2-4)/(4*x^2-16)
(3*x^3+x^2-4-x^2+4)/(4*x^2-16) = (3*x^3-x^2+4+x^2-4)/(4*x^2-16)
(3*x^3)/(4*x^2-16) = (3*x^3)/(4*x^2-16)
Die Aussage ist wahr, also liegt eine Punktsymmetrie zu (0, 1/4) vor.
\grey\ 3. Verhalten für betragsgroße x:
Durch Polynomdivision zerlegen wir dem Term f(x) in einen ganzrationalen und gebrochenrationalen Anteil:
(3x^3+x^2-4):(4x^2-16)=3/4 *x+1/4 +(12x)/(4x^2-16)=3/4 *x+1/4+(3x)/(x^2-4) .
Wenn x unbeschränkt wächst, strebt (3x)/(x^2-4)=(3/x)/(1-4/x^2) gegen 0. Daher kommt der Graph von f für betragsgroße x der Geraden y=3/4 *x+1/4 beliebig nahe.
Die Gerade y=3/4 *x+1/4 ist also \big\ Asymptote des Graphen von f.
\grey\ 4. Verhalten der Funktionswerte in der Nähe der Definitionslücken:
a) Stelle x=2:
Am Term f(x)=(3x^3+x^2-4):(4x^2-16) = (3x^3+x^2-4)/4(x^2-4) erkennt man:
Wenn x->2 und x>2, dann strebt der Zähler von f(x) gegen 24 und der Nenner gegen 0.
Da wegen x>2 der Nenner positiv ist, folgt f(x)->+\inf .
Wenn x->2 und x<2, dann ist der Nenner negativ (sobald x>-2) und man erhält f(x)->-\inf .
An der Stelle x=2 liegt also ein Pol mit Vorzeichenwechsel vor.
b) Stelle x=-2:
Für x->-2 und x>-2, gilt f(x)->+\inf .
Für x->-2 und x<-2, gilt f(x)->-\inf .
An der Stelle x=-2 liegt also ebenfalls ein Pol mit Vorzeichenwechsel vor.
Der Funktionsgraph hat zwei senkrechte (auch vertikal genannte) Asymptoten:
x=-2 und x=2.
\grey\ 5. Gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen:
- Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0:
f(0)=(3*(0)^3+(0)^2-4)/(4*(0)^2-16)=1/4
S_y(0, 1/4)
- Schnittpunkt mit der x-Achse: f(x)=0
0=(3x^3+x^2-4)/(4x^2-16)
Ein Quotient wird 0, wenn der Zähler 0 wird und der Nenner nicht 0 ist. Aus diesem Grund beschränke ich mich auf den Zähler:
0=3x^3+x^2-4
Dies könnten wir mit einer Polynomdivison lösen, wenn wir eine weitere Nullstelle kennen würden.
Man sieht leicht, dass x=1 eine Nullstelle ist:
(3x^3+x^2-4):(x-1)=3x^2+4x+4
Hier wenden wir die p, q-Formel an:
0=3x^2+4x+4
0=x^2+4/3 *x +4/3
x_(1, 2)=2/3+-sqrt(4/9-12/9)
Wurzeln aus negativen Zahlen sind aber in der Menge der reellen Zahlen
nicht definiert.
Aus diesem Grund haben wir nur eine Nullstelle: x=1
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N(1, 0).
\grey\ 6. Verlaufsfelder
(vereinfacht durch Graphdarstellung)
\grey\ 7. Ableitungen:
f(x)=(3x^3+x^2-4)/(4x^2-16)
f'(x)=3/4 *x^2* (x^2-12)/(x^2-4)^2
f''(x)=6x* (x^2+12)/(x^2-4)^3
\grey\ 8. Extrempuntke:
Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes f'(x)=0:
0=3/4 *x^2* (x^2-12)/(x^2-4)^2
0=x^2-12
x^2=0\or\ 0=x^2-12
x_1=0\or\ x_(2,3)=+-sqrt(12)
Hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes f'(x)=0 \and\ f''(x)!=0:
f''( sqrt(12) )>0: Minimum
f''(- sqrt(12) )<0: Maximum
f''(0)=0 Hinreichende Bedingung nicht erfüllt!
T (sqrt(12) \| - 3.46)
H(- sqrt(12)\| -3,65)
\grey\ 9. Wendepunkte:
Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Wendepunktes: f''(x)=0:
0=6x* (x^2+12)/(x^2-4)^3
6x=0
x=0
x^2+12=0
x^2=-12 Wurzeln aus negativen Zahlen sind in der Menge der reellen
Zahlen nicht definiert!
Hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Wendepunktes: f''(x)=0 \and\ f'''(x)!=0:
f'''(0)!=0
An der Stelle x=0 liegt sogar ein Sattelpunkt vor, da f'(0)=0.
\grey\ 10. Wertebereich:
W=\IR
\grey\ 11. Graph zeichnen:
2.1.1 Untersuchung einer Schar von einer gebrochenrationalen Funktion
Folgende Funktion f(x)=(x-k)/(x^2) mit k>0 soll untersucht werden.
\grey\ 1. Definitionsbereich:
Die Funktion ist nicht definiert an den Stellen, an denen das Nennerpolynom x^2 Null wird.
0=x^2
x=0
D=\IR \\ {0}.
\grey\ 2. Symmetrie:
Wir vermuten, dass weder Symmetrie zur y\-Achse \(man sagt vereinfachend
"Achsensymmetrie"\) noch Punktsymmetrie bzgl. (0,0) vorliegen.
Für Achsensymmetrie müsste gelten: f(-x)=f(x)
f(-x)=f(x)
Beispiel für x=1
f(-1)=f(1)
(-1-k)/(-1)^2 =(1-k)/1
-1-k=1-k
Falsche Aussage!
Somit liegt keine Achsensymmetrie zur y\-Achse vor.
Für Punktsymmetrie bzgl. (0,0) müsste gelten: f(-x)=-f(x)
f(-x)=-f(x)
Beispiel für x=1
f(-1)=-f(1)
(-1-k)/(-1)^2 =(-1+k)/1
-1-k=-1+k
Falsche Aussage!
Somit liegt auch keine Ursprungssymmetrie vor.
Daraus können wir aber nicht schließen, dass der Graph zu keinen anderen
Geraden oder Punkten symmetrisch ist, wie wir in obigem Beispiel gesehen
haben.
\grey\ 3. Verhalten für betragsgroße x:
Für x->\inf geht f(x)->0, da aufgrund des höheren Grades des Nennerpolynoms das Nennerpolynom schneller wächst als das Zählerpolynom.
Für x->-\inf geht f(x)->0. Begründung ist analog wie oben.
Natürlich ist die Begründung etwas schwammig und unpräzise und müsste nachgewiesen werden. Hierauf möchte ich aber verzichten und jedem interessierten Leser selbst überlassen.
\grey\ 4. Verhalten der Funktionswerte in der Nähe der Definitionslücken:
Da im Nennerpolynom eine doppelte Nullstelle bei x=0 vorliegt, haben wir an der Stelle x=0 einen Pol ohne Vorzeichenwechsel, da die Differenz der Vielfachheit der Nullstellen im Zählerpolynom und im Nennerpolynom gerade ist (siehe Definition).
Der Funktionsgraph hat eine senkrechte (vertikale) Asymptote, x=0.
\grey\ 5. Gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen:
- Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0:
Ist nicht definiert, da 0 aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen wurde.
- Schnittpunkt mit der x-Achse: f(x)=0
0=(x-k)/x^2
Ein Quotient wird 0, wenn der Zähler 0 wird. Aus diesem Grund beschränke ich mich auf den Zähler:
0=x-k
x=k
N(k, 0)
\grey\ 6. Ableitungen:
f(x)=(x-k)/x^2
Ableitungen erfolgen mit der Quotientenregel:
f'(x)=(x^2-2x(x-k))/x^4 =(x^2-2x^2+2kx)/x^4
f'(x)=(-x^2+2kx)/x^4 =(-x+2k)/x^3 =- (x-2k)/x^3
f''(x)=(2(x-3k))/x^4
f'''(x)=- (6(x+4k))/x^5
\grey\ 7. Extrempuntke:
Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes f'(x)=0:
0=(-x+2k)/x^3
Da der Nenner nicht 0 werden darf, beschränke ich mich auf den Zähler.
0=-x+2k
x=2k mögliche Extremstelle
Hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes f'(x)=0 \and\ f''(x)!=0:
f''(2k)=(-2k)/(16k^4)=- 1/(8k^3) <0, da k>0: Maximum
Berechnung des Hochpunktes:
f(2k)=(2k-k)/(2k^2)=k/(4k^2)=1/(4k)
H(2k, 1/(4k)
\grey\ 8. Wendepunkte:
Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Wendepunktes: f''(x)=0:
0=(2(x-3k)/x^4)
Da der Nenner nicht 0 werden darf, beschränke ich mich auf den Zähler.
0=2(x-3k)
x=3k mögliche Wendestelle
Hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Wendepunktes: f''(x)=0 \and\ f'''(x)!=0:
f'''(3k)=(42k)/(243k^5)=42/(243k^4) !=0, da k>0.
Berechnung des Wendepunktes:
f(3k)=(2k)/(9k^2)=2/(9k)
W(3k, 2/(9k))
\grey\ 9. Wertebereich:
W=\IR
\grey\ 10. Graph zeichnen:
Bei Kurvenscharen solltet ihr, wenn es nicht als Extraaufgabe vorgegeben ist, immer folgende Aufgaben untersuchen und lösen:
1. Auf welcher Kurve liegen alle Extrempunkte?
2. Auf welcher Kurve liegen allen Wendepunkte?
Ich will eine kurze Lösung hierzu angeben:
1. Kurven, auf der alle Extrempunkte liegen:
Wir haben den Hochpunkt H(2k, 1/(4k) ). Diesen nutzen wir.
Zuerst formen wir den x-Wert x=2k nach k um.
x=2k
k=x/2
Dieses k setzen wir in den y-Wert des Hochpunktes ein:
y=1/(4k)=1/(2*x)
Auf der Kurve g(x)=1/(2*x) liegen alle Extrempunkte.
2. Kurven, auf der alle Wendepunkte liegen:
Wir haben den Wendepunkt W(3k, 2/(9k) ). Diesen nutzen wir.
Zuerst formen wir den x-Wert x=3k nach k um.
x=3k
k=x/3
Dieses k setzen wir in den y-Wert des Wendepunktes ein:
y=2/(9k)=2/(3*x)
Auf der Kurve g(x)=2/(3*x) liegen alle Wendepunkte.
Untersuche die Funktion f(x)=exp(2x)-5*exp(x)+6 .
\grey\ 1. Definitionsbereich:
D=\IR , da man alle x aus der Menge der reellen Zahlen einsetzen darf und es keine Einschränkung gibt.
\grey\ 2. Symmetrie:
Wir haben die Vermutung (durch Anschauen des Graphen im Taschenrechner), dass der Graph weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch ist.
Für Achsensymmetrie - zur y-Achse - müsste gelten: f(-x)=f(x) .
Also zum Beispiel f(-1)=f(1):
f(-1)=f(1)
e^(-2)-5e^(-1)+6=e^2-5e+6
4,295=-0,202353043...
Dies ist eine \big\ falsche Aussage.
Der Graph von f ist also nicht achsensymmetrisch.
Für Punktsymmetrie - bezüglich des Koordinatenursprungs - müsste gelten f(-x)=-f(x):
Also zum Beispiel f(-1)=-f(1) :
f(-1)=-f(1)
e^(-2)-5e^(-1)+6=-e^2+5e-6
0,2023... =4,295
Dies ist eine \big\ falsche Aussage.
Der Graph von f ist also nicht punktsymmetrisch.
Daraus folgt, dass der Graph von f weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch ist.
\grey\ 3. Verhalten für betragsgroße x:
exp(2x)-5*exp(x)+6=exp(2x)*(1-5/exp(x)+6/exp(2x))
Für x->+\inf , gehet f(x)->+\inf , da
5/exp(x) gegen 0 strebt,
6/exp(2x) strebt ebenfalls gegen 0
1 strebt gegen 1, somit strebt die Klammer gegen 1.
exp(2x) strebt gegen +\inf
Damit strebt die ganze Funktion gegen +\inf, weil die e-Funktion schneller wächst.
(Dies kann noch mit anderen mathematische Mitteln begründet werden,
darauf will ich hier verzichten)
Für x->-\inf , strebt f(x)->6 , da
exp(2x) und 5*exp(x) gegen 0 streben.
6 strebt gegen 6.
Deshalb strebt die ganze Funktion gegen 6.
\grey\ 4. Gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen:
- Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0
f(0)=e^0-5e^0+6=1-5+6=2
S_y(0, 2)
- Schnittpunkt mit der x-Achse: f(x)=0
0=exp(2x)-5*exp(x)+6
Substitution z=exp(x)
0=z^2-5z+6
Anwendung der p, q-Formel:
z_(1,2)=2,5+-sqrt(6,25-6)=2,5+-0,5
z_1=3
z_2=2
Rücksubstitution:
exp(x)=z
exp(x)=2 \or\ exp(x)=3
x_1=ln2 \or\ x_2=ln3
N_1(ln3, 0) und N_2(ln2, 0)
\grey\ 5. Ableitungen:
f(x)=exp(2x)-5*exp(x)+6, f'(x)=2*exp(2x)-5*exp(x), f''(x)=4*exp(2x)-5*exp(x),
f'''(x)=8*exp(2x)-5*exp(x)
\grey\ 6. Extrema:
Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Extremums f'(x)=0 :
0=2*exp(2x)-5*exp(x)=exp(x)*(2*exp(x)-5)
Da exp(x)!=0 (nach Definition) beschränke ich mich auf den 2. Faktor, denn ein Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird.
0=2*exp(x)-5
2,5=exp(x)
x=ln(2,5)
Hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes f'(x)=0 \and\ f''(x)!=0:
f''(ln2,5)=12,5 >0: Minimum
Berechnung des Tiefpunktes:
f(ln2,5)=-1/4
T(ln2,5, -1/4)
\grey\ 7. Wendepunkte:
Notwendige Bedingung für das Vorhandensein einer Wendestelle f''(x)=0:
0=4*exp(2x)-5*exp(x)=exp(x)(4*exp(x)-5)
Da exp(x)!=0 (nach Definition) beschränke ich mich auf den 2. Faktor, denn ein Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird.
0=2*exp(x)-5
0=4*exp(x)-5
5/4=exp(x) |ln
x=ln(5/4)
Hinreichende Bedingung für das Vorhandensein einer Wendestelle f''(x)=0 \and\ f'''(x)!=0:
f'''(ln(5/4))=6,25 !=0
Berechnung des Wendepunktes:
f(ln(5/4))=1,3125
W(ln(5/4)), 1,3125)
\grey\ 8. Wertebereich:
W={y|y>=-1/4}
\grey\ 9. Graph zeichnen:
3.2 e-Funktion – Schar
Hier möchte ich eine Abituraufgabe aus Hessen verwenden:
Für jedes k ( k\el\ \IR, k>1 ) ist eine Funktion f_k(x)=(1/2 *x-k)*e^(1/k *x) (x\el\ \IR) und deren 2. Ableitung f_k''(x)=x/2k^2 *e^(1/k *x) (x\el\ \IR) gegeben.
Untersuche den Graphen der Funktion f_k bezüglich Definitionsbereich, Verhalten für betragsgroße x, Schnittpunkte mit den Koordinantenachsen, Extrempunkte, Wendepunkte, sowie Wertebereich.
\grey\ 1. Definitionsbereich:
D=\IR
\grey\ 2. Verhalten für betragsgroße x:
Für x->+\inf , geht f(x)->+!=, da
(1/2 *x-k)->\inf
e^(1/k *x)->\inf
Daraus folgt, dass f(x) für x->\inf gegen \inf strebt.
Für x->-\inf , strebt f(x)->0, da
(1/2 *x-k)->-\inf
e^(1/k *x)->0
Die e-Funktion wächst schneller als 1/2 *x-k und deshalb strebt f(x) gegen 0.
\grey\ 3. Gemeinsame Punkte mit den Koordinantenachsen:
- Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0
f(0)=(1/2 *0-k)*e^(1/k *0)=-k
S_y(0, -k)
- Schnittpunkt mit der x-Achse: f(x)=0:
0=(1/2 *x-k)*e^(1/k *x)
Da e^(1/k *x) nicht 0 werden kann, beschränke ich mich zur Nullstellenberechnung auf den 1. Faktor, denn ein Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird.
0=1/2 *x-k
x=2k
N (2k, 0)
\grey\ 4. Ableitungen:
f_k(x)=(1/2 *x-k)*e^(1/k *x)
f'_k(x)=e^(1/k *x)*(1/2k *x-1/2)
f''_k(x)=e^(1/k *x)*x/2k^2
f'''_k(x)=e^(1/k *x)*(x/2k^3 +1/2k^2)
\grey\ 5. Extrempunkte:
Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes f'(x)=0:
0=e^(1/k *x)*(1/2k *x-1/2)
Da e^(1/k *x) nicht 0 werden kann, beschränke ich mich auf den 2. Faktor, denn ein Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird.
0=(1/2k *x-1/2)
x=k mögliche Extremstelle
Hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes f'(x)=0 \and\ f''(x)!=0:
f''(k)=e^(1/k *k) *k/2k^2 =e*1/2k , da k>1 >0: Minimum
Berechnung des Tiefpunktes:
f(k)=-1/2*e*k
T(k, -1/2*e*k)
\grey\ 6. Wendepunkte:
Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Wendepunktes f''(x)=0:
0=e^(1/k *x)*x/2k^2
Da e^(1/k *x) nicht 0 werden kann, beschränke ich mich auf den 2. Faktor, denn ein Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird.
0=x/2k^2
x=0
mögliche Wendestelle.
Hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Wendepunktes f''(x)=0 \and\ f'''(x)!=0:
f'''(0)=e^(1/k *0)*1/2k^2=1/2k^2 !=0, da k>1
Berechnung des Wendepunktes:
f(0)=-k
W(0, -k)
\grey\ 7. Wertebereich:
W={y|y>=-1/2*e*k}=\IR
Denn der Tiefpunkt ist von k abhängig, das heißt, dass dieser in Richtung der y-Achse nach unten beliebig verschoben werden, denn k>1, somit kann der Tiefpunkt nur einen negativen y-Wert annehmen und somit ist die Wertemenge die Menge aller reellen Zahlen!
\light a) Untersuche die Funktion f(x)=x * ln(x)
\grey\ 1. Definitionsbereich:
Da ln(x) nur für x>0 definiert ist, ergibt sich für die Funktion \IR^+
als Definitionsmenge. Es erübrigt sich damit die Frage nach der Symmetrie des Graphen und nach dem Schnittpunkt mit der y-Achse.
\grey\ 2. Untersuchung des Grenzwertverhaltens von f:
\stress\ Vorgriff: Für die Untersuchung der Funktion f(x) für x->0 schreiben wir x=e^(-z).
(1) Verhalten für x->\inf :
Wegen x->\inf und ln(x) ->\inf gilt: f(x)=x*ln(x) ->\inf
(2) Verhalten für x->0:
Schreibt man x in der Form e^(-z), so ergibt sich: x*ln(x)=e^(-z)*ln(e^(-z))=-z*e^(-z).
Es gilt weiter: x strebt genau dann gegen 0, wenn z gegen \inf strebt.
Da lim(z->\inf ,z*e^(-z))=0, gilt: lim(x->0,x*ln(x))=0
Anschaulich bedeutet dieses Ergebnis: x strebt "schneller" gegen 0 als ln(x) gegen -\inf .
\grey\ 3. Symmetrie:
Erübrigt sich, Begründung siehe 1. Definitionsmenge.
\grey\ 4. Gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen:
- Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0, aber 0 \notel \ID
- Schnittpunkt mit der x-Achse: f(x)=0
0=x*ln(x) array( )\|:x (erlaubt, da x>0)
0=ln(x) array( )\|e
e^0=x
x=1
N(1, 0)
\grey\ 5. Ableitungen:
f(x)=x*ln(x)
Anwendung der Produktregel ergibt:
f'(x)=ln(x)+1
f''(x)=1/x
\grey\ 6. Extrema:
Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes f'(x)=0:
0=ln(x)+1 array( )\|-1
-1=ln(x) array( )\|e
e^(-1)=x
x=1/e
Hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes f'(x)=0\and\ f''(x)!=0:
f''(1/e)=e>0: Minimum
Berechnung des Tiefpunktes durch Einsetzen des x-Wertes des Minimums in die Funktion
T(1/e, -1/e)
\grey\ 7. Wendepunkte:
Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Wendepunktes f''(x)=0:
0=1/x array( )\|*x
0=1 falsche Aussage
Andere Begründung:
Es gilt: f''(x)=1/x >0 für alle x.
Also: Der Graph von f hat keinen Wendepunkt.
\light b) Untersuche die Funktion g(x)=(ln(x))/x
\grey\ 1. Definitionsbereich:
Da ln(x) nur für x>0 definiert ist, ergibt sich für die Funktion \IR^+
als Definitionsmenge. Es erübrigt sich damit die Frage nach der Symmetrie des Graphen und nach dem Schnittpunkt mit der y-Achse.
\grey\ 2. Untersuchung des Grenzwertverhaltens von g:
\stress\ Für die Untersuchung von g(x) für x->\inf schreiben wir x=e^z .
(1) Verhalten für x->\inf :
Mit x=e^z ergibt sich (ln(x))/x=z/e^z .
Es gilt weiter: x strebt genau dann gegen \inf , wenn z gegen \inf strebt.
Da (ln(x))/x=z/e^z, gilt: lim(x->\inf ,(ln(x))/x)=lim(z->\inf ,z*e^(-z))=0
Der Graph von g kommt der x-Achse für x->\inf beliebig nahe, das heißt die x-Achse ist Asymptote des Graphen von g.
(2) Verhalten für x->0:
Da 1/x ->\inf und ln(x)->-\inf , gilt: g(x)=1/x *ln(x) ->-\inf .
\grey\ 3. Symmetrie:
Erübrigt sich, Begrüngung siehe 1. Definitionsmenge.
\grey\ 4. Gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen:
- Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0, aber 0 \notel \ID
- Schnittpunkt mit der x-Achse: f(x)=0
0=(ln(x))/x array( )\|*x (erlaubt, da x>0)
0=ln(x) array( )\|e
e^0=x
x=1
N(1, 0)
\grey\ 5. Ableitungen:
g(x)=(ln(x))/x
Anwendung der Quotientenregel ergibt:
g'(x)=(1-ln(x))/x^2
g''(x)=(2*ln(x)-3)/x^3
g'''(x)=(-6*ln(x)-7)/x^4
\grey\ 6. Extrema:
Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes g'(x)=0:
0=(1-ln(x))/x^2 array( )\|*x^2
0=1-ln(x) array( )\|-1
1=ln(x) array( )\|e
x=e
Hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes g'(x)=0\and\ g''(x)!=0:
g''(e)=-1/e^3 <0: Maximum
Berechnung des Hochpunktes durch Einsetzen des x-Wertes des Minimums in die Funktion
H(e, 1/e)
\grey\ 7. Wendepunkte:
Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Wendepunktes g''(x)=0:
0=(2*ln(x)-3)/x^3 array( )\|*x^3 (erlaubt, da x>0)
0=2*ln(x)-3 array( )\|+3 ; :2
3/2=ln(x) array( )\|e
e^(3/2)=x
Hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Wendepunktes g''(x)=0\and\ g'''(x)!=0:
Einsetzen von x=e^(3/2) in g'''(x)=(-6*ln(x)-7)/x^4
g(e^(3/2))!=0
Notwendige und hinreichende Bedingung sind erfüllt. Damit liegt an dieser Stelle ein Wendepunkt vor.
Setzt man diese Stelle in die Funktion g(x) ein, erhält man:
Der Punkt W(e^(3/2), 3/2*e^(-3/2)) ist also Wendepunkt des Graphen von g.
4.2 Natürliche Logarithmusfunktionsschar
Untersuche die Funktion f_k(x)=ln(x^2+k) mit k>0.
\grey\ 1. Definitionsbereich:
D=\IR
\grey\ 2. Symmetrie:
Wir vermuten, dass der Graph achsensymmetrisch ist.
Für Achsensymmetrie müsste gelten: f_k(-x)=f_k(x)
f_k(-x)=f_k(x):
ln((-x)^2+k)=ln(x^2+k) Wahre Aussage.
Somit ist der Graph achsensymmetrisch.
\grey\ 3. Verhalten für betragsgroße x:
Für x->+\inf , geht f(x)->+\inf , da
x^2+k gegen +\inf geht und somit ln(x^2+k) ebenfalls gegen +\inf strebt.
Für x->-\inf , geht f(x)->+\inf , da Achsensymmetrie vorliegt.
\grey\ 4. Gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen:
- Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0
f_k(0)=ln(0^2+k)=ln(k)
S_y(0, ln(k))
- Schnittpunkt mit der x-Achse: f(x)=0
0=ln(x^2+k) \|e
1=x^2+k \|-k
x^2=1-k
x=+-sqrt(1-k)
Für k=1 eine Nullstelle bei x=0 und einen Schnittpunkt N(0/0)
Für 01 keine Nullstellen.
\grey\ 5. Ableitungen:
f_k(x)=ln(x^2+k)
f'_k(x)=1/(x^2+k)*2x=(2x)/(x^2+k)
f''_k(x)=(-2*x^2+2*k)/((x^2+k)^2)
f'''(x)=(-4x*(x^2+k)-4*x(-2*x^2+2*k)/((x^2+k)^3)
\grey\ 6. Extrema:
Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes f'(x)=0:
0=(2x)/(x^2+k)
0=2x
x=0
Hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes f'(x)=0\and\ f''(x)!=0:
f''(0)=(2k)/k^2 =2/k , da k>0 folgt >0: Minimum
Berechnung des Tiefpunktes durch Einsetzen des x-Wertes des Minimums in die Funktion
f(0)=ln(k)
T(0, ln(k))
\grey\ 7. Wendepuntke:
Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes f''(x)=0:
0=(-2*x^2+2*k)/((x^2+k)^2)
0=-2*x^2+2*k
x=+-sqrt(k)
Hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes f''(x)=0\and\ f'''(x)!=0:
f'''( sqrt(k) )=(-4*sqrt(k)*2*k)/((2k)^3) !=0
f'''( - sqrt(k) )=(4*sqrt(k)*2*k)/((2k)^3) !=0
Berechnung des y-Wertes durch Einsetzen des x-Wertes der Wendestelle in die Funktion.
W_1(sqrt(k) , ln(2k)) und W_2(- sqrt(k) , ln(2k)
\grey\ 8. Wertebereich:
W={y\|y>=ln(k)}
Untersuche die Funktion f mit f(x)=2 sin(x)-sin(2x) .
Hier muss auch die Periodizität untersucht werden.
\grey\ 1. Symmetrie
Es gilt f(-x)=2 sin(-x)-sin(-2x)=-2 sin(x)+sin(2x)=-f(x)
Der Graph von f ist also punktsymmetrisch zum Ursprung (0, 0).
\grey\ 2. Periodizität
Die Funktion x->sin(x) und damit auch die Funktion x->2 sin(x) haben die Periode 2\pi , die Funktion x->sin(2x) hat die Periode \pi . Also hat f die Periode 2\pi . Daher genügt es, wenn wir die Funktion f nur in einem Intervall der Länge 2\pi untersuchen. Wir legen im folgenden das Intervall [0, 2\pi [ zugrunde.
\grey\ 3. Verhalten für betragsgroße x
Wegen der Periodizität ist kein spezielles Verhalten für betragsgroße x vorhanden.
\grey\ 4. Gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen
- mit der y-Achse: x=0
f(0)=0
S_y(0,0)
-mit der x-Achse: f(x)=0
0=2 sin(x)-sin(2x)
0=2 sin(x)-2 sin(x) * cos(x)
0=2 sin(x)*(1-cos(x))
sin(x)=0 oder 1-cos(x)=0
sin(x)=0 oder cos(x)=1
x_1=0 oder x_2=\pi oder x_3=0
Im dem vorgegebenen Intervall hat f also die Nullstellen 0 und \pi und die Schnittpunkte mit der x-Achse:
N_1(0,0), N_2(\pi,0)
\grey\ 5. Ableitungen:
f(x)=2 sin(x)-sin(2x)
f'(x)=2 cos(x)-2 cos(2x)
f''(x)=-2 sin(x)+4 sin(2x)
f'''(x)=-2 cos(x)+8(2cos^2(x)-1)=-2 cos(x)+16 cos^2(x)-8
\grey\ 6. Extrempunkte
Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes f'(x)=0:
0=2 cos(x)-2 cos(2x)
Beachte bei der Berechnung: cos(2x)=2 cos^2(x)-1
0=2 cos(x)-2 cos(2x)
0=2 cos(x)-4 cos^2(x)+2
0=cos^2(x)-1/2 cos(x)-1/2
Substitution cos(x)=z
z^2-1/2 z-1/2=0
Dies können wir mit der p, q-Formel lösen und erhalten z_1=1 und z_2=-1/2 .
Rücksubstitution z=cos(x):
cos(x)=1 oder cos(x)=-1/2
x_1=0 oder x_2=2/3 *\pi oder x_3=4/3 *\pi
Dies sind mögliche Extremstellen.
Hinreichende Bedingung für das Vorhandesein eines Extrempunktes f'(x)=0 \and\ f''(x)!=0 :
Da der Graph von f symmetrisch zum Ursprung ist, kann an der Stelle x=0 kein Extrempunkt vorliegen.
f''((2\pi)/3) =-2 sin((2\pi)/3)+4sin((4\pi)/3)=-sqrt(3)-2*sqrt(3)=-3*sqrt(3)<0: Maximum
f''((4\pi)/3)=3*sqrt(3)>0: Minimum
Berechnung der Extrempunkte:
H(2/3 *\pi , 3/2 *sqrt(3))
T(4/3 *\pi , -3/2 *sqrt(3))
\grey\ 7. Wendepunkte:
Notwendige Bedingung für das Vorhandesein eines Wendepunktes f''(x)=0 :
0=-2 sin(x)+4 sin(2x)
0=-2sin(x)+8sin(x)*cos(x)=2sin(x)*(-1+4cos(x))
sin(x)=0 oder cos(x)=1/4
x_1=0 oder x_2=\pi oder x=1,318... oder x=4,965...
Hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Wendepunktes f''(x)=0 \and\ f'''(x)!=0 :
Hinreichende Bedingung ergibt folgende Wendepunkte:
W_1(\pi, 0) , W_2(1,318..., 1,452) und W_3(4,965..., -1,452...)
\grey\ 8. Wertebereich
Wegen dem Hochpunkt und Tiefpunkt ist der Wertebereich von f gleich
[-3/2 *sqrt(3) ; 3/2 *sqrt(3) ] .
Diese Untersuchung wird verkürzt aufgeschrieben.
Untersuche die Funktion f mit f(x)=k^2*sqrt(a^2-x^2), wobei a>0 und k!=0.
\grey\ 1. Definitionsbereich
Der Radikand darf nicht negativ sein, also a^2-x^2>=0. Also -a<=x<=a .
Der Definitionsbereich ist das Intervall [-a ; a ].
\grey\ 2. Nullstellen
x ist genau dann Nullstelle, wenn f(x)=k^2*sqrt(a^2-x^2)=0 mit k!=0 .
Also x=a oder x=-a .
Nullstellen liegen bei a und bei -a, also an den Grenzen des Definitionsbereichs vor.
\grey\ 3. Extremstellen und Monotonieverhalten
f'(x)=k^2 *(-2x)/(2*sqrt(a^2-x^2)) =(-k^2*x)/sqrt(a^2-x^2)=-k^2*x*(a^2-x^2)^(-1/2). Es gilt:
f'(x)=0 für x=0, f'(x)>0 für -a\inf für x->-a und f'(x)->-\inf für x->a, folgt: Bei -a und a trifft der Graph senkrecht auf die x-Achse.
\grey\ 4. Wendepunkte
Zur Bestimmung eventueller Wendepunkte bestimmen wir die 2. Ableitung (nach der Produktregel):
f''(x)=(-k^2*a^2)/((sqrt(a^2-x^2))^3)
Für alle x des Definitionsbereichs gilt: f''(x)<0. Es gibt also keine Wendepunkte.
Anmerkung: Der Graph von f ist eine Halbellipse.
So das war mein kleiner Überblick über Kurvendiskussionen wichtiger Funktionen in der Schule. Ihr solltet jetzt kein Problem haben, solche Funktionen zu untersuchen. Es wird fast immer das selbe Muster erwartet, aber überlegen müsst ihr schon noch.
Anmerken möchte ich noch, dass man auch wie bei der Wurzelfunktion anders argumentieren kann, um zum Beispiel Extrempunkte oder Wendepunkte zu berechnen.
Wer noch eine andere Erklärung für Extremwerte & Co. lesen möchte, schaut sich bitte den Artikel von Gockel an.
Ein Artikel, der im gewissen Sinne auch zum Artikel "Exemplarische Kurvendiskussionen" passt, ist kürzlich erst erschienen:
50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
Die Aufgaben stammen aus meinem wunderschönen, ausführlichen und verständlichen Schulbuch. Hier zu kaufen:
Ebenfalls eine aus dem Internet (wie die Abituraufgabe)
Die Idee zu diesem Artikel entspringt der Arbeitsgruppe
„Schulmathematik“.
Ich danke meinem Testleser hugoles .
Euer
Florian Modler
Dieser Artikel soll Kurvendiskussionen einiger Funktionen exemplarisch zeigen.
Es wird hier auf ganzrationale Funktionen, gebrochenrationale Funktionen, e-Funktion, Logarithmusfunktion (und Scharen), Wurzel-Funktionen und Trigonometrische Funktionen eingegangen.
Der Artikel soll aber weiterhin vervollständigt werden. (Alle sind aufgerufen)
Vorgesehen sind vor allem Funktionen, die Schüler begegnen. :-)
\(\begingroup\)Darf ich fragen, woher du die Motivation nimmst, ständig solche Artikel zu schreiben?
Vor allem, da man bei diesem Thema doch eigentlich nur eine
Stichpunktliste schreiben müsste, die man dann abarbeiten muss, um eine Kurvendiskussion zu machen.
Ich möchte jetzt hier nicht wieder so einen Streit auslösen, aber ich verstehe es einfach nicht.
mfg
Michael\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ich schreibe "solche Artikel", da ich erstens Spaß daran habe, mathematische Dinge zu formulieren, zweitens ich die Sammlung der Artikel auf dem Matheplaneten erweitern möchte, sodass auch ein gutes Nachschlagewerk für Schüler entsteht, drittens der Meinung bin, dass die Schüler einzelne Rechnungen besser nachvollziehen können, wenn sie komplette Kurvendiskussionen sehen, viertens ich als Vorbereitung auf eine Klausur, diese ganzen Funktionen durchgerechnet habe und mir dachte, dass dies auch für andere Schüler zum Nutzen hätte sein können ...
Ich könnte noch mehrere Gründe anführen, aber ich belasse es hier bei. ;)
Gruss Florian\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Florian,
ich werde Deine beiden Artikel meinen Kindern empfehlen, denn es ist schön wenn sie nicht nur Übungsaufgaben haben, sondern auch nachvollziehen können, wie denn eine Kurvendiskussion durchgeführt aussieht (und zwar für unterschiedliche Funktionstypen).
Gerade weils im Internet steht, schauen sie es sich eher an, als wenn sie ein Buch aufschlagen müssten...
Gruß,
Klaus\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Wieder ein sehr gelungener, v.a. für Schüler wertvoller Artikel. Ich kenne tatsächlich einige Oberstufenschüler, die den Kurvendiskussionstoff anhand Deiner Artikel lernen/nachbereiten oder sich mit Deinen Beispielen auf Klausuren/Prüfungen vorbereiten.
Ich denke, auch mit diesem Artikel ist Dir wieder ein "guter Wurf" 😄 gelungen.
Viele Grüße,
HiP\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi, der Artikel ist wirklich gelungen (bin selber noch schüler). Ich wollte jedoch anmerken, dass sich ein kleiner Fehler unter 3.1 bei der e-Funktion eingeschlichen hat:
Die y-Koordinate des Tiefpunktes liegt bei - 0,25, da fehlt das Vorzeichen. Und somit ist auch der Wertebereiche y>= -0,25.
MfG Daniel\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo,
erstmal danke für die netten Kommentare, hat mich sehr gefreut.
@Daniel
Wurde verbessert, danke für den Hinweis!
Gruss Florian\(\endgroup\)
\(\begingroup\)hallo florian
in der schule werden die kurvendiskussionen von einer wachsenden zahl an mathematiklehreren als unterrichtsgegenstand kritisiert. ihre begründung ist der zunehmende einfluss von cas-rechnern, die auch im abitur als hilfsmittel zugelassen sind und die kurvendiskussion als routinefunktion anbieten. was ist deine meinung zu dem einfluss dieser rechner auf den lehrgegenstand von mathematik?
frank\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Frank,
ich bin etwas zwiegespalten, was diese Frage angeht.
Zum einen führt der Einsatz des GTR weg vom stupiden (gedankenlosen, schemabehafteten) Rechnen hin zum Problemlösen (das ein großes Ziel ist), zum anderen muss man meiner Ansicht nach aufpassen, dass der GTR nicht das Goldene Kalb wird, um das alle herumtanzen (müssen).
Aber die Tendenz (zumindest in BaWü) geht hin zu offeneren Fragestellungen, wo mehr das Modellieren im Vordergrund steht.
Die Spitze dieses Trends haben wir in unserem diesjährigen Abitur gehabt, wo man Skisprunghänge und Flugbahnen von Skispringern unteruchen musste. Wer den GTR geschickt einsetzte, konnte die Aufgabe auf einer dreiviertel Seite lösen. Ob das das Ziel sein kann?
Meiner Ansicht nach soll it Hilfe des Mathematikunterrichts der Schüler nicht nur irgendwie Ergebnisse wie "der Hochpunkt liegt bei ..." liefern können, auch heute im Zeitalter von GTR und den ganzen technischen Hilfsmitteln muss immer auch noch die Grundlage dahinter vermittelt werden.
Dazu dient auch die Kurvendiskussion als Zusammenfassung vieler kleinerer Abschnitte wie Symmetrie, Monotonie, Extremwerte,...
Klar kommt ein moderner Mathematikunterricht ab von der exzessiven Kurvendiskussion, die man zig Mal von Hand ausführen muss.
Ich finde dennoch, jeder Schüler sollte jede Funktion auch von Hand untersuchen können und verfahre dann auch so in meinem Unterricht. Die Rechenfertigkeit darf nicht verloren gehen.
Gruß!
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hey Florian,
dieser Artikel ist nun leider genau einen Tag zu spät gekommen *grins* Habe am 11. mein Abitur geschrieben.
Wäre dieses nicht der Fall wäre es in der Vorbereitung auf jeden Fall eine enorme Hilfe gewesen.
Ich denke schon, dass es Schülern der Oberstufe enorm hilft solche elementaren Dinge noch einmal gezeigt zu bekommen.
Ein sehr gelungener Artikel.
mfg Mari
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)jo auch erstmal ein dickes Danke von mir..mein Abi ist auch jetzt vorbei aber okay man lernt ja nie aus habe mir alles durchgelsen und habe wieder was gelernt mit dem Verhalten und so das hab ich nie richtig verstanden weil das in der Schule so trocken erzählt wird aber nun danke für deine Mühe und fin es gut das es dir Spass macht.
kurz und knapp: gelungener Artikel !!! kompliment
viele Grüße bounce
edit: kann man den auch als pdf downloaden ??\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Florian,
ich hab mir nicht alle Einzelheiten durchgearbeitet, aber von der Aufmachung her und vom Überfliegen meinerseits ist dieser Artikel bestimmt hilfreich für die Zielgruppe: Schüler. Und daß dem so ist, zeigen die bisherigen Kommentare eben jener. Auch wenn Dir der erste gleich schon wieder in die Suppe spucken wollte
Zum Thema CAS
die Dinger gehören so lange auf den Mond verbannt, bis die Schüler die entsprechenden Themen verstanden haben und selbst rechnen können. Ab dann sollten sie als Vereinfachung der mechanischen Rechnerei eingesetzt werden können.
Ich erlebe genug Knallköppe, die schon für 6*13 zum Taschenrechner greifen. Da ist Null Gefühl für Zahlen vorhanden. Ebensowenig können sie später die simpelsten Terme ohne GTR umformen. M.a.W. sie wissen gar nicht mehr, was sie da machen und verstanden haben sie schon gleich gar nix mehr
Meinung vom 1/4\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Viertel:
Ich wollte niemandem in die Suppe spucken. Ich fand es halt sehr interessant, dass Florian so eine Motivation aufbringt, immer wieder
Artikel für Schüler zu schreiben. Und gerade bei diesem würde ich mir selber sagen, dass das die Schüler doch eigentlich alle selber in den Büchern stehen haben.
Aber mittlerweile bin ich auch überzeugt, dass Schüler hier im Internet wahrscheinlich besser lernen können.
mfg
Michael\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Zu CAS und Taschenrechnern habe ich auch so meine Meinung (ähnlich der 1/4`schen Meinung):
Wenn ich bei Nachhilfestunden, die ich gebe, sehe, daß Schüler für 64/8 oder für 3*(-4) den Taschenrechner brauchen, dann kann der Nutzen der Taschenrechner nicht so groß sein.
Natürlich gibt es in der Physik auch schon in der Schule Aufgaben, bei denen man den TR braucht, aber es muß doch möglich sein, daß Schüler vernünftig Rechnen lernen, bevor sie den TR nutzen können.
Daher - wir durften den TR ab der 8. Klasse verwenden - wäre ich dafür, den TR solange nicht zu erlauben, wie man ihn für Aufgaben der Physik/Chemie nicht wirklich braucht.
Viele Grüße,
HiP
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)HiP, Dir müsste ich dahingehend widersprechen, dass, wenn der TR sinnvoll eingesetzt wird, er durchaus schon in KLasse 5 ein Hilfsmittel sein kann und nicht das allheilbringende Mittel.
Bei uns in BaWü schreibt der Bildungsplan das Einführen dieses Rechners in Klasse 5/6 vor. Natürlich darf die Rechenfertigkeit nicht verloren gehen, der Schüler muss elementarste Rechnung durchaus im Kopf oder von Hand durchführen können.
Es ist schwierig, das durchzusetzen, wenn die Schüler einen Rechner haben, aber man muss hartnäckig dran bleiben.
Von Früh an müssen die Schüler daran gewöhnt werden, abzuwägen, ob der Einsatz sinnvoll ist oder nicht. Dann erst kann auch die reine "Technikgläubigkeit" eingedämmt werden.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@hugoles
Dazu mal eine Frage: Wenn der TR in Klasse 5/6 eingeführt werden soll und auch irgendwann wird, darf dann ein Lehrer (auch in höheren Klassen) den TR in einer Klassenarbeit verbieten oder muss der zugelassen sein?\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Petra,
an den Gymnasien unseres Landes muss der TR jetzt schon in 5/6 eingeführt werden (G8!).
Ich denke, natürlich kann der Lehrer den Gebrauch des TR in der KA verbieten oder auch in gewissen Phasen des Unterrichts.
Beispiel: Es würde wenig Sinn machen, bei einer KA über das Addieren von einfachen Brüchen den TR dazu zu benutzen, bei dem man bereits Brüche eingeben kann.
Anders bei Zentralen Arbeiten, wie Vergleichsarbeiten. Dort muss, glaub' ich, der TR zugelassen werden.
Im Abitur, das weißt du vielleicht, gibt es einen Teil (den Pflichtteil), den man ohne GTR bearbeiten muss.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hugoles, ganz ehrlich, wie kann ein TR schon in der 5. Klasse ein Hilfsmittel sein?!
Ich denke, das ganze ist ein - meines Erachtens fataler Trend - das gewisse Grundfertigkeiten immer weiter zurückgehen. Es sollte selbstverständlich sein, daß man zunächst das sichere Ausführen der (Grund-)Rechenarten systematisch ohne TR einübt, bevor man - irgendwann einmal - diesen einsetzt.
Wie sieht es denn in der Praxis aus?! Wieviele Schüler, die einen TR haben sollen, machen denn diese von Dir genannten Bruchrechnungen zuhause noch selbst oder wieviele geben sie, obwohl es der Lehrer anders empfohlen hat, einfach in den TR ein?!
Mir ist - wie gesagt - der Sinn des TR-Einsatzes erst dann klar, wenn man einfach nicht mehr "anders" rechnen kann. Wobei man dazu auch noch sagen könnte, daß das früher mit Logarithmentafel auch noch ging. 😄
Viele Grüße,
HiP\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hans,
klar könnte man alles in Klasse 5 von Hand rechnen, aber da fängt es doch an.
Wenn man, jetzt mal ganz optimistisch betrachtet, früh übt, den TR dann einzusetzen, wenn es sinnvoll ist, ist der "Missbrauch" geringer, als wenn man Jahre lang nicht lernt, mit dem TR sinnvoll umzugehen und dann deshalb, weil man des Selberrechnens überdrüssig ist, wirklich alles mit dem TR ausrechnet, ob es geht oder nicht geht.
Rechnungen in Klasse 5, die man auch mit dem TR ausrechnen können soll, sind z.B. Ausdrücke mit zig Klammern oder "großen Zahlen",...
Wichtig ist es, ich betone es hier noch einmal, dass die Grundrechenfertigkeiten nicht vernachlässigt werden.
So mache ich mit meinen Fünfern zu Beginn 90% der Stunden Kopfrechenübungen und auch viele Übungsaufgaben müssen im Kopf oder von Hand gelöst werden.
Was die Schüler zu Hause machen, kann ich natürlich nur insofern steuern, dass sie sämtliche Lösungswege aufschreiben müssen und nicht nur das Ergebnis hinschreiben.
Natürlich gibt es faulere Schüler, die zu Hause mit sicherheit den rechner benutzen, aber das ist dann nicht mein Problem. Einen Prozentsatz kann ich Dir nicht angeben.
Ich sehe in dieser "Problematik" aber auch einen positiven Aspekt: die Eigenverantwortung der Schüler. Die Schüler merken zu Beginn Klasse 5 sehr schnell und drastisch, wie gut oder schlecht sie im Kopfrechnen sind und wie schnell sich dies bessert, wenn man regelmäßig übt. Rechnen sie alles mit dem TR,geht diese mühsam erworbene Fähigkeit wieder verloren, und das sage ich ihnen auch. In wie weit das was hilft...?
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo, Petra!
Ich habe bei meinen Schularbeiten sehr oft einzelne Aufgaben
so formuliert:
"Berechne ohne die Verwendung von Taschenrechner-Ergebnissen: ..."
So konnte der TR für andere Aufgaben derselben Arbeit
eingesetzt werden, aber sein Mißbrauch wurde verhindert.
Liebe Grüße, Franz
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@hugoles
Dass der TR bei den zentralen Prüfungen zugelassen sein muss, ist mir klar, auch dass es im Abi nen Pflicht- und nen Wahlteil gibt. Mir gings nur um die ganz normalen Klassenarbeiten. Hätt ja sein können, da gibts auch irgendso was, das vorschreibt, dass der TR zugelassen sein muss. Wäre zwar schwachsinn aber nun gut.
@fru
Der Lehrer meiner Nachhilfeschülerinnen (gleiche Klasse) hat die Aufgaben immer so gestellt, dass die keinen TR benutzen konnten. Die haben einen GTR und dann gabs in der Klausur halt immer Scharkurven oder sonst irgendwas mit Parameter. Das kann der GTR nicht.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi @all,
vielen Dank nochmal an alle, die sich zu meinem Artikel geäußert haben, habe mich sehr gefreut.
Auch schön, dass hier zugleich eine Diskussion über das Anwenden von GTRs aufgekommen ist. Auch ich sehe dies wie hugoles! Einige Rechenfertigkeiten müssen einfach bestehen bleiben. :)
Gruss Florian\(\endgroup\)
\(\begingroup\)was ist wesentlich in der mathematik, was ist vergänglich beim lehren oder sogar überflüssig?
" wer muss wirklich wissen, wie man einen scheitelpunkt per handrechnung aus der allgemeinen form der quadratischen gleichung erhält?"
ein gtr kann es schneller und anschaulicher.
das thema "tr" im mathematikunterricht ist weiter in der realität "angekommen" (s. neue bildungspläne von baden württemb.) als es manche lehrer wie auch eltern bisher begriffen haben. es geht nicht mehr um persönliche befindlichkeiten. wie können wir den tr und auch die cas-rechner sinnvoll in die mathematikausbildung integrieren? Sie nicht als "zugelassene hilfsmittel", (die man eigentlich gar nicht braucht) sondern als sinnvolle und notwendige werkzeuge beim lernen von mathematik betrachten. jegliche diskussionen, ob sinnvoll oder nicht, sind unproduktiv. die rechner sind im unterricht da und nicht mehr wegzureden.
wer hat wirklich gute ideen für einen integrierten umgang von gtr im unterricht????
frank\(\endgroup\)
\(\begingroup\)"jegliche diskussionen, ob sinnvoll oder nicht, sind unproduktiv."
Dieser Satz allein sagt mir eigentlich, wie unsinnig der Beitrag ist. Klar kann man alles mit dem Taschenrechner berechnen, klar machen CAS das schneller und veilleicht auch anschaulicher als von Hand. Aber was ist, wenn das mal nicht zur Verfügung steht, weil die Technik streikt? Dann weiß hinterher keiner mehr wie das ohne ging. Deshalb bin ich der Meinung, dass man prinzipiell in der Lage sein sollte, eine Aufgabe zu lösen ohne einen Rechner anzustrengen, bevor man selbigen anstrengt.
Wichtig wird das nicht nur an dem Punkt, an dem die Technik mal streikt, sondern vor allem, wenn man Probleme lösen möchte, für die man noch kein Lösungsschema hat. Wer da schon an den kleinen Problemen, den Anfängen scheitert, kommt an diesem Punkt entgültig nicht mehr weiter.
Gruß,
Felix\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo, Frank!
die rechner sind im unterricht da und nicht mehr wegzureden.
Das ist sicherlich richtig, aber ich erlebe jeden Tag, wie Schüler zahlenblind werden, weil sie nur noch mit dem Taschenrechner Aufgaben lösen können. Das Üben von Techniken hat auch damit zu tun, unser Gehirn zu trainieren und Lösungswege zu verinnerlichen. Das Problem liegt für viele Schüler nicht darin, etwas zu verstehen, sondern den Stoff zu beherrschen. Dies erreicht man aber durch Übung.
Wenn Mathematikstudenten zuerst Maple oder ein anderes CAS benutzen, um den Konvergenzradius einer Reihe zu berechnen (aber möglicherweise ein falsches Ergebnis erhalten) und dem Ergebnis blind vertrauen, dann zeigt dies, daß einige wichtige Techniken nicht geübt oder nicht beherrscht werden.
Ich mußte in der Schule noch mit Rechenschieber und Logarithmentafeln arbeiten und trauere dem nicht nach, weil Rechner die gleiche Arbeit einfacher gemacht haben. Trotzdem entbindet der Rechner die Schüler nicht von der Pflicht, den Stoff zu verstehen bzw. bei Aufgaben eigene Lösungswege zu suchen. Der Rechner kann das Verständnis von Mathematik erleichtern, aber er ist nur ein Hilfsmittel.
Nach deiner Logik könnte man genauso gut fordern, daß Schüler nicht mehr schreiben lernen müssen, da moderne PCs entsprechende Funktionen durch Textverarbeitungssysteme zur Verfügung stellen.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)es tut mit leid, werter kollege (?). deine worte entstehen nur aus unwissenheit um eine nichtbekannte unterrichtsgestaltung, in dem der gtr fester bestandteil einer zeitgemäßen ausbildung ist. die bloße "anwesenheit" von rechnern im unterricht macht noch keinen "sommer". insofern sind wir uns sicher einig. deshalb auch meine aufforderung und bitte nach neuen und guten ideen zur verbesserten unterrichtsgestaltung (siehe z.B. in meinem buch „einführung in das tangentenproblem“). es gibt heute sehr viele lehrer (bei weitem nicht genug davon), die es begriffen haben, worauf es ankommt. mathematisches verständnis entsteht nicht durch stupides rechnen und beherrschen von so genannten aufgabenplantagen (aufgaben gleichen typs nur mit veränderten zahlenwerten). mathematik kann auch nicht von rechnern beherrscht werden („tanz um das goldene kalb“), aber sie machen das lösen von problemen an manchen STELLEN des prozesses leichter und fassbarer für den lernenden, wenn gleich der löseprozess für den schüler stärker als bisher im unterricht thematisiert werden muss (einüben ist hierbei nicht der treffende ausdruck; es geht vielmehr um das erlernen einer komplexen fähigkeit und weniger um das abarbeiten von rezepten). schwerpunkt im unterricht muss im besonderen maße die förderung der fachsprachlichen entwicklung werden (sein), um inner- und außermathematischer anwendungsaufgaben mit den mitteln der mathematik (definitionen, sätze, beweise, ...) selbstständig lösen zu können. das beginnt mit dem unausgereiften gedankenaustausch mit dem banknachbarn, hin zum skizzenhaften notieren von ansätzen und formeln auf einem blatt papier bis hin zur präsentation der gefundenen lösung vor der gesamten klasse. nur auf diesen (nicht immer einfachen) weg kann der schüler lernen, problemlösungen (kenntnis und anwendung typischer "polya-problemlösefragen") zu finden. Dabei ist es wichtig. teilziele und teilaufgaben formulieren zu lernen. arbeitsteilung und arbeitsdeliegierungen zu planen und auch durchzuführen (mensch - mensch: schüler-gruppen-arbeit und mensch und maschine: einsatz des gtr; interpretieren von ausgaben).
eine rechenfertigkeit ist nicht zu perfektionieren (grundlagen an „glatten“ zahlen (kopfrechenaufgaben, überschlagsrechnungen trainieren!!) reichen dabei völlig aus. wichtiger ist z. b. die begründung zu liefern, warum der tr bei der Aufgabe (¾+1/3)*2,5 den wert 65/24 bzw. auch 2.708333333 ausgibt (regelverständnis klar machen und nicht regeln nur kuppeln, wie beim auto). tiefgründiger wird der unterricht, wenn neue fragestellungen „aus dem himmel“ fallen:
(1a) zeigen beide rechnerausgaben tatsächlich die gleiche zahl auf dem zahlenstrahl an, oder gibt es zahlen, die zwischen beiden werten liegen ?
(geht indirekt einher mit der frage: können wir dem rechner an dieser stelle vertrauen? was wissen wir über die tr-Zahlen - lehrbücher aus österreich sind hier sehr ausführlich).
(1b) untersuche mit dem tr.
(2) können wir die aufgabe so verändern, sodass wir die gleichen werte vom tr erhalten?
(2a) - mit gleichen operationszeichen
(2b) - mit nur einem operationszeichen
(2c) - mit mehr als zwei verschiedenen operationstzeichen
(rechengesetze formulieren und anwenden können; termstrukturen erkennen)
(3) gibt es aufgabenstellungen in der praxis, wo die angezeigte genauigkeit am tr eine untergeordnete rolle spielt. formuliere eine entsprechende aufgabe innerhalb einer praktischen situation.
(umgang mit messwerten als näherungswerte erlernen; anwendungsbezug herstellen)
(4) schreib einen brief an deine beste freundin oder freund und erläutere darin, wie man die aufgabe mit und ohne tr schrittweise lösen kann. schreib in deinem brief ähnliche aufgaben auf, deren lösungen du natürlich bereits schon kennst.
(verallgemeinern durch beschreiben und zerlegen in einfache grundaufgaben: aufsatz schreiben)
nun sag:
wird es anspruchsvoller im tr-integrierten unterricht?
muss man hierbei bruchrechnung beherrschen oder nicht?
ensteht so nicht auch ein höherer grad an einem weiterentwickelten verständins für zahlen UND größen?
muss mathematik nicht lebendiger werden als der ausspruch vieler schüler: "in mathe rechnen wir eine aufgabe nach der anderen."
„der tr eröffnet uns neue horizonte, ohne dabei abzuheben.“
meine bitte und aufforderung:
auf zu neuen ideen für einen INTEGRIERTEN rechnereinsatz im mathematikunterricht. mathematik ist viel mehr als nur rechnen.
wer macht mit?
frank
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Frank,
es geht doch garnicht darum, den Taschenrechner aus dem Unterricht völlig zu verbannen. Es geht um einen sinnvollen Einsatz desselbigen. Und dazu gehört, ihn nicht zu früh zuzulassen und auch nicht zu viele Möglichkeiten zu bieten.
Ich habe mittlerweile im Studium und auch im Laufe der Zeit, die ich das Forum hier verfolge einige Leute kennengelernt, die differenzieren und integrieren nur mittels GTR gelernt haben. Diese Leute haben bei den entsprechenden Themengebieten im Studium die größten Probleme. Ich finde es daher äußerst wichtig, dass solche Sachen zunächst von Hand durchgerechnet werden, um ein Gefühl für den Gebrauch solcher Operatoren zu bekommen.
Und dann kommen die Leute, denen in einer Prüfung (Abiklausur) die Batterie des des Rechners ausgeht. Ohne dass die Grundlagen richtig beigebracht wurden, ist die Prüfung dann komplett gelaufen, kann der Schüler aber auch von Hand diese Rechnungen durchführen, kann er den Schaden zumindest in Grenzen halten. Und genau das wollen die verhindern, die vor dem Einsatz von Rechnern das erlernen der Techniken in den Vordergrund stellen. Und auch wenn es altmodisch erscheinen mag, das ist genau das, was hinterher zählt: Techniken anwenden zu können.
Gruß,
Felix\(\endgroup\)
\(\begingroup\)hallo felix,
das ging ja fix mit einem weiteren beitrag. schade, dass dieser wieder die bedenken höher hält als es die zeit an antworten verlangt.
ich bin diplommathematiker (seit 84), lehrer, bundesweiter lehrerfortbilder und autor. ich habe bis heute für das ableiten kein gefühl bei mir entdecken können. es wäre gut, wenn du mir dabei nachhilfe geben könntest (ernst gemeint). vielleicht lerne ich was dabei.
ein rechner kann bei weitem nicht alles und manchmal ist er auch nicht immer gut programmiert, sodass auch fehler in der ausgabe entstehen können. ein gutes gefühl erhalte ich immer nach dem lösen einer aufgabe dann, wenn ich mich davon überzeugen kann, ob meine lösungen sinnvoll sind (manchaml auch schlechte gefühle). ich überlege in jenem moment, wie kann ich meine lösungen durch eine "gegenrechnung" ganz anderer art bestätigen oder auch widerlegen.
was lernt man heute in der schule an techniken für gute und schlechte gefühle, wenn man - bleiben wir beim übergeordneten beitrag: kurvendiskussion differenzierbarer funktionen (ein bischen polemisch - gebe ich zu) - eine aufgabe von "vorn bis hinten" durchgerechnet hat und sich von der richtigkeit seiner lösungen selbst überzeugen möchte? hier kann der gtr sinnvoll zum einsatz kommen, wenn auch schwach.
in der mathematik sollte es auf jeden fall leidenschaftlich zugehen, mathematik ohne gefühle - für mich undenkbar.
ach so zu der sache mit den leeren batterien. man kann sich doch vorher welche als ersatz bereithalten. wenn nicht, ist man selber schuld. oder?
noch ein schmankerl:
aufgabe: gesucht wir eine tangente, die sowohl die funktion f mit f(x)=e^x als auch die funktion g mit g(x)=ln(x) in jeweils einer berührstelle approximiert.
frank\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Lösung: es gibt keine tangente im analytischen sinn, obwohl beide funktionen für alle positiven reellen zahlen diff´bar sind. es gibt aber eine tangente t mit guten näherungswerten mit t(x)=4.6805*x-2.5434. überzeugt euch bitte selbst.
frank\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Was ist eine Tangente im analytischen Sinn?
Die Tangente bei u an \exp ist
x |-> exp(u) (x-u) +exp(u) = exp(u) x + exp(u)(1-u)
Die Tangente bei v an ln ist
x |-> 1/v (x-v) + ln(v) = 1/v x + (ln(v)-1)
Sie stimmen also genau dann überein, wenn
\ll(1) \ee^u = 1/v
\ll(2) \ee^u (1-u) = ln(v) - 1
Aus \ref(1) folgt ln(v)=-u, eingesetzt in \ref(2) ergibt das
\ee^u (1-u) = -u-1
Man kann (zB mittels Kurvendiskussion) zeigen, dass diese Gleichung genau zwei Lösungen besitzt, aber man kann sie nur numerisch bestimmen:
u \approx +- 1.543404638
Das sieht dann so aus:
\geoon
x(-5,10) y(-4,10) nolabel() replace() e(500,300)
c(blue)
konst(u,1.543404638)
konst(v,exp(u)*(1-u))
konst(w,exp(u))
gerade(w,v)
konst(uu,-1.543404638)
konst(vv,exp(uu)*(1-uu))
konst(ww,exp(uu))
gerade(ww,vv)
c(red)
plot(exp(x))
plot(log(x))
\geooff
geoprint()
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)vielen dank für die lösung
nun genau zwei lösungen, das ist nicht ganz richtig formuliert, wenn gleich die 2 approximierten lösungen richtig sind. näherungswerte sind eben nicht eindeutig, deshalb auch mein einwand: "nicht analytisch lösbar", im sinne von exakt lösbar.
aber viel interessanter ist der einwurf: durch kurvendiskussion nachweisbar.
wie, wenn ich fragen darf? die zeichnung selbst?
frank
noch ein schmankerl:
aufgabe
existiert zu der funktion f mit
f(x)= x^2*sin(1/x) für x<>0; else 0
an der stelle x0 = 0 eine grenzlage der sekantenfolge um P(x0, f(x0))?
wenn ja, ist es eine tangente im SCHULISCHEN sinne? also eine gerade, zu der es eine umgebung U(x0) gibt, in der es mit der funktion GENAU eine berührstelle gibt?
nachweis bitte erwünscht.
frank
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Es gibt genau zwei Lösungen, ist das ist vollkommen richtig formuliert. Ich glaube, bei dir hat die Numerik das Verständnis für die mathematischen Hintergründe verhinert, wenn ich ich mir mal die letzten Kommentare so ansehe ...
Die Kurvendiskussion bezieht sich auf die Funktion
f(x)=\ee^x (1-x) + x + 1
\(\endgroup\)
\(\begingroup\) f(x)=\ee^x (1-x) + x + 1
f'(x)=1-x \ee^x
f''(x)=-\ee^x (x+1)
Für x<=0 gilt x \ee^x <= 0 und damit f'(x)>=1. Also hat f' höchstens in \IR_>0 eine Nullstelle. Dort ist aber f' streng monoton fallend, weil f'' dort negativ ist, sodass es höchstens eine Nullstelle geben kann. Wegen f'(0)=1>0 und f'(1)=1-\ee < 0 liegt sie auch vor. Also hat f' genau eine Nullstelle. Daher hat f höchstens 2 Nullstellen. Wegen f(-2)<0 , f(0)=2>0 , f(2)<0 liegen sie auch vor.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ich habe bewiesen, dass f genau 2 Nullstellen hat. Das beantwortet die Frage, warum die ursprüngliche Gleichung
\ee^u (1-u) = -u-1
genau 2 Lösungen hat. Darum geht es doch?\(\endgroup\)
\(\begingroup\)gut, aber wenn sie eindeutig sind, dann nenne sie bitte. alles andere ist nicht akzeptabel. satz von bolzano kann nur die existenz von reellen lösungen sichern.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)deine kommentare winden sich um das problem, dass es gleichungen gibt, die nicht exakt lösbar sind. die existenz dieser lösungen ist nachgewiesen, aber die eindeutigkeit muss durch berechenbarkeit gezeigt werden. wie willst du mit deinen "ZAHLEN" u1 und u2 rechnen? deine frage, ob ich weiss, was reelle zahlen sind, muss ich dir aus höflichkeit schuldig bleiben.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)ROFL!
Das beantwortet ja nun wieder einmal die Frage eindeutig, ob der Taschenrechner für das Verständnis der Mathematik, insbesondere der Vollständigkeit der reellen Zahlen, geeignet ist. 😄\(\endgroup\)
\(\begingroup\) die zahl pi als reelle zahl (siehe chat vom 3. juni): arctan(1/wurzel(3))*6=pi.
diese zahl versteht auch ein cas-rechner. so ist zum beispiel arctan(1/wurzel(3))*6+1=pi +1 .
achtung ein cas "kennt" keine zahlen!!! nur symbole.
ein tr auf numerischer basis "kennt" keine rechengesetze (kommutativgesetz der addition...). diese info kannst du sicher noch mal wo anders gebrauchen.
deine zahlen u1 und u2 sind nicht berechenbar. sieh es doch ein. du machst dich sonst lächerlich.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Dazu habe ich einige Fragen. Ich bin ja noch ein kleiner dummer Schüler, der bei Ausführungen von Diplommathematikern nicht so schnell mitkommt 😄
1. Was ist arctan für eine Funktion? Ist die berechenbar?
2. Was ist wurzel(3) für eine reelle Zahl? Könntest du sie mir bitte genau angeben?
3. Öhm, was ist eigentlich eine Zahl, und wann heißt sie berechenbar?
Danke!
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Aufgrund eurer wunderbaren Diskussion haben wir es sogar in die TOP 15 der am meist kommentierten Artikel geschaft. :)
TOP 15.
Gruss Florian\(\endgroup\)
\(\begingroup\)warum so ironisch?
eine funktion heißt nach churchsche hypothese berechenbar, falls man sie rekursiv definieren kann. arctan lässt sich rekursiv als reihe definieren und somit auch pi.
was ist eine zahl? diese frage kann wohl eher ein philosoph umfassend beantworten als ein mathematiker. auf jeden fall sollte man mit ihnen operieren können, um eine funktionswertberechnung mit ihnen durchführen zu können. wurzelwerte lassen sich z.b. durch das "heronverfahren" einschachteln (zentralwert als eindeutiger wert aller intervalle). für diff´bare funktionen sind modifizierte anwendungen des newtonverfahren stets hilfreich.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi,
Was besagt denn die Church Hypothese? Was heißt es, wenn eine reelle Funktion rekursiv definiert ist? Rekursive Definitionen kenne ich nur für Folgen (oder allgemein für Abbildungen auf Ordinalzahlen).
Wenn es dir darum geht, die beiden Nullstellen näherungsweise zu berechnen, dann erzähle ich dir sicherlich nichts neues, wenn ich auf das Newton-Verfahren verweise.
Definiert man die Folge x_n rekursiv mit
x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)
so konvergiert x_n gegen u_1 für x_1 = 1, und gegen u_2 für x_1 = -1.
Trotzdem existieren reelle Zahlen im Grunde genommen nur in ihren Beziehungen zueinander. So ist z.B. die Zahl u_1 vollständig dadurch charakterisiert, dass sie die kleinste obere Schranke der Menge
menge(u \in \IR : \ee^u (1-u) +u+1 > 0)
ist. Und u_2 ist durch -u_1 gegeben. Dass man für Anwendungszwecke ein paar Dezimaldarstellungen einer Zahl braucht, rechtfertigt nicht die
Geringschätzung oder sogar Aberkennung von solchen Beschreibungen wie oben. \IR ist eben etwas anderes als \IQ.
Gruß
Martin, der jetzt irgendwie an array(\IF_p)^- denken muss
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)
hallo martin
churche hypothese: eine zahlentheor. funktion ist genau dann berechenbar, wenn sie rekursiv darstellbar ist.
berechenbarkeit bezieht sich stets auf zahlentheoretische Funktionen (D Teilmenge der natürl. Zahlen) und nicht von dir falsch interpretierten reellen funktionen.
arctan ist eine reelle funktion, doch die berechenbarkeit bezieht sich dabei auf die reihenentwicklung (dir sicher geläufig) mit der man eine zahlentheoretische funktion aufbauen kann und so jede einzelne dezimalstelle von pi eindeutig beschreiben kann.
es gilt der aus der schule bekannte
satz (*): jede reelle Zahl lässt sich mit beliebiger genauigkeit durch eine folge rationaler zahlen approximieren.
deshalb zahlentheoretische funktionen und der begriff der berechenbarkeit.
nun zu deiner von mir kritisierten formulierung von oben:
man kann mit kurvendiskussion zeigen, dass die gleichung ... genau zwei lösungen hat, die man aber nur numerisch angeben kann; ist eben nicht korrekt. denn ich muss daraus (fälschlicher weise) schlussfolgern:
(I) es ist nicht möglich, die beiden lösungen mit beliebiger genauigkeit zu beschreiben, denn numerisch heißt nicht automatisch, dass eine beschreibung mit beliebiger geanuigeit möglich ist. (denn eine nicht dichte zahlenmenge tut es dann auch - sicher nicht in deinem sinn - oder?)
deine reellen Zahlen u1 und u2 in dieser darstellung sind nicht "berechenbar" oder?
(II) die kurvendiskussion für den nachweis der existenz und der eindeutigkeit zweier - nur numerisch beschreibbaren lösungen - ist nicht das gleiche, wie der nachweis für die existenz und eindeutigkeit zweier reeller zahlen (sonst widerspruch zu oben dem satz (*)),
die zwei lösungen der betreffenden gleichung sind mit absoluter sicherheit mithilfe einer rekursiv definierten funktion berechenbar. oder?
ich bleibe also dabei, dass deine obige formulierung nicht korrekt ist.
besser wäre z.b.: zwei reellle lösungen lassen sich mithilfe einer kurvendiskussuion nachweisen. der TR oder der computer, was auch immer, zeigen zwei approximative lösungen an, die aber nicht mit den beiden reellen zahlen gleich gesetzt werden dürfen, denn sie lassen sich mithilfe einer rekursiv definierten funktion beliebig genau beschreiben.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)gestatte mir noch eine persönliche buchempfehlung:
"Das ist o.B.d. A. trivial"
von Albrecht Beutelsbacher,
erhältlich im
math-college-shop.de
mit dem buch kann man ganz bequem und auch amüsant lernen, worauf es in mathematischen interpretationen ankommt. mir hat es sehr gut gefallen.
kennst du es?\(\endgroup\)
\(\begingroup\)kennt jemand aufgaben zur kurvendiskussion mit realem anwendungsbezug (noch nicht veröffentlicht!!!), die von möglichst von vielen schülern gelöst werden können?\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Die Berechenbarkeit hatte ich auf arctan bezogen, weil du diese Funktion selbst berechenbar genannt hattest (es aber mittlerweile korrigiert hast ...). Naja egal, hauptsache ich weiß, dass sie sich bei dir auf die Dezimalstellen von Pi bezieht. Allerdings folgt doch aus der rekursiven Definition der Potenzreihe von arctan noch lange nicht, dass auch die Dezimalstellen von Pi berechenbar sind. Oder wie sieht denn dafür eine Rekursion aus?
Den Rest deines Kommentars verstehe ich leider nicht ... was ist an meiner Formulierung genau falsch? Also falls es sich auf "die man aber nur numerisch angeben kann" bezieht: Dass Näherungswerte einer Zahl nicht mit der Zahl übereinstimmen, ist mir natürlich klar. Ich meine damit halt nur, dass man die Dezimalstellen nicht sofort alle hinschreiben kann ... naja und eigentlich auch, dass kein direkter Zusammenhang mit anderen bekannten math. Konstanten besteht.
Zum Buch "Das ist o.B.d. A. trivial" habe ich mir sagen lassen, dass es o.B.d.A. trivial ist. 😉\(\endgroup\)
\(\begingroup\) mal ironisch, mal arrogant. unsicher?
darfst du keine fehler machen? dürfen andere keine fehler machen? darf ich keine fehler machen? niemand ist perfekt. auch der beste mathematiker nicht. kein erstrebenswertes ziel für einen, der am anfang einer vielleicht erfolgreichen karriere steht.
ich denke unser disput ist jetzt an dieser stelle beendet und für andere ist es hier nicht mehr unterhaltsam. deine noch offenen fragen kannst du dir sicher mit literatur selbst erarbeiten.
übrigens das von mir empfohlene buch von meinem geschätzten kollegen BEUTELSBACHER ist wie seine anderen werke auch ein renner in den buchläden. ich weiss es. viele fachautoren der mathematik beneiden ihn um seinen erfolg. musst es ja nicht gleich kaufen, aber überzeuge dich doch bitte selbst vom inhalt, bevor du urteilst oder das nach erzählst, was andere vorgekaut haben. nicht sehr ehrenwert.
frank\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Jo Unterstellungen sind nicht so unterhaltsam. :)
Seh ich das denn mit der Berechenbarkeit richtig? Und ich verstehe wie gesagt noch nicht, was an meiner Formulierung falsch ist.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)hallo alle miteinander
ich wiederhole, was mir jetzt sehr wichtig ist:
kennt jemand aufgaben zur kurvendiskussion mit realem anwendungsbezug, die möglichst von vielen schülern gelöst werden können?
frank\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi fschumann,
die Schulbücher sind voll von Aufgaben zur Kurvendiskussion.
Da Du das aber weißt und so fragst, enthält Deine Frage eine Meinungsäußerung, daß es nämlich keine Aufgaben zur Kurvendiskussion mit Anwendungsbezug gäbe. Du kannst ja gern Deine Ansicht hier begründen. Wenn Du uns dann überzeugt hättest, möchte ich dann wissen, welche Schlußfolgerungen wir ziehen sollten?
Du hast eine Diskussion begonnen, von der Du sicher das Ziel kennst, aber die Leser hier möglicherweise nicht. Um die Diskussion besser zusammenzuhalten, wäre es mir wirklich eine Hilfe, wenn Du Deinen Plan kurz vorstellen würdest.
Gruß
Matroid\(\endgroup\)
\(\begingroup\)hallo matroid
das "noch nicht sichtbare" ziel meiner bitte ist, inwieweit modellierungen (siehe bildungspläne bad. württ) für den schüler in der allgemeinbildung tatsächlich im mu realisierbar und nützlich sind und das nicht nur für eine spitzengruppe von schülern.
die in lehrbüchern und abituraufgaben angebotenen kurvendiskussionen mit anwendungsbezug sind meiner meinung nach - die "umgekehrte kurvendiskussion" eingeschlossen - für den schüler schwieriger als die klassischen aufgaben (s. oben).
in meinen augen stellen sie aber kein "gramm" an verbesserung für den unterricht dar. (meine jetzige meinung) ich bin an dieser stelle dennoch offen.
meine ernst gemeinte bitte und aufforderung, aufgaben dieser art hier vorzustellen, unterliegt der praktischen testaufgabe:
was motiviert den schüler stärker, sich mehr für mathematik zu interessieren, wenn derartige aufgaben anstelle der klassischen kurvendiskussion (siehe oben) ihm angeboten werden ?
ich denke da "draussen" gibt es mehr gute ideen, als in büchern derzeit zu lesen sind. ich kenne die weitverbreitete forderung vieler lehrer, eltern und auch politiker nach mehr praxisbezug im mu, andererseits weiss ich von meinem eigenen unterricht und aus der lehrerfortbildung, dass die bereits gedruckten (vielleicht nicht alle) aufgaben keinen echten motivationsschub bei schülern bewirken. man sucht eilig nach der mitgelieferten funktionsgleichung und legt nach bekannten rezepten los. schwierigkeiten entstehen oft bei der gestaltung der antwortsätze. viele schüler haben das problem, die numerischen ergebnisse zu interpretieren. ich frage mich hier wieder: ist diese hürde so wichtig für den mu?
ich bin gespannt darauf, was mir hier die teilnehmer dieses podiums an erfahrung und meinungen mitteilen können, zumal hier nicht nur lehrer mitarbeiten. mehr plan gibt es nicht, als mein wissen für meine arbeit als lehrer und als fortbilder anzuregen und zu erweitern. ich danke für diese aufforderung und hoffe auf vielfältige und breite unterstützung für einen regen gedankenaustausch.
frank
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Frank,
ich habe bei Nachhilfeschülern und während meinem Schulpraktikum verschiedene Beobachtungen gemacht:
1. Die Aufgaben haben meist nur "Pseudo-Praxisbezug". Soll heißen (bezieht sich nicht nur auf Kurvendiskussion): In einer Aufgabe ist von drei Schulbussen die Rede, die, wie es der Zufall so will, alle Luftlinie zur Schule fahren können. Sowas ist doch absoluter Quatsch! Und solche Aufgaben werden von den Schülern auch nicht akzeptiert.
2. Es gibt Aufgaben, in denen der Aufgabentext schon eine Din A4 Seite lang ist. Das animiert keinen Schüler zur Bearbeitung.
3. Die Schüler möchten zwar gerne wissen, wozu man das braucht, was sie gerade lernen, sie möchten aber nicht unbedingt Aufgaben mit praxisbezug rechnen. Das liegt oft daran, dass sie Textaufgaben nicht verstehen. Zum einen kommt es vor, dass die Aufgaben gespickt sind mit Wörtern, die die Schüler nicht kennen (ein Stadtkind weiß nicht unbedingt, wie man die Büschel nennt, zu denen Getreide zusammen gebunden wird und fremde oder alte Gewichtsmaße kennen zumindest Unterstufenschüler auch nicht). Zum anderen sind viele Schüler schlichtweg nicht in der Lage, Informationen aus den Texten rauszuholen. Das hat jetzt nicht unbedingt was mit Mathe zu tun, sondern mehr mit Leseverständnis, ist aber dennoch ein Problem.
Gruß
kleine Meerjungfrau\(\endgroup\)
\(\begingroup\)vielen dank kleine meerjungfrau für die erste antwort auf meine bitte. das eis ist gebrochen.
ich stelle mir zwei fragen:
1. sind diese art von "experten-aufgaben" nun nicht sinnvoll, weil sie von vielen schülern nicht genügend verstanden werden? das wäre zu einfach.
(beispiel: früher grenzwertdefinition mit epsilon in klasse 11, jetzt in vielen lehrbüchern verschiedener bundesländer nicht mehr vorhanden, weil es zu schwer sei.)
oder
2. sollte sich generell trotz aller kritik und rat-SCHLÄGE von aussen, der mu auf sein wesentliches kerngeschäft konzentrieren, der innermathematischen anwendung und der dahinterstehenden theorie in angemessenheit zur allgemeinbildung?
was meint ihr werte kollegen und auch werte schüler da draussen?
was motiviert jemanden, sich MEHR mit mathematik auseinandersetzen zu wollen?
frank
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Frank,
der größte Bereich von anwendungsbezogenen Kurvendiskussionen die ich kenne ist der Bereich der Wirtschaft. Du hast eine Kostenfunktion und Ertragsfunktion gegeben und musst dann eben die Gewinnfunktion bestimmen. Gewinnschwelle, Gewinngrenze und das Gewinnmaximum usw. Das wird in Nds immer auf den Fachgym für Wirtschaft und der Fachoberschule für Wirtschaft behandelt.
Zu den noch nicht veröffentlichten Aufgaben, es macht ne Menge Arbeit die Aufgaben zu erstellen. Und ich rück die sicher nicht im Internet raus damit irgendwer nur copy und paste macht. Ich bin keine Lehrerin, sondern gebe Nachhilfe in einem Institut und denk mir aber oft die Aufgaben selbst aus wenn ich nicht schönes finde.
Liebe Grüße Janina\(\endgroup\)
\(\begingroup\)hallo janina
vielen dank, janina, dass du dich hier vorstellst. ich kann es gut verstehen, wenn du deine arbeit nicht so einfach präsentieren möchtest. vielleicht ist es dir aber möglich, an einer ausgewählten aufgabe mit lösungen hier zu zeigen, welche erfahrungen du in der zusammenarbeit mit schülern gemacht hast. wie du möglicherweise probleme im lernprozess erkannt und gemeinsam mit schülern bewältigt hast. worauf legst du wert, um zu sagen, diese aufgabe ist interessant oder wichtig für meine nachhilfe? betrachtest du dabei den zu bewältigenden stoff oder mehr die individuellen probleme des einzelnen schülers? bearbeitest du auch mit daten aus der wirtschaft die umgekehrte kurvendiskussion?
sind die wirtschaftsaufgaben für schüler wirklich interessanter als die anderen aus geometrie, physik, ...?
viele fragen auf einmal. sorry, aber es interessiert mich sehr.
frank
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Weil du gerade Physik erwähnst, noch eine Anmerkung dazu: es heißt ja, dass die Mathe- und Physiknote eng zusammen hängt, denn wenn man das eine nicht kann, kann man das andere auch nicht. Ob das nun stimmt, sei mal dahin gestellt (ich bin der Meinung, es stimmt zumindest nicht immer. Das soll jetzt aber nicht auch noch diskutiert werden). Mir ist aber bei schlechten Matheschülern schon aufgefallen, dass sie sich tierisch darüber aufregen, wenn sie dann in Mathe auch noch Aufgaben rechnen sollen, die einen Bezug zur Physik haben. In Physik sind sie meistens nämlich auch schlecht. Ich würde das aber nicht auf Physik speziell beziehen, sondern möchte mal behaupten, dass Schüler allgemein eine Abneigung gegen Aufgaben haben, die sich auf Stoff eines anderen Schulfaches beziehen. Soll heißen: wenn man jetzt eine Aufgabe erfindet, in der es um Bismarck oder Napoleon geht, werden sich die Schüler auch drüber alterieren. Leider habe ich dir aber auch keine guten Ideen, wie mans besser machen könnte. Ich habe einen großen Fundus an bereits veröffentlichten Aufgaben, aus dem ich schöpfe, wenn ich Aufgaben für die Nachhilfe brauche.
Gruß
kleine Meerjungfrau\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Frank,
ich bin leider kein Lehrer und habe nicht viel Erfahrung in Pädagogik. Allerdings denke ich, dass man Schüler, zumindest ab der Abiturstufe den Stoff (also Mathematik) mit interessanten Anwendungen schmackhafter gestalten kann. Zumindest sagen mir das meine Erfahrungen bei der Mathe-Nachhilfe.
Mit interessanten Anwendungen meine ich nicht irgendwelche Pflöcke in der Erde die eine Ebene aufspannen und irgendeinen Winkel zu einer Geraden bilden, nein, sondern damit meine ich z.B. folgendes:
Die ganze Vektorrechnung, einschließlich der Umgang mit Matrizen könnte man in voller "Action" an modernen 3D-Engines (zB auch von Computerspielen) demonstieren. Dann wissen die meisten Schüler wozu man das Zeug gebrauchen kann. Außerdem wirkt der Stoff dann nicht mehr so "verstaubt", sondern viel lebendiger.
Es ist zwar nicht meine Art den Stoff so zu lernen, aber vielen Schülern könnte das vielleicht helfen.
Viele Grüße,
Christian
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)vielen dank für eure beiträge
mich freut das rege interesse an diesem thema. bitte weiter machen und den mut haben, auch mal was vorzustellen. wichtig ist, dass auch eure erfahrungen zur unterrichtsgestaltung am konkreten beispiel zu tage treten.
frank
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Miteinander,
ich finde die jetzige Diskussion interessant und spannend, auch aus dem Grund, weil ich selber an einem Gymnasium in BaWü M und Ph unterrichte.
Wäre es nicht sinnvoller, diese Diskussion in einem eigenen Thread durchzuführen als hier im "Untergrund eines Artikels"? Ich denke, da hätten viel mehr Planetarier was davon als der enge Zirkel der Kommentatoren hier.
Zu der Frage, ob man nicht Physikaufgaben in den Matheunterricht einbringen soll um die Motivation zu steigern, sage ich aus eigener Erfahrung, dass dies bei den Schülern keineswegs die Motivation erhöht, im Gegenteil.
Viele Schüler, die kein großes Interesse an Physik haben, um das mal blumig auszudrücken, haben erst recht keinen Spaß, wenn "solche" Aufgaben auch noch im Matheunterricht auftauchen.
Und eine Aufgabe zu machen, nur weil sie schön physikalisch und für vier Leute interessant ist...ich weiß es nicht.
Vielleicht müsste man auch die Physikaufgaben "aufmöbeln"
Also, ein dringenderes Anliegen wäre mir, diese Diskussion ans "Tageslicht" zu befördern... \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ein Artikel, der im gewissen Sinne auch zum Artikel "Exemplarische Kurvendiskussionen" passt, ist kürzlich erst erschienen:
50-Ableitungsbeispiele für Funktionen\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Florian, es wäre sicher effizienter,
wenn Du den Link innerhalb Deines Artikels plazierst,
z.B. am Ende des Abschnittes 8.
Liebe Grüße, Franz
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)hi, ich finde diesen artikel überhaupt nicht gut! er ist nicht übersichtlich, sehr schlecht gegliedert! 😵 tut mir leid für meine direkte kritik...aber ich hatte in meiner kurvendkussionsprüfung eine 5 und ich habe nur mit dieser seite gelernt. ich habe sie meinem lehrer gezeigt und er hat gesagt, sie zeige mehrere fehler auf. ich rate dir also: überarbeite doch deinen artikel und benutze dabei einen taschenrechner!
Cornelia Brünzeler ☹️ ☹️ ☹️ \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Welche Kritik hat denn dein Lehrer an dieser Seite geübt? Wenn er Fehler entdeckt hat, wäre es gut, wenn du sie auch angibst. Nur dann können sie ausgebessert werden.\(\endgroup\)
Home / Seite ohne Frame
2023-09-22 22:09 U ?
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
Printer-friendly version
In meinen Artikeln (siehe 
(vereinfacht durch Graphdarstellung)
\grey\ 7. Ableitungen:
f(x)=(3x^3+x^2-4)/(4x^2-16)
f'(x)=3/4 *x^2* (x^2-12)/(x^2-4)^2
f''(x)=6x* (x^2+12)/(x^2-4)^3
\grey\ 8. Extrempuntke:
Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes f'(x)=0:
0=3/4 *x^2* (x^2-12)/(x^2-4)^2
0=x^2-12
x^2=0\or\ 0=x^2-12
x_1=0\or\ x_(2,3)=+-sqrt(12)
Hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Extrempunktes f'(x)=0 \and\ f''(x)!=0:
f''( sqrt(12) )>0: Minimum
f''(- sqrt(12) )<0: Maximum
f''(0)=0 Hinreichende Bedingung nicht erfüllt!
T (sqrt(12) \| - 3.46)
H(- sqrt(12)\| -3,65)
\grey\ 9. Wendepunkte:
Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Wendepunktes: f''(x)=0:
0=6x* (x^2+12)/(x^2-4)^3
6x=0
x=0
x^2+12=0
x^2=-12 Wurzeln aus negativen Zahlen sind in der Menge der reellen
Zahlen nicht definiert!
Hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Wendepunktes: f''(x)=0 \and\ f'''(x)!=0:
f'''(0)!=0
An der Stelle x=0 liegt sogar ein Sattelpunkt vor, da f'(0)=0.
\grey\ 10. Wertebereich:
W=\IR
\grey\ 11. Graph zeichnen:
Bei Kurvenscharen solltet ihr, wenn es nicht als Extraaufgabe vorgegeben ist, immer folgende Aufgaben untersuchen und lösen:
1. Auf welcher Kurve liegen alle Extrempunkte?
2. Auf welcher Kurve liegen allen Wendepunkte?
Ich will eine kurze Lösung hierzu angeben:
1. Kurven, auf der alle Extrempunkte liegen:
Wir haben den Hochpunkt H(2k, 1/(4k) ). Diesen nutzen wir.
Zuerst formen wir den x-Wert x=2k nach k um.
x=2k
k=x/2
Dieses k setzen wir in den y-Wert des Hochpunktes ein:
y=1/(4k)=1/(2*x)
Auf der Kurve g(x)=1/(2*x) liegen alle Extrempunkte.
2. Kurven, auf der alle Wendepunkte liegen:
Wir haben den Wendepunkt W(3k, 2/(9k) ). Diesen nutzen wir.
Zuerst formen wir den x-Wert x=3k nach k um.
x=3k
k=x/3
Dieses k setzen wir in den y-Wert des Wendepunktes ein:
y=2/(9k)=2/(3*x)
Auf der Kurve g(x)=2/(3*x) liegen alle Wendepunkte.
Ich danke meinem Testleser 
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Comments
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Zum Thema CAS
die Dinger gehören so lange auf den Mond verbannt, bis die Schüler die entsprechenden Themen verstanden haben und selbst rechnen können. Ab dann sollten sie als Vereinfachung der mechanischen Rechnerei eingesetzt werden können.
Ich erlebe genug Knallköppe, die schon für 6*13 zum Taschenrechner greifen. Da ist Null Gefühl für Zahlen vorhanden. Ebensowenig können sie später die simpelsten Terme ohne GTR umformen. M.a.W. sie wissen gar nicht mehr, was sie da machen und verstanden haben sie schon gleich gar nix mehr 
Meinung vom 1/4