Mathematik: Wavelets - Wind und Wellen
Released by matroid on Do. 08. Juni 2006 09:17:42 [Statistics]
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Mathematik

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Lasst die Spiele beginnen

Einen vernünftigen Titel zu finden ist oft ebenso schwer, wie die Wahl der Motivation und damit einhergehend die Frage nach einem geeigneten Anfang. Motivationen für Wavelets gibt es genügende, vom Denoising über MP3-Verfahren (oder allgemein Kompression von Daten) bis hin zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen. Ich habe mich entschieden, Filterbänke ersteinmal außen vor zu lassen und beginne mit der Wiederholung der wichtigsten Grundlagen, die für die Wavelettheorie unabdingbar sind. Der ersten zwei (einleitenden), der Wiederholung dienenden Teile verzichten weitestgehend auf Beweise, um unnötige Längen, die der eigentlichen Thematik sich 'entziehen', zu vermeiden; sie können in der am Ende des Artikels vorgestellten Literatur nachgelesen werden. Über die genaue inhaltliche Abfolge der Serie kann ich leider noch nichts sagen; im zweiten Teil werde ich aber erst einmal ein bischen auf Fouriertransformationen und -Reihen sowie deren Eigenschaften eingehen, Faltungen vorstellen und die gefensterte Fouriertransformation kurz erläutern. Probleme dieser sollen erörtert werden, und diesen wollen wir dann schließlich ab dem dritten oder vierten Teil (das hängt vom noch unprädizierbaren Umfang ab, dem ich Herrn Fourier widme) mit Wavelets mutig entgegen treten; natürlich in der unermüdlichen Hoffnung, selbige bestmöglich umgehen oder lösen zu können. Die letzten Worte dieses einleitenden Abschnittes, die am Ende hoffentlich sich erfüllen, sollen Goethe gehören (aus der Farbenlehre):

Die Totalität nebeneinander zu sehen macht einen harmonischen Eindruck aufs Auge



Um was es eigentlich geht

Die Grundidee der Waveletzerlegung ist - wie der Begriff bereits andeutet - eine in der Analysis häufig auftretende Thematik: Im weitesten Sinne die Analyse einer gegeben Funktion. Dabei bedeutet dies insbesondere, selbige geeignet zu approximieren, bzw. über andere Funktionen darzustellen. Wünschenswert wird in unserem Fall eine Menge von Basisfunktionen sein, die umfassend genug ist, um die dem Kontext abverlangten Funktionen in ausreichender Güte zu repräsentieren und andererseits "übersichtlich" genug ist, um nicht zu viel unnötige, redundante Information mitzuschleppen. Im Endeffekt suchen wir also für eine Funktion eine Darstellung f(t)=int(c(i)e_i(t), i, i \el I) wobei I Indexmenge bzgl. der Basis(funktionen) e ist und c(i) Koeffizienten oder Gewichte. Daraufhin mit Rücksichtnahme auf die Wavelettheorie abzielend sollen die bereits erwähnten Notwendigkeiten kurz wiedeholt werden.

Präliminarien

Ein Vektorraum H versehen mit einer Norm, die von einem inneren Produkt abstammt, heißt Prä-Hilbertraum. Ist er bzgl. der durch diese Norm induzierten Metrik vollständig, konvergiert also jede Cauchyfolge, so spricht man von einem Hilbertraum. In diesem gelten unter anderem die uns bekannte Cauchy-Schwarz- und die Dreiecksungleichung. Ein Hilbertraum ist also eine spezielle Art eines Banachraumes! I.F. bezeichne H stets einen Hilbertraum. Eine Teilmenge S \subset H nennt man Orthonormalsystem, falls \forall e, f \el S, e != f: norm(e)=1, = 0 gilt. Man nennt S Orthonormalbasis, wenn S \subset T, T Orthonormalsystem => T=S erfüllt ist. Eine äquivalente Formulierung hierzu ist: Eine Menge von Elementen e_i \el H, i \el I (I Indexmenge) heißt total, wenn für alle Elemente x aus H gilt: \forall i \el I: = 0 => x = 0 . Eine Orthonormalbasis ist dann ein totales Orthonormalsystem. Jeder Hilbertraum hat die schöne Eigenschaft, dass er eine Orthonormalbasis (ONB) besitzt (ich erinnere hier an das Gram-Schmidt-Verfahren). Ist S \subset H eine ONB, dann gelten vor allem drei wichtige Eigenschaften: \frame\1) \forall x \el H: x = summe(e, e \el S) 2) \forall x \el H: norm(x)^2 = summe(abs()^2, e \el S) 3) x \senkrechtauf S => x = 0\frameoff Die erste Eigenschaft ist im Grunde eine Zerlegung der Hilbertraumelemente in ihre orthogonalen Komponenten. Eigenschaft 2 nennt man 'Parsevalsche Gleichung'. So, Zeit für ein kleines, wohlbekanntes Beispiel: Definieren wir \phi_k(x):=1/(sqrt(2\pi)) e^ikx, k \el \IZ , dann bilden diese Funktionen im L^2(]-\pi, \pi[) (eine Definition vom L^2 folgt weiter untern) ein Orthonormalsystem, was sich einfach durch Ausrechnen mit dem für diesen Raum definierten inneren Produkt aufgrund von dessen Linearitätseigenschaften sowie den Eigenschaften der Exponentialfunktion ergibt. Eine stetige lineare Abbildung zwischen normierten Räumen nennt man Operator und im Falle eines Skalarkörpers als Bildraum Funktional. Ein Operator T ist beschränkt, falls ||Tx|| < c||x|| für alle x aus H gilt (c const.) und eine Isometrie, wenn gilt: \forall x \el H: norm(Tx)=norm(x) Wegen Tx=Ty => norm(T(x-y))=0=norm(x-y) <=> x=y sind isometrische Abbildungen zwischen Hilberträumen stets injektiv. Der Darstellungssatz von Fréchet-Riesz \frame\Sei H ein Hilbertraum mit Dualraum H^d. Dann ist die Abbildung T:H->\H^d, y |-> (x, y \el H) ein lineares Funktional. Ebenso gilt: Ist T ein lineares Funktional, dann gibt es ein x \el H, so dass für alle y \el H die Gleichung Ty= erfüllt ist. Aufgrund der Cauchy-Schwarz-Ungleichung abs(Ty) <= norm(y)_H norm(x)_H ist das Funktional zudem stetig. norm(x)^2= =Tx <= norm(T)_(H^d) norm(x)_H und das Einsetzen in die Operatornorm norm(T)_(H^d)=sup(y!=0,abs()/norm(y)_H) <= sup(y!=0, norm(y)_H norm(x)_H / norm(y)_H)=norm(x)_H implizieren, dass T eine (wegen der Antilinearität des inneren Produktes) konjugierte (d.h. T(\lambda\ y)=\lambda^- T(y), \lambda Skalar) Isometrie ist.\frameoff Aus der linearen Algebra bekannt sind adjunkte Abbildungen; analog werden hier adjunkte Operatoren eingeführt. \frame\Ist T: H -> H' ein beschränkter linearer Operator, dann gibt es einen eindeutigen (ebenfalls beschränkten und linearen) Operator T^\*\void :H'->H derart, dass für alle x \el H und alle y \el H' gilt: = . T^\* heißt\big adjunkter Operator\normal zu T. \frameoff Wir erinnern uns, dass ein wie oben beschriebener Operator unitär genannt wird, falls TT^\*\void = Id_H und T^\*\void T=Id_H' Ein beschränkter Operator zwischen Hilberträumen ist genau dann unitär, wenn er isometrisch und surjektiv ist. Schließlich nennt man eine Abbildung T:H->H' zwischen zwei Hilberträumen H und H' eine (orthogonale) Projektion, wenn T=T^\* = T^2 (=T \circ T) . Ist O \subset H eine Teilmenge eines Hilbertraumes, dann ist das orthogonale Komplement O^\perp:={z \el H: = 0 \forall x \el H} ein abgeschlossener Unterraum von H und zu jedem Element x \el H gibt es eine eindeutig bestimmtes Paar (o, o^\perp) \el O x O^\perp mit x=o+o^\perp . Die Abbildungen (auf die Unterräume) x \mapsto o, x \mapsto o^\perp sind Projektionen.

Maßlosigkeit ist eine Sünde

Da die Lebesgueschen Räume und die Lebesguesche Integrationstheorie unumgänglich für eine adäquate Darstellung Wavelets sind, möchte ich kurz darlegen, in welchem Sinne ich die Notationen o.g. Räume und Folgenräume verwende: Je nach Zusammenhang werden selbige ohne Argument, mit dem zugrundeliegenden Maß, der zugrundeliegenden Algebra oder der ihr zugrundeliegenden (abstrakten) Menge oder letztendlich mit dem einem Tripel als Argument notiert. In dieser Reihenfolge gilt beispielweise für abstrakte Mengen X mit \sigma-Algebra \calA über X \frame \calL^p=\calL^p(\mu)=\calL^p(\calA)=\calL^p(X) =\calL^p(X, \calA, \mu):={f:X->\IK \| f \mu-meßbar und norm(f)_p < \inf}\frameoff Hier bildet \IK=\IR, \IC den zugrundeliegenden Skalarenkörper mit Abschluss \IK^^=\IR^-, \IC versehen mit der dazugehörigen \sigma-Algebra \calB^^:=\calB, \calB^2 . Ist p reell, so handelt es sich also um die Menge aller messbaren Funktionen f:X->\IK mit abs(f)^p \mu-integrierbar . Dabei ist \frame\ norm(f)_p:=(\int(abs(f)^p, \mu, X))^(1/p) für f \el L^p und 1 <= p < \inf norm(f)_\inf:=ess sup(x\el X,abs(f(x))) = inf{a >= 0 \| \mu({x: abs(f(x))>a})=0}\frameoff Der (topologische) Raum \calL^p ist jedoch lediglich ein halbnormierter Vektorraum und erfüllt insbesondere nicht das Hausdorffsche Trennungsaxiom, wenn es nicht-leere \mu -Nullmengen gibt. Definiert man N als Menge aller messbaren Funktionen f:X->\IK mit f=0 \mu - fast überall , so kann man, da N ein Unterraum von \calL^p ist, den Quotientenraum L^p:=\calL^p \/N, 0 < p <= \inf betrachten. Dabei werden zwei Funktionen (als Elemente der Nebenklassen f+N ) f, g \el L^p als gleich, d.h. einer Äquivalenzklasse angehörend, angesehen, wenn sie fast überall gleich Null sind, d.h. norm(f-g)_p=0 gilt. Nun werden Operationen (wie z.B. Addition und skalare Multiplikation) auf Vertretern der Äquivalenzklassen durchgeführt und L^p wird zu einem normierten Vektorraum über \IK . Ist nun F \el L^p so ist norm(f)_p für alle (Vertreter) f \el F gleich und es gilt norm(F)_p=0 <=> F=0 ; das Hausdorffsche Trennungsaxiom ist hier erfüllt.
Jede wie oben definierte Norm induziert eine invariante Metrik via d_p(x,y):=norm(x-y)_p und für 1 <= p <= \inf ist der metrische Raum (L^p, d_p) vollständig. Im Spezialfall p=2 wird durch das innere Produkt :=\int(f g^-, \mu, X) mit f, g \el L^2(\mu) der L^2 zu einem Hilbert-Raum. Allgemein kann man die abstrakt gegebene Menge X natürlich auch konkret wählen, wie wir es später häufig tun werden, z.B. X=\IR , oder in ähnlicher Weise X=[a, b] \subset \IR (näheres hierzu entnehme man Büchern über Maß- und Integrationstheorie).
Analog dazu gibt es Folgenräume, die durch konkrete Wahl von \mu als Zählmaß auf I=\IN oder \IZ erzeugt werden: l^p(I) := {x:I->\IK \| norm(x)_p < \inf} Dabei sind gleichfalls die Normen definiert: \frame\ norm(x)_p := (sum(abs(x_n)^p, n \el I))^(1/p) für 1 <= p < \inf norm(x)_\inf := sup(n \el I, abs(x(n)))\frameoff und ebenso kann man für p=2 den Hilbertschen Folgenraum spezifizieren, der durch das Skalarprodukt =sum(x_i y^-_i, i \el I) mit x, y \el l^2(I) zum Hilbertraum wird. Zwei Zahlen p, q mit 1 <= p, q <= \inf, 1/p+1/q=1 nennt man konjugierte Exponenten. Für solche gilt für meßbare Funktionen f,g:x->\IK^^ die
Höldersche Ungleichung: \frame\ \red norm(fg)_1 <= norm(f)_p norm(g)_q . Dies ist klar im Falle p=\inf oder q=\inf, ebenso wenn norm(f)_p=0 oder norm(g)_q=0 (=> f*g=0 \mu-fast-überall). Interessant ist der Fall 1 < p,q < \inf und 0 < norm(f)_p, norm(g)_q < \inf. Es ist (ohne Beweis) ab <= 1/p*a^p + 1/q*b^q \forall a,b \el [0,\inf]. Wir setzen a:=abs(f)/norm(f)_p , b=abs(g)/norm(g)_q und integrieren über X, was zusammen mit der letzen Ungleichung die Höldersche Ungleichung beweist.\frameoff Aus dieser lässt sich unter anderem eine Inklusion der \calL^p, bzw. L^p-Räume herleiten: \frame\Im Fall 0 < p < q < \inf sei dazu r:=q/p und s:=(1-1/r)^(-1) definiert; damit sind r und s konjugierte Exponenten. Wir schauen uns an, was die Höldersche Ungleichung, angewendet auf abs(f)^p und auf die 1-Funktion macht (wobei f \el \calL^q): \int(abs(f)^p, \mu, X) <= (int(abs(f)^pr , \mu, X))^(1/r) * (\mu(x))^(1/s) Daraus folgt norm(f)_p <= (\mu(x))^(1/p-1/q) norm(f)_q sowie f \el \calL^p, und das bedeutet nichts anderes, als dass Konvergenz in \calL^q auch Konvergenz in \calL^p mit sich zieht bei gleichem Limes. Absolut unerlässlich ist dabei die Endlichkeit des Maßes \mu!!. Das Resultat ist also: Ist 0 < p < q < \inf und \mu(X) < \inf, so ist \calL^q \subset \calL^p\frameoff

Sinnfragen

Inwieweit machen die L^p -Räume überhaupt Sinn, wenn es - wie es in den weiteren Kapiteln oftmals geschehen wird - z.B. in der Praxis um Signale geht. Sind Funktionen im L^p(\IR) doch nur bis auf eine Nullmenge definiert, dann bringt demnach allein schon die Definition einer Abtastung einer solchen Definitionsprobleme mit sich! Der Grund ist natürlich die wunderbare Struktur, die insbesondere der L^2 -Raum mit sich bringt: Die Norm ist durch ein inneres Produkt gegeben, die Fouriertransformation kann auf diesem definiert werden, und und und - eben alles, was sich für Hilberträume herleiten lässt. Dafür nimmt man gewisse 'Unsinnigkeiten' vorerst in Kauf, muss dann aber ggf. je nach konkreter Situation geeignete Zusatzvoraussetzungen wie z.B. Stetigkeit der Funktionen stellen, um eine Rückübersetzung zu ermöglichen. Dies als kleiner Hinweis, dass theoretische Fundamente in der Praxis oft spezieller Obacht bedürfen!

To be continued....

Damit endet der erste introduktorische Part der Wavelet-Serie. Für Vorschläge und Kritik bin ich gerne offen. Dies ist allerdings mein erster Artikel in diesem Forum - sollte die Kritik daher zu vernichtend sein, muss man mit einer daraus resultierenden Selbstverachtung und damiteinhergend mit langen Wartezeiten auf den zweiten Teil rechnen :-) Es folgt abschließend die (für diesen Teil repräsentative) versprochene, kurze Literaturliste: Elstrodt, Jürgen: Maß- und Integrationstheorie; Springer-Verlag Werner, Dirk: Funktionalanalysis; Springer-Verlag

Zur Fortsetzung
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Wavelets - Wind und Wellen [von gilgamash]  
Eine Einführung und Beginn einer geplanten Reihe über Wavelets
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"Mathematik: Wavelets - Wind und Wellen" | 8 Comments
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Re: Wavelets - Wind und Wellen
von: abcdef am: Do. 08. Juni 2006 11:32:02
\(\begingroup\)Gehtst du in den kommenden Artikeln auch auf diskrete Fourier-/Wavelet-Transformationen ein?\(\endgroup\)
 

Re: Wavelets - Wind und Wellen
von: gilgamash am: Do. 08. Juni 2006 12:14:39
\(\begingroup\)Ja, ist geplant. Schließlich ist die Diskretisierung ja für die wirkliche praktische Umsetzung unumgänglich. Kann aber ein paar Teile lang dauern bis dahin:-) Gruß, Gilgamash \(\endgroup\)
 

Re: Wavelets - Wind und Wellen
von: Monkfish am: Do. 08. Juni 2006 15:05:25
\(\begingroup\)Hallo Gilgamash! Bin schon gespannt auf die Fortsetzung. Sehr leserlich der Artikel. Noch ein paar kleine Anmerkungen: - Du benutzt sowohl den Begriff "beschränkt", als auch den Begriff "stetig". Ich würde noch anmerken, dass dies im Kontext von linearen Abbildungen das Gleiche ist. - Du schreibst: Ein Operator zwischen Hilberträumen ist genau dann beschränkt, wenn er isometrisch und surjektiv ist. Da kann etwas nicht stimmen. Jede Isometrie ist zwar stetig, aber ein stetiger Operator zwischen Hilberträumen ist nicht zwingend eine Isometrie. Gruss \(\endgroup\)
 

Re: Wavelets - Wind und Wellen
von: gilgamash am: Do. 08. Juni 2006 17:31:39
\(\begingroup\)Hallo Monkfish! Danke für den Hinweis, habe die entsprechende Stelle mit dem Operator geändert; nun sollte es hoffentlich stimmen. Gruß, Gilgamash \(\endgroup\)
 

Re: Wavelets - Wind und Wellen
von: cow_gone_mad am: Do. 08. Juni 2006 21:04:26
\(\begingroup\)Hallo Andreas, mir gefällt dein Artikel sehr gut, und bin auf die Folgenden gespannt. 😄 Allerdings habe ich eine kleine Anmerkung zu deinem Einsatz des Artikeleditors des MP. Glieder deine Artikel doch bitte in Subabschnitte. Ich habe bei deinem Skalarprodukt in L^2 das fehlende Komplexkonjugieren hinzugefügt, und musste ganz schön lang im Text suchen, bis ich es hatte. Abschnitte würden dies deutlich vereinfachen. Liebe Grüsse, cow_ \(\endgroup\)
 

Re: Wavelets - Wind und Wellen
von: gilgamash am: Do. 08. Juni 2006 23:57:53
\(\begingroup\)Hallo cow_gone_mad, ich werde das berücksichtigen. War mein erster Artikel und ich war zu vertieft, um mich mit Abschnitten zu beschäftigen. Wird aber ab dem nächsten Teil sich ändern, versprochen. Bin sehr dankbar für die bisherige Anerkennung, war nämlich bei dem Kontingent an Kompetenz hier wirklich unsicher, ob ich den Schritt mit der Wavelet-Serie wagen sollte. Gruß, Gilgamash/ Andreas \(\endgroup\)
 

Re: Wavelets - Wind und Wellen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 14. Juli 2006 21:20:01
\(\begingroup\)[...] Der (topologische) Raum erfüllt nicht das Hausdorffsche Trennungsaxiom, da die Menge meßbarer Funktionen auf X bezüglich punktweiser Verknüfpung kein Vektorraum ist, wenn es nicht-leere -Nullmengen gibt. [...] Meinst Du nicht eher: der Vektorraum der meßbaren Funktionen ist kein normierter Raum, wenn es nicht-leere mu-Nullmengen gibt?\(\endgroup\)
 

Re: Wavelets - Wind und Wellen
von: gilgamash am: Do. 27. Juli 2006 14:24:12
\(\begingroup\)Grüße Fremder, habe den Abschnitt geändert, natürlich haben wir nur einen halbnormierten Vektorraum, der das Trennungsaxiom nicht erfüllt. Neue Version sollte bald online sein. Danke, Gilgamash \(\endgroup\)
 

 
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