\(\begingroup\)
In folgendem Artikel habe ich versucht, die LAGRANGE-Interpolation anschaulich und ausführlich anhand eines Beispiels zu erklären. Sterile und formale Erklärungen findet man schon genug. Der Artikel richtet sich an an solche, die mit der LAGRANGE-Interpolation noch nicht vertraut sind, also an die blutigen Anfänger, die vor der Hürde stehen, das erste mal mit LAGRANGE zu interpolieren.
Bitte reißt mich nicht in Stücke, wenn der Artikel nicht perfekt ist. Ist schließlich mein erster.
Der eigentliche Sinn der LAGRANGE-Interpolation ist es, ein Polynom zu finden, welches durch die vorgegebenen "Punkte" läuft. Diese Aufgabenstellung wird auch das "Interpolationsproblem" genannt, welches u.a. mit der Lagrange-Interpolation zu lösen ist.
Hier wird jetzt die Anwendung der LAGRANGE-Interpolation an einem Beispiel erläutert, so dass man danach auch seine eigenen Aufgaben lösen können sollte.
Hier jetzt das uns vorliegende Interpolationsproblem. Es sind drei Punkte vorgeben, die das gesuchte Polynom durchlaufen sollen. Also suchen wir ein Polynom vom Grad 2.
\geo
ebene(300,150) x(0,12),y(0,6) name(bild1)
p(2,3,(2,3))
p(7,2,(7,2))
p(10,4,(10,4))
plot(,)
\geooff
geoprint(bild1)
Jetzt wird auch klar, warum es nur ein Polynom vom Grad n für n+1 Punkte gibt. Bei drei vorgegebenen Punkten gibt es nur ein Polynom vom Grad 2 (was ja bekanntlich eine Parabel ist), aber unendlich viele Polynome vom Grad 3 (was ja mehr einer Schlangenlinie ähnelt) oder größer.
Bei den gegebenen Punkten nennt sich die x-Koordinate "Stützstelle" und die y-Koordinate "Stützwert" des Punktes.
Damit gleich bei der Berechnung alles klar ist, werden die Koordinaten benannt. Die gegebenen Punkte setzen sich also wie folgt zusammen:
x_0=2 , y_0=3
x_1=7 , y_1=2
x_2=10, y_2=4
Wobei x_n der n-ten Stützstelle und y_n dem dazugehörigen n-ten Stützwert entspricht.
Das gesuchte LAGRANGE-Interpolationspolynom wird üblicherweise p_n(x) genannt und berechnet sich folgendermaßen:
\big\ \red\ p_n(x) = sum(y_j L_j(x),j=0,n)
Das sieht ja so ganz schön aus, wenn man wüsste was denn L_j(x) ist.
L_j(x) steht für das j-te LAGRANGE-Polynom, welches sich folgendermaßen berechnet:
L_j(x)=((x-x_0)*(x-x_1)*...*(x-x_(j-1))*(x-x_(j+1))*...*(x-x_n))/((x_j-x_0)*(x_j-x_1)*...*(x_j-x_(j-1))*(x_j-x_(j+1))*...*(x_j-x_n))
oder kürzer:
L_j(x) = prod((x-x_s)/(x_j-x_s),s=0 \and s!=j,n).
Das sind nun erstmal viele x und Indizes. Das entscheidende ist, dass im Zähler der Faktor (x-x_j) und im Nenner der Faktor (x_j-x_j) weggelassen wird. Wenn wir gleich an dem Beispiel weitermachen wird etwas deutlicher was gemacht wird.
Das ist also unser Polynom
p_2(x)=sum(y_j L_j(x),j=0,2) = y_0 L_0(x) + y_1 L_1(x) + y_2 L_2(x)
Der Übersichtlichkeit wegen, werden die L_j(x) einzeln berechnet.
L_0(x) = ((x-x_1)(x-x_2))/((x_0-x_1)(x_0-x_2)) = (x-7)(x-10)/((2-7)(2-10)) = ((x-7)(x-10))/(40)
L_1(x) = ((x-x_0)(x-x_2))/((x_1-x_0)(x_1-x_2)) = ((x-2)(x-10))/((7-2)(7-10)) = ((x-2)(x-10))/-15
L_2(x) = ((x-x_0)(x-x_1))/((x_2-x_0)(x_2-x_1)) = ((x-2)(x-7))/((10-2)(10-7)) = ((x-2)(x-7))/24
Jetzt haben wir alles um das p_2(x) zusammenzufügen. Ab jetzt ist es nur noch Einsetz- und Vereinfachungsarbeit. Es werden jetzt also die L_j(x) und die Stützwerte eingesetzt.
p_2(x) = 3*((x-7)(x-10))/(40) + 2*((x-2)(x-10))/(-15) + 4*((x-2)(x-7))/24
p_2(x) = (270(x^2-17x+70))/3600 - 480(x^2-12x+20)/3600 + (600(x^2-9x+14))/3600
p_2(x) = (270x^2-480x^2+600x^2-4590x+5760x-5400x+18900-9600+8400)/3600
p_2(x) = 390/3600 x^2 - 4230/3600 x + 17700/3600
\big\ \red\ p_2(x) = 13/120 x^2 - 47/40 x + 59/12
Und damit ist es geschafft! Wenn man sich jetzt dieses Polynom einmal aufzeichnet (oder plotten lässt), wird man feststellen, dass es genau unser gesuchtes Polynom ist und durch die gegebenen Punkte verläuft.
\geo
ebene(300,150) x(0,12),y(0,6) name(bild1)
p(2,3,(2,3))(7,2,(7,2))(10,4,(10,4))
plot((13/120)*x^2-(47/40)*x+59/12,)
\geooff
geoprint(bild1)
Eine Zeichnung ist natürlich noch kein Beweis. Wenn ihr wollt könnt ihr noch eine Probe machen. Setzt einfach die Werte der Stützstellen x_j in das ermittelte Polynom p_n(x) ein. Ergeben sich die zugehörigen Stützwerte y_j, dann ist eure Rechnung korrekt. Und dass es auch nur dieses eine Polynom sein kann, besagt der Fundamentalsatz der Algebra.
So, ich hoffe ich konnte ein wenig helfen.
Gruß
Björn
\(\begingroup\)Hallo needle,
selbst wenn man Dich hier in Stücke reißen sollte, würden wir Dich mit einem Polynom, so wie Du es anschaulich beschrieben hast, wieder zusammensetzen können, :-).
Ich finde Deinen Versuch der Veranschaulichung gut! Was ist denn Deine Motivation, daß die "Funktion" genau durch vorgegebene Punkte gehen muß?
Gruß
Juergen\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Naja, wenn man eine Funktion gegeben hat, welche kein Polynom ist, und deren Grad man kennt, dann kann man sich ein Polynom "basteln" und dieses lässt sich dann äußerst leicht integrieren und differenzieren.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi needle,
was ist denn der Grad einer Funktion, die kein Polynom ist?
Noch zum Artikel: Du sagst ja, dass das Interpolationspolynom von n+1 Punkten eindeutig ist, und dass das mit dem Fundamentalsatz der Algebra zusammenhängt. Das ist ein (üblicher?) Fehler ... es folgt aus dem Satz, dass ein Polynom vom Grad höchstens n Nullstellen hat. Weiter stimmt nicht, dass es den Grad n haben muss. Stelle dir einmal zum Beispiel 3 Punkte auf der x-Achse vor ...
Gruß
Martin\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hmm, tut mit Leid. So habe ich es gelernt. Ich sehe aber, dass du Recht hast. Würdest du bitte einen Änderungsvorschlag schreiben?
Zu der anderen Frage: das war vielmehr so gemeint, wenn man Messwerte vorliegen hat und das Polynom sucht, das durch die Punkte führt; dann wendet man die L.-Interpolation an.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Kleine Anmerkung:
Es wäre vielleicht nicht schlecht gewesen, zu motivieren, warum die Lagrange-Polynome gerade diese Form haben. Üblicherweise definiert man sie ja gerade über L_j(x_i)=delta_ij und L_j Polynom n-ten Grades. Damit sind diese eindeutig festgelegt und das Interpolationspolynom ist an den Stützstellen exakt. Dies sollte imho dazugesagt werden, sonst könnte man sich als Unwissender fragen, warum man nicht irgendein anderes Polynom nimmt.
Und wenn du schon von allgemeinen Funktionen sprichst, die du interpolieren willst, warum ziehst du dann das Ganz nicht auch so auf? Du nimmst hier einfach mal drei Punkte und interpolierst dadurch. Schlüssiger wäre es, wenn eine Funktion f auf einem Intervall gegeben wäre, dieses Intervall unterteilt durch Stützpunkte x_j und man dann das Interpolationspolynom durch
Summe über f(x_j)L_j(x) bestimmen würde :) Dann müsstest du nicht immer zwischen dem Beispiel und dem allgemeinen Fall hin- und herspringen.
Vielleicht willst du ja den Artikel weiterführen und mit anderen Polynomen dann noch Bedingungen an die Ableitungen einbeziehen ;) Das würde sich doch anbieten.
Gruß
MA\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ja, es soll ja genau in die andere Richtung gehen.
Es soll eine Art "Kochrezept" sein für Studenten die aus der Vorlesung kommen und denken "Schön, aber wie das jetzt geht weiß ich auch nicht"\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@needle: advens Bemerkungen sind sehr wichtig im Zusammenhang mit der Lagrange-Interpolation. Dein Artikel richtet sich also an solche, die nicht mit klar definierten Polynomen rumrechnen können. Ok, dann ist denen also geholfen :).\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi,
der Artikel ist ein Beispiel für die Lagrange-Interpolation. Ich kann mir denken, daß es viele Leser gibt, die haben die Wörter Lagrange und Interpolation noch nie gehört. Der erklärte Anspruch dieses Artikels ist nicht, die Methode allgemein darzustellen, sondern eine Idee von Interpolation zu geben. Ich denke, das ist gelungen. Wer nun mehr verlangt, als angekündigt war, der soll es bitte selbst hinzufügen.
Gruß
Matroid\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo needle 😄
Ich hätte noch 2 Anmerkungen zu machen, die hoffentlich für den nicht mit Interpolation vertrauten Leser hilfreich sind:
- Interpolation ist, wie der Name schon sagt, gut um Werte von unbekannten Funktionen zwischen den Stützstellen zu bestimmen. (Dies sollte vielleicht im Satz "Sinn der Lagrange Interpolation" aufgenommen werden.)
- Interpolation mit Polynomen vom Grad grösser 3 rennt in Schwierigkeiten, die durch Oszillation der Polynome erzeugt wird, und ist nicht empfehlenswert. Genaueres kann man in der entsprechenden Literatur finden.
Sonst halte ich dies auch für ein gelunges Kochrezept wie man dieses Verfahren anwenden kann. 😉
Liebe Grüsse,
cow_
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Aus diesem Oszillationsgrund hätte ich gerne auch mal ein Kochrezept für kubische Splines 😉
Die sind mir zwar anschaulich und von den Interpolationsbedingungen klar, aber ich bekomme die einfach nicht effizient durchgerechnet. Ich komme mit den Basisfunktionen nicht zurecht.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)
Hallo!
Jemand hat bemängelt, dass der Beweis der Eindeutigkeit der Polynome fehlt. Dies liefern wir gleich mal nach.
\frame
\big Satz\small(wird nicht bewiesen)
Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n Nullstellen.
\frameoff
Die Konstruktion mit den Lagrangeschen Basispolynomen liefert die Existenz eines Interpolationspolynoms. Seien also p_1 und p_2 zwei Polynome vom Grad n, die n+1 Stützstellen interpolieren, so ist das Polynom p = p_1 - p_2 vom Grad <= n.
Andererseits gilt für dieses Polynom aber, dass
p(x_i) = p_1(x_i) - p_2(x_i) = y_i - y_i = 0, für alle i = 0, ..., n
Das bedeutet nun, dass p n+1 Nullstellen hat. Nach dem oben zitierten Satz muss es also das konstante Nullpolynom sein.
MfG Konstantin
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Danke für die gute Erklärung!
Allerdings kann man den Bruch einfacher auf 120stel erweitern, 3600stel finde ich ein bisschen übertrieben. 😄 \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hey Björn!
Dickes Kompliment für deinen Artikel!
Es ist nämlich genau wie du sagst: Man findet -zig algemeine, mathematische Definitionen, aber als Laie (und als solcher kann man nunmal am besten etwas mit konkreten Beispielen anfangen) bringt das einen überhaupt nicht weiter.
Vielen Dank also! \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Anmerkung von Wolfram: Die LAGRANGE-Interpolation dürfte meinem Berechnungen zur Folge nicht ohne Bedingungen bezüglich der Auswahl der Stützpunkte sein. Der Autor dieses Artikels macht zu der Auswahl der Stützpunkte leider keine weiteren Angaben. Deshalb möchte ich hier den Hinweis geben, dass die Stützpunkte nicht beliebig sein können, sondern dass die Stützpunkte den Scheitelpunkt umschließen müssen. Als Beweis kann man eine LAGRANGE-Interpolation mit folgenden Stützpunkten durchführen:
x0=7 ; y0=2
x1=9 ; y1=3
x2=10; y2=4
\(\endgroup\)
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