\(\begingroup\)\(- Student der Mathematik bis zum 5. Semester
- Studium der Luft- und Raumfahrttechnik mit Schwerpunkt Luftverkehr
- Quereinstieg in die Informationssicherheit
- tätig als Consultant für Cyber Defense\)
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\blue\ Thema: 50 - Ableitungsbeispiele für Funktionen
- Ganzrationale Funktionen
- Gebrochenrationale Funktionen
- Exponential-Funktion
- Logarithmus-Funktion
- Wurzelfunktion
\stress\ Vorwort:
Mit diesem Artikel möchte ich dem Schüler das Ableiten von verschiedenen
Funktionen, die in der Schule behandelt werden, erläutern.
Der Artikel kann als Übungsvorlage oder auch für einen "kurzen Blick" vor einer Klausur verwendet werden.
Was nun folgt, ist keine kurze Übersicht zum obigen Thema, sondern ich werde versuchen den kompletten Rechenweg mit den nötigen Erklärungen zu zeigen.
Ich möchte noch hinzufügen, dass dies mein erster Artikel ist, den ich vor anderen präsentiere.
Also bitte habt Nachsicht, wenn nicht gleich alles stimmt.
So und nun viel Spass beim Lesen und Rechnen.
\big\ 1) Ganzrationale Funktionen
Eine ganzrationale Funktion ist durch folgende Darstellung charakterisiert
f(x)=a_n x^n+a_(n-1) x^(n-1)+...+a_1 x +a_0 , n\el\ \IN,a\el\ \IR
Man nennt ihren Funktionsterm auch ein Polynom. Die größte Hochzahl bzw. der größte Exponent n heißt Grad der Funktion. Ein Spezialfall ist die Funktion 2. Grades, besser auch bekannt als quadratische Funktion, deren Funktionsgraph man Parabel nennt.
Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen, n-1 Extremwerte und n-2 Wendestellen.
\stress\ 1) f(x) =0,04x^4-x^2+0,96 , x\el\ \IR
f'(x) =0,16x^3-2x
f''(x) =0,48x^2-2
f'''(x)=0,96x
\stress\ Erklärung:
Hier nochmal kurz zur Erinnerung die Ableitungsregeln:
\stress\ Potenzregel: f(x)=x^n => f'(x)=n*x^(n-1)
\stress\ Konstantenregel:f(x)=c,c\el\ \IR => f'(x)=0
\stress\ Summenregel: f(x)= g(x)+h(x)=> f'(x)=g'(x)+h'(x)
\stress\ Faktorregel: f(x)=c*g(x), c\el\ \IR => f'(x)=c*g'(x)
Nun erläutere ich das nochmal genauer an diesem ersten Beispiel.
Wir benutzen dazu die \stress\ Potenz und \stress\ Konstantenregel
und betrachten jeden Term einzeln.
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f(x)=\red\ 0,04x^4-\blue\ x^2+\darkblue\ 0,96
\red\ f(x)=0,04x^4
\red\ f'(x)= 4*0,04x^(4-1)
\red\ f'(x)=0,16x^3
\blue\ g(x)=x^2
\blue\ g'(x)=2*x^(2-1)
\blue\ g'(x)=2x^1
\darkblue\ h(x)=0,96
\darkblue\ h'(x)=0
Das ganze zusammen ergibt dann f'(x)=g'(x)+h'(x)+k'(x)=\red\ 0,16x^3-\blue\ 2x+\darkblue\ 0
Dies wiederholt sich auch bei den weiteren Ableitungen.
Nach diesem ausführlichen Beispiel folgen nun weitere.
\stress\ 2) f(x)=-0,5x*(x^2-2)
Hier sehen wir ein Produkt, das wir ausmultipliziert ableiten können oder wir benutzen eine weitere Ableitungsregel.
Ich werde nun beide Wege ausführlich zeigen.
f(x)= -0,5x^3+x
f'(x)=-1,5x^2+1
f''(x)=-3x
Das ist der erste Weg bzw. die erste Möglichkeit, die Ableitung dieser Funktion zu bestimmen.
Wie ich oben schon erwähnt habe, können wir auch eine weitere Ableitungsregel verwenden.
Das ist die \stress\ Produktregel.
Ich werde sie nun nochmal kurz hinschreiben, den Beweis findet ihr in anderen Artikeln.
Aus f(x)=u(x)*v(x) => f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)+v'(x)
kurz: f'=u'*v+u*v'
An unserem Beispiel sieht es dann wie folgt aus:
f(x)=-0,5x*(x^2-2)
u= -0,5x
u'= -0,5
v= x^2-2
v'= 2x
Jetzt einfach die Formel anwenden:
-> f'(x)= -0,5*(x^2-2)+(-0,5x)*2x
f'(x)= -0,5x^2+1-x^2
f'(x)= -1,5x^2+1
Nun haben wir mit einfachen Mitteln auf zwei Wegen die erste Ableitung dieser Funktion bestimmt.
\
\stress\ 3) f(x)=0,75x^4-4x^3+6x^2
f'(x)=3x^3-12x^2+12x
f''(x)=9x^2-24x+12
f'''(x)=18x-24
\stress\ 4) f(x)=(4x^2+x-1)*(x^2+3x+5)
\stress\ 1.Weg mit der Produktregel
u= 4x^2+x-1
u'=8x+1
v=x^2+3x+5
v'=2x+3
f'(x)=u'*v+u*v'
f'(x)=(8x+1)*(x^2+3x+5)+(4x^2+x-1)*(2x+3)
f'(x)=8x^3+24x^2+40x+x^2+3x+5+8x^3+12x^2+2x^2-2x+3x-3
f'(x)=16x^3+39x^2+44x+2
\stress\ 2.Weg mit Ausmultiplizieren und dann mithilfe der Summen und Potenzregel die Ableitung berechnen.
f(x)=(4x^2+x-1)*(x^2+3x+5) | ausmultiplizieren
->f(x)=4x^4+12x^3+20x^2+x^3+3x^2+5x-x^2-3x-5
->f'(x)=16x^3+39x^2+44x+2
Wie man gut erkennen kann, hat man mehere Möglichkeiten eine Funktion abzuleiten,
die aus einem zusammengesetzten Produkt besteht. Es ist euch überlassen welche Methode ihr verwendet.
\
\stress\ 5) f_a(x)=ax^4-(a+1)*x^2+1 , a>0;x,a\el\ \IR
f_a(x)=ax^4-ax^2-x^2+1
(f_a)'(x)=4ax^3-2ax-2x
(f_a)''(x)=12ax^2-2a-2
(f_a)'''(x)=24ax
\stress\ 6) f_a(x)=x^3/a + 2x^2+ax x,a\el\ \IR;a>0
(f_a)'(x)=3x^2/a +4x +a
(f_a)''(x)=6x/a + 4
(f_a)'''(x)=6/a
\stress\ 7) f_a(x)=(ax-1)*(x^2+5x+6)
(f_a)'(x)=u'*v+u*v'
u=ax-1
u'=a
v=x^2+5x+6
v'=2x+5
(f_a)'(x)=a(x^2+5x+6)+(ax-1)*(2x+5)
(f_a)'(x)=ax^2+5ax+6a+2ax^2+5ax-2x-5
(f_a)'(x)=3ax^2+2(5a-1)x+6a-5
\stress\ 8) f_t(x)=1/3*x^3-t^2*x+2/3*t^3
(f_t)'(x)=3*1/3*x^2-t^2=x^2-t^2
(f_t)''(x)=2x
(f_t)'''(x)=2
\stress\ 9) f_t(x)= 1/2t*x^3-3x^2+9/2*tx
(f_t)'(x)=3*1/2t*x^2-6x+9/2*t
(f_t)'(x)=3/2t*x^2-6x+9/2*t
(f_t)''(x)=6/2t*x-6=3/t *x-6
(f_t)'''(x)=3/t
Man kann auch seine Ableitungen kontrollieren, indem man die Stammfunktion von der Ableitung bildet.
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-> (f_t)'(x)=3*1/2t*x^2-6x+9/2*t
-> F_t(x)=3/2t*(1/3*x^3)-6*(1/2*x^2)+9/2*t*x
-> F_t(x)=3/6t*x^3-6/2*x^2+9/2*t*x
-> F_t(x)=1/2t*x^3-3x^2+9/2*t*x
-> F_t(x)=f_t'(x) w.A
\stress\ 10) f_k(x)= 6/k^2*x^3-12/k*x^2+6x
(f_k)'(x)=3*6/k^2*x^2-2*12/k*x+6
(f_k)'(x)=18/k^2*x^2-24/k*x+6
\
\big\ 2) Gebrochenrationale Funktionen
Sind z(x) und n(x) ganzrationale Funktionen, dann heißt die Funktion f mit f(x)=z(x)/n(x); n(x)!=0
eine gebrochenrationale Funktion. Der Funktionsterm ist ein Bruch mit einer Zählerfunktion z(x) und einer Nennerfunktion n(x). Der größtmögliche Definitionsbereich einer solchen Funktion ist in vielen Fällen nicht die ganze
Menge \IR, da im Nenner eines Bruches nicht 0 stehen darf. Also müssen alle Nullstellen der Funktion n(x) aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden. Dadurch ergeben sich Definitonslücken. Wenn eine Nullstelle des Nenners n(x) gleichzeitig auch Nullstelle des Zählers z(x) ist, so handelt es sich um eine hebbare Definitionslücke. Wenn dieses nicht der Fall ist, so liegt eine Polstelle mit senkrechter Asymptote vor.
Dies war eine kleine Einführung zum 2. Teil meines Artikels. Nun folgen wieder 10 unterschiedlich schwere Aufgaben, zu denen ich jeweils die ersten zwei oder drei Ableitungen ausführlich berechnen werde.
\
\stress\ 1) f(x)= 1/(x^2-9)
Die Ableitungen von gebrochenrationalen Funktionen werden mithilfe der Quotientenregel gebildet.
In diesem ersten Beispiel bezeichnen wir unsere Aufgabe mal ganz formal so:
f(x)=z(x)/g(x)
z(x)=Zähler; g(x)=Nenner
Die \big\Quotientenregel lautet dann so:
f'(x)=(z'(x)*g(x)-z(x)*g'(x))/g(x)^2
Das sieht auf den ersten Blick vielleicht für den ein oder anderen kompliziert aus, aber es ist ganz einfach. Das kann man natürlich auch wieder beweisen, aber wie ich oben schon erwähnt habe, gibt es dazu auch Artikel; deswegen werde ich dies nicht mehr hier zeigen.
Unser Beispiel war: f(x)= 1/(x^2-9)
f'(x)=(u'*v-u*v')/v^2
u=1
u'=0
v=x^2-9
v'=2x
Wie ich darauf komme, zeige ich nicht nochmal, weil das kann man oben nachvollziehen.
Berechnen wir jetzt die erste Ableitung.
-> f'(x)=(0*(x^2-9)-1*(2x))/(x^2-9)^2
-> f'(x)=-2x/(x^2-9)^2
Das war die erste Ableitung. Die weiteren berechnen sich genauso, nur dass die Kettenregel nun eine Rolle spielt
Nach der ersten Ableitung wird in der Regel immer ausgeklammert und danach im Nenner gekürzt, was man nun in der zweiten Ableitung sehen kann
\
->f''(x)=(-2*(x^2-9)^2-(-2x)*2(x^2-9)*2x)/(x^2-9)^4
\big\Erklärung:
g(x)=(x^2-9)^2 | Kettenregel
g'(x)= 2*(x^2-9)^1*2x
g'(x)= 4x*(x^2-9)
\big\ Merke: äußere mal innere Ableitung !
Wie ich oben schon erwähnt habe, wird nun ausgeklammert !
-> f''(x)=(x^2-9)((-2*(x^2-9)-(-2x)*4x))/(x^2-9)^4
-> f''(x)=(-2x^2+18+8x^2)/(x^2-9)^3
\red\Bemerkung: (x^2-9) wurde einmal mit dem Nenner gekürzt, deswegen steht im Nenner (x^2-9)^3
-> f''(x)=(6x^2+18)/(x^2-9)^3
Dieses Schema geht auch analog für die dritte Ableitung.
-> f'''(x)=(12x*(x^2-9)^3-(6x^2+18)*3*(x^2-9)^2*2x)/(x^2-9)^6
\red\Bemerkung: ((x^2-9)^3)^2= (x^2-9)^(3*2)=(x^2-9)^6 <- Potenzgesetze
-> f'''(x)=(x^2-9)^2((12x*(x^2-9)-(6x^2+18)*6x))/(x^2-9)^6
\red\ (x^2-9)^2 wird ausgeklammert !
-> f'''(x)=(12x^3-108x-36x^3-108x)/(x^2-9)^4
\red\ (x^2-9)^2 wird mit 2 mal im Nenner gekürzt, weiter zusammengefasst!
-> f'''(x)=(-24x^3-216x)/(x^2-9)^4
Puuh, das war ganz schön viel, jedoch sieht man ein Lösungsschema, nämlich Formel anwenden, zusammenfassen und eventuell ausklammern und wenn man genug Aufgaben rechnet, fällt es einem dann leicht, wie auch andere Sache im Leben.
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\stress\ 2) f(x)=(3x^2-8x)/(x-2)^2
f'(x)=(u'*v-u*v')/v^2
u=3x^2-8x
u'=6x-8
v=(x-2)^2
v'=2*(x-2)*1
f'(x)=((6x-8)*(x-2)^2-(3x^2-8x)*2(x-2)*1)/(x-2)^4
f'(x)=(x-2)((6x-8)*(x-2)-(3x^2-8x)*2)/(x-2)^4
f'(x)=(6x^2-12x-8x+16-6x^2+16x)/(x-2)^3
f'(x)=(-4x+16)/(x-2)^3
f''(x)=(-4*(x-2)^3-(-4x+16)*3*(x-2)^2*1)/(x-2)^6
f''(x)=(x-2)^2(-4*(x-2)-(-4x+16)*3)/(x-2)^6
f''(x)=(-4x+8+12x-48)/(x-2)^4
f''(x)=(8x-40)/(x-2)^4
f'''(x)=(8*(x-2)^4-(8x-40)*4*(x-2)^3*1)/(x-2)^8
f'''(x)=(x-2)^3(8*(x-2)-(8x-40)*4)/(x-2)^8
f'''(x)=(8x-16-32x+160)/(x-2)^5
f'''(x)=(-24x+144)/(x-2)^5
\stress\ 3) f(x)=(x^3-4x^2)/(x^2-9)
f'(x)=((3x^2-8x)*(x^2-9)-(x^3-4x^2)*2x)/(x^2-9)^2
f'(x)=(3x^4-27x^2-8x^3+72x-2x^4+8x^3)/(x^2-9)^2
f'(x)=(x^4-27x^2+72x)/(x^2-9)^2
f''(x)=((4x^3-54x+72)*(x^2-9)^2-(x^4-27x^2+72x)*2(x^2-9)*2x)/(x^2-9)^4
f''(x)=(x^2-9)((4x^3-54x+72)*(x^2-9)-(x^4-27x^2+72x)*4x)/(x^2-9)^4
f''(x)=(4x^5-54x^3+72x^2-36x^3+486x-648-4x^5+108x^3-288x^2)/(x^2-9)^3
f''(x)=(18x^3-216x^2+486x-648)/(x^2-9)^3
f'''(x)=((54x^2-432x+486)*(x^2-9)^3-(18x^3-216x^2+486x-648)*3(x^2-9)^2*2x)/(x^2-9)^6
f'''(x)=(54x^4-486x^2-432x^3+3888x+486x^2-4374-108x^4+1296x^3-2916x^2+3888x)/(x^2-9)^4
f'''(x)=(-54x^4+864x^3-2916x^2+7776x-4374)/(x^2-9)^4
Das war schon ein Hammer und ich habe mir diese Funktion nicht ausgedacht, denn in meiner Schulzeit war diese ein Bestandteil eines Test gewesen.
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\stress\ 4) f_a(x)=(x^2-a^2)/(x^2+a^2)
(f_a)'(x)=(2x*(x^2+a^2)-(x^2-a^2)*2x)/(x^2+a^2)^2
(f_a)'(x)=(2x^3+2xa^2-2x^3+2xa^2)/(x^2+a^2)^2
(f_a)'(x)=(4xa^2)/(x^2+a^2)^2
(f_a)''(x)=((4a^2)*(x^2+a^2)^2-(4xa^2)*2*(x^2+a^2)*2x)/(x^2+a^2)^4
(f_a)''(x)=((4a^2)*(x^2+a^2)-(4xa^2)*4x)/(x^2+a^2)^3
(f_a)''(x)=(4a^2*x^2+4a^4-16a^2*x^2)/(x^2+a^2)^3
(f_a)''(x)=(4a^4-12a^2*x^2)/(x^2+a^2)^3
\stress\ 5) f_t(x)=(4x+8)/(x^2+t)
(f_t)'(x)=(4*(x^2+t)-(4x+8)*2x)/(x^2+t)^2
(f_t)'(x)=(4x^2+4t-8x^2-16x)/(x^2+t)^2
(f_t)'(x)=(-4x^2-16x+4t)/(x^2+t)^2
(f_t)''(x)=((-8x-16)*(x^2+t)^2-(-4x^2-16x+4t)*2*(x^2+t)*2x)/(x^2+t)^4
(f_t)''(x)=(-8x^3-8xt-16x^2-16t+16x^3+64x^2-16xt)/(x^2+t)^3
(f_t)''(x)=(8x^3+48x^2-24xt-16t)/(x^2+t)^3
Das Ausklammern schreibe ich jetzt nicht mehr hin, nach ein paar Beispielen sieht man das und man kann sich den Platz einsparen.
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\stress\ 6) f_t(x)=(t^2-x^2)/(x-2t)
(f_t)'(x)= (-2x*(x-2t)-(t^2-x^2)*1)/(x-2t)^2
(f_t)'(x)=(-2x^2+4xt-t^2+x^2)/(x-2t)^2
(f_t)'(x)=(-x^2+4xt-t^2)/(x-2t)^2
(f_t)''(x)=((-2x+4t)*(x-2t)^2-(-x^2+4xt-t^2)*2(x-2t)*1)/(x-2t)^4
(f_t)''(x)=(-2x^2+4xt+4xt-8t^2+2x^2-8xt+2t^2)/(x-2t)^3
(f_t)''(x)=(-6t^2)/(x-2t)^3
\stress\ 7) f_t(x)=(x^2)/(x+t)^2
(f_t)'(x)=(2x*(x+t)^2-x^2*2*(x+t))/(x+t)^4
(f_t)'(x)=(2x^2+2xt-2x^2)/(x+t)^3
(f_t)'(x)=2xt/(x+t)^3
(f_t)''(x)=(2t*(x+t)^3-2xt*3*(x+t)^2)/(x+t)^6
(f_t)''(x)=(2tx+2t^2-6xt)/(x+t)^4
(f_t)''(x)=(2t^2-4xt)/(x+t)^4
\stress\ 8) f_a(x)=(x^3+32a^3)/(ax^2)
(f_a)'(x)=(3x^2*ax^2-(x^3+32a^3)*2ax)/(a^2*x^4)
(f_a)'(x)=(3ax^4-2ax^4-64a^4*x)/(a^2*x^4)
(f_a)'(x)=(ax^4-64a^4*x)/(a^2*x^4)
(f_a)'(x)=(ax^4)/(a^2*x^4)-(64a^4*x)/(a^2*x^4)
(f_a)'(x)=1/a-(64a^2)/(x^3)
(f_a)'(x)=(x^3-64a^3)/(ax^3)
(f_a)''(x)=192a^2/x^4
\
\stress\ 9) f_k(x)=(4kx)/(x^2+k^2)
(f_k)'(x)=(4k*(x^2+k^2)-4kx*2x)/(x^2+k^2)^2
(f_k)'(x)=(4kx^2+4k^3-8kx^2)/(x^2+k^2)^2
(f_k)'(x)=(-4kx^2+4k^3)/(x^2+k^2)^2
(f_k)''(x)=(-8kx*(x^2+k^2)^2-(-4kx^2+4k^3)*2*(x^2+k^2)*2x)/(x^2+k^2)^4
(f_k)''(x)=(-8kx^3-8k^3*x+16kx^3-16k^3*x)/(x^2+k^2)^3
(f_k)''(x)=(8kx^3-24k^3*x)/(x^2+k^2)^3
\stress\ 10) f_t(x)=(3)/(x^2+3x+t)
(f_t)'(x)=(0*(x^2+3x+t)-3*(2x+3))/(x^2+3x+t)^2
(f_t)'(x)=(-6x-9)/(x^2+3x+t)^2
(f_t)''(x)=(-6*(x^2+3x+t)^2-(-6x-9)*2*(x^2+3x+t)*(2x+3))/(x^2+3x+t)^4
(f_t)''(x)=(-6x^2-18x-6t-(-6x-9)*(4x+6))/(x^2+3x+t)^3
(f_t)''(x)=(-6x^2-18x-6t-(-24x^2-36x-36x-54))/(x^2+3x+t)^3
(f_t)''(x)=(-6x^2-18x-6t+24x^2+36x+36x+54)/(x^2+3x+t)^3
(f_t)''(x)=(18x^2+54x-6t+54)/(x^2+3x+t)^3
\
\big\ 3) Exponential-und Logarithmusfunktionen
Exponential-und Logarithmusfunktionen bilden die mathematische Grundlage zur Beschreibung von exponentiellen Wachstums- und Zufallsprozessen (z.B. Radioaktivität, Kapitalverzinsung).
Die Exponentialfunktion f(x)=exp(x) ist dadurch charakterisiert, dass bei Zunahme des x-Werts um einen Wert y der Funktionswert f(x) mit dem entsprechenden Faktor f(y) vervielfacht wird.
Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, deswegen habe ich es auch zusammengefügt.
Zwischen Logarithmus- und Exponentialfunktion gilt folgende Beziehung: y=exp(x) <=> x=lny
also: y=exp(x) <- nun wendet man den Logarithmus an
ln(y)=ln(exp(x))=x*ln(e) <- Logarithmenregel für Potenzen
ln(y)=x <- weil ln(e)=1
Die Exponentialfunktion f mit f(x)=exp(x) ist auf der ganzen Menge \IR definiert, ihre Funktionswerte sind immer größer als 0.
Nun beginnen wir wieder mit dem Rechnen. Ich hoffe, die Einführung war nicht zu schwammig
\
Meistens wird die Produkt- und Kettenregel verwendet:
\red\Merke__:
\red\ f(x)=exp(x) => f'(x)=exp(x)
\red\ f(x)=exp(u(x)) => f'(x)=exp(u(x))*u'(x)
\big\ Beispiele__:
f(x)=exp(2x) => f'(x)= exp(2x)*2 => f'(x)= 2*exp(2x)
f''(x)= 2*exp(2x)*2 = 4*exp(2x)
f'''(x)=4*exp(2x)*2= 8*exp(2x)
Noch ein anderes Beispiel__:
f(x)=exp(16x) => f'(x)=exp(16x)*16=16*exp(16x)
Ein weiteres Beispiel, wo manche Fehler machen, weil sie denken, es ist dasselbe.
f(x)=exp((0,5-2x)) => f'(x)=exp((0,5-2x)) *0,5 = 0,5*exp((0,5-2x))
Na, was aufgefallen ? Auf den ersten Blick sieht es doch ganz gut aus, jedoch ist es falsch!! Richtig wäre:
f(x)=exp((0,5-2x)) => f'(x)=exp((0,5-2x))*(-2) =>f'(x)= -2*exp((0,5-2x))
Manche Lehrer verdrehen es einfach, um die Schüler zu verwirren :) Also immer schön gucken, was da steht dann ist auch wieder ganz einfach zu lösen.
Verbinden wir nun die Produkt__- und Kettenregel__:
Es folgen nun wie gewohnt 10 Rechenbeispiele mit immer höherem Schwierigkeitsgrad.
\
\big\ 1) f(x)=(x-2)*exp(x)
f'(x)=u'*v+u*v'
u=x-2 => u'=1; v=exp(x) => v'=exp(x)
f'(x)= 1*exp(x)+(x-2)*exp(x)
f'(x)=exp(x)*(1+(x-2))=exp(x)*(x-1)
f''(x)=exp(x)*(x-1)+exp(x)*1
f''(x)=exp(x)*(x-1+1)=exp(x)*x
f'''(x)=exp(x)*x+exp(x)*1= exp(x)*(x+1)
\red\Merke__: Nach Anwenden der Produktregel wird ausgeklammert!! exp(x)/exp(x)=1
Das sieht dann so aus:
f'(x)= 1*exp(x)+(x-2)*exp(x)
ausmultiplizieren !
-> f'(x)=exp(x)+x*exp(x)-2*exp(x)
exp(x) ausklammern !
\
-> f'(x)=exp(x)*(1+x-2) = f'(x)=exp(x)*(x-1)
Mit ein bisschen Übung kann man sich dann das Ausmultiplizieren sparen, wobei bei komplexen Aufgaben es doch gut ist, da man sonst schnell den Überblick verliert.
Dasselbe für die zweite Ableitung:
-> f''(x)=exp(x)*(x-1)+exp(x)*1
-> f''(x)=x*exp(x)-exp(x)+exp(x)
-> f''(x)=exp(x)*(x-1+1)=exp(x)*x
die dritte Ableitung:
-> f'''(x)= exp(x)*x+exp(x)*1= x*exp(x)+exp(x)=exp(x)*(x+1)
Ich werde die nächsten 2 Aufgaben mit 2 Wegen zeigen also einmal mit Ausmultiplizieren und anschließend Ausklammern und einmal ohne mit gleich Ausklammern.
\
\big\ 2) f_a(x)=a*x*exp(-1/2*x^2)
1.Weg__:
(f_a)'(x)=a*exp(-1/2*x^2)+ax*exp(-1/2*x^2)*(-x)
(f_a)'(x)=a*exp(-1/2*x^2)-ax^2*exp(-1/2*x^2)
(f_a)'(x)=exp(-1/2*x^2)*(a-ax^2)
2.Weg__:
(f_a)'(x)=a*exp(-1/2*x^2)+ax*exp(-1/2*x^2)*(-x)
(f_a)'(x)=exp(-1/2*x^2)*(a-ax^2)
(f_a)'(x)=a*exp(-1/2*x^2)*(1-x^2)
(f_a)''(x)=-x*a*exp(-1/2*x^2)*(1-x^2)+a*exp(-1/2*x^2)*(-2x)
(f_a)''(x)=a*exp(-1/2*x^2)*(-x+x^3-2x)
(f_a)''(x)=a*exp(-1/2*x^2)*(-3x+x^3)
(f_a)''(x)=a*exp(-1/2*x^2)*x(x^2-3)
\big\ 3) f_t(x)=t*(x+t)*exp(-x/t) -> f_t(x)=(t*x+t^2)*exp(-x/t)
(f_t)'(x)=t*exp(-x/t)+(tx+t^2)*(-1/t)*exp(-x/t)
(f_t)'(x)=exp(-x/t)*(t+(tx+t^2)*(-1/t)
(f_t)'(x)=exp(-x/t)*(t-(tx)/t-t^2/t)=exp(-x/t)*(t-x-t)=exp(-x/t)*(-x)
\
\big\ 4) f_t(x)=(x^2-2/t*x)*exp(tx)
(f_t)'(x)=(2x-2/t)*exp(tx)+(x^2-2/t*x)*t*exp(tx)
(f_t)'(x)=exp(tx)*(2x-2/t+tx^2-2x)
(f_t)'(x)=exp(tx)*(-2/t+tx^2)
(f_t)''(x)=t*exp(tx)*(-2/t+tx^2)+exp(tx)*(2tx)
(f_t)''(x)=exp(tx)*(-2+t^2*x^2+2tx)
\big\ 5) f_a(x)=10x*exp(-ax^2)
(f_a)'(x)=10*exp(-ax^2)+10x*(-2ax)*exp(-ax^2)
(f_a)'(x)=exp(-ax^2)*(10+(-20ax^2))
(f_a)'(x)=exp(-ax^2)*(10-20ax^2)
(f_a)''(x)=(-2ax)*exp(-ax^2)*(10-20ax^2)+exp(-ax^2)*(-40ax)
(f_a)''(x)=-2ax*exp(-ax^2)+40a^2 x^3*exp(-ax^2)-40ax*exp(-ax^2)
(f_a)''(x)=-20ax*exp(-ax^2)+40a^2 x^3*exp(-ax^2)-40ax*exp(-ax^2)
(f_a)''(x)=exp(-ax^2)*(-20ax+40a^2 x^3-40ax)
(f_a)''(x)=exp(-ax^2)*(-60ax+40a^2 x^3)
\
(f_a)'''(x)=-2ax*exp(-ax^2)*(-60ax+40a^2 x^3)+exp(-ax^2)*(-60a+120a^2 x^2)
(f_a)'''(x)=e^(-ax^2)*(120a^2*x^2-80a^3*x^4-60a+120a^2*x^2)
(f_a)'''(x)=exp(-ax^2)*(240a^2*x^2-80a^3*x^4-60a)
\big\ 6) f(x)=(2*exp(x)-4)/(exp(x)+1)
f'(x)=(2*exp(x)*(exp(x)+1)-(2*exp(x)-4)*exp(x))/(exp(x)+1)^2
f'(x)=(2*exp(2x)+2*exp(x)-2*exp(2x)+4*exp(x))/(exp(x)+1)^2
f'(x)=(6*exp(x))/(exp(x)+1)^2
f''(x)=(6*exp(x)*(exp(x)+1)^2-6*exp(x)*2*(exp(x)+1)*exp(x))/(exp(x)+1)^4
f''(x)=(6*exp(2x)+6*exp(x)-12*exp(2x))/(exp(x)+1)^3
f''(x)=(-6*exp(2x)+6*exp(x))/(exp(x)+1)^3
\big\ 7) f_k(x)=(2*exp(x))/(exp(x)-k)
(f_k)'(x)=(2*exp(x)*(exp(x)-k)-2*exp(x)*exp(x))/(exp(x)-k)^2
(f_k)'(x)=(2*exp(2x)-2k*exp(x)-2*exp(2x))/(exp(x)-k)^2
(f_k)'(x)=(-2k*exp(x))/(exp(x)-k)^2
(f_k)''(x)=(-2k*exp(x)(exp(x)-k)^2-(-2k*exp(x))*2*(exp(x)-k)*exp(x))/(exp(x)-k)^4
(f_k)''(x)=(-2k*exp(2x)++2k^2*exp(x)+4k*exp(2x))/(exp(x)-k)^3
(f_k)''(x)=(2k*exp(2x)+2k^2*exp(x))/(exp(x)-k)^3
\
\big\ 8) f_t(x)=(exp(x)-t)/(exp(x)+t)
(f_t)'(x)=(exp(x)*(exp(x)+t)-(exp(x)-t)*exp(x))/(exp(x)+t)^2
(f_t)'(x)=(exp(2x)+t*exp(x)-exp(2x)+t*exp(x))/(exp(x)+t)^2
(f_t)'(x)=(2t*exp(x))/(exp(x)+t)^2
(f_t)''(x)=(2t*exp(x)*(exp(x)+t)^2-2t*exp(x)*2(exp(x)+t)*exp(x))/(exp(x)+t)^4
(f_t)''(x)=(2t*exp(2x)+2t^2*exp(x)-4t*exp(2x))/(exp(x)+t)^3
(f_t)''(x)=(2t^2*exp(x)-2t*exp(2x))/(exp(x)+t)^3
\big\ 9) f_a(x)=exp(x)*((ax+1)/(ax^3))
(f_a)'(x)=exp(x)*((ax+1)/(ax^3))+exp(x)*((a^2 x^3-3a^2 x^3-3ax^2)/(a^2x^6))
(f_a)'(x)=exp(x)*((ax+1)/(ax^3))+exp(x)*((-2a^2 x^3-3ax^2)/(a^2 x^6))
(f_a)'(x)=(exp(x)*(ax+1))/(ax^3)+(exp(x)*(-2a^2 x^3-3ax^2))/(a^2 x^6)
(f_a)'(x)=(ax^3*(exp(x)*(ax+1)+exp(x)*(-2a^2 x^3-3ax^2)))/(a^2 x^6)
(f_a)'(x)=(ax^3*(ax*exp(x)+exp(x))-2a^2 x^3*exp(x)-3ax^2*exp(x))/(a^2 x^6)
(f_a)'(x)=(a^2 x^4*exp(x)+ax^3*exp(x)-2a^2 x^3*exp(x)-3ax^2*exp(x))/(a^2 x^6)
(f_a)'(x)=exp(x)*((a^2 x^4+ax^3-2a^2 x^3-3ax^2)/(a^2 x^6))
(f_a)'(x)=exp(x)*((a^2*x^4)/(a^2*x^6)+(ax^3)/(a^2*x^6)-(2a^2*x^3)/(a^2*x^6)-(3ax^2)/(a^2*x^6))
(f_a)'(x)=exp(x)*1/(x^2)+1/(ax^3)-2/x^3-3/ax^4
Man kann sich diesen kompletten Weg sparen, ja ganz richtig jetzt denken sicherlich welche "boa warum macht der das nicht früher" Nun ja sowas passiert, wenn man nicht richtig guckt, genau deswegen habe ich auch dieses Beispiel gewählt
\
2.Weg__:
f_a(x)=exp(x)*((ax+1)/(ax^3)) => exp(x)*(1/x^2+1/ax^3)
(f_a)'(x)=exp(x)*(1/x^2+1/ax^3)+exp(x)*(-2/x^3-3/ax^4)
(f_a)'(x)=exp(x)*(1/x^2+1/ax^3-2/x^3-3/ax^4)
und siehe da schon haben wir viele Nerven gespart, denn das Ergebnis deckt sich mit dem von da oben.
\red\Merke: Immer schauen ob man die gegebene Funktion vereinfachen kann!!
\big\ 10) f_a(x)=x*exp(-ax^2+1)
(f_a)'(x)=1*exp(-ax^2+1)+x*(-2ax*exp(-ax^2+1))
(f_a)'(x)=exp(-ax^2+1)*(1-2ax^2)
(f_a)''(x)=-2ax*exp(-ax^2+1)*(1-2ax^2)+exp(-ax^2+1)*(-4ax)
(f_a)''(x)=exp(-ax^2+1)*(-2ax+4a^2 x^3-4ax)
(f_a)''(x)=exp(-ax^2+1)*(-6ax+4a^2 x^3)
(f_a)'''(x)=-2ax*exp(-ax^2+1)*(-6ax+4a^2 x^3)+exp(-ax^2+1)*(-6a+12a^2 x^2)
(f_a)'''(x)=exp(-ax^2+1)*(12a^2 x^2-8a^3 x^4-6a+12a^2 x^2)
(f_a)'''(x)=exp(-ax^2+1)*(24a^2 x^2-8a^3 x^4-6a)
Ein weiterer Abschnitt ist geschafft.Kommen wir zu den Logarithmusfunktionen
\
\big\ Schlusswort:
Das war mein erster Artikel für dieses Forum. Ich hoffe, es folgen weitere. Persönlich würde ich mich über Kommentare freuen. Ich denke für meinen Einstieg ist es kein schlechter Artikel. Desweiteren bedanke ich mich bei meinem Testleser FlorianM, der mir viele Ratschläge gegeben hat.
Euer bounce
Eine pdf Version mit TeX wird nachgereicht, aber das dauert noch ein wenig, da ich es mir gerade anlerne. Man kann es ausdrucken, bloß die Qualität ist nicht so gut.
Also habt noch ein wenig Geduld.
Vielleicht hat der eine oder andere ja Lust, eine pdf zu verfassen von diesem Artikel.
\big\ Quellenangabe:
- [1] Abitur 2006 Prüfungsaufgaben und Lösungen vom Stark-Verlag
- [2] Abi Profi Mathe Analysis von Cornelsen
- [3] Mathematik verständlich von Robert Müller-Fonfara
\(\begingroup\)Habe nicht alles durchgelesen, aber eine schöne Sammlung gelöster Aufgaben. Wird dem ein oder anderen Einsteiger beim differenzieren sehr helfen.
Gruß\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Toller Artikel. Hier hat der Anfänger, der das erste mal der Ableitung begegnet einen guten Fundus an Beispielen! Gut gemacht!\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo!
Sehr guter Einsteigerartikel
Allerdings ist glaube ich in der allerletzten Aufgabe ein (Tipp-)Fehler beim Ableiten der Wurzel. Statt -x müsste dort -2x stehen\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo bounce,
herzlichen Glückwunsch zu deinem ersten Artikel!
Da ich nach all den vielen Jahren fleißigen Studiums mit dem Stoff doch einigermaßen vertraut bin, habe ich nur kurz diagonal quergelesen. Dabei sind mir vorallem zwei Sachen aufgefallen:
- Du schreibst oft Formeln hin, ohne die genauen Voraussetzungen zu nennen. Das mag an vielen Stellen aus dem Zusammenhang klar sein, aber bei der Zusammenstellung der Logarithmen- und Wurzelgesetze würde ich mir etwas mehr Formalismus wünschen.
- Noch etwas zur Darstellung von Termumformungen. Du schreibst:
\blue\ 2*(sqrt(x+1)*sqrt(x+1)) => 2*(sqrt(x^2+1)) => 2*(sqrt(x^2)+sqrt(1)) => 2*(x+1)
Hier gibt es zwei Probleme. Zum einen ist das für die meisten x offenbar nicht richtig. Zum anderen ist es (nach meiner Auffassung) von Logik nicht vertretbar hier Folgepfeile zu verwenden. Was sprach gegen Gleichheitszeichen (natürlich unter der Voraussetzung, dass die Umformungen korrekt durchgeführt sind)?
Mit LaTeX wünsche ich dir viel Spaß. Dennoch würde ich dir abraten den Artikel auf diese Weise mühsam nach PDF zu portieren. Ich bin nicht sicher, ob der Aufwand lohnen würde.
Grüße,
Alex\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hey Leute,
Danke für eure ersten Eindrücke und stimmt beim letzten ist mir wohl ein kleiner Fehler unterlaufen. Ich ändere das noch und das mit den Pfeilen ist mir garnet bewusst aufgefallen eigentlich weiß ich das ich das nicht so schreiben kann wollte eigentlich nur ein normalen Pfeil hinsetzen ^^
aber danke
Ich bin erfreut das es gelungen ist.
lg George\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi,
auch ich möchte dir noch einmal öffentlich zu diesem wirklich gelungenen und für sehr viele bestimmt hilfreichen Artikel gratulieren. 😄
Gruss Florian\(\endgroup\)
von: magic_carpet am: Mo. 28. August 2006 13:42:04
\(\begingroup\)Hallo da_bounce,
uff, da hast du dir ja richtig Mühe gemacht, ist aber auch gut verständlich und sehr anschaulich geworden. Wenn ich in Mathe beim Ableiten meinen nächsten Hänger habe, dann weiß ich, wo ich Hilfe finde 😉
LG von magic_carpet\(\endgroup\)
\(\begingroup\)danke für die guten Kommentare bin wieder zurück aus dem urlaub :)
edit: und danke für die Änderungsvorschläge
greetz bounce\(\endgroup\)
\(\begingroup\)mhh wegen den Änderungsvorschlägen:
Ich habe sie mir angeschaut und mit ok bewertet aber ich glaube die wurden noch nicht angenommen :) oder es ist was schief gelaufen, wenn nicht ich mache dann selbst nochmal eine Änderung dann müsste es klappen
gruss bounce\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Mein Änderungsvorschlag, der sich auf scorps Kommentar bezog, war schon realisiert; ebenso der sich auch darauf beziehende, danach von Tetris eingebrachte. Als danach ein weiteren Vorschlag von Tetris freigeschaltet wurde, waren jedoch die vorhergehenden Änderungen wieder rückgängig gemacht worden. Vielleicht lag es daran, daß Tetris den letzten Vorschlag auf eine alte Version ( die Erstversion ? ) aufgesetzt hat ?
Naja, wie auch immer: Matroid wird das schon wieder richten ... !\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi fru,
das ist immer die Gefahr, daß Änderungen durcheinanderlaufen.
Darum warte ich immer, bis der Autor eines Artikels die verschiedenen Änderungsvorschläge prüft und annimmt.
Wenn der Autor Dinge angenommen hat, die nicht richtig sind, dann bitte ich den Autor, einen neuen Änderungsvorschlag zu machen, der dann das enthält, was wirklich sein soll.
@da_bounce: Kannst Du bitte mit Hilfe der Änderungshistorie eine Version erarbeiten, die alles enthält?
Dank und Grüße
Matroid\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo fru, du schriebst:
"(...) Als danach ein weiteren Vorschlag von Tetris freigeschaltet wurde, waren jedoch die vorhergehenden Änderungen wieder rückgängig gemacht worden. Vielleicht lag es daran, daß Tetris den letzten Vorschlag auf eine alte Version (die Erstversion?) aufgesetzt hat?"
Zum letzten Satz: Wie hätte ich es anders machen sollen?
lg, Tetris.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Tetris:
Wenn schon ein Änderungsvorschlag vorhanden ist, wird dieser oben angezeigt und man kann ihn anklicken. Dann sieht man, was der Andere verändern wollte. Wenn man dann seine eigenen Vorschläge miteinbringt, erhält man also die Kombination aus beidem.
Siehe dazu auch hier.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Guter Artikel, gut und sehr einfach erklaert, gratuliere!
Allerdings finde ich folgende Aufgabe zu kompliziert geloest, einfacher gings folgendermassen:
f(x) = (x-5) * sqrt(x)
f(x) = x^1,5-5*x^0.5
f'(x) = (3*sqrt(x))/2 - 5/(2*sqrt(x))
f'(x) (3*x-5)/(2*sqrt(x))
Ausserdem wuerde ich bei folgendem Hinweis:
n/m/p = n/(m*p)
noch darauf hinweisen, dass es darauf ankommt, was als Hauptbruchstrich angesehen wird. Weil
n/(m/p) = (n*p)/m\(\endgroup\)
\(\begingroup\)zu Kapitel 1: Ganzrationale Funktionen
Bei Aufgabe 7 vermisse ich bei der Ableitung den Summand + 2x
Beim Zusammenfassen vergessen worden?
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Danke, Anonymer, für den Hinweis und Deine Aufmerksamkeit !
Es fehlt allerdings ein Summand (-2x), nicht (+2x).
Ich habe die nötige Änderung bereits beantragt.
EDIT: Die Änderung ist mittlerweile durchgeführt.
Liebe Grüße, Franz
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)bei den logarithmus aufgaben ist ein fehler
und zwar aufgabe 6.
bei der berehcnung der 1. ableitung ohne anwendung der logarithmengesetze passt noch alles. das ergebnis ist richtig.
bei der berechnung der 1. ableitung mit anwendung der logarithmengesetze allerdings ist das ergebnis falsch, ich denke weil beim erweitern des bruches 2/x ein fehler gemacht wurde.
da bei der berechung der 2. ableitung das falsche zwischenergebnis weiterverwendet wurde ist auch diese falsch...\(\endgroup\)
\(\begingroup\)hallo
hab gerade Kenntnisse wieder ein bisschen aufgebesser, dabei ist mir ein Fehler in der Aufgabe 5) [Gebrochenrationale Funktionen] aufgefallen.
Müsste bei der 2.Ableitung 16^3 statt 16^2 und dann den Folgefehler ausbessern.
Danke sehr schöne Erklährung hat mir bestens geholfen\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo George!
Der Rechenfehler steckt in der vorletzten Formelzeile:
\
(f_t)''(x)=((-8x-16)*(x^2+t)^2-(-4x^2-16x+4t)*2*(x^2+t)*2x)/(x^2+t)^4
(f_t)''(x)=(-8x^3-8xt-16x^2-16t+\red 16x^2\black +64x^2-16xt)/(x^2+t)^3
Statt " 16x^2 " wäre dort " 16x^3 " richtig.
Ich habe den Fehler bereits ausgebessert,
es muß nur noch ist bereits freigeschaltet weorden.
Liebe Grüße, Franz
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo George
Riesiges Kompliment, der Artikel ist wirklich sehr gelungen.
Schau doch mal im Forum viewtopic.php?topic=70882&start=0#p522849 , ich glaube es hat sich bei dir ein Rechenfehler (Kapitel 3, Aufgabe 2) eingeschlichen.
Gruss
joghurt
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hey,
danke für den sehr guten Artikel! Hat mir zur Auffrischung meiner Ableitungskenntnisse im Grundstudium geholfen!
Grüße
Mark\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Danke fürs Nachrechnen und sorry für die blöden Fehler. Hab es geändert mal gucken ob es akzeptiert wird ;)
lg George
danke @Anonymous freut mich zu hören\(\endgroup\)
\(\begingroup\)hiho!!
meiner meinung nach kommen in dem text einige fehler vor, die noch nicht korrigiert sind... ich bereite mich grade auf eine prüfung vor und habe fast alle aufgaben nachgerechnet - in fast jeder zweiten komme ich auf ein anderes ergebnis...
häufig treten fehler beim übergang von der 1. zur 2. ableitung auf...
zb aufgabe 4 im "gebrochenrationale funktionen"-teil: da wird 4xa^2 abgeleitet zu 8xa - das stimmt wohl, wenn man nach a ableitet, hier wird aber nach x abgeleitet, also wäre 4a^2 richtig...
solche fehler finden sich ständig! also den lösungen mal nicht ganz trauen, lieber selbst rechnen...\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hey, wenn hier soviele Fehler sich eingeschlichen haben muss ich das halt nochmal nachrechnen wenn ich Zeit finde
so nun zu dem hier:
4xa^2 abgeleitet zu 8xa
4xa^2 kann man doch auch als 4ax^2 schreiben und wenn ich dann nach x ableite wird das zu 8ax
lg George
sorry \(\endgroup\)
\(\begingroup\)4*x*a^2 = 4*a*x^2 .... so, das geht?? ich glaube nicht...
(4*x*a)^2 = 4^2x^2a^2 .... das geht!
aber deine rechnung geht nicht...
oder auch als beweis mit gegenbeispiel:
du kannst ja mal für x=2 und für a=3 einsetzen
4*x*a^2 = 4*a*x^2
4*2*3^2 = 4*3*2^2
=>4*2*3*3 = 4*3*2*2
=>8*9 = 12*4
=>72 = 48 ~~~>> WIDERSPRUCH
die ^2 funktion ist eine einstellige funktion (1 parameter)! \(\endgroup\)
\(\begingroup\) Es geht ja um die Ableitung von
\stress\ 4) f_a(x)=(x^2-a^2)/(x^2+a^2)
(f_a)'(x)=(2x*(x^2+a^2)-(x^2-a^2)*2x)/(x^2+a^2)^2
(f_a)'(x)=(2x^3+2xa^2-2x^3+2xa^2)/(x^2+a^2)^2
(f_a)'(x)=(4xa^2)/(x^2+a^2)^2
Und hier ist der Zähler 4*x*a^2 und nicht 4*(x*a)^2
Die Ableitung nach x von 4*x*a^2 ist 4*a^2
So steht es nun auch oben im Artikel.
Gruß
Matroid\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hey Leute,
Ich habe damit begonnen Änderungen vorzunehmen.
Es tut mir Leid, aber ich bin auch nur ein Mensch der Fehler macht ;) und ich werde in Zukunft mehrmals Nachrechnen.
Ich bedanke mich bei diejenigen, die die üblen Fehler entdeckt haben.
Und man sieht hier wieder, dass man lieber nochmal nachrechnen sollte, wenn man einen Artikel durcharbeitet ;)
Ich lass mir noch was einfallen als Entschädigung. Es könnte eventuell ein neuer Artikel werden, aber diesmal fehlerfrei.
lg George
edit: Heute Abend überarbeite ich den letzten Abschnitt und die andere sind soweit ok und werden von Matroid geprüft und dann sicherlich freigegeben\(\endgroup\)
\(\begingroup\)also ich muss erst mal ein dickes Lob aussprechen, ich mache im Frühling mein Abitur (Mathe LK) und zur Wiederholung und Überprüfung von Aufgaben ist dieser Artikel ausgezeichnet. Vielen Dank dafür!
lg Jenny\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Anonymous
Ich habe es geändert und du hattest Recht.
Ich werd wohl nochmal alles durchrechnen, wenn ich Zeit finde aber sind ja bald Semesterferien
lg George\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo.
4.Teil Ableitungen, Wurzelfunktionen, 1.Beispiel, 7. Zeile: (Wurzel aus x PLUS 2 mal Wurzel aus + (x-5) durch 2 mal Wurzel aus x. Das PLUS kann hier nicht stimmen, wenn man auf Gemeinsamen Nenner bringt.
lg harry\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@harry
Wieso sollte das nicht stimmen?
Das Vorzeichen ändert sich doch garnicht, wenn ich den Hauptnenner bilde.
lg George
edit: kannst auch gerne hier mal gucken:
http://www.calc101.com/webMathematica/Ableitungen.jsp#topdoit
schön Tag noch\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo George, Harry hat schon Recht.
Es handelt sich um einen Tippfehler von Dir.
Ich habe einen diesbezüglichen Änderungsantrag eingebracht,
schau ihn Dir mal an !
Liebe Grüße, Franz
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo
dieser Artikel ist echt sehr gut.
wär allerdings nicht schlecht wenn er als PDF datei verfügbar wäre...
Oder einfach nur eine Druckversion weil am computer kann ich nicht lernen.
Danke\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@George,
als Mitorganisator der Artikel LaTeXen-AG kann ich ja prinzipiell nicht anders, als das gut zu finden. Aber ich denke, dass sich grad eine solch ausführliche Beispielsammlung dazu eignet, eine Druckversion zu bekommen.
Gruß,
Felix\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hey Felix,
Ja da hat du wohl Recht. Ich weiß aber nicht ob meine LateX-Kenntnisse dafür reichnen den so zu schreiben, wie hier
lg George\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Dafür braucht's ja nun nicht so viel an LaTeX-Kenntnis. Einen Großteil wirst du sogar per copy+paste übernehmen können. Für die Sachen wo Du nicht weiter weisst wirst du was in den Einsteigersachen der LaTeX-AG finden z.B. in dem Artikel von jannna. Wenn du garnicht weiter kommst, dann gibt es ja auch das Forum.
Happy TeXing\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hey George!
Ich warte auch schon seit langem auf eine Druckversion, denn ich
schreibe in 3 Wochen mein Abitur. Der Artikel wär mir dabei sehr hilfreich einige Regeln nochmal aufzufrischen. Wann bist du denn
fertig mit der Version???
Gruss...\(\endgroup\)
\(\begingroup\)und diese pdf ist dafür essentiell? 😛
ableitungsregeln kann man überall nachlesen. wenn du diese beispielsammlung hier ausdrucken willst, klicke oben auf "druckerfreundliche version". was lehrreicher ist: beispiele selbst ausdenken und nachrechnen, ergebnis und weg mit http://www.mathdraw.de kontrollieren. beispieleingabe: diff(x^3 * sin(1/cos(x)),x)=?\(\endgroup\)
\(\begingroup\)HEy Leute,
Ja ich denke bis ende der WOche wird es was, da ich auch unterwegs bin und nicht so viel Zait habe zum schreiben aber ich versuch mein bestes
schön Sonntag noch
hier noch ein link wo du deine Rechnung überprüfen kannst
www.calc101.com/webMathematica/Ableitungen.jsp
lg George\(\endgroup\)
\(\begingroup\)so hab die pdf version hochgeladen
lg George
edit: eine andere PDF version wird bald hochgeladen.
Habe noch ein paar Änderungen vorgenommen\(\endgroup\)
\(\begingroup\)hey leute,
habe nochmal eine neue Version der PDF hochgeladen.
Habe ein Inhaltsverzeichnis der behandelten Funktionen eingefügt, so hat man nun die Möglichkeit gleich am Anfang zu rechnen ohne die Lösung direkt zu sehen :)
lg George
edit: Ich arbeite an einem neuen Artikel.
Release ist jedoch ungewiss ;)\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi,
Danke für diesen Artikel!
Hab eine Auffrischung der Ableitungsregeln fürs Grundstudium nötig gehabt^^
Aber, so als Verbesserungsvorschlag von meiner Seite:
Du könntest ja noch die Ableitungsregeln für Funktionen mit 2 Variablen /partielle Ableitungen hinzufügen 😁
Ciao\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hey wie Schubi schon geschrieben hat, ist es nur ein Artikel der an Schüler gerichtet ist, wie man auch im Vorwort lesen kann.
Aber ich denke es wird bald sowas geben, wenn ich mit meinen zweiten Artikel fertig bin.
lg George\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Dieser Artikel ist sehr schlecht, aber naja wer Zeit hat einen solchen Mist zu erstellen... bitte.
Ich mein alles was hier steht findet man in jedem Standardbuch für Gymnasien.
Davon abgesehen hätte ich mir noch die Ableitung einiger exotischer Funktionen gewünscht ( sinx, cosx, tanx, arcsinx,...,..., sinhx,...,...,arcsinhx,...,...,secx,... .
usw.
Und dieser Artikel macht überhaupt nicht verständlich was eine Ableitung ist.
das ist dumpfes ausrechnen.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@ Anonymous:
"Ich mein alles was hier steht findet man in jedem Standardbuch für Gymnasien."
Ich weiß nicht, welches Schulbuch du hast, aber in meinem Schulbuch standen kaum Übungsaufgaben mit Lösungen.
"Davon abgesehen hätte ich mir noch die Ableitung einiger exotischer Funktionen gewünscht."
Der Artikel richtet sich hauptsächlich an Schüler. Und die Funktionsuntersuchung von bspw. Hyperbelfunktionen steht i.d.R. nicht auf dem Lehrplan.
"Und dieser Artikel macht überhaupt nicht verständlich was eine Ableitung ist."
Witzbold - 50-AbleitungsBEISPIELE für Funktionen - Es gibt genug andere Artikel, die den Ableitungsbegriff erklären. Oder schau einfach in dein Schulbuch. 😛\(\endgroup\)
\(\begingroup\)So ich bin es wieder.
Ok, erkläre du mir mal bitte was eine Ableitung ist.
Ich bin kein Witzbold, habe auch nicht die Absicht den Autor zu düpieren.
Das was hier steht, steht auch im Heuser. (Lehrbuch der Analysis Teil 1).
So, ich warte auf eine Antwort auf die Frage: Was ist die Ableitung?\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo,
Erstmal Danke für die Kritik ;). Nur ich glaube du hast den Sinn dieses Artikels nicht ganz verstanden. Warum wähle ich gerade diese Überschrift?
Das soll eine Übersicht darstellen...und sorry aber ich kenne leider nur wenige Bücher, die wirklich den kompletten Rechenweg aufzeigen.
@Anonymous(1) Wenn du der Meinung bist, dass mein Artikel so schlecht ist dann musst du ihn dir jan icht antun. NAtürlich findet man sowas auch in verschiedenen Lehrbüchern aber mit den kompletten Lösungsweg, den sich manche Schüler wünschen?
Achja und falls du vom Matheboard kommst dann solltest du wenigstens den Mut haben dich hier anzumelden.
lg\(\endgroup\)
von: Hans-Juergen am: Mi. 22. August 2007 20:34:33
\(\begingroup\)Hi da_bounce,
Deinen Artikel finde ich gut und den Ton,
den dieser Anonymus Dir gegenüber anschlägt,
unverschämt. Soll er doch weiter "auf eine
Antwort warten" oder selber nachsehen,
was man unter Ableitung versteht. Quellen
dafür gibt es genug!
Viele Grüße,
Hans-Jürgen
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)zu Punkt
------------------------------
3) Exponential-und Logarithmusfunktionen:
...
Zwischen Logarithmus- und Exponentialfunktion gilt folgende Beziehung: y=exp(x) <=> x=lny
also: y=exp(x) <- nun wendet man den Logarithmus an
ln(y)=ln exp(x) <- ln(e) hebt sich auf weil das 1 ist deswegen folgt
ln(y)=x
----------------------------------------------
"hebt sich auf, weil das 1 ist" hat mich jetzt vollkommen irritiert.
denn: wenn das 1 ist, dann stünde:
ln(y) = "1^x"
-was natürlich schwachsinn ist. 1^x ist schliesslich immer 1.
zuvor kommt (natürlich) das Gesetz zum logarithmieren einer Potenz zum tragen:
www.mathematik.net/logarithmen/L02s30.htm
wodurch dann x mal log von e zur Basis e (=1), also x mal 1, also x stehen bleibt.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Danke für den Hinweis. Eine Korrektur für diese Stelle ist schon in Bearbeitung und muß nur noch genehmigt werden 😄
Mittlerweile ist die Korrektur schon durchgeführt.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)aufgabe nr.6 bei den logarithmusfunktionen:
bei der version mit den logarithmusgesetzen ist ein fehler drinn.
> f'(x)=2x/(x^2-4)- 2/x
ergibt nicht:
-> f'(x)=(2x-2*(x-4))/(x^2-4)=8/(x(x^2-4))
sondern:
-> f'(x)=(2x*x-2x^2+8))/x*(x^2-4)=8/(x(x^2-4))
...wohl vom Nachbarn abgeschrieben 😁 😁 \(\endgroup\)
\(\begingroup\)bei der 1. aufgabe von den wuzelfunkionen ist meiner meinung nach bei der anwendung der quotientenregel (am anfang der 2. Ableitung) ein fehler...
ansonsten aber ne super sache danke 😉 !\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hey danke, das hat mir sehr geholfen! =)
War schwierig vorgerechnete, gut erklärte Aufgaben zu finden. Weiter so =)
(Bin nicht der Anonymus der in den Comments so ne schei**e rauslässt)\(\endgroup\)
von: da_bounce am: Di. 23. September 2008 22:42:23
\(\begingroup\)Hey da hier viele sich über Fehler beklagen, werde ich die nächsten tage nochmal alles gründlich nachrechnen.
Vielen Dank für die zahlreichen Kommentare\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Tachchen,
ohne Dir in die Suppe spucken zu wollen. Glaube ich (voller stolz) einen Fehler gefunden zu haben. und zwar bei einem Beispiel der Quotientenregel:
f(x)= 1/x^2-9
deinen Zwischenergebnissen stimme ich zu bloss
ab dem "zusammenkürzen" der 2. Abl. komme ich nicht auf das selbe Ergebnis auch schaut die Kurve anders aus.
deine Abl:
f´´(x)= 6 x² + 18 / (x² - 9)³
meine:
f´´(x)=(-2 (x² - 9)² + 2 x 4 x (x² - 9)) / (x² - 9)⁴
auch einer deiner Zwischeschritte vorm kürzen.
wie auch immer vielen Dank dein Text ist mir eine grosse Hilfe
A.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Anonymer!
\quoteon(Anonymus)
deine Abl:
f´´(x)= 6 x² + 18 / (x² - 9)³
meine:
f´´(x)=(-2 (x² - 9)² + 2 x 4 x (x² - 9)) / (x² - 9)⁴
\quoteoff
\
Wenn man die rechte Seite der zweiten Gleichung (Deiner) durch (x^2-9) kürzt, so ergibt sich die rechte Seite der ersten Gleichung.
Du brauchst also nur einfach weiter zu rechnen \(Deinen Term weiter zu vereinfachen), dann kommst Du auch ans Ziel!
Liebe Grüße, Franz
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Franz,
danke für Deinen Hinweis. Nun eigentlich hab ich das auch versucht blos wars wohl zu spät für mich. Nach dem Lesen deiner Nachricht am Nachmittag hats auch ohne weiteres hin gehauen.
Dank auch an den Autor.
A.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Bei Aufgabe 23 - also Kapitel 3. die Aufgabe 3 ft
0(x) = e^−x/t ·(t + tx + t2) · (−1/t) kommt dann e−x/t ·(t −tx/t−t^2/t)...dieses t am anfang der klammer...wenn man zum beispiel t=20 setzt, dann ist es 20*(-1/20)= -1 und nicht -20...warum warum warum sowas?..\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Top Seite. Hat mir geholfen, gewisse Mechanismen zu sehen.
Gefundener Fehler:
Kapitel 3
Aufgabe 10
1. Ableitung
1. Absatz
Da müsstest du den Divisor noch quadrieren (x^2 --> x^4)
LG Dani\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Dani!
Die Korrektur ist schon in die Wege geleitet durchgeführt, vielen Dank für Deine Aufmerksamkeit und die Rückmeldung!
Liebe Grüße, Franz
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)
Hallo, ich schreibe morgen meine Matheprüfung, und meine leichte Ableitungsschwäche erschwert mir die anderen Themen, die ich prizipiell gut kann.
Dein Beitrag hat mir mehr gebracht wie die Vorlesungen, vielen dank :)\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo, die Ableitungsregeln sind wirklich hilfreich. Da mein letzter Matheunterricht leider ein paar Jahre zurückliegt, hätte ich noch einige Fragen.
zu Aufgabe 3) f'(x)=3x^3-12x^2+12x soweit klar, f''(x)=9x^2-24x+12
Wie ich auf 9x^2 und 24x komme ist auch klar und bei 12x in der ersten Ableitung kann ich einfach nur das x wegnehmen um auf 12 in der zweiten zu kommen und das war's?
VG Dani
\(\endgroup\)
\(\begingroup\) Hallo Dani,
ja, weil x =x^1
und die Ableitungsregel besagt (d(x^n))/dx=n*x^(n-1)
Hier ist n=1 und die Ableitung von x=x^1 ist somit
1*x^(1-1)=1*x^0=1*1=1
\(\endgroup\)
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