Mathematik: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
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Analysis

\(\begingroup\)\(- Student der Mathematik bis zum 5. Semester - Studium der Luft- und Raumfahrttechnik mit Schwerpunkt Luftverkehr - Quereinstieg in die Informationssicherheit - tätig als Consultant für Cyber Defense\)

50-Ableitungsbeispiele für Funktionen

Ableitungen

\ \blue\ Thema: 50 - Ableitungsbeispiele für Funktionen - Ganzrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Exponential-Funktion - Logarithmus-Funktion - Wurzelfunktion \stress\ Vorwort: Mit diesem Artikel möchte ich dem Schüler das Ableiten von verschiedenen Funktionen, die in der Schule behandelt werden, erläutern. Der Artikel kann als Übungsvorlage oder auch für einen "kurzen Blick" vor einer Klausur verwendet werden. Was nun folgt, ist keine kurze Übersicht zum obigen Thema, sondern ich werde versuchen den kompletten Rechenweg mit den nötigen Erklärungen zu zeigen. Ich möchte noch hinzufügen, dass dies mein erster Artikel ist, den ich vor anderen präsentiere. Also bitte habt Nachsicht, wenn nicht gleich alles stimmt. So und nun viel Spass beim Lesen und Rechnen. \big\ 1) Ganzrationale Funktionen Eine ganzrationale Funktion ist durch folgende Darstellung charakterisiert f(x)=a_n x^n+a_(n-1) x^(n-1)+...+a_1 x +a_0 , n\el\ \IN,a\el\ \IR Man nennt ihren Funktionsterm auch ein Polynom. Die größte Hochzahl bzw. der größte Exponent n heißt Grad der Funktion. Ein Spezialfall ist die Funktion 2. Grades, besser auch bekannt als quadratische Funktion, deren Funktionsgraph man Parabel nennt. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen, n-1 Extremwerte und n-2 Wendestellen. \stress\ 1) f(x) =0,04x^4-x^2+0,96 , x\el\ \IR f'(x) =0,16x^3-2x f''(x) =0,48x^2-2 f'''(x)=0,96x \stress\ Erklärung: Hier nochmal kurz zur Erinnerung die Ableitungsregeln: \stress\ Potenzregel: f(x)=x^n => f'(x)=n*x^(n-1) \stress\ Konstantenregel:f(x)=c,c\el\ \IR => f'(x)=0 \stress\ Summenregel: f(x)= g(x)+h(x)=> f'(x)=g'(x)+h'(x) \stress\ Faktorregel: f(x)=c*g(x), c\el\ \IR => f'(x)=c*g'(x) Nun erläutere ich das nochmal genauer an diesem ersten Beispiel. Wir benutzen dazu die \stress\ Potenz und \stress\ Konstantenregel und betrachten jeden Term einzeln. \ f(x)=\red\ 0,04x^4-\blue\ x^2+\darkblue\ 0,96 \red\ f(x)=0,04x^4 \red\ f'(x)= 4*0,04x^(4-1) \red\ f'(x)=0,16x^3 \blue\ g(x)=x^2 \blue\ g'(x)=2*x^(2-1) \blue\ g'(x)=2x^1 \darkblue\ h(x)=0,96 \darkblue\ h'(x)=0 Das ganze zusammen ergibt dann f'(x)=g'(x)+h'(x)+k'(x)=\red\ 0,16x^3-\blue\ 2x+\darkblue\ 0 Dies wiederholt sich auch bei den weiteren Ableitungen. Nach diesem ausführlichen Beispiel folgen nun weitere. \stress\ 2) f(x)=-0,5x*(x^2-2) Hier sehen wir ein Produkt, das wir ausmultipliziert ableiten können oder wir benutzen eine weitere Ableitungsregel. Ich werde nun beide Wege ausführlich zeigen. f(x)= -0,5x^3+x f'(x)=-1,5x^2+1 f''(x)=-3x Das ist der erste Weg bzw. die erste Möglichkeit, die Ableitung dieser Funktion zu bestimmen. Wie ich oben schon erwähnt habe, können wir auch eine weitere Ableitungsregel verwenden. Das ist die \stress\ Produktregel. Ich werde sie nun nochmal kurz hinschreiben, den Beweis findet ihr in anderen Artikeln. Aus f(x)=u(x)*v(x) => f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)+v'(x) kurz: f'=u'*v+u*v' An unserem Beispiel sieht es dann wie folgt aus: f(x)=-0,5x*(x^2-2) u= -0,5x u'= -0,5 v= x^2-2 v'= 2x Jetzt einfach die Formel anwenden: -> f'(x)= -0,5*(x^2-2)+(-0,5x)*2x f'(x)= -0,5x^2+1-x^2 f'(x)= -1,5x^2+1 Nun haben wir mit einfachen Mitteln auf zwei Wegen die erste Ableitung dieser Funktion bestimmt. \ \stress\ 3) f(x)=0,75x^4-4x^3+6x^2 f'(x)=3x^3-12x^2+12x f''(x)=9x^2-24x+12 f'''(x)=18x-24 \stress\ 4) f(x)=(4x^2+x-1)*(x^2+3x+5) \stress\ 1.Weg mit der Produktregel u= 4x^2+x-1 u'=8x+1 v=x^2+3x+5 v'=2x+3 f'(x)=u'*v+u*v' f'(x)=(8x+1)*(x^2+3x+5)+(4x^2+x-1)*(2x+3) f'(x)=8x^3+24x^2+40x+x^2+3x+5+8x^3+12x^2+2x^2-2x+3x-3 f'(x)=16x^3+39x^2+44x+2 \stress\ 2.Weg mit Ausmultiplizieren und dann mithilfe der Summen und Potenzregel die Ableitung berechnen. f(x)=(4x^2+x-1)*(x^2+3x+5) | ausmultiplizieren ->f(x)=4x^4+12x^3+20x^2+x^3+3x^2+5x-x^2-3x-5 ->f'(x)=16x^3+39x^2+44x+2 Wie man gut erkennen kann, hat man mehere Möglichkeiten eine Funktion abzuleiten, die aus einem zusammengesetzten Produkt besteht. Es ist euch überlassen welche Methode ihr verwendet. \ \stress\ 5) f_a(x)=ax^4-(a+1)*x^2+1 , a>0;x,a\el\ \IR f_a(x)=ax^4-ax^2-x^2+1 (f_a)'(x)=4ax^3-2ax-2x (f_a)''(x)=12ax^2-2a-2 (f_a)'''(x)=24ax \stress\ 6) f_a(x)=x^3/a + 2x^2+ax x,a\el\ \IR;a>0 (f_a)'(x)=3x^2/a +4x +a (f_a)''(x)=6x/a + 4 (f_a)'''(x)=6/a \stress\ 7) f_a(x)=(ax-1)*(x^2+5x+6) (f_a)'(x)=u'*v+u*v' u=ax-1 u'=a v=x^2+5x+6 v'=2x+5 (f_a)'(x)=a(x^2+5x+6)+(ax-1)*(2x+5) (f_a)'(x)=ax^2+5ax+6a+2ax^2+5ax-2x-5 (f_a)'(x)=3ax^2+2(5a-1)x+6a-5 \stress\ 8) f_t(x)=1/3*x^3-t^2*x+2/3*t^3 (f_t)'(x)=3*1/3*x^2-t^2=x^2-t^2 (f_t)''(x)=2x (f_t)'''(x)=2 \stress\ 9) f_t(x)= 1/2t*x^3-3x^2+9/2*tx (f_t)'(x)=3*1/2t*x^2-6x+9/2*t (f_t)'(x)=3/2t*x^2-6x+9/2*t (f_t)''(x)=6/2t*x-6=3/t *x-6 (f_t)'''(x)=3/t Man kann auch seine Ableitungen kontrollieren, indem man die Stammfunktion von der Ableitung bildet. \ -> (f_t)'(x)=3*1/2t*x^2-6x+9/2*t -> F_t(x)=3/2t*(1/3*x^3)-6*(1/2*x^2)+9/2*t*x -> F_t(x)=3/6t*x^3-6/2*x^2+9/2*t*x -> F_t(x)=1/2t*x^3-3x^2+9/2*t*x -> F_t(x)=f_t'(x) w.A \stress\ 10) f_k(x)= 6/k^2*x^3-12/k*x^2+6x (f_k)'(x)=3*6/k^2*x^2-2*12/k*x+6 (f_k)'(x)=18/k^2*x^2-24/k*x+6
\ \big\ 2) Gebrochenrationale Funktionen Sind z(x) und n(x) ganzrationale Funktionen, dann heißt die Funktion f mit f(x)=z(x)/n(x); n(x)!=0 eine gebrochenrationale Funktion. Der Funktionsterm ist ein Bruch mit einer Zählerfunktion z(x) und einer Nennerfunktion n(x). Der größtmögliche Definitionsbereich einer solchen Funktion ist in vielen Fällen nicht die ganze Menge \IR, da im Nenner eines Bruches nicht 0 stehen darf. Also müssen alle Nullstellen der Funktion n(x) aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden. Dadurch ergeben sich Definitonslücken. Wenn eine Nullstelle des Nenners n(x) gleichzeitig auch Nullstelle des Zählers z(x) ist, so handelt es sich um eine hebbare Definitionslücke. Wenn dieses nicht der Fall ist, so liegt eine Polstelle mit senkrechter Asymptote vor. Dies war eine kleine Einführung zum 2. Teil meines Artikels. Nun folgen wieder 10 unterschiedlich schwere Aufgaben, zu denen ich jeweils die ersten zwei oder drei Ableitungen ausführlich berechnen werde. \ \stress\ 1) f(x)= 1/(x^2-9) Die Ableitungen von gebrochenrationalen Funktionen werden mithilfe der Quotientenregel gebildet. In diesem ersten Beispiel bezeichnen wir unsere Aufgabe mal ganz formal so: f(x)=z(x)/g(x) z(x)=Zähler; g(x)=Nenner Die \big\Quotientenregel lautet dann so: f'(x)=(z'(x)*g(x)-z(x)*g'(x))/g(x)^2 Das sieht auf den ersten Blick vielleicht für den ein oder anderen kompliziert aus, aber es ist ganz einfach. Das kann man natürlich auch wieder beweisen, aber wie ich oben schon erwähnt habe, gibt es dazu auch Artikel; deswegen werde ich dies nicht mehr hier zeigen. Unser Beispiel war: f(x)= 1/(x^2-9) f'(x)=(u'*v-u*v')/v^2 u=1 u'=0 v=x^2-9 v'=2x Wie ich darauf komme, zeige ich nicht nochmal, weil das kann man oben nachvollziehen. Berechnen wir jetzt die erste Ableitung. -> f'(x)=(0*(x^2-9)-1*(2x))/(x^2-9)^2 -> f'(x)=-2x/(x^2-9)^2 Das war die erste Ableitung. Die weiteren berechnen sich genauso, nur dass die Kettenregel nun eine Rolle spielt Nach der ersten Ableitung wird in der Regel immer ausgeklammert und danach im Nenner gekürzt, was man nun in der zweiten Ableitung sehen kann \ ->f''(x)=(-2*(x^2-9)^2-(-2x)*2(x^2-9)*2x)/(x^2-9)^4 \big\Erklärung: g(x)=(x^2-9)^2 | Kettenregel g'(x)= 2*(x^2-9)^1*2x g'(x)= 4x*(x^2-9) \big\ Merke: äußere mal innere Ableitung ! Wie ich oben schon erwähnt habe, wird nun ausgeklammert ! -> f''(x)=(x^2-9)((-2*(x^2-9)-(-2x)*4x))/(x^2-9)^4 -> f''(x)=(-2x^2+18+8x^2)/(x^2-9)^3 \red\Bemerkung: (x^2-9) wurde einmal mit dem Nenner gekürzt, deswegen steht im Nenner (x^2-9)^3 -> f''(x)=(6x^2+18)/(x^2-9)^3 Dieses Schema geht auch analog für die dritte Ableitung. -> f'''(x)=(12x*(x^2-9)^3-(6x^2+18)*3*(x^2-9)^2*2x)/(x^2-9)^6 \red\Bemerkung: ((x^2-9)^3)^2= (x^2-9)^(3*2)=(x^2-9)^6 <- Potenzgesetze -> f'''(x)=(x^2-9)^2((12x*(x^2-9)-(6x^2+18)*6x))/(x^2-9)^6 \red\ (x^2-9)^2 wird ausgeklammert ! -> f'''(x)=(12x^3-108x-36x^3-108x)/(x^2-9)^4 \red\ (x^2-9)^2 wird mit 2 mal im Nenner gekürzt, weiter zusammengefasst! -> f'''(x)=(-24x^3-216x)/(x^2-9)^4 Puuh, das war ganz schön viel, jedoch sieht man ein Lösungsschema, nämlich Formel anwenden, zusammenfassen und eventuell ausklammern und wenn man genug Aufgaben rechnet, fällt es einem dann leicht, wie auch andere Sache im Leben. \ \stress\ 2) f(x)=(3x^2-8x)/(x-2)^2 f'(x)=(u'*v-u*v')/v^2 u=3x^2-8x u'=6x-8 v=(x-2)^2 v'=2*(x-2)*1 f'(x)=((6x-8)*(x-2)^2-(3x^2-8x)*2(x-2)*1)/(x-2)^4 f'(x)=(x-2)((6x-8)*(x-2)-(3x^2-8x)*2)/(x-2)^4 f'(x)=(6x^2-12x-8x+16-6x^2+16x)/(x-2)^3 f'(x)=(-4x+16)/(x-2)^3 f''(x)=(-4*(x-2)^3-(-4x+16)*3*(x-2)^2*1)/(x-2)^6 f''(x)=(x-2)^2(-4*(x-2)-(-4x+16)*3)/(x-2)^6 f''(x)=(-4x+8+12x-48)/(x-2)^4 f''(x)=(8x-40)/(x-2)^4 f'''(x)=(8*(x-2)^4-(8x-40)*4*(x-2)^3*1)/(x-2)^8 f'''(x)=(x-2)^3(8*(x-2)-(8x-40)*4)/(x-2)^8 f'''(x)=(8x-16-32x+160)/(x-2)^5 f'''(x)=(-24x+144)/(x-2)^5 \stress\ 3) f(x)=(x^3-4x^2)/(x^2-9) f'(x)=((3x^2-8x)*(x^2-9)-(x^3-4x^2)*2x)/(x^2-9)^2 f'(x)=(3x^4-27x^2-8x^3+72x-2x^4+8x^3)/(x^2-9)^2 f'(x)=(x^4-27x^2+72x)/(x^2-9)^2 f''(x)=((4x^3-54x+72)*(x^2-9)^2-(x^4-27x^2+72x)*2(x^2-9)*2x)/(x^2-9)^4 f''(x)=(x^2-9)((4x^3-54x+72)*(x^2-9)-(x^4-27x^2+72x)*4x)/(x^2-9)^4 f''(x)=(4x^5-54x^3+72x^2-36x^3+486x-648-4x^5+108x^3-288x^2)/(x^2-9)^3 f''(x)=(18x^3-216x^2+486x-648)/(x^2-9)^3 f'''(x)=((54x^2-432x+486)*(x^2-9)^3-(18x^3-216x^2+486x-648)*3(x^2-9)^2*2x)/(x^2-9)^6 f'''(x)=(54x^4-486x^2-432x^3+3888x+486x^2-4374-108x^4+1296x^3-2916x^2+3888x)/(x^2-9)^4 f'''(x)=(-54x^4+864x^3-2916x^2+7776x-4374)/(x^2-9)^4 Das war schon ein Hammer und ich habe mir diese Funktion nicht ausgedacht, denn in meiner Schulzeit war diese ein Bestandteil eines Test gewesen. \ \stress\ 4) f_a(x)=(x^2-a^2)/(x^2+a^2) (f_a)'(x)=(2x*(x^2+a^2)-(x^2-a^2)*2x)/(x^2+a^2)^2 (f_a)'(x)=(2x^3+2xa^2-2x^3+2xa^2)/(x^2+a^2)^2 (f_a)'(x)=(4xa^2)/(x^2+a^2)^2 (f_a)''(x)=((4a^2)*(x^2+a^2)^2-(4xa^2)*2*(x^2+a^2)*2x)/(x^2+a^2)^4 (f_a)''(x)=((4a^2)*(x^2+a^2)-(4xa^2)*4x)/(x^2+a^2)^3 (f_a)''(x)=(4a^2*x^2+4a^4-16a^2*x^2)/(x^2+a^2)^3 (f_a)''(x)=(4a^4-12a^2*x^2)/(x^2+a^2)^3 \stress\ 5) f_t(x)=(4x+8)/(x^2+t) (f_t)'(x)=(4*(x^2+t)-(4x+8)*2x)/(x^2+t)^2 (f_t)'(x)=(4x^2+4t-8x^2-16x)/(x^2+t)^2 (f_t)'(x)=(-4x^2-16x+4t)/(x^2+t)^2 (f_t)''(x)=((-8x-16)*(x^2+t)^2-(-4x^2-16x+4t)*2*(x^2+t)*2x)/(x^2+t)^4 (f_t)''(x)=(-8x^3-8xt-16x^2-16t+16x^3+64x^2-16xt)/(x^2+t)^3 (f_t)''(x)=(8x^3+48x^2-24xt-16t)/(x^2+t)^3 Das Ausklammern schreibe ich jetzt nicht mehr hin, nach ein paar Beispielen sieht man das und man kann sich den Platz einsparen. \ \stress\ 6) f_t(x)=(t^2-x^2)/(x-2t) (f_t)'(x)= (-2x*(x-2t)-(t^2-x^2)*1)/(x-2t)^2 (f_t)'(x)=(-2x^2+4xt-t^2+x^2)/(x-2t)^2 (f_t)'(x)=(-x^2+4xt-t^2)/(x-2t)^2 (f_t)''(x)=((-2x+4t)*(x-2t)^2-(-x^2+4xt-t^2)*2(x-2t)*1)/(x-2t)^4 (f_t)''(x)=(-2x^2+4xt+4xt-8t^2+2x^2-8xt+2t^2)/(x-2t)^3 (f_t)''(x)=(-6t^2)/(x-2t)^3 \stress\ 7) f_t(x)=(x^2)/(x+t)^2 (f_t)'(x)=(2x*(x+t)^2-x^2*2*(x+t))/(x+t)^4 (f_t)'(x)=(2x^2+2xt-2x^2)/(x+t)^3 (f_t)'(x)=2xt/(x+t)^3 (f_t)''(x)=(2t*(x+t)^3-2xt*3*(x+t)^2)/(x+t)^6 (f_t)''(x)=(2tx+2t^2-6xt)/(x+t)^4 (f_t)''(x)=(2t^2-4xt)/(x+t)^4 \stress\ 8) f_a(x)=(x^3+32a^3)/(ax^2) (f_a)'(x)=(3x^2*ax^2-(x^3+32a^3)*2ax)/(a^2*x^4) (f_a)'(x)=(3ax^4-2ax^4-64a^4*x)/(a^2*x^4) (f_a)'(x)=(ax^4-64a^4*x)/(a^2*x^4) (f_a)'(x)=(ax^4)/(a^2*x^4)-(64a^4*x)/(a^2*x^4) (f_a)'(x)=1/a-(64a^2)/(x^3) (f_a)'(x)=(x^3-64a^3)/(ax^3) (f_a)''(x)=192a^2/x^4 \ \stress\ 9) f_k(x)=(4kx)/(x^2+k^2) (f_k)'(x)=(4k*(x^2+k^2)-4kx*2x)/(x^2+k^2)^2 (f_k)'(x)=(4kx^2+4k^3-8kx^2)/(x^2+k^2)^2 (f_k)'(x)=(-4kx^2+4k^3)/(x^2+k^2)^2 (f_k)''(x)=(-8kx*(x^2+k^2)^2-(-4kx^2+4k^3)*2*(x^2+k^2)*2x)/(x^2+k^2)^4 (f_k)''(x)=(-8kx^3-8k^3*x+16kx^3-16k^3*x)/(x^2+k^2)^3 (f_k)''(x)=(8kx^3-24k^3*x)/(x^2+k^2)^3 \stress\ 10) f_t(x)=(3)/(x^2+3x+t) (f_t)'(x)=(0*(x^2+3x+t)-3*(2x+3))/(x^2+3x+t)^2 (f_t)'(x)=(-6x-9)/(x^2+3x+t)^2 (f_t)''(x)=(-6*(x^2+3x+t)^2-(-6x-9)*2*(x^2+3x+t)*(2x+3))/(x^2+3x+t)^4 (f_t)''(x)=(-6x^2-18x-6t-(-6x-9)*(4x+6))/(x^2+3x+t)^3 (f_t)''(x)=(-6x^2-18x-6t-(-24x^2-36x-36x-54))/(x^2+3x+t)^3 (f_t)''(x)=(-6x^2-18x-6t+24x^2+36x+36x+54)/(x^2+3x+t)^3 (f_t)''(x)=(18x^2+54x-6t+54)/(x^2+3x+t)^3
\ \big\ 3) Exponential-und Logarithmusfunktionen Exponential-und Logarithmusfunktionen bilden die mathematische Grundlage zur Beschreibung von exponentiellen Wachstums- und Zufallsprozessen (z.B. Radioaktivität, Kapitalverzinsung). Die Exponentialfunktion f(x)=exp(x) ist dadurch charakterisiert, dass bei Zunahme des x-Werts um einen Wert y der Funktionswert f(x) mit dem entsprechenden Faktor f(y) vervielfacht wird. Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, deswegen habe ich es auch zusammengefügt. Zwischen Logarithmus- und Exponentialfunktion gilt folgende Beziehung: y=exp(x) <=> x=lny also: y=exp(x) <- nun wendet man den Logarithmus an ln(y)=ln(exp(x))=x*ln(e) <- Logarithmenregel für Potenzen ln(y)=x <- weil ln(e)=1 Die Exponentialfunktion f mit f(x)=exp(x) ist auf der ganzen Menge \IR definiert, ihre Funktionswerte sind immer größer als 0. Nun beginnen wir wieder mit dem Rechnen. Ich hoffe, die Einführung war nicht zu schwammig \ Meistens wird die Produkt- und Kettenregel verwendet: \red\Merke__: \red\ f(x)=exp(x) => f'(x)=exp(x) \red\ f(x)=exp(u(x)) => f'(x)=exp(u(x))*u'(x) \big\ Beispiele__: f(x)=exp(2x) => f'(x)= exp(2x)*2 => f'(x)= 2*exp(2x) f''(x)= 2*exp(2x)*2 = 4*exp(2x) f'''(x)=4*exp(2x)*2= 8*exp(2x) Noch ein anderes Beispiel__: f(x)=exp(16x) => f'(x)=exp(16x)*16=16*exp(16x) Ein weiteres Beispiel, wo manche Fehler machen, weil sie denken, es ist dasselbe. f(x)=exp((0,5-2x)) => f'(x)=exp((0,5-2x)) *0,5 = 0,5*exp((0,5-2x)) Na, was aufgefallen ? Auf den ersten Blick sieht es doch ganz gut aus, jedoch ist es falsch!! Richtig wäre: f(x)=exp((0,5-2x)) => f'(x)=exp((0,5-2x))*(-2) =>f'(x)= -2*exp((0,5-2x)) Manche Lehrer verdrehen es einfach, um die Schüler zu verwirren :) Also immer schön gucken, was da steht dann ist auch wieder ganz einfach zu lösen. Verbinden wir nun die Produkt__- und Kettenregel__: Es folgen nun wie gewohnt 10 Rechenbeispiele mit immer höherem Schwierigkeitsgrad.
\ \big\ 1) f(x)=(x-2)*exp(x) f'(x)=u'*v+u*v' u=x-2 => u'=1; v=exp(x) => v'=exp(x) f'(x)= 1*exp(x)+(x-2)*exp(x) f'(x)=exp(x)*(1+(x-2))=exp(x)*(x-1) f''(x)=exp(x)*(x-1)+exp(x)*1 f''(x)=exp(x)*(x-1+1)=exp(x)*x f'''(x)=exp(x)*x+exp(x)*1= exp(x)*(x+1) \red\Merke__: Nach Anwenden der Produktregel wird ausgeklammert!! exp(x)/exp(x)=1 Das sieht dann so aus: f'(x)= 1*exp(x)+(x-2)*exp(x) ausmultiplizieren ! -> f'(x)=exp(x)+x*exp(x)-2*exp(x) exp(x) ausklammern ! \ -> f'(x)=exp(x)*(1+x-2) = f'(x)=exp(x)*(x-1) Mit ein bisschen Übung kann man sich dann das Ausmultiplizieren sparen, wobei bei komplexen Aufgaben es doch gut ist, da man sonst schnell den Überblick verliert. Dasselbe für die zweite Ableitung: -> f''(x)=exp(x)*(x-1)+exp(x)*1 -> f''(x)=x*exp(x)-exp(x)+exp(x) -> f''(x)=exp(x)*(x-1+1)=exp(x)*x die dritte Ableitung: -> f'''(x)= exp(x)*x+exp(x)*1= x*exp(x)+exp(x)=exp(x)*(x+1) Ich werde die nächsten 2 Aufgaben mit 2 Wegen zeigen also einmal mit Ausmultiplizieren und anschließend Ausklammern und einmal ohne mit gleich Ausklammern. \ \big\ 2) f_a(x)=a*x*exp(-1/2*x^2) 1.Weg__: (f_a)'(x)=a*exp(-1/2*x^2)+ax*exp(-1/2*x^2)*(-x) (f_a)'(x)=a*exp(-1/2*x^2)-ax^2*exp(-1/2*x^2) (f_a)'(x)=exp(-1/2*x^2)*(a-ax^2) 2.Weg__: (f_a)'(x)=a*exp(-1/2*x^2)+ax*exp(-1/2*x^2)*(-x) (f_a)'(x)=exp(-1/2*x^2)*(a-ax^2) (f_a)'(x)=a*exp(-1/2*x^2)*(1-x^2) (f_a)''(x)=-x*a*exp(-1/2*x^2)*(1-x^2)+a*exp(-1/2*x^2)*(-2x) (f_a)''(x)=a*exp(-1/2*x^2)*(-x+x^3-2x) (f_a)''(x)=a*exp(-1/2*x^2)*(-3x+x^3) (f_a)''(x)=a*exp(-1/2*x^2)*x(x^2-3) \big\ 3) f_t(x)=t*(x+t)*exp(-x/t) -> f_t(x)=(t*x+t^2)*exp(-x/t) (f_t)'(x)=t*exp(-x/t)+(tx+t^2)*(-1/t)*exp(-x/t) (f_t)'(x)=exp(-x/t)*(t+(tx+t^2)*(-1/t) (f_t)'(x)=exp(-x/t)*(t-(tx)/t-t^2/t)=exp(-x/t)*(t-x-t)=exp(-x/t)*(-x) \ \big\ 4) f_t(x)=(x^2-2/t*x)*exp(tx) (f_t)'(x)=(2x-2/t)*exp(tx)+(x^2-2/t*x)*t*exp(tx) (f_t)'(x)=exp(tx)*(2x-2/t+tx^2-2x) (f_t)'(x)=exp(tx)*(-2/t+tx^2) (f_t)''(x)=t*exp(tx)*(-2/t+tx^2)+exp(tx)*(2tx) (f_t)''(x)=exp(tx)*(-2+t^2*x^2+2tx) \big\ 5) f_a(x)=10x*exp(-ax^2) (f_a)'(x)=10*exp(-ax^2)+10x*(-2ax)*exp(-ax^2) (f_a)'(x)=exp(-ax^2)*(10+(-20ax^2)) (f_a)'(x)=exp(-ax^2)*(10-20ax^2) (f_a)''(x)=(-2ax)*exp(-ax^2)*(10-20ax^2)+exp(-ax^2)*(-40ax) (f_a)''(x)=-2ax*exp(-ax^2)+40a^2 x^3*exp(-ax^2)-40ax*exp(-ax^2) (f_a)''(x)=-20ax*exp(-ax^2)+40a^2 x^3*exp(-ax^2)-40ax*exp(-ax^2) (f_a)''(x)=exp(-ax^2)*(-20ax+40a^2 x^3-40ax) (f_a)''(x)=exp(-ax^2)*(-60ax+40a^2 x^3) \ (f_a)'''(x)=-2ax*exp(-ax^2)*(-60ax+40a^2 x^3)+exp(-ax^2)*(-60a+120a^2 x^2) (f_a)'''(x)=e^(-ax^2)*(120a^2*x^2-80a^3*x^4-60a+120a^2*x^2) (f_a)'''(x)=exp(-ax^2)*(240a^2*x^2-80a^3*x^4-60a) \big\ 6) f(x)=(2*exp(x)-4)/(exp(x)+1) f'(x)=(2*exp(x)*(exp(x)+1)-(2*exp(x)-4)*exp(x))/(exp(x)+1)^2 f'(x)=(2*exp(2x)+2*exp(x)-2*exp(2x)+4*exp(x))/(exp(x)+1)^2 f'(x)=(6*exp(x))/(exp(x)+1)^2 f''(x)=(6*exp(x)*(exp(x)+1)^2-6*exp(x)*2*(exp(x)+1)*exp(x))/(exp(x)+1)^4 f''(x)=(6*exp(2x)+6*exp(x)-12*exp(2x))/(exp(x)+1)^3 f''(x)=(-6*exp(2x)+6*exp(x))/(exp(x)+1)^3 \big\ 7) f_k(x)=(2*exp(x))/(exp(x)-k) (f_k)'(x)=(2*exp(x)*(exp(x)-k)-2*exp(x)*exp(x))/(exp(x)-k)^2 (f_k)'(x)=(2*exp(2x)-2k*exp(x)-2*exp(2x))/(exp(x)-k)^2 (f_k)'(x)=(-2k*exp(x))/(exp(x)-k)^2 (f_k)''(x)=(-2k*exp(x)(exp(x)-k)^2-(-2k*exp(x))*2*(exp(x)-k)*exp(x))/(exp(x)-k)^4 (f_k)''(x)=(-2k*exp(2x)++2k^2*exp(x)+4k*exp(2x))/(exp(x)-k)^3 (f_k)''(x)=(2k*exp(2x)+2k^2*exp(x))/(exp(x)-k)^3 \ \big\ 8) f_t(x)=(exp(x)-t)/(exp(x)+t) (f_t)'(x)=(exp(x)*(exp(x)+t)-(exp(x)-t)*exp(x))/(exp(x)+t)^2 (f_t)'(x)=(exp(2x)+t*exp(x)-exp(2x)+t*exp(x))/(exp(x)+t)^2 (f_t)'(x)=(2t*exp(x))/(exp(x)+t)^2 (f_t)''(x)=(2t*exp(x)*(exp(x)+t)^2-2t*exp(x)*2(exp(x)+t)*exp(x))/(exp(x)+t)^4 (f_t)''(x)=(2t*exp(2x)+2t^2*exp(x)-4t*exp(2x))/(exp(x)+t)^3 (f_t)''(x)=(2t^2*exp(x)-2t*exp(2x))/(exp(x)+t)^3 \big\ 9) f_a(x)=exp(x)*((ax+1)/(ax^3)) (f_a)'(x)=exp(x)*((ax+1)/(ax^3))+exp(x)*((a^2 x^3-3a^2 x^3-3ax^2)/(a^2x^6)) (f_a)'(x)=exp(x)*((ax+1)/(ax^3))+exp(x)*((-2a^2 x^3-3ax^2)/(a^2 x^6)) (f_a)'(x)=(exp(x)*(ax+1))/(ax^3)+(exp(x)*(-2a^2 x^3-3ax^2))/(a^2 x^6) (f_a)'(x)=(ax^3*(exp(x)*(ax+1)+exp(x)*(-2a^2 x^3-3ax^2)))/(a^2 x^6) (f_a)'(x)=(ax^3*(ax*exp(x)+exp(x))-2a^2 x^3*exp(x)-3ax^2*exp(x))/(a^2 x^6) (f_a)'(x)=(a^2 x^4*exp(x)+ax^3*exp(x)-2a^2 x^3*exp(x)-3ax^2*exp(x))/(a^2 x^6) (f_a)'(x)=exp(x)*((a^2 x^4+ax^3-2a^2 x^3-3ax^2)/(a^2 x^6)) (f_a)'(x)=exp(x)*((a^2*x^4)/(a^2*x^6)+(ax^3)/(a^2*x^6)-(2a^2*x^3)/(a^2*x^6)-(3ax^2)/(a^2*x^6)) (f_a)'(x)=exp(x)*1/(x^2)+1/(ax^3)-2/x^3-3/ax^4 Man kann sich diesen kompletten Weg sparen, ja ganz richtig jetzt denken sicherlich welche "boa warum macht der das nicht früher" Nun ja sowas passiert, wenn man nicht richtig guckt, genau deswegen habe ich auch dieses Beispiel gewählt \ 2.Weg__: f_a(x)=exp(x)*((ax+1)/(ax^3)) => exp(x)*(1/x^2+1/ax^3) (f_a)'(x)=exp(x)*(1/x^2+1/ax^3)+exp(x)*(-2/x^3-3/ax^4) (f_a)'(x)=exp(x)*(1/x^2+1/ax^3-2/x^3-3/ax^4) und siehe da schon haben wir viele Nerven gespart, denn das Ergebnis deckt sich mit dem von da oben. \red\Merke: Immer schauen ob man die gegebene Funktion vereinfachen kann!! \big\ 10) f_a(x)=x*exp(-ax^2+1) (f_a)'(x)=1*exp(-ax^2+1)+x*(-2ax*exp(-ax^2+1)) (f_a)'(x)=exp(-ax^2+1)*(1-2ax^2) (f_a)''(x)=-2ax*exp(-ax^2+1)*(1-2ax^2)+exp(-ax^2+1)*(-4ax) (f_a)''(x)=exp(-ax^2+1)*(-2ax+4a^2 x^3-4ax) (f_a)''(x)=exp(-ax^2+1)*(-6ax+4a^2 x^3) (f_a)'''(x)=-2ax*exp(-ax^2+1)*(-6ax+4a^2 x^3)+exp(-ax^2+1)*(-6a+12a^2 x^2) (f_a)'''(x)=exp(-ax^2+1)*(12a^2 x^2-8a^3 x^4-6a+12a^2 x^2) (f_a)'''(x)=exp(-ax^2+1)*(24a^2 x^2-8a^3 x^4-6a) Ein weiterer Abschnitt ist geschafft.Kommen wir zu den Logarithmusfunktionen
\ Die Rechenregeln für Logarithmen, da man diese in der Schule oft braucht. \red\ ln(u*v)=ln(u)+ln(v) \red\ ln(u/v)=ln(u)-ln(v) \red\ ln(u^k)=k*ln(u) \red\ y=ln(x) <=> x=exp(y) \red\ f(x)=ln(x) => f'(x)=1/x \stress\ 1) f(x)=ln(2x-4) u=ln(x) => u'=1/x ; v=2x-4 => v'=2 f'(x)=1/(2x-4)*2=2/(2x-4) f''(x)=(0*(2x-4)-2*2)/(2-4)^2 f''(x)=-4/(2x-4)^2 \stress\ 2) f(x)=x^2*ln(1-x) f'(x)=u'*v+u*v' f'(x)=2x*ln(1-x)+x^2*1/(1-x)*(-1) f'(x)=2x*ln(1-x)-x^2/(1-x) \stress\ 3) f(x)=ln(6x-x^2) f'(x)=1/(6x-x^2)*(6-2x)=(6-2x)/(6x-x^2) f''(x)=(-2*(6x-x^2)-(6-2x)*(6-2x))/(6x-x^2)^2 f''(x)=(-12x+2x^2-(36-12x-12x+4x^2))/(6x-x^2)^2 f''(x)=(-12x+2x^2-36+12x+12x-4x^2)/(6x-x^2)^2 f''(x)=(-2x^2+12x-36)/(6x-x^2)^2 \ \stress\ 4) f_a(x)=ln(x)*(x-a) (f_a)'(x)=1/x*(x-a)+ln(x)*1 (f_a)'(x)=(x-a)/(x)+ln(x)=1-a/x+ln(x) (f_a)''(x)=0+a/x^2+1/x (f_a)''(x)=a/(x^2)+1/x=(a+x)/x^2 \stress\ 5) f(x)=x*ln(x-4) f'(x)=1*ln(x-4)+x*1/(x-4)*1 f'(x)=ln(x-4)+x/(x-4) f''(x)=1/(x-4)+(1*(x-4)-x*1)/(x-4)^2 f''(x)=1/(x-4)+(x-4-x)/(x-4)^2 f''(x)=1/(x-4)+(-4/(x-4)^2) f''(x)=1/(x-4)-4/(x-4)^2 \stress\ 6) f(x)=ln((x^2-4)/(x^2)) f'(x)=1/(x^2-4)/(x^2)*((2x*x^2-(x^2-4)*2x)/(x^4)) f'(x)=x^2/(x^2-4)*((2x^3-2x^3+8x)/(x^4)) f'(x)=x^2/(x^2-4)*(8x/x^4) f'(x)=x^2/(x^2-4)*(8/x^3)=8x^2/((x^2-4)*x^3) f'(x)=8/(x(x^2-4)) \ Das war ein Beispiel ohne das Anwenden der Logarithmusgesetze. jetzt folgt eines mit__: f(x)=ln((x^2-4)/(x^2)) -> ln(u/v)=ln(u)-ln(v) -> f(x)=ln(x^2-4)-ln(x^2) -> f'(x)=1/(x^2-4)*2x-1/x^2*2x -> f'(x)=2x/(x^2-4)-2x/x^2 -> f'(x)=2x/(x^2-4)- 2/x -> f'(x)=(2x*x-2*(x^2-4))/(x^2-4)=8/(x(x^2-4)) -> f'(x)=8/(x(x^2-4)) ->f'(x)=8/(x^3-4x) Für die zweite Ableitung folgt dann: f''(x)=(0*(x^3-4x)-8*(3x^2-4))/(x^3-4x)^2 f''(x)=(-24x^2+32)/(x^3-4x)^2 \ \stress\ 7)f_a(x)=ln(1/(ax+b)) a,b\el\ \IR (f_a)'(x)=ln(1)-ln(ax+b) (f_a)'(x)=0- 1/(ax+b)*a (f_a)'(x)=-a/(ax+b) (f_a)''(x)=-(0*(ax+b)-a*a)/(ax+b)^2 (f_a)''(x)=a^2/(ax+b)^2 \stress\ 8)f(x)=ln(3+x)-ln(3-x) f'(x)=1/(3+x)*1-1/(3-x)*(-1) f'(x)=1/(3+x)+1/(3-x) f'(x)=((3-x)+(3+x))/((3+x)*(3-x)) f'(x)=6/(9-x^2) f''(x)=(0*(9-x^2)-6*(-2x))/(9-x^2)^2 f''(x)=12x/(9-x^2)^2 \ oder mit Kettenregel__: f'(x)=6*(9-x^2)^(-1) f''(x)=6*(-1)*(9-x^2)^(-2)*(-2x) f''(x)=12x*(9-x^2)^(-2) -> f''(x)=12x/(9-x^2)^2 f'''(x)=(12*(9-x^2)^2-12x*2*(9-x^2)*(-2x))/(9-x^2)^4 f'''(x)=(12*(9-x^2)-12x*2*(-2x))/(9-x^2)^4 f'''(x)=(108-12x^2+48x^2)/(9-x^2)^3 f'''(x)=(36x^2+108)/(9-x^2)^3 \stress\ 9)f_a(x)=x*ln(x^2/a) (f_a)'(x)=1*ln(x^2/a)+x* 1/(x^2/a)*((2x*a-x^2*0)/a^2) (f_a)'(x)=ln(x^2/a)+x*a/x^2*((2xa)/a^2) (f_a)'(x)=ln(x^2/a)+ax/x^2*(2xa/a^2) (f_a)'(x)=ln(x^2/a)+a/x*2x/a (f_a)'(x)=ln(x^2/a)+2xa/ax (f_a)'(x)=ln(x^2/a)+2 Auf dasselbe Ergebnis kommt ihr auch mit den Log-Gesetzen(siehe oben) \ \stress\ 10)f(x)=(2+ln(x))/x^2 f'(x)=(1/x*x^2-(2+ln(x))*2x)/(x^4) f'(x)=(x^2/x-(2+ln(x))*2x)/(x^4) f'(x)=(x-(2+ln(x))*2x)/(x^4) f'(x)=(x-2x*(2+ln(x)))/(x^4) f'(x)=(1-2*(2+ln(x)))/x^3 f'(x)=(1-4-2*ln(x))/x^3 f'(x)=(-3-2*ln(x))/(x^3) Das war der vorletzte Teil meines Artikels. Zum Schluss betrachten wir noch die Wurzelfunktionen__.
\ \big\ 4) Wurzelfunktionen Wurzelfunktionen wie etwa f mit f(x)=root(n,x) sind spezielle Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten. Sie sind für negative Zahlen in der Menge der reellen Zahlen nicht definiert, da der Radikand (Wurzel) dort nicht negativ sein darf. Dadurch kann es bei dieser Funktionsart oft Intervalle geben, in denen die Funktion nicht definiert ist. Besonders kritisch zu betrachten sind die Randpunkte des Definitionsbereiches, wenn solche Intervalle vorkommen. Hier ist die Funktion nicht differenzierbar und muss insofern gesondert auf das Vorliegen von Extremstellen untersucht werden. Potenzgesetze__: f(x)=x^n => f'(x)=n*x^(n-1) \red\Merke__: \red\ f(x)=sqrt(x)=x^(1/2) => f'(x)=1/2*x^(-1/2)=1/(2*sqrt(x)) \red\ sqrt(a)*sqrt(a)=sqrt(a*a)=sqrt(a^2)=a \red\ sqrt(2)*sqrt(2)=sqrt(2*2)=sqrt(4)=2 \red\ sqrt(4)*sqrt(4)=sqrt(4*4)=sqrt(16)=4 \stress\ 1) f(x)=(x-5)*sqrt(x) f'(x)=u'*v+u*v' f'(x)=1*sqrt(x)+(x-5)*1/2*x^(-1/2) f'(x)=1*x^(1/2)+(x-5)*1/(2*sqrt(x)) f'(x)=sqrt(x)+(x-5)/(2*sqrt(x)) f'(x)=sqrt(x)/(1)+(x-5)/(2*sqrt(x)) f'(x)=(sqrt(x)*2*sqrt(x)+(x-5))/(2*sqrt(x)) f'(x)=(2x+(x-5))/(2*sqrt(x))=(3x-5)/(2*sqrt(x)) f''(x)=(u'*v-u*v')/v^2 u=3x-5 u'=3 v=2*sqrt(x) v'=u'*v+u*v' = v'=0*sqrt(x)+2*1/(2*sqrt(x))=2/(2*sqrt(x))=1/sqrt(x) v'=1/sqrt(x) => f''(x)=(3*2*sqrt(x)-(3x-5)*1/sqrt(x))/(2*sqrt(x))^2 => f''(x)=(3*2*sqrt(x)-(3x-5)/sqrt(x))/(2*sqrt(x))^2 => f''(x)=(6*sqrt(x)-(3x-5)/sqrt(x))/(2*sqrt(x))^2 => f''(x)=(6x-(3x-5))/(sqrt(x))/(2*sqrt(x))^2 => f''(x)=((3x+5)/sqrt(x))/(2*sqrt(x))^2 \ \red\ Achtung__: n/m/p=n/(m*p) \black\ wobei n,p,m\el\ \IR \and\ m,p!=0 z.b: 1/2/2=1/(2*2)=1/4 also ((3x+5)/sqrt(x))/(2*sqrt(x))^2 = (3x+5)/((sqrt(x)*(2*sqrt(x))^2) => f''(x)=(3x+5)/((sqrt(x)*(2*sqrt(x))^2) \blue\ sqrt(x)*(2*sqrt(x))^2 = sqrt(x)*2^2*(sqrt(x))^2=4x*sqrt(x) => f''(x)=(3x+5)/(4x*sqrt(x)) \stress\ 2) f(x)=x*sqrt(x+1) f'(x)=1*sqrt(x+1)+x*1/2*(x+1)^(-1/2)*1 f'(x)=sqrt(x+1)+x*1/(2*sqrt(x+1))=sqrt(x+1)+x/(2*sqrt(x+1)) f'(x)=(sqrt(x+1))/1+x/(2*sqrt(x+1)) f'(x)=(2*(x+1)+x)/(2*sqrt(x+1)) f'(x)=(3x+2)/(2*sqrt(x+1)) f''(x)=(3*2*sqrt(x+1)-(3x+2)*1/sqrt(x+1))/(2*sqrt(x+1))^2 f''(x)=(3*2*sqrt(x+1)-((3x+2)/sqrt(x+1)))/(2*sqrt(x+1))^2 f''(x)=(6*sqrt(x+1)-((3x+2)/sqrt(x+1)))/(2*sqrt(x+1))^2 f''(x)=(6*(sqrt(x+1)*sqrt(x+1))-(3x-2))/(2*sqrt(x+1))^2 f''(x)=(6*(x+1)-(3x-2)/sqrt(x+1))/(2*sqrt(x+1))^2 f''(x)=(6x+6-3x-2)/((2*sqrt(x+1))^2*sqrt(x+1)) f''(x)=(3x+4)/(4*sqrt(x+1))^3 \ \stress\ 3) f(x)=4/(sqrt(2-x)) 1.Weg(mit Kettenregel): f(x)=4/(sqrt(2-x)) => f(x)=4*(2-x)^(-1/2) f'(x)=0*(2-x)^(-1/2)+4*(-1/2*(2-x)^(-3/2))*(-1) f'(x)=2*(2-x)^(-3/2)=2/sqrt((2-x))^3 2.Weg(Quotienten__ und Kettenregel__): f'(x)=(0*sqrt(2-x)-4*1/2*(2-x)^(-1/2)*(-1))/(sqrt(2-x))^2 f'(x)=(2/sqrt(2-x))/(sqrt(2-x))^2 f'(x)=2/(sqrt(2-x)*(sqrt(2-x))^2 f'(x)=2/sqrt((2-x))^3 \stress\ 4) f(x)=(x^2-4)/(sqrt(x)) f(x)=(x^2-4)/(sqrt(x)) f'(x)=(2x*sqrt(x)-(x^2-4)*1/(2*sqrt(x)))/sqrt(x)^2 f'(x)=(2x*sqrt(x)-(x^2-4)/(2*sqrt(x)))/sqrt(x)^2 f'(x)=(4x^2-x^2+4)/(2*sqrt(x))/(sqrt(x)^2 f'(x)=(3x^2-4)/(2*sqrt(x)*sqrt(x)^2 f'(x)=(3x^2-4)/(2*sqrt(x)^3) oder f'(x)=(3x^2-4)/2x^(3/2) \ \stress\ 5) f(x)=x*sqrt(x^2+25) f'(x)=1*sqrt(x^2+25)+x*1/2*(x^2+25)^(-1/2)*(2x) f'(x)=sqrt(x^2+25)+x^2/sqrt(x^2+25) f'(x)=(x^2+25+x^2)/sqrt(x^2+25) f'(x)=(2x^2+25)/sqrt(x^2+25) f''(x)=(4x*sqrt(x^2+25)-((2x^3+25x)/sqrt(x^2+25)))/(sqrt(x^2+25))^2 f''(x)=(4x*(x^2+25)-2x^3-25x)/sqrt(x^2+25)/(sqrt(x^2+25))^2 f''(x)=(4x^3+100x-2x^3-25x)/sqrt(x^2+25)/(sqrt(x^2+25))^2 f''(x)=(2x^3+75x)/(sqrt(x^2+25)*(sqrt(x^2+25))^2) f''(x)=(2x^3+75x)/(x^2+25)^(3/2) \ \stress\ 6) f(x)=4x/(sqrt(x^2+8) f'(x)=(4*sqrt(x^2+8)-4x*x/sqrt(x^2+8))/(sqrt(x^2+8))^2 f'(x)=(4*sqrt(x^2+8)-((4x^2)/sqrt(x^2+8)))/sqrt(x^2+8)^2 f'(x)=((4*(x^2+8)-4x^2)/sqrt(x^2+8))/(sqrt(x^2+8)^2 f'(x)=((4x^2+32-4x^2)/sqrt(x^2+8))/(sqrt(x^2+8)^2 f'(x)=32/sqrt(x^2+8)^3 \stress\ 7) f(x)=sqrt(x)/(x+1) f'(x)=(1/(2*sqrt(x))*(x+1)-sqrt(x)*1)/(x+1)^2 f'(x)=((x+1)/(2*sqrt(x))-sqrt(x))/(x+1)^2 f'(x)=((x+1-2x)/(2*sqrt(x)))/(x+1)^2 f'(x)=(1-x)/(2*sqrt(x)*(x+1)^2) \stress\ 8) f_a(x)=3xa*sqrt(x+1) (f_a)'(x)=3a*sqrt(x+1)+3xa*1/(2*sqrt(x+1)) (f_a)'(x)=3a*sqrt(x+1)+3xa/(2*sqrt(x+1)) (f_a)'(x)=(3a*sqrt(x+1)*2*sqrt(x+1)+3xa)/(2*sqrt(x+1)) (f_a)'(x)=(6a*(x+1)+3xa)/(2*sqrt(x+1)) (f_a)'(x)=(9ax+6a)/(2*sqrt(x+1)) \ \stress\ 9) f_k(x)=x*sqrt(k-2x) (f_k)'(x)=1*sqrt(k-2x)+x*(-1/sqrt(k-2x)) (f_k)'(x)=sqrt(k-2x)-x/sqrt(k-2x) (f_k)'(x)=((k-2x)-x)/sqrt(k-2x) (f_k)'(x)=(k-3x)/sqrt(k-2x) (f_k)''(x)=(-3*sqrt(k-2x)-(k-3x)*(-1/sqrt(k-2x)))/(sqrt(k-2x))^2 (f_k)''(x)=(-3*sqrt(k-2x)-(-(k-3x)/sqrt(k-2x)))/(sqrt(k-2x))^2 (f_k)''(x)=(-3*(k-2x)+k-3x)/(sqrt(k-2x))^3 (f_k)''(x)=(-3k+6x+k-3x)/(sqrt(k-2x))^3 (f_k)''(x)=(3x-2k)/(sqrt(k-2x))^3 \stress\ 10) f(x)=x*sqrt(16-x^2) f'(x)=1*sqrt(16-x^2)+x*(-2x*1/(2*sqrt(16-x^2))) f'(x)=sqrt(16-x^2)-x^2/sqrt(16-x^2) f'(x)=((16-x^2)-x^2)/sqrt(16-x^2) f'(x)=(16-2x^2)/sqrt(16-x^2)
\ \big\ Schlusswort: Das war mein erster Artikel für dieses Forum. Ich hoffe, es folgen weitere. Persönlich würde ich mich über Kommentare freuen. Ich denke für meinen Einstieg ist es kein schlechter Artikel. Desweiteren bedanke ich mich bei meinem Testleser FlorianM, der mir viele Ratschläge gegeben hat. Euer bounce Eine pdf Version mit TeX wird nachgereicht, aber das dauert noch ein wenig, da ich es mir gerade anlerne. Man kann es ausdrucken, bloß die Qualität ist nicht so gut. Also habt noch ein wenig Geduld. Vielleicht hat der eine oder andere ja Lust, eine pdf zu verfassen von diesem Artikel. \big\ Quellenangabe: - [1] Abitur 2006 Prüfungsaufgaben und Lösungen vom Stark-Verlag - [2] Abi Profi Mathe Analysis von Cornelsen - [3] Mathematik verständlich von Robert Müller-Fonfara
\(\endgroup\)
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https://google.at10%0 %
http://www.onlinemathe.de244515.3%15.3 %
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http://www.t-mobile-favoriten.de10%0 %
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http://go.mail.ru30%0 %
http://search.yahoo.com10%0 %
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http://at.ask.com10%0 %

Aufrufer der letzten 5 Tage im Einzelnen
Insgesamt 5 Aufrufe in den letzten 5 Tagen. [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2021.10.15-2021.10.21 (5x)https://google.com/

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 15749 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2012-2019 (2445x)http://www.onlinemathe.de/forum/Ableitung-von-lnx2-1
2012-2014 (703x)http://google.pl/url?sa=t&rct=j&q=
2012-2019 (630x)http://www.matheboard.de/archive/50823/thread.html
2012-2014 (614x)http://google.ru/url?sa=t&rct=j&q=ableitung lösen beispiele
2013-2014 (608x)http://google.lu/url?sa=t&rct=j&q=
2012-2019 (534x)http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung
2013-2015 (511x)http://google.nl/url?sa=t&rct=j&q=
201401-01 (432x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=schwierige ableitungen
201301-01 (402x)http://google.ie/url?sa=t&rct=j&q=funktionen ableiten beispiele
201211-11 (389x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CBYQohAwAQ
2016-2018 (381x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
2013-2014 (378x)http://google.es/url?sa=t&rct=j&q=
201203-03 (349x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=4&ved=0CEEQFjAD
2020-2021 (343x)https://google.de/
201312-12 (341x)http://google.it/search?redir_esc=&source=android-launcher-widget&v=133247963...
201311-11 (339x)http://google.fr/url?sa=t&rct=j&q=mathe ableitungsformeln
2015-2016 (334x)http://google.li/url?sa=t&rct=j&q=
201201-01 (327x)http://google.rs/url?sa=t&rct=j&q=mathematik funktio beispiele
201501-01 (327x)http://google.ru/url?sa=t&rct=j&q=
201210-10 (319x)http://google.ru/search?spell=1&q=beispiele ableitungen
201503-03 (314x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=5&ved=0CC8QFjAE
201302-02 (309x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=schwierige funktionen ableiten
201205-05 (293x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wurzelfunktionen ableitungen übungsaufga...
201204-04 (281x)http://google.ru/imgres?q=ableitungen
201202-02 (280x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=5&ved=0CE0QFjAE
201403-03 (280x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wie bildet man schwere ableitungen übung...
201304-04 (253x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=5&ved=0CCsQFjAE
201305-05 (248x)http://google.nl/search?q=ableitungsregeln beispiele
201209-09 (213x)http://google.it/url?sa=t&rct=j&q=ableitungen berechnen beispiel
201303-03 (210x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=schwierige funktionen zum ableiten
201206-06 (209x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zweite ableitung beispiele
201506-06 (189x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CCIQFjABahUKEwigxsvwq5LGAhVJEy...
201407-07 (185x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=4&ved=0CCIQFjAD
201412-12 (182x)http://google.pt/url?sa=t&rct=j&q=
201307-07 (181x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=weg ableiten beispiel
201505-05 (170x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CCIQFjAB
201507-07 (129x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=8&ved=0CDgQFjAHahUKEwikmJCvgeTGAhUCcR...
2015-2016 (128x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&rct=j&q=ableitungen beispiele
201208-08 (118x)http://google.ru/url?sa=t&rct=j&q=ableitung berechnen beispiel
201308-08 (96x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=x^4 ausführlich ableiten
201408-08 (79x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&ved=0CCQQFjAC
202005-05 (71x)https://google.de/url?sa=t
202101-01 (52x)https://google.se/
201511-11 (50x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&rct=j&q=funktionen ableiten beispie...
201512-12 (49x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=4&rct=j&q=schwere funktion
201509-09 (45x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=9&rct=j&q=ableitung ausführlich x^...
201603-03 (43x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&rct=j&q=schwierige ableitungen ü...
201602-02 (42x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&rct=j&q=schwierige ableitungen
2012-2013 (37x)http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/108108,0.html
2016-2020 (36x)http://de.wikipedia.org/wiki/Ableitungsregeln
201604-04 (35x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=6&rct=j&q=ableitung funktion Beispiel
201702-02 (31x)http://google.it/url?sa=t&rct=j&q=
201606-06 (30x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&rct=j&q=ableitungsbeispiele
201508-08 (22x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=4&ved=0CCUQFjADahUKEwiY_7bE9YzHAhXEjn...
201610-10 (21x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=mathematische ableitungen beispiel
2012-2013 (20x)http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/105321,0.html
202105-05 (19x)https://google.it
2018-2020 (18x)http://google.com/
202108-09 (17x)https://google.de
2012-2016 (12x)http://holistic.xkcd.com/framed/3ubwt7aSC_3ack37MFfvRqlZfSXHGDdN63eLtlBlWAk=
201211-12 (8x)http://www.facebook.com/
201706-06 (8x)http://www.bing.com/search?q=schwierige ableitungen übungen&FORM=QSRE8
201203-06 (7x)http://holistic.xkcd.com/framed/jI2slaoKFs3B2SGfr27e86lZfSXHGDdN63eLtlBlWAk=
2012-2013 (7x)http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/104251,0.html
201205-06 (6x)http://search.conduit.com/Results.aspx?q=schwere ableitung&ctid=CT2269050&Sea...
2013-2014 (5x)http://www.search.ask.com/web?l=dis&o=100000027cr&qsrc=2869&q=ableitungsbeisp...
201204-04 (5x)http://isearch.avg.com/search?sap=ku&lang=de&mid=bc5c22892e1947d1a535d16f6b8d...

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"Mathematik: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen" | 91 Comments
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Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: needle am: Fr. 25. August 2006 00:09:07
\(\begingroup\)Habe nicht alles durchgelesen, aber eine schöne Sammlung gelöster Aufgaben. Wird dem ein oder anderen Einsteiger beim differenzieren sehr helfen. Gruß\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Brummbaer am: Fr. 25. August 2006 00:16:42
\(\begingroup\)Toller Artikel. Hier hat der Anfänger, der das erste mal der Ableitung begegnet einen guten Fundus an Beispielen! Gut gemacht!\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 25. August 2006 00:18:20
\(\begingroup\)Hallo! Sehr guter Einsteigerartikel Allerdings ist glaube ich in der allerletzten Aufgabe ein (Tipp-)Fehler beim Ableiten der Wurzel. Statt -x müsste dort -2x stehen\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: scorp am: Fr. 25. August 2006 00:36:39
\(\begingroup\)Hallo bounce, herzlichen Glückwunsch zu deinem ersten Artikel! Da ich nach all den vielen Jahren fleißigen Studiums mit dem Stoff doch einigermaßen vertraut bin, habe ich nur kurz diagonal quergelesen. Dabei sind mir vorallem zwei Sachen aufgefallen: - Du schreibst oft Formeln hin, ohne die genauen Voraussetzungen zu nennen. Das mag an vielen Stellen aus dem Zusammenhang klar sein, aber bei der Zusammenstellung der Logarithmen- und Wurzelgesetze würde ich mir etwas mehr Formalismus wünschen. - Noch etwas zur Darstellung von Termumformungen. Du schreibst: \blue\ 2*(sqrt(x+1)*sqrt(x+1)) => 2*(sqrt(x^2+1)) => 2*(sqrt(x^2)+sqrt(1)) => 2*(x+1) Hier gibt es zwei Probleme. Zum einen ist das für die meisten x offenbar nicht richtig. Zum anderen ist es (nach meiner Auffassung) von Logik nicht vertretbar hier Folgepfeile zu verwenden. Was sprach gegen Gleichheitszeichen (natürlich unter der Voraussetzung, dass die Umformungen korrekt durchgeführt sind)? Mit LaTeX wünsche ich dir viel Spaß. Dennoch würde ich dir abraten den Artikel auf diese Weise mühsam nach PDF zu portieren. Ich bin nicht sicher, ob der Aufwand lohnen würde. Grüße, Alex\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: Fr. 25. August 2006 09:25:10
\(\begingroup\)Hey Leute, Danke für eure ersten Eindrücke und stimmt beim letzten ist mir wohl ein kleiner Fehler unterlaufen. Ich ändere das noch und das mit den Pfeilen ist mir garnet bewusst aufgefallen eigentlich weiß ich das ich das nicht so schreiben kann wollte eigentlich nur ein normalen Pfeil hinsetzen ^^ aber danke Ich bin erfreut das es gelungen ist. lg George\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: FlorianM am: Fr. 25. August 2006 12:03:48
\(\begingroup\)Hi, auch ich möchte dir noch einmal öffentlich zu diesem wirklich gelungenen und für sehr viele bestimmt hilfreichen Artikel gratulieren. 😄 Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: briefkasten am: Fr. 25. August 2006 13:20:06
\(\begingroup\)Seas da_bounce, dein erster Artikel ist dir echt super gelungen. Macht weiter so 😉 Mfg bRi3fK4sTeN\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: chrisss am: Fr. 25. August 2006 19:30:59
\(\begingroup\)Hallo, der Artikel ist echt prima, weiter so.\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: magic_carpet am: Mo. 28. August 2006 13:42:04
\(\begingroup\)Hallo da_bounce, uff, da hast du dir ja richtig Mühe gemacht, ist aber auch gut verständlich und sehr anschaulich geworden. Wenn ich in Mathe beim Ableiten meinen nächsten Hänger habe, dann weiß ich, wo ich Hilfe finde 😉 LG von magic_carpet\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: Do. 31. August 2006 15:13:27
\(\begingroup\)danke für die guten Kommentare bin wieder zurück aus dem urlaub :) edit: und danke für die Änderungsvorschläge greetz bounce\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: Do. 31. August 2006 22:05:57
\(\begingroup\)mhh wegen den Änderungsvorschlägen: Ich habe sie mir angeschaut und mit ok bewertet aber ich glaube die wurden noch nicht angenommen :) oder es ist was schief gelaufen, wenn nicht ich mache dann selbst nochmal eine Änderung dann müsste es klappen gruss bounce\(\endgroup\)
 

Änderungsvorschläge
von: fru am: Do. 31. August 2006 22:50:14
\(\begingroup\)Mein Änderungsvorschlag, der sich auf scorps Kommentar bezog, war schon realisiert; ebenso der sich auch darauf beziehende, danach von Tetris eingebrachte. Als danach ein weiteren Vorschlag von Tetris freigeschaltet wurde, waren jedoch die vorhergehenden Änderungen wieder rückgängig gemacht worden. Vielleicht lag es daran, daß Tetris den letzten Vorschlag auf eine alte Version ( die Erstversion ? ) aufgesetzt hat ? Naja, wie auch immer: Matroid wird das schon wieder richten ... !\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: matroid am: Do. 31. August 2006 23:31:15
\(\begingroup\)Hi fru, das ist immer die Gefahr, daß Änderungen durcheinanderlaufen. Darum warte ich immer, bis der Autor eines Artikels die verschiedenen Änderungsvorschläge prüft und annimmt. Wenn der Autor Dinge angenommen hat, die nicht richtig sind, dann bitte ich den Autor, einen neuen Änderungsvorschlag zu machen, der dann das enthält, was wirklich sein soll. @da_bounce: Kannst Du bitte mit Hilfe der Änderungshistorie eine Version erarbeiten, die alles enthält? Dank und Grüße Matroid\(\endgroup\)
 

Änderungsvorschläge
von: Tetris am: Fr. 01. September 2006 09:40:56
\(\begingroup\)Hallo fru, du schriebst: "(...) Als danach ein weiteren Vorschlag von Tetris freigeschaltet wurde, waren jedoch die vorhergehenden Änderungen wieder rückgängig gemacht worden. Vielleicht lag es daran, daß Tetris den letzten Vorschlag auf eine alte Version (die Erstversion?) aufgesetzt hat?" Zum letzten Satz: Wie hätte ich es anders machen sollen? lg, Tetris. \(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Gockel am: Fr. 01. September 2006 18:52:06
\(\begingroup\)@Tetris: Wenn schon ein Änderungsvorschlag vorhanden ist, wird dieser oben angezeigt und man kann ihn anklicken. Dann sieht man, was der Andere verändern wollte. Wenn man dann seine eigenen Vorschläge miteinbringt, erhält man also die Kombination aus beidem. Siehe dazu auch hier. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 10. September 2006 13:18:59
\(\begingroup\)Guter Artikel, gut und sehr einfach erklaert, gratuliere! Allerdings finde ich folgende Aufgabe zu kompliziert geloest, einfacher gings folgendermassen: f(x) = (x-5) * sqrt(x) f(x) = x^1,5-5*x^0.5 f'(x) = (3*sqrt(x))/2 - 5/(2*sqrt(x)) f'(x) (3*x-5)/(2*sqrt(x)) Ausserdem wuerde ich bei folgendem Hinweis: n/m/p = n/(m*p) noch darauf hinweisen, dass es darauf ankommt, was als Hauptbruchstrich angesehen wird. Weil n/(m/p) = (n*p)/m\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 25. September 2006 12:00:47
\(\begingroup\)zu Kapitel 1: Ganzrationale Funktionen Bei Aufgabe 7 vermisse ich bei der Ableitung den Summand + 2x Beim Zusammenfassen vergessen worden? \(\endgroup\)
 

Nur ein Flüchtigkeitsfehler
von: fru am: Mo. 25. September 2006 12:36:18
\(\begingroup\)Danke, Anonymer, für den Hinweis und Deine Aufmerksamkeit ! Es fehlt allerdings ein Summand (-2x), nicht (+2x). Ich habe die nötige Änderung bereits beantragt. EDIT: Die Änderung ist mittlerweile durchgeführt. Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 26. Oktober 2006 20:11:56
\(\begingroup\)bei den logarithmus aufgaben ist ein fehler und zwar aufgabe 6. bei der berehcnung der 1. ableitung ohne anwendung der logarithmengesetze passt noch alles. das ergebnis ist richtig. bei der berechnung der 1. ableitung mit anwendung der logarithmengesetze allerdings ist das ergebnis falsch, ich denke weil beim erweitern des bruches 2/x ein fehler gemacht wurde. da bei der berechung der 2. ableitung das falsche zwischenergebnis weiterverwendet wurde ist auch diese falsch...\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 26. November 2006 12:53:12
\(\begingroup\)hy ich denke die 4. aufgabe der wurzelfunktionen müßte im zähler 3x^2+4 stehen, oder!?!\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 26. November 2006 14:30:01
\(\begingroup\)hy schausst du dir mal dir 4. und dir 9.(2. ableitung an), ich komm auf andere vorzeichen(wurzelfunktion) \(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 11. Dezember 2006 18:08:37
\(\begingroup\)hallo hab gerade Kenntnisse wieder ein bisschen aufgebesser, dabei ist mir ein Fehler in der Aufgabe 5) [Gebrochenrationale Funktionen] aufgefallen. Müsste bei der 2.Ableitung 16^3 statt 16^2 und dann den Folgefehler ausbessern. Danke sehr schöne Erklährung hat mir bestens geholfen\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: Do. 14. Dezember 2006 17:42:15
\(\begingroup\)hey anonymer, danke für die Blumen ^^, em bitte sag genau was du meinst :) mit 16^3 oder 16^2 ist das nix greetz\(\endgroup\)
 

Rechenfehler
von: fru am: Do. 14. Dezember 2006 18:27:18
\(\begingroup\)Hallo George! Der Rechenfehler steckt in der vorletzten Formelzeile: \ (f_t)''(x)=((-8x-16)*(x^2+t)^2-(-4x^2-16x+4t)*2*(x^2+t)*2x)/(x^2+t)^4 (f_t)''(x)=(-8x^3-8xt-16x^2-16t+\red 16x^2\black +64x^2-16xt)/(x^2+t)^3 Statt " 16x^2 " wäre dort " 16x^3 " richtig. Ich habe den Fehler bereits ausgebessert, es muß nur noch ist bereits freigeschaltet weorden. Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: Do. 14. Dezember 2006 18:35:02
\(\begingroup\)hey Franz danke dir habe der Änderung zugestimmt :) schön tag noch\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 01. Januar 2007 18:21:14
\(\begingroup\)Hallo George Riesiges Kompliment, der Artikel ist wirklich sehr gelungen. Schau doch mal im Forum viewtopic.php?topic=70882&start=0#p522849 , ich glaube es hat sich bei dir ein Rechenfehler (Kapitel 3, Aufgabe 2) eingeschlichen. Gruss joghurt \(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: joghurt am: Mo. 01. Januar 2007 20:15:07
\(\begingroup\) Ich glaube ich habe noch was gefunden in Kapitel 3, Aufgabe 4: Ich habe als Endresultat (f_t)''(x)=e^tx*(-2+t^2*x^2+2tx) \(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 14. Januar 2007 19:11:55
\(\begingroup\)Hey, danke für den sehr guten Artikel! Hat mir zur Auffrischung meiner Ableitungskenntnisse im Grundstudium geholfen! Grüße Mark\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: Di. 16. Januar 2007 11:22:00
\(\begingroup\)Danke fürs Nachrechnen und sorry für die blöden Fehler. Hab es geändert mal gucken ob es akzeptiert wird ;) lg George danke @Anonymous freut mich zu hören\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 20. Januar 2007 17:06:53
\(\begingroup\)Ein Rechtschreibfehler bei Formel 4, kurz vor dem Ende: _mehere_ Möglichkeiten\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_15690 am: So. 21. Januar 2007 18:52:24
\(\begingroup\)bist du schon weiter gekommen mit der pdf datei...? würde die dann nämlich auch gerne nehmen... echt guter artikel\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 23. Januar 2007 14:21:21
\(\begingroup\)sind die fehler nun alle komplett korrigiert?\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 24. Januar 2007 13:34:21
\(\begingroup\)hiho!! meiner meinung nach kommen in dem text einige fehler vor, die noch nicht korrigiert sind... ich bereite mich grade auf eine prüfung vor und habe fast alle aufgaben nachgerechnet - in fast jeder zweiten komme ich auf ein anderes ergebnis... häufig treten fehler beim übergang von der 1. zur 2. ableitung auf... zb aufgabe 4 im "gebrochenrationale funktionen"-teil: da wird 4xa^2 abgeleitet zu 8xa - das stimmt wohl, wenn man nach a ableitet, hier wird aber nach x abgeleitet, also wäre 4a^2 richtig... solche fehler finden sich ständig! also den lösungen mal nicht ganz trauen, lieber selbst rechnen...\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: matroid am: Do. 25. Januar 2007 11:53:24
\(\begingroup\)Hi, da müssen wir einmal die Beispiele alle überprüfen. Ich habe zunächst das Beispiel 4 korrigiert. Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: Do. 25. Januar 2007 14:32:15
\(\begingroup\)Hey, wenn hier soviele Fehler sich eingeschlichen haben muss ich das halt nochmal nachrechnen wenn ich Zeit finde so nun zu dem hier: 4xa^2 abgeleitet zu 8xa 4xa^2 kann man doch auch als 4ax^2 schreiben und wenn ich dann nach x ableite wird das zu 8ax lg George sorry \(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 25. Januar 2007 16:11:39
\(\begingroup\)4*x*a^2 = 4*a*x^2 .... so, das geht?? ich glaube nicht... (4*x*a)^2 = 4^2x^2a^2 .... das geht! aber deine rechnung geht nicht... oder auch als beweis mit gegenbeispiel: du kannst ja mal für x=2 und für a=3 einsetzen 4*x*a^2 = 4*a*x^2 4*2*3^2 = 4*3*2^2 =>4*2*3*3 = 4*3*2*2 =>8*9 = 12*4 =>72 = 48 ~~~>> WIDERSPRUCH die ^2 funktion ist eine einstellige funktion (1 parameter)! \(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: matroid am: Do. 25. Januar 2007 17:29:15
\(\begingroup\) Es geht ja um die Ableitung von \stress\ 4) f_a(x)=(x^2-a^2)/(x^2+a^2) (f_a)'(x)=(2x*(x^2+a^2)-(x^2-a^2)*2x)/(x^2+a^2)^2 (f_a)'(x)=(2x^3+2xa^2-2x^3+2xa^2)/(x^2+a^2)^2 (f_a)'(x)=(4xa^2)/(x^2+a^2)^2 Und hier ist der Zähler 4*x*a^2 und nicht 4*(x*a)^2 Die Ableitung nach x von 4*x*a^2 ist 4*a^2 So steht es nun auch oben im Artikel. Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: Do. 25. Januar 2007 22:29:25
\(\begingroup\)Hey Leute, Ich habe damit begonnen Änderungen vorzunehmen. Es tut mir Leid, aber ich bin auch nur ein Mensch der Fehler macht ;) und ich werde in Zukunft mehrmals Nachrechnen. Ich bedanke mich bei diejenigen, die die üblen Fehler entdeckt haben. Und man sieht hier wieder, dass man lieber nochmal nachrechnen sollte, wenn man einen Artikel durcharbeitet ;) Ich lass mir noch was einfallen als Entschädigung. Es könnte eventuell ein neuer Artikel werden, aber diesmal fehlerfrei. lg George edit: Heute Abend überarbeite ich den letzten Abschnitt und die andere sind soweit ok und werden von Matroid geprüft und dann sicherlich freigegeben\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 02. Februar 2007 15:30:54
\(\begingroup\)also ich muss erst mal ein dickes Lob aussprechen, ich mache im Frühling mein Abitur (Mathe LK) und zur Wiederholung und Überprüfung von Aufgaben ist dieser Artikel ausgezeichnet. Vielen Dank dafür! lg Jenny\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: Fr. 02. Februar 2007 23:31:12
\(\begingroup\)Hey, Es freut mich zu hören, dass dieser Artikel hilfreich ist :) wünsch dir viel Erfolg !\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: So. 04. Februar 2007 14:23:42
\(\begingroup\)@Anonymous Ich habe es geändert und du hattest Recht. Ich werd wohl nochmal alles durchrechnen, wenn ich Zeit finde aber sind ja bald Semesterferien lg George\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: dirtyharry am: Mo. 12. März 2007 19:23:42
\(\begingroup\)Hallo. 4.Teil Ableitungen, Wurzelfunktionen, 1.Beispiel, 7. Zeile: (Wurzel aus x PLUS 2 mal Wurzel aus + (x-5) durch 2 mal Wurzel aus x. Das PLUS kann hier nicht stimmen, wenn man auf Gemeinsamen Nenner bringt. lg harry\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: Mi. 14. März 2007 15:07:06
\(\begingroup\)@harry Wieso sollte das nicht stimmen? Das Vorzeichen ändert sich doch garnicht, wenn ich den Hauptnenner bilde. lg George edit: kannst auch gerne hier mal gucken: http://www.calc101.com/webMathematica/Ableitungen.jsp#topdoit schön Tag noch\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: fru am: Mi. 14. März 2007 20:22:19
\(\begingroup\)Hallo George, Harry hat schon Recht. Es handelt sich um einen Tippfehler von Dir. Ich habe einen diesbezüglichen Änderungsantrag eingebracht, schau ihn Dir mal an ! Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: Mi. 14. März 2007 20:57:12
\(\begingroup\)Ja ok hab nur auf das Ergebnis geguckt. Nagut solange es nur ein Tippfehler war Danke dir und sry @Harry lg George\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 20. März 2007 15:12:00
\(\begingroup\)Hallo dieser Artikel ist echt sehr gut. wär allerdings nicht schlecht wenn er als PDF datei verfügbar wäre... Oder einfach nur eine Druckversion weil am computer kann ich nicht lernen. Danke\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: Di. 20. März 2007 17:04:13
\(\begingroup\)Hey anonymous, Ja ich überlege schon ob es sich lohnt diesen Artikel in LateX ab zu tippen....wer ist das für ? lg George\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: huepfer am: Di. 20. März 2007 17:15:48
\(\begingroup\)@George, als Mitorganisator der Artikel LaTeXen-AG kann ich ja prinzipiell nicht anders, als das gut zu finden. Aber ich denke, dass sich grad eine solch ausführliche Beispielsammlung dazu eignet, eine Druckversion zu bekommen. Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: Di. 20. März 2007 17:30:40
\(\begingroup\)Hey Felix, Ja da hat du wohl Recht. Ich weiß aber nicht ob meine LateX-Kenntnisse dafür reichnen den so zu schreiben, wie hier lg George\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 20. März 2007 19:03:33
\(\begingroup\)Dafür braucht's ja nun nicht so viel an LaTeX-Kenntnis. Einen Großteil wirst du sogar per copy+paste übernehmen können. Für die Sachen wo Du nicht weiter weisst wirst du was in den Einsteigersachen der LaTeX-AG finden z.B. in dem Artikel von jannna. Wenn du garnicht weiter kommst, dann gibt es ja auch das Forum. Happy TeXing\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: Di. 20. März 2007 19:35:32
\(\begingroup\)HEy, Ja ok ich werd mich morgen ransetzen, wenn nichts dazwischen kommt lg George\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: Fr. 23. März 2007 15:18:43
\(\begingroup\)Hey Leute wollte nur mal sagen, dass ich grad an der PDF Version sitze 😄 lg George edit: Mein Lap macht gerade Probleme :(\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 31. März 2007 15:22:07
\(\begingroup\)Hey George! Ich warte auch schon seit langem auf eine Druckversion, denn ich schreibe in 3 Wochen mein Abitur. Der Artikel wär mir dabei sehr hilfreich einige Regeln nochmal aufzufrischen. Wann bist du denn fertig mit der Version??? Gruss...\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Martin_Infinite am: Sa. 31. März 2007 15:25:09
\(\begingroup\)und diese pdf ist dafür essentiell? 😛 ableitungsregeln kann man überall nachlesen. wenn du diese beispielsammlung hier ausdrucken willst, klicke oben auf "druckerfreundliche version". was lehrreicher ist: beispiele selbst ausdenken und nachrechnen, ergebnis und weg mit http://www.mathdraw.de kontrollieren. beispieleingabe: diff(x^3 * sin(1/cos(x)),x)=?\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: So. 01. April 2007 15:48:27
\(\begingroup\)HEy Leute, Ja ich denke bis ende der WOche wird es was, da ich auch unterwegs bin und nicht so viel Zait habe zum schreiben aber ich versuch mein bestes schön Sonntag noch hier noch ein link wo du deine Rechnung überprüfen kannst www.calc101.com/webMathematica/Ableitungen.jsp lg George\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: Mi. 04. April 2007 12:44:41
\(\begingroup\)so hab die pdf version hochgeladen lg George edit: eine andere PDF version wird bald hochgeladen. Habe noch ein paar Änderungen vorgenommen\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: Di. 15. Mai 2007 11:07:57
\(\begingroup\)hey leute, habe nochmal eine neue Version der PDF hochgeladen. Habe ein Inhaltsverzeichnis der behandelten Funktionen eingefügt, so hat man nun die Möglichkeit gleich am Anfang zu rechnen ohne die Lösung direkt zu sehen :) lg George edit: Ich arbeite an einem neuen Artikel. Release ist jedoch ungewiss ;)\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 21. Juni 2007 17:27:45
\(\begingroup\)Hi, Danke für diesen Artikel! Hab eine Auffrischung der Ableitungsregeln fürs Grundstudium nötig gehabt^^ Aber, so als Verbesserungsvorschlag von meiner Seite: Du könntest ja noch die Ableitungsregeln für Funktionen mit 2 Variablen /partielle Ableitungen hinzufügen 😁 Ciao\(\endgroup\)
 

partielle Ableitungen
von: SchuBi am: Fr. 22. Juni 2007 11:15:18
\(\begingroup\)Dieser Artikel richtet sich hautsächlich an Schüler. In der Schule sind partielle Ableitungen nicht vorgesehen.\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: Mi. 04. Juli 2007 23:19:54
\(\begingroup\)Hey wie Schubi schon geschrieben hat, ist es nur ein Artikel der an Schüler gerichtet ist, wie man auch im Vorwort lesen kann. Aber ich denke es wird bald sowas geben, wenn ich mit meinen zweiten Artikel fertig bin. lg George\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 13. August 2007 05:12:01
\(\begingroup\)Dieser Artikel ist sehr schlecht, aber naja wer Zeit hat einen solchen Mist zu erstellen... bitte. Ich mein alles was hier steht findet man in jedem Standardbuch für Gymnasien. Davon abgesehen hätte ich mir noch die Ableitung einiger exotischer Funktionen gewünscht ( sinx, cosx, tanx, arcsinx,...,..., sinhx,...,...,arcsinhx,...,...,secx,... . usw. Und dieser Artikel macht überhaupt nicht verständlich was eine Ableitung ist. das ist dumpfes ausrechnen.\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 13. August 2007 07:18:12
\(\begingroup\)@ Anonymous: "Ich mein alles was hier steht findet man in jedem Standardbuch für Gymnasien." Ich weiß nicht, welches Schulbuch du hast, aber in meinem Schulbuch standen kaum Übungsaufgaben mit Lösungen. "Davon abgesehen hätte ich mir noch die Ableitung einiger exotischer Funktionen gewünscht." Der Artikel richtet sich hauptsächlich an Schüler. Und die Funktionsuntersuchung von bspw. Hyperbelfunktionen steht i.d.R. nicht auf dem Lehrplan. "Und dieser Artikel macht überhaupt nicht verständlich was eine Ableitung ist." Witzbold - 50-AbleitungsBEISPIELE für Funktionen - Es gibt genug andere Artikel, die den Ableitungsbegriff erklären. Oder schau einfach in dein Schulbuch. 😛\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 14. August 2007 18:25:19
\(\begingroup\)So ich bin es wieder. Ok, erkläre du mir mal bitte was eine Ableitung ist. Ich bin kein Witzbold, habe auch nicht die Absicht den Autor zu düpieren. Das was hier steht, steht auch im Heuser. (Lehrbuch der Analysis Teil 1). So, ich warte auf eine Antwort auf die Frage: Was ist die Ableitung?\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: Di. 21. August 2007 23:06:57
\(\begingroup\)Hallo, Erstmal Danke für die Kritik ;). Nur ich glaube du hast den Sinn dieses Artikels nicht ganz verstanden. Warum wähle ich gerade diese Überschrift? Das soll eine Übersicht darstellen...und sorry aber ich kenne leider nur wenige Bücher, die wirklich den kompletten Rechenweg aufzeigen. @Anonymous(1) Wenn du der Meinung bist, dass mein Artikel so schlecht ist dann musst du ihn dir jan icht antun. NAtürlich findet man sowas auch in verschiedenen Lehrbüchern aber mit den kompletten Lösungsweg, den sich manche Schüler wünschen? Achja und falls du vom Matheboard kommst dann solltest du wenigstens den Mut haben dich hier anzumelden. lg\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Hans-Juergen am: Mi. 22. August 2007 20:34:33
\(\begingroup\)Hi da_bounce, Deinen Artikel finde ich gut und den Ton, den dieser Anonymus Dir gegenüber anschlägt, unverschämt. Soll er doch weiter "auf eine Antwort warten" oder selber nachsehen, was man unter Ableitung versteht. Quellen dafür gibt es genug! Viele Grüße, Hans-Jürgen \(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 06. Dezember 2007 14:42:16
\(\begingroup\)zu Punkt ------------------------------ 3) Exponential-und Logarithmusfunktionen: ... Zwischen Logarithmus- und Exponentialfunktion gilt folgende Beziehung: y=exp(x) <=> x=lny also: y=exp(x) <- nun wendet man den Logarithmus an ln(y)=ln exp(x) <- ln(e) hebt sich auf weil das 1 ist deswegen folgt ln(y)=x ---------------------------------------------- "hebt sich auf, weil das 1 ist" hat mich jetzt vollkommen irritiert. denn: wenn das 1 ist, dann stünde: ln(y) = "1^x" -was natürlich schwachsinn ist. 1^x ist schliesslich immer 1. zuvor kommt (natürlich) das Gesetz zum logarithmieren einer Potenz zum tragen: www.mathematik.net/logarithmen/L02s30.htm wodurch dann x mal log von e zur Basis e (=1), also x mal 1, also x stehen bleibt. \(\endgroup\)
 

Korrektur erfolgt
von: SchuBi am: Do. 06. Dezember 2007 18:07:18
\(\begingroup\)Danke für den Hinweis. Eine Korrektur für diese Stelle ist schon in Bearbeitung und muß nur noch genehmigt werden 😄 Mittlerweile ist die Korrektur schon durchgeführt.\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 10. Dezember 2007 17:43:53
\(\begingroup\)aufgabe nr.6 bei den logarithmusfunktionen: bei der version mit den logarithmusgesetzen ist ein fehler drinn. > f'(x)=2x/(x^2-4)- 2/x ergibt nicht: -> f'(x)=(2x-2*(x-4))/(x^2-4)=8/(x(x^2-4)) sondern: -> f'(x)=(2x*x-2x^2+8))/x*(x^2-4)=8/(x(x^2-4)) ...wohl vom Nachbarn abgeschrieben 😁 😁 \(\endgroup\)
 

Korrekturvorschlag unterwegs
von: SchuBi am: Mo. 10. Dezember 2007 19:21:06
\(\begingroup\)Hallo, Anonymous! Fehler kommen vor - aber muß der Kommentar sein ☹️\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: Di. 18. Dezember 2007 21:22:08
\(\begingroup\)Hey Anonymous, bin auch nur ein Mensch der Fehler wie jeder andere macht. Du kannst doch eine Korrekturanfrage schicken ! \(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 27. April 2008 23:19:07
\(\begingroup\)bei der 1. aufgabe von den wuzelfunkionen ist meiner meinung nach bei der anwendung der quotientenregel (am anfang der 2. Ableitung) ein fehler... ansonsten aber ne super sache danke 😉 !\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 04. Juni 2008 11:30:41
\(\begingroup\)Hey danke, das hat mir sehr geholfen! =) War schwierig vorgerechnete, gut erklärte Aufgaben zu finden. Weiter so =) (Bin nicht der Anonymus der in den Comments so ne schei**e rauslässt)\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: Di. 23. September 2008 22:42:23
\(\begingroup\)Hey da hier viele sich über Fehler beklagen, werde ich die nächsten tage nochmal alles gründlich nachrechnen. Vielen Dank für die zahlreichen Kommentare\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 28. März 2011 01:20:45
\(\begingroup\)Tachchen, ohne Dir in die Suppe spucken zu wollen. Glaube ich (voller stolz) einen Fehler gefunden zu haben. und zwar bei einem Beispiel der Quotientenregel: f(x)= 1/x^2-9 deinen Zwischenergebnissen stimme ich zu bloss ab dem "zusammenkürzen" der 2. Abl. komme ich nicht auf das selbe Ergebnis auch schaut die Kurve anders aus. deine Abl: f´´(x)= 6 x² + 18 / (x² - 9)³ meine: f´´(x)=(-2 (x² - 9)² + 2 x 4 x (x² - 9)) / (x² - 9)⁴ auch einer deiner Zwischeschritte vorm kürzen. wie auch immer vielen Dank dein Text ist mir eine grosse Hilfe A. \(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: fru am: Mo. 28. März 2011 03:09:31
\(\begingroup\)Hallo Anonymer! \quoteon(Anonymus) deine Abl: f´´(x)= 6 x² + 18 / (x² - 9)³ meine: f´´(x)=(-2 (x² - 9)² + 2 x 4 x (x² - 9)) / (x² - 9)⁴ \quoteoff \ Wenn man die rechte Seite der zweiten Gleichung (Deiner) durch (x^2-9) kürzt, so ergibt sich die rechte Seite der ersten Gleichung. Du brauchst also nur einfach weiter zu rechnen \(Deinen Term weiter zu vereinfachen), dann kommst Du auch ans Ziel! Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 30. März 2011 13:06:46
\(\begingroup\)Hallo Franz, danke für Deinen Hinweis. Nun eigentlich hab ich das auch versucht blos wars wohl zu spät für mich. Nach dem Lesen deiner Nachricht am Nachmittag hats auch ohne weiteres hin gehauen. Dank auch an den Autor. A. \(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: Mi. 27. April 2011 19:03:57
\(\begingroup\)Freut mich, dass ich was brauchbares geschrieben habe ;) Grüße George\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 21. September 2011 20:01:15
\(\begingroup\)Vielen Dank an den Autor !! mfg \(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: Do. 22. September 2011 14:16:54
\(\begingroup\)Vielen Dank für das positive Feedback. Ich überlege ob ich davon mal eine remake schreiben soll. Gibt es Interesse daran ?\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: kostja am: Do. 22. September 2011 21:19:33
\(\begingroup\)Ich denke, das ist nicht unbedingt nötig. Hier klicken und dann "show steps" anwählen.\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: huepfer am: Fr. 23. September 2011 08:45:16
\(\begingroup\)Würde sich der Artikel nicht prinzipiell für das nächste MP-Buch anbieten? Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Martin_Infinite am: Fr. 23. September 2011 11:39:36
\(\begingroup\)@Felix: Ist das ein Scherz?\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: da_bounce am: So. 09. Oktober 2011 15:43:43
\(\begingroup\)vielleicht für "Mathematisch für Schulanfänger" :) Danke für das Feedback\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 04. März 2012 16:31:17
\(\begingroup\)Bei Aufgabe 23 - also Kapitel 3. die Aufgabe 3 ft 0(x) = e^−x/t ·(t + tx + t2) · (−1/t) kommt dann e−x/t ·(t −tx/t−t^2/t)...dieses t am anfang der klammer...wenn man zum beispiel t=20 setzt, dann ist es 20*(-1/20)= -1 und nicht -20...warum warum warum sowas?..\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Topo am: Mo. 06. August 2012 00:45:19
\(\begingroup\)Klasse Artikel! Sehr nützlich! Vielen, vielen Dank! 😄 \(\endgroup\)
 

Fehler in Kapitel 3
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 06. September 2012 20:00:18
\(\begingroup\)Top Seite. Hat mir geholfen, gewisse Mechanismen zu sehen. Gefundener Fehler: Kapitel 3 Aufgabe 10 1. Ableitung 1. Absatz Da müsstest du den Divisor noch quadrieren (x^2 --> x^4) LG Dani\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: fru am: Do. 06. September 2012 21:30:39
\(\begingroup\)Hallo Dani! Die Korrektur ist schon in die Wege geleitet durchgeführt, vielen Dank für Deine Aufmerksamkeit und die Rückmeldung! Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 30. Januar 2013 21:19:45
\(\begingroup\)absolut hilfreich top danke 😄 ''\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 07. Februar 2013 13:48:54
\(\begingroup\) Hallo, ich schreibe morgen meine Matheprüfung, und meine leichte Ableitungsschwäche erschwert mir die anderen Themen, die ich prizipiell gut kann. Dein Beitrag hat mir mehr gebracht wie die Vorlesungen, vielen dank :)\(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 29. Mai 2013 13:24:18
\(\begingroup\)Hallo, die Ableitungsregeln sind wirklich hilfreich. Da mein letzter Matheunterricht leider ein paar Jahre zurückliegt, hätte ich noch einige Fragen. zu Aufgabe 3) f'(x)=3x^3-12x^2+12x soweit klar, f''(x)=9x^2-24x+12 Wie ich auf 9x^2 und 24x komme ist auch klar und bei 12x in der ersten Ableitung kann ich einfach nur das x wegnehmen um auf 12 in der zweiten zu kommen und das war's? VG Dani \(\endgroup\)
 

Re: 50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
von: KingGeorge am: Mi. 29. Mai 2013 18:25:38
\(\begingroup\) Hallo Dani, ja, weil x =x^1 und die Ableitungsregel besagt (d(x^n))/dx=n*x^(n-1) Hier ist n=1 und die Ableitung von x=x^1 ist somit 1*x^(1-1)=1*x^0=1*1=1 \(\endgroup\)
 

 
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