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Mathematik: Phantasialand adé
Freigegeben von matroid am Mo. 06. Mai 2019 06:10:57
Verfasst von buh - (363 x gelesen)
Bildung 
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Phantasialand adé

Nie wieder Pyramiden in Raumecke*


BerlinBrandenburg. Es ist vollbracht. Mathe-Abitur. Nur 300 Minuten, davon 75 hilfsmittelfreie, und schon war die Mathe-LK-Prüfung wieder vorbei.
Und während früher so erhellende Titel wie „Handy am Steuer“, „Haus am Hang“ oder „Hosentasche“ ein (müdes) Lächeln ins Gesicht der Prüflinge zauberten, hat die revolutionäre Aufgabenerfindergarde wohl keine Kraft mehr: Im hilfsmittelfreien Teil 1 heißen die Aufgaben
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Mathematik: Auf der Suche nach 3.A7 (Teil 2/2)
Freigegeben von matroid am Sa. 27. April 2019 20:49:33
Verfasst von Dune - (193 x gelesen)
Mathematik 
Wir befinden uns nach wie vor auf der Suche nach der dreifachen Überlagerung $3.A_7$ von $A_7$, einer einzigartigen endlichen Gruppe, deren Existenz ein bloßer kombinatorischer Zufall zu sein scheint. Unser selbstgestecktes Ziel ist aber nicht nur ein bloßer Existenz- und Eindeutigkeitsbeweis: Wir wollen die $3.A_7$ zudem als Matrixgruppe kleinstmöglicher Dimension darstellen! Im ersten Teil hatten wir bereits gezeigt, dass über Körpern der Charakteristik Null mindestens sechs Dimensionen nötig sind. Wir werden zeigen, dass selbiges auch für sämtliche Körper positiver Charakteristik $p \neq 5$ gilt (Satz 1). Der Hauptfokus dieses Artikels wird auf der Bestimmung der modularen Charaktertafel von $3.A_7$ in Charakteristik $p=5$ liegen, wofür wir verschiedene Methoden aus der modularen Darstellungstheorie (Brauer-Swan-Theorie, Blocktheorie, Green-Korrespondenz) kombinieren werden. Wir werden schließlich erkennen, dass die Gruppe genau ein Paar algebraisch konjugierter irreduzibler Brauer-Charaktere vom Grad 3 besitzt, zu welchem wiederum ein Paar algebraisch konjugierter Darstellungen $3.A_7 \to \mathrm{GL}(3,\mathbb{F}_{25})$ gehört. Die Suche nach einer dieser Darstellungen erfolgt dann mit ganz elementaren Methoden: Im Wesentlichen müssen eine Hand voll (zumeist lineare) Gleichungssysteme über dem Körper $\mathbb{F}_{25}$ gelöst werden. Aus deren eindeutiger Lösbarkeit folgt dann unmittelbar die Eindeutigkeit der Gruppe $3.A_7$ (Satz 2). Der Existenzbeweis der $3.A_7$ ist schlussendlich mit etwas Computerunterstützung kein Problem mehr (Satz 3).
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Mathematik: Lösen von Job Shop Problemen
Freigegeben von matroid am Fr. 26. April 2019 08:48:04
Verfasst von Delastelle - (125 x gelesen)
Software 
Eine Problemstellung der diskreten Optimierung sind Job Shop Probleme.
Im Artikel werden mehrere Programme vorgestellt, die gute Lösungen erzeugen.
Gelöst wird unter anderem das klassische Muth-Thompson 10x10 Problem (mt10) von 1963
dessen Lösung 930 erst 1989 mittels Branch & Bound verifiziert wurde.
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Mathematik: Der Problemmond - eine fiktive Geschichte zur Geschichte unseres Weltbildes
Freigegeben von matroid am Mo. 22. April 2019 18:03:53
Verfasst von trunx - (352 x gelesen)
Physik 

Einleitung


Immer wieder ist zu hören und zu lesen und wird gern auch in der Schule so vermittelt, dass sich die Menschen in der Antike und im (finsteren) Mittelalter unsere Erde als Scheibe vorstellten. Dies ist natürlich längst als neuzeitlicher Mythos entlarvt (siehe Wikipedia - Flache Erde), dennoch möchte ich mit dem vorliegenden Artikel zeigen, dass sich die Kugelgestalt der Erde ganz logisch aus den antiken Vorstellungen, insbesondere der 4-Elemente-Lehre ergab, also die angebliche Scheibenerde schon in der Antike Humbug war.

Doch dieses antike, genau genommen geozentrische Weltbild hatte auch seine Probleme. Da ich kein Historiker bin und nicht aus eigener Lektüre weiß, was antike bzw. mittelalterliche Autoren über die Probleme mit ihrem Weltbild geschrieben haben, tue ich dies hier fiktiv.

Demnach müsste das Hauptproblem des antiken Weltbildes unser Mond gewesen sein.

Dieser Artikel wurde für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 8 bzw. 9 geschrieben, wird aber natürlich häppchenweise präsentiert, mit Arbeitsblättern und Experimenten zum freien Fall und Wurf verknüpft, ist also eher das Resultat je einer Unterrichtseinheit. Hier ist er für den MP aufgearbeitet, wo ihn selbstverständlich jeder lesen kann.
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Mathematik: Transformation ebener Kurven
Freigegeben von matroid am Sa. 20. April 2019 13:56:27
Verfasst von Gerhardus - (200 x gelesen)
Mathematik 
Transformation von Kurven (9. Schuljahr)

Das 9. Schuljahr lehrt Parabeln als quadratische Funktionen. Dazu gehören Verschiebungen, Streckungen und Spiegelungen der Parabel als Vorspiel zur wichtigen p-q-Formel, um die Nullstellen der quadratischen Funktion zu berechnen. Ein Satz wie: „Die Parabel y = (x+d)² + e hat (-d|e) als Scheitelpunkt.“ fällt auf durch seine Asymmetrie, den Wechsel von – und +.

Aus meinem Wunsch, das Thema auf dem Niveau des 9. Schuljahrs etwas gründlicher darzustellen, ohne Vektoren und Matrizen, ist dieser pdf-Datei (anklicken!) entstanden. Dabei verbinden sich die math. Unterfächer „Funktionen“ und „Analytische Geometrie der Ebene“. Seltsamer Weise habe ich in der Literatur keinen entsprechenden Satz gefunden, der doch kleine Spielereien ermöglicht.

Eigentlich gehört dieses Thema mehr zu analytischen Geometrie, die in der alten Form wie vor 50 Jahren nicht mehr gelehrt wird, sondern nur soweit, als sie Stoff für die geometrische Vektor- und Matrizenrechnung liefert. Mit der Beschränkung auf Funktionen tabuisiert die Schule andere Kurvengleichungen. Sie schafft nicht den Bogen vom Satz des Pythagoras zur Kreisgleichung, die ich für Anwendungen benötige. Gleichwohl versteht sich mein Artikel nicht als Schulkritik, sondern als vertiefende Spielerei.

Vielleicht habe ich auch etwas übersehen. Ich freue mich über jede Reaktion auf meinen Versuch, ob er sich für Schüler überhaupt eignet. Gerne auch die Kritik, LaTeX mache alles schöner. Mir reicht noch Word-2003 und der Formeleditor; ich schimpfe auf den "pdf-Creator", wenn er beim Hyperlink scheitert.

In der Fortsetzung des Artikels kann man auch die Inversion am Einheitskreis studieren und dann einsteigen in den
matheplanet-Artikel
Hans-Jürgen, Kurvenverwandtschaft bei der konformen Abbildung w=1/z.
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Mathematik: Auf der Suche nach 3.A7 (Teil 1/2)
Freigegeben von matroid am Mo. 25. März 2019 21:35:51
Verfasst von Dune - (297 x gelesen)
Mathematik 
Wir betrachten folgende Matrixgruppe mit Einträgen aus dem endlichen Körper $\mathbb{F}_{25} = \mathbb{F}_5(\zeta)$, wobei $\zeta$ eine primitive dritte Einheitswurzel sei.

\( 3.A_7 = \left\langle
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1+4 \zeta & 3+3\zeta & 3 \zeta\\
3 \zeta & 4+3\zeta & 3+4\zeta\\
\zeta & 1+\zeta & 1+\zeta
\end{pmatrix}
\right\rangle \)

Bei dieser Gruppe der Ordnung 7560, die auf den ersten Blick völlig willkürlich aussieht, handelt es sich tatsächlich um eine spannende Ausnahmegruppe! Wir sehen hier die dreifache Überlagerung der alternierenden Gruppe $A_7$, welche um 1911 von Issai Schur entdeckt wurde (allerdings als ($6 \times 6$)-Matrixgruppe über $\mathbb{C}$). Diese zweiteilige Artikelreihe wird sich mit der Frage beschäftigen, wie man systematisch auf obige Matrizen kommt. Wir werden von einer abstrakten Definition der Gruppe $3.A_7$ ausgehend zeigen, dass sie - sofern sie überhaupt existiert - zwangsläufig von diesen beiden Matrizen erzeugt werden muss. Insbesondere beweisen wir so ihre Existenz und Eindeutigkeit auf einen Schlag.

In diesem ersten Teil werden wir zunächst alle Konjugationsklassen und einige Untergruppen der $3.A_7$ (einschließlich aller Sylowgruppen) identifizieren. Von den Charaktertafeln dieser Untergruppen ausgehend werden wir mit Hilfe der Induktionsformel die Charaktertafel der $3.A_7$ bestimmen. An dieser Stelle werden wir sehen, dass die Gruppe über Körpern der Charakteristik $0$ bestenfalls als ($6 \times 6$)-Matrixgruppe realisiert werden kann. Im zweiten Teil werden wir die modulare Charaktertafel der $3.A_7$ in Charakteristik 5 und damit unter anderem den Brauer-Charakter einer irreduziblen Darstellung $3.A_7 \to \mathrm{GL}(3,\mathbb{F}_{25})$ bestimmen. Dieser Charakter wird uns dann letztendlich auf obige Matrizen führen.
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Mathematik: Über die elementaren Wachstumsmodelle
Freigegeben von matroid am Mo. 18. Februar 2019 19:11:22
Verfasst von Diophant - (646 x gelesen)
Mathematik 

1. Einleitung


Dieser Artikel richtet sich hauptsächlich an Schülerinnen und Schüler im Rahmen der Vorbereitung auf das Abitur. Es wird aus diesem Grunde versucht, die vorgetragenen Sachverhalte möglichst anschaulich darzustellen, auf akademische Strenge wird aus dem gleichen Grund verzichtet.

Die Beschäftigung mit Wachstums- bzw. Zerfallsvorgängen stellt einen der am häufigsten gewählten Anwendungsbereiche der Analysis für Prüfungsaufgaben im Rahmen deutscher Abiturprüfungen dar.

Bei der Bearbeitung von Aufgaben zu diesem Thema haben wir es in erster Linie mit zwei Problemen zu tun. Zum einen fällt das Erkennen der Art des Wachstums- bzw. des Zerfallsprozesses aus der Beschreibung eines Vorgangs heraus oftmals schwer, zum anderen ist auch der Zusammenhang zwischen Wachstumsvorgang und der entsprechenden Funktionsgleichung weit weniger ersichtlich als beispielsweise bei der Anwendung der Parabelgleichung für den schiefen Wurf oder der Sinus- bzw. der Kosinusfunktion zur Beschreibung harmonischer Schwingungsvorgänge. Dies gilt insbesondere für das beschränkte und in noch stärkerem Maße für das logistische Wachstum. Um hier Abhilfe zu schaffen, rückt ein Instrument der Analysis in den Blickpunkt, welches im Rahmen der Schulmathematik erfahrungsgemäß viel zu kurz kommt: Die Differentialgleichung.

In diesem Artikel sollen vier elementare Wachstumsmodelle vorgestellt werden:

  • Lineares Wachstum
  • Exponentielles Wachstum
  • Beschränktes Wachstum
  • Logistisches Wachstum
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Mathematik: Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten
Freigegeben von matroid am Mo. 03. Dezember 2018 21:32:59
Verfasst von cis - (859 x gelesen)
Mathematik 

Quadratwurzel einer komplexen Zahl
und
Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten


In folgendem Artikel soll, ähnlich der bekannten Lösungsformel im reellen Fall, eine handhabbare Lösungsformel für die quadratische Gleichung mit komplexen Koeffizienten ermittelt werden.

<math>
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel, backgrounds}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[
x=1.5cm, y=1.5cm,  scale=0.725,
font=\footnotesize,
>=latex,   %Voreinstellung für Pfeilspitzen
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners},
show background rectangle,
]

% x-Achse
\draw[->] (-3.5,0) -- (4.5,0) node[below] {Re$$};
%Zahlen auf x-Achse
\foreach \x in {-3,...,4}{\if\x0{}\else
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {$\x$};
\fi}

% y-Achse
\draw[->] (0,-2.5) -- (0,4.5) node[left] {Im$$};%node[above left]
%Zahlen auf y-Achse
\foreach \y in {-2,...,4}{\if\y0{}\else
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {$\y$};
\fi}

%Ursprung
%\node[below right] {$0$};

% Funktionen
\pgfmathsetmacro\ReD{-5/4}
\pgfmathsetmacro\ImD{3}
\pgfmathsetmacro\AbsD{sqrt( (\ReD)^2  +  (\ImD)^2 )}

\pgfmathsetmacro\C{sqrt(\AbsD)/(sqrt((\ReD+\AbsD)^2 +\ImD^2)}
\pgfmathsetmacro\ReSqrtD{\C*(\ReD+\AbsD)}
\pgfmathsetmacro\ImSqrtD{\C*\ImD}
\pgfmathsetmacro\AbsSqrtD{sqrt(\ReSqrtD^2+\ImSqrtD^2)}

\pgfmathsetmacro\RePh{1}
\pgfmathsetmacro\ImPh{1/2}


\coordinate (U) at (0,0);
\coordinate (D) at (\ReD,\ImD);
\coordinate (W) at (\ReD+\AbsD,\ImD);
\coordinate (W0) at (0+\AbsD,0);
\coordinate (SqrtD) at (\ReSqrtD,\ImSqrtD);
\coordinate (SqrtDNz) at (-\ReSqrtD,-\ImSqrtD);

\coordinate (Z1) at (\ReSqrtD+\RePh,\ImSqrtD+\ImPh);
\coordinate (Z2) at (-\ReSqrtD+\RePh,-\ImSqrtD+\ImPh);

% Winkel
\pic[draw, ->, black, thin, fill=black!30, angle radius=6mm, angle eccentricity=1.0,
pic text={\tiny$\arg(D)/2$}, pic text options={xshift=7pt,  below=5pt}] {angle = W0--U--W};
\pic[draw, ->, thin, angle radius=9mm, angle eccentricity=1.0, anchor=west, pic text={\tiny$\arg(D)$}, pic text options={xshift=5pt, yshift=-5pt}] {angle = W0--U--D};

\draw[->, ] (U) -- (D) node[left]{$-\frac54 +3i=D$};
\draw[->, ] (U) -- (W) node[right]{$w=D+|D|$};
\draw[] (D) -- (W) node[xshift=5pt, midway, above]{$|D|$};
\draw[-, densely dashed] (U)
-- (W0) node[near end, above]{$|D|$}
-- (W) node[midway, right]{$D$};
\draw[densely dashed, shorten >=-7mm, shorten <=-7mm] (SqrtDNz) -- (W);


\draw[black, ->, ] (U) -- (SqrtD) node[near end,sloped,above]{$\sqrt{D}$};
\draw[black, ->, ] (U) -- (SqrtDNz) node[midway,sloped,above]{$-\sqrt{D}$};
\draw[densely dashed] circle[radius=\AbsSqrtD];

% Lösungen
\draw[black, ->] (SqrtD) -- (Z1) node[very near end,sloped,above]{$-\frac{p}{2}$};
\draw[red, ->, very thick] (U) -- (Z1) node[midway, right=5pt,fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt]{$z_1 = 2+2i$};

\draw[black, ->] (SqrtDNz) -- (Z2) node[midway,sloped,below]{$-\frac{p}{2}$};
\draw[red, ->, very thick] (U) -- (Z2) node[midway, right=3pt, fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt]{$z_2 = -i$};

% Annotationen
\node[fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt] at (4,4) {$z^2 -(2+i)z + (2-2i)=0$};
\node[black]  at (5,3.5) {$\sqrt{D} = \frac{2+3i}{2}$};
\node[black] at (5,3.0) {$-\frac{p}{2} = \frac{2+i}{2}$};

\end{tikzpicture}
</math>
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