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Re: Reihen für Potenzen von Pi
Ja, es ist schon richtig, dass Euler bei seinem Schluss, dass die Funktion \sin(x)/x (an der Stelle x=0 mit Wert 1 stetig ergänzt) ein Produkt der Linearfaktoren (1-\frac x{x_k}) sein muss, wobei x_k alle Nullstellen von \sin(x)/x durchläuft, einfach nur "sehr viel Glück hatte" und dies im allgemeinen klar falsch ist. Ich frage mich allerdings, ob das von ZetaX gebrachte Gegenbeispiel nicht schon in einem gewissen Sinne "typisch" ist. Wenn man sich etwa die (wieder stetig ergänzte) Funktion 1/(x \Gamma(x)) ansieht, welche genau an den negativen ganzen Zahlen Nullstellen besitzt und für die ansonsten exakt die gleichen Voraussetzungen vorliegen, so gilt zwar nicht \frac1{x\Gamma(x)}= \prod\limits_{n=1}^\infty (1+\frac xn) wie Euler jetzt vielleicht geschlossen hätte, da das rechtsstehende unendliche Produkt nicht einmal konvergiert, wohl aber \frac1{x\Gamma(x)}= e^{\gamma x}\prod\limits_{n=1}^\infty (1+\frac xn) e^{-\frac xn} d.h., man muss diese Produktdarstellung einfach nur noch um gewisse nullstellenfreie Faktoren ergänzen, welche mit der Exponentialfunktion gebildet werden.
 
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