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Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
Hi Martin. Deine Analogie ist gar nicht so falsch. Der Fundamentalsatz der Variationsrechnung sagt z.B., dass eine lokal int.bare Funktion f:\Omega\to\mathbb{C} eindeutig (bis auf Nullmengen) durch die Integrale \int_\Omega f(x)\phi(x) bestimmt ist, wobei \phi durch C_c^\infty(\Omega) läuft. Das fühlt sich sehr nach einer Instanz des Yoneda-Lemmas an. Insbesondere ist die kanonische Abbildung L_{loc}^1(\Omega) \to \mathcal{D}'(\Omega), f\mapsto T_f injektiv (\delta_f ist eine ungünstige Bezeichnen, da man mit \delta_a üblicherweise die Deltadistribution im Punkt a bezeichnet, was nicht mit der konstanten Funktion identisch ist). In diesem Sinne wird T_f mit f identifiziert. Da man hier aber Funktionen bis auf Gleichheit fast überall betrachtet, kann man noch nicht direkt von Funktionswerten reden. Erst, wenn man einen eindeutigen Vertreter der Äquivalenzklasse wählen kann, darf man das. Das trifft z.B. auf stetige f zu, denn zwei stetige Funktionen sind genau dann gleich, wenn sie f.ü. gleich sind. Werte von Distributionen sind nun wie folgt definiert. Da Distributionentheorie lokal ist (präzise: U\mapsto\mathcal{D}'(U) ist eine Garbe), gibt es eine größte offene Menge \Omega_0\subseteq\Omega, sodass T_{|\Omega_0}=T_f für eine stetige Funktion f\in C^0(\Omega_0) gilt. Dieses f ist dann, wie gesagt, eindeutig bestimmt. Für x\in\Omega_0 definiert man dann den Wert T(x) als den Wert f(x). Die Menge der Punkte \Omega\setminus\Omega_0 ist in gewisser Weise die Menge der Singularitäten von T. Speziell für T=\delta ergibt sich \Omega_0 = \Omega\setminus\{0\} und \delta_{|\Omega_0} = 0. Das einzig interessante an der Delta-Distribution ist also ihre Singularität bei 0 und das präzise Verhalten dort. Zur Verkettung mit Funktionen: Die Verkettung T\circ\psi ist definiert für alle C^\infty-Submersionen \psi:\Omega\to\Omega'. Für Diffeomorphismen \psi kann man die Verkettung sehr explizit beschreiben, indem man den Transformationssatz zum Vorbild nimmt. Für allgemeine Submersionen ist das schwieriger (und steht auch nicht in allen Büchern zum Thema). Wenn ich mich recht erinnere, benutzt man dann eine Integration über Fasern. Man nimmt sich also die verallgemeinerte Transformationsformel (=Koflächenformel) zum Vorbild. In beiden Fällen ist die Definition genauso gewählt, dass T_f\circ\psi = T_{f\circ\psi} für alle f\in L_{loc}^1(\Omega') gilt. Insbesondere gilt dann mit der Notation x=id wirklich T(x)=T oder, wenn man zusätzlich noch T_f mit f gleichsetzt, f(x)=f als Gleichung von Distributionen. mfg Gockel.
 
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