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Re: Apfelmännchen algebraisch
Noch eine letzte Gnuplot-Graphik, die mit diesem Thema locker zusammenhängt und die ich, da sie einfach zu ästhetisch geworden ist, Euch nicht vorenthalten möchte: Die meisten farbigen Darstellungen der Mandelbrotmenge stufen nach der Anzahl Schritte, nach denen die Iteration z \, \rightarrow\, z^2+c für den Startwert z=0 den Betrag 2 überschreitet, farblich ab. Die feinen Grenzlinien zwischen den "Bereichen gleicher Divergenzgeschwindigkeit" nennt man die Mandelbrot-Lemniskaten. Sie werden bestimmt durch die Serie von Betragsgleichungen |f_c^n(0)|=|f_c^{n-1}(c)|=2, n\in\mathbb{N}, welche mittels \mathrm{Re}(c)=x,\,\mathrm{Im}(c)=y in algebraische Gleichungen 2^n-ten Grades transformiert werden können. Beispielsweise entspricht |f_c^2(0)|=|c^2+c|=2 die algebraische Gleichung (x^2-y^2+x)^2+(2 \cdot x \cdot y+y)^2-4=0, deren Lösungsmenge ein Cassinisches Oval mit den beiden Zentren F_1=(-1,0) und F_2=(0,0) (so daß s=\frac{1}{2}) und dem Parameter a^2 = 8 darstellt. Um diese Lemniskaten auch für höhere n noch darstellen zu lassen, geht man am besten so vor, daß man die für die auf den Grenzlinien liegenden c \in \mathbb{C} geltende Eigenschaft \exists\,t \in [0,2\pi]\,: f_c^n(0)=2\cdot\exp(\mathrm{i}\cdot t) ausnutzt und für 2m Werte von t, etwa \{k \cdot \frac{\pi}{m}\,|\,0 \leq k < 2m\}, diese Gleichungen löst und die m\cdot 2^n Lösungen als Punktliste in der komplexen Ebene plottet.
Dieser Plot zeigt die ersten sechs Mandelbrot-Lemniskaten mit m=60. Der Kreis für n=1 ist durch die 120 schwarzen Punkte angedeutet; bei dem blauen Cassini-Oval erkennt man gerade noch, daß es sich aus 240 Punkten zusammensetzt. Die hellblaue Kurve 8. Grades für n=3 hat in der angelsächsischen Literatur den Namen pear curve (Birnenkurve) erhalten.
 
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