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Re: Maxwell-Gleichungen herleiten aus Lorenz-Eichung (Rechenprobe)

Mit Punkt 1 in deinem ersten Kommentar bin ich einverstanden. Das sind die Rechenregeln, wonach die Rotation eines Gradientenfeldes und die Divergenz eines Rotationsfeldes Null sind. Im Artikel hatte ich das als Probe komponentenweise ausgeschrieben mit farbigen Indizes, damit man sich auch dann von der Richtigkeit überzeugen kann, wenn man diese Rechenregeln nicht kennt.

Beim Punkt 2 bin ich an der Stelle hängengeblieben, welche Definition der Ladungsdichte ich da verwenden soll. Wenn ich nämlich die (von dir nicht beanstandete) Ladungsdichte aus dem Artikel nehme, dann ist die zur Ladung gehörende Maxwell-Gleichung falsch, kann also mathematisch nicht hergeleitet werden. Falsch deshalb, weil ich da als Gegenbeispiel nur eine Funktion einsetzen brauche, die die Lorenz-Eichung nicht erfüllt.

Einem entsprechenden Protest von mir bist du mit deinem Kommentar nun zuvorgekommen. Da ich eine eichinvariante Dichte nicht kenne, habe ich danach gegoogelt und bin bei der Wahrscheinlichkeitsstromdichte gelandet. Das ist viel Neuland und muss ich erst lesen und feststellen, ob ich damit zurechtkomme. Die Bezeichnung eichinvariant klingt schon vielversprechend.

Als Notbehelf, um bei Punkt 2 weiterzukommen, hatte ich mir folgende Definitionen überlegt:

\(\vec j_{eichinvariant} = \dfrac{1}{\mu} \left( - \Delta \vec A + \dfrac{1}{c^2} \dfrac {\partial^2 {\vec {A}}}{{\partial t}^2} \right) + \dfrac{1}{\mu} \vec \nabla \left( \vec \nabla \cdot \vec A + \dfrac{1}{c^2} \dfrac {\partial {\phi}}{\partial t} \right) \),
\(\rho_{eichinvariant} = \varepsilon \left( - \Delta \phi + \dfrac{1}{c^2} \dfrac {\partial^2 {\phi}}{{\partial t}^2} \right) - \varepsilon \dfrac{\partial}{\partial t} \left( \vec \nabla \cdot \vec A + \dfrac{1}{c^2} \dfrac {\partial {\phi}}{\partial t} \right) \),

also den Gradient und die Zeitableitung der linke Seite der Lorenz-Eichung packe ich einfach mit in die Strom- und Ladungsdichte. Damit stimmten die Maxwell-Gleichungen aus dem Link auch immer und ich komme sogar ganz ohne physikalische Annahmen aus.

nochmal die Beispielaufgabe: Löse die Maxwell-Gleichungen für das Vakuum.
Teillösung: Vom Vakuum nehme ich an, dass die Lorenz-Eichung gilt. Aus den Randbedingungen \(\rho_{eichinvariant}=0, \vec{j}_{eichinvariant}=0\) und den Definitionen von \(\rho_{eichinvariant}, \vec{j}_{eichinvariant} \) erhalte ich unter anderem die Lösungen \( \phi=0 \) und \( A=A_0e^{i(kx−ωt)} \). Nochmal die Lorenz-Eichung angewendet liefert das Ergebnis \( A_0 \) orthogonal zu \( k \).
 
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