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Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
\(\usepackage{setspace}\) Ich versuche, diesen Gedankengang mal mit einem Beispiel zu illustrieren: Eine Lösung ist ja c=4 mit dem Lösungspaar (2, 8). Wenn ich jetzt q=4 setze, dann kann ich ja Polynome a(q) und b(q) in q bilden, für die insbesondere a(4)=2 und b(4)=8 gilt. Bspw. die 4adische Darstellung von 2 und 8, also \(a(4)=2\cdot 4^0\) und \(b=2\cdot 4^1\). Für das Problem der Aufgabenstellung sollten nun aber für jedes q die Paare \((a(q)=2, b(q)=2q)\) Lösungspaare sein und q ergeben. Setzen wir nun aber in diese Paare q=5 ein, erhalten wir aber statt des geforderten c=5 nicht mal eine natürliche Zahl, sondern \(c=\frac{104}{21}\). Was ich oben also gezeigt habe ist, dass es keine Polynompaare (a(q), b(q)) gibt, die für alle natürlichen Zahlen q sowohl Lösungspaare der Aufgabenstellung als auch im Ergebnis q sind. Es geht mir also gerade nicht um ein spezielles q, sondern betrifft stets alle natürlichen Zahlen. Jetzt könnte noch man argumentieren, dass es ja unter allen Lösungen eine einzige gibt, die keine Quadratzahl ist, aber eben aufgrund der Einzigkeit nicht von Lösungspolynomen erfasst werden würde. Aber auch das ist nicht möglich, denn dann müsste der Koeffizientenvergleich irgendwo nicht möglich sein und die Gleichung insgesamt nur durch das spezielle q zu retten sein. Doch das lieferte nur triviale Lösungen.
 
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