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Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
\(\usepackage{setspace}\) @weird: mittlerweile weiss ich soviel über die Fragestellung, dass ich überall Beweise sehe. Und dass ich soviel darüber weiss, hängt wesentlich von meinem Ansatz und meinen eigenen Rechnungen ab und nicht von irgendeinem unterstellten abgekupferten Ansatz. Auch das zur Klarstellung. Nehmen wir z.B. an, ich hätte die Symmetrie in den ganzzahligen \(g_i\) übersehen oder vielleicht sogar, dass die \(g_i\) sogar ganzzahlig sein können. Dann sind die \(g_i\) wie bereits gesagt, gebrochen-rationale Funktionen in den zwei Startwerten der zugehörigen Rekursion \(g_0\) und \(g_1\), aber mit Werten in den natürlichen Zahlen. Dies erkennt man daran, dass diese Funktionen mit c als Polynome geschrieben werden können, nämlich \(g_i= g_1 h_i(c) - g_0 h_{i-1}(c)\), wobei die \(h_i(c)\) ihrerseits rekursiv gebildet werden mit \(h_{i+1}=c h_i - h_{i-1}\) und entsprechend 0, 1, c, \(c^2-1\), \(c^3-2c\),... lauten. Diese \(g_i\) stellen die Verallgemeinerung der oben in meinem Ansatz eingeführten Polynome (a(q), b(q)) dar, was hoffentlich niemand abstreitet. Wenden wir uns den Lösungspolynomen c(q) zu. Es wurde behauptet, dass man nicht wissen könne, wie diese aussehen, insbesondere könnten sie letztlich (schon die Richtigkeit der Aufgabenstellung vorausgesetzt) alle Quadrate von Polynomen sein. Das mag so sein, aber in der Verallgemeinerung gibt es nur eine einzige Funktion für c in \(g_0\) und \(g_1\) und die ist \(\frac{g_0^2 +g_1^2}{g_0 g_1 +1}\) (setzt man höhere Werte für \(g_i\) kürzt sich alles bis auf diesen Rest weg). Damit scheint nicht viel gewonnen, aber schreiben wir diesen Bruch in \(g_1\)-adischer Form: Dazu verwenden wir \(g_0^2=xg_1 +y\), wobei x und y nur Werte zwischen 0 und \(g_1 -1\) in den natürlichen Zahlen annehmen dürfen. Genauer ist sogar \(x0\) sei, folgende Gleichung gelten \(1xy=g_0 1\cdot y\) (der zweite Faktor kann \(g_1\)-adisch nicht zweistellig sein, denn dann müsste \(g_0=1\) und damit 101=11•11 sein, was nicht stimmt, außer für \(g_1=2\) (hier ist 11•11=1001), kommt für 11•11 stets 121 in jedem System heraus). Das aber ergibt folgende Gleichung \(\frac{g_0^2+x^2}{g_0 x+1}=y\). Wäre jetzt x=0, dann wäre \(y=g_0^2\) und damit \(g_1=g_0 y=g_0^3\), was der Minimalität der Startwerte \(g_0\) und \(g_1\) für die Folge g widerspricht, denn es gäbe ein \(g_{-1}=0\), das kleiner wäre. Also ist x>0 und die Gleichung \(\frac{g_0^2+x^2}{g_0 x+1}=y\) ist wegen \(x0\) und spätestens jetzt ist auch mit meinem Ansatz \(g_0=0\) und \(c=g_1^2=q^2\) eine Quadratzahl.
 
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