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Re: Kreisringfläche
Hi.

Da r>2 und AB^-=2 betrachte ich nur die obere Haelfte des Kreises.
In diesem Fall kann ich hierfuer sogar eine explizite Gleichung
angeben:
x^2+y^2=r^2 <=> y=f(x)=sqrt(r^2-x^2)
Gesucht ist die innere Kreisflaeche. Diese beruehrt die Sehne.
O.B.d.A sei A=(-r\|0). Daraus kann B errechnet werden. B=(u \|f(u))
2=sqrt(\Delta x^2+\Delta y^2)
=sqrt((x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2)
=sqrt((-r-u)^2+(0-f(u))^2)
=sqrt(r^2+2ur+u^2+f(u)^2)
=sqrt(r^2+2ur+u^2+sqrt(r^2-u^2)^2)
=sqrt(2r^2+2ur)
2=r^2+ur
u=2/r-r

Wir erhalten A(-r\|0) und B(2/r-r\|2*sqrt(1-1/r^2))
Nun berechne ich die Steigung der Strecke AB^- um anschliessend die
Steigung der Normalen zu berechnen.

m_AB^-=(\Delta y)/(\Delta x) = sqrt(1-1/r^2)/(2/r) = r*sqrt(1-1/r^2)/2

Es gilt: m_n*m_t=-1 =>
n_AB^-=-2/sqrt(r-1)

Jetzt muss nur noch der Schnittpunkt der Geraden mit der Steigung
der Normalen durch den Ursprung mit der Strecke AB^- bestimmt werden
und dessen Abstand vom Ursprung. Das ist der Radius des inneren
Kreises (mit fedgeo waere das bestimmt um Einiges anschaulicher...).

g=-2/sqrt(r-1)*x

Punktsteigungsform:
m=(y-y_0)/(x-x_0) <=> sqrt(r-1)/2=y/(x+r) <=> y=sqrt(r-1)/2*x+sqrt(r-1)/2*r

Gleichsetzen:
2/sqrt(r-1)*x+sqrt(r-1)/2*x=-sqrt(r-1)/2*r
x*(2/sqrt(r-1)+sqrt(r-1)/2)=-sqrt(r-1)/2*r
x=-1/(4r/(r-1)+r)
=>
y=2/sqrt(r-1)*1/(4r/(r-1)+r)

letztlich r_in=sqrt(x^2+y^2)

Bestimmt ginge es vieeeeel einfacher... :-/

Gruss,
/Alex
 
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