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Definition

Definition

Diese Definition der Arbeit lässt sich verallgemeinern zum so genannten "Skalarprodukt" von Vektoren, das ein sehr wichtiges mathematisches Hilfsmittel für die vielseitigsten Aufgaben in Mathematik und Physik ist: a^>\circ\ b^>=abs(a^>)*abs(b^>)*cos \sphericalangle(a^>,b^>) Hier sind a^> und b^> zwei beliebige Vektoren und \alpha ist der Winkel, der zwischen diesen Vektoren liegt, wenn man sie so verschiebt, dass sie einen gemeinsamen Anfangspunkt haben. Man erkennt hieran auch, woher der Name Skalarprodukt \(der neben anderen Namen wie z.B. Punktprodukt und inneres Produkt am häufigsten verwendet wird\) stammt, denn aus zwei Vektoren wird durch dieses Produkt eine reelle Zahl gemacht. Wir führen dazu gleich eine Kurzschreibweise ein: a^>\circ\ b^>=abs(a^>)*b'=a'*abs(b^>) Hier sind a' und b' jeweils die vorzeichenbehafteten Projektionen der Vektoren auf den jeweils anderen Vektor. Es ist, wie man leicht erkennt: a'=abs(a^>)*cos \sphericalangle(a^>,b^>) b'=abs(b^>)*cos \sphericalangle(a^>,b^>) Das ist so ähnlich wie oben im Beispiel der Arbeit: W=s*F' Hier ist F' derjenige Anteil der Kraft F^>, der in Richtung von s^> wirkt, nämlich F*cos(\alpha). \(Anmerkung: In der Physik ist es oft üblich, anstelle der Betragsstriche einfach den Buchstaben ohne Pfeil zu benutzen, also abs(F^>) =: F. Wir werden aber im Weiteren die Betragsstriche setzen, da wir es von der mathematischen Seite her beleuchten wollen und nicht von der physikalischen Anwendung aus.\)
 
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