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| Cube Group |
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\big\Definition:\normal
Sei M := { 1, 2, ..., 48 } die Menge der Aufkleber des Rubik's Cubes und R,L,U,D,F,B \el\ S_M seien die sechs Basisdrehungen. Dann heisst die Permutationsgruppe, die von den sechs Basisdrehungen erzeugt wird, G := die \stress\ Rubik's Cube Group \normal\ und es gilt G \subset\ S_M = S_(48). Wie die meisten Permutationsgruppen ist G nicht abelsch (G hat sogar fast triviales Zentrum, siehe unten).
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\big\Bemerkung:\normal
Die Zuordnung zwischen Stellungen des Würfels und Algorithmen ist nicht eindeutig! D.h. es gibt für jede Stellung mehrere Züge, die diese Stellung auf einem gelösten Würfel erzeugen!
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\big\Satz:\normal
Die Ordnung der Cube Group entspricht der Anzahl der möglichen Stellungen:
\|G\| = (8! * 3^8 * 12! * 2^12) / (2 * 2 * 3) = 2^27 * 3^14 * 5^3 * 7^2 * 11^1 = 43.252.003.274.489.856.000
Diese Zahl ist übrigens um 1 größer als eine Primzahl, d.h. die Anzahl
der ungelösten Stellungen (G ohne Identität) ist prim.
(8! Permutationen der Ecken, 3^8 mögliche Eckenorientierungen, 12! mögliche
Permutationen der Kanten, 2^12 mögliche Kantenorientierungen, der Nenner ergibt sich
aus den oben genannten Cube Gesetzen)
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\big\Folgerung:\normal
Nach dem Satz von Lagrange teilt die Ordnung jedes Elementes die Gruppenordnung. Daher existiert z.B. kein Zug mit Ordnung 13. Nach Cauchy gilt sogar, dass für jede Primzahl p mit p teilt \|G\| ein Zug existiert, der Ordnung p hat. D.h. es existiert z.B. ein Zug mit der Ordnung 11.
Da die Gruppe endlich ist hat auch jedes Element endliche Ordnung. Tatsächlich ist die maximale Ordnung eines Elementes aber deutlich kleiner als die Gruppenordnung.
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\big\Satz:\normal
Der Zug R * U^2 * D^(-1) * B * D^(-1) hat Ordnung 1260. Es existiert kein Zug mit größerer Ordnung.
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\big\Definition:\normal
Das Zentrum Z(G) einer Gruppe G ist die Untergruppe von G, die genau die Elemente von G enthält, die mit allen anderen kommutieren, d.h.:
Z(G) = \{ z \el\ G \| zg = gz \forall\ g \el\ G \}
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\big\Satz:\normal
Sei G die Cube Group, dann gilt: Z(G) = {id, superflip} mit
superflip = R^(-1) * U^2 * B * L^(-1) * F * U^(-1) * B * D * F * U *
\ D^(-1) * L * D^2 * F^(-1) * R * B^(-1) * D * F^(-1) * U^(-1) *
\ B^(-1) * U * D^(-1)
Dieser Zug kippt alle Kanten (ohne sie zu permutieren) und behält alle Eckenkonfigurationen bei. Dieser Zug ist also, neben der Identität, der
einzige, der mit allen anderen Zügen kommutiert.
Isomorphieklassen von Untergruppen
Viele kleine (!) Untergruppen der Cube Group lassen sich relativ einfach durch allgemein bekannte Gruppen ausdrücken. z.B. ist jede Untergruppe, die von einer 180° Drehung einer beliebigen Seite, z.B. R2, erzeugt wird, isomorph zu C_2 und die von R2F2R2F2 und R2 erzeugte Untergruppe ist isomorph zur symmetrischen Gruppe auf 3 Elementen. Eine ausführliche Liste (mit interessanteren Untergruppen) findet sich auf Jaaps Puzzle Page |
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