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| Von d´Alembert zu Lagrange II |
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Ist ein statisches System im Gleichgewicht, d.h. die totale Kraft (F^>_i)^(t) auf jedes Teilchen ist Null, dann ergibt sich für eine virtuelle (infinitesimale) Verschiebung \delta|r^>_i der Teilchen, daß die virtuelle Arbeit (F^>_i)^(t)*\delta r^>_i Null ist. Die Summe dieser Produkte ist dann selbstverständlich auch Null.
sum((F^>_i)^(t)*\delta r^>_i,i,)=0 \ll(1)
Zerlegt man die totale Kraft (F^>_i)^(t) in die äußere Kraft F^>_i und in die Zwangskraft Z^>_i ,so wird aus ref(1)
sum(F^>_i*\delta r^>_i,i,)+sum(Z^>_i*\delta r^>_i,i,)=0 \ll(2)
Herrscht Reibungsfreiheit vor, dann sind die Zwangskräfte senkrecht zur Verschiebung, und damit ist das skalare Produkt Z^>_i*\delta r^>_i=0. Für reibungsbehaftete Systeme gilt dies nicht, und deshalb sind sie von den nachfolgenden Überlegungen erst einmal ausgeschlossen. Beschränkt man sich also auf Systeme, für welche die virtuelle Arbeit der Zwangskräfte Null ist, ergibt sich aus \ref(2) das sogenannte \stress\blue\ Prinzip der virtuellen Arbeit\normal\black\ :
\blue\ sum(F^>_i*\delta r^>_i,i,)=0 \ll(3)
Das Prinzip der virtuellen Arbeit so wie es oben beschrieben wird, gilt nur für die Statik. Um es auf die Dynamik zu übertragen, benutzen wir die Bewegungsgleichung.
(F^>_i)^(t) =d/dt p^>_i<=>(F^>_i)^(t) -d/dt p^>_i=0
Sie sagt aus, daß ein dynamisches System unter Einwirkung der totalen Kraft (F^>_i)^(t) plus einer ''Trägheitskraft'' -d/dt p^>_i im Gleichgewicht ist.
Hier führt, genau wie beim Prinzip der virtuellen Arbeit, eine Zerlegung der totalen Kraft in eine äußere Kraft F^>_i und eine Zwangskraft Z^>_i ,unter Berücksichtigung von Z^>_i*\delta r^>_i=0 , unmittelbar zum \stress\blue\ Prinzip von d'Alembert\normal\black\ :
\blue\ sum((F^>_i-d/dt p^>_i)*\delta r^>_i,i,)=0 \ll(4)
Führt man generalisierte Koordinaten q_j ein, dann läßt sich der Ortsvektor r^>_i eines jeden Massenpunktes als
r^>_i=r^>_i(q_1,q_2,...,q_n,t)
darstellen, und für eine virtuelle Verschiebung \delta r^>_i , die ja unabhängig von der Zeit ist, ergibt sich
\delta r^>_i=sum(pdiff(\ ,q_j) r^>_i \delta\ q_j,j,) \ll(5)
Die virtuelle Arbeit der Kraft F^>_i ergibt sich damit zu
sum(F^>_i*\delta r^>_i,i,)=sum(F^>_i*pdiff(\ ,q_j) r^>_i \delta\ q_j,i\,j,)=sum(Q_j \delta\ q_j,j,) \ll(6)
wobei Q_j=sum(F^>_i*pdiff(\ ,q_j) r^>_i,i,) die\stress generalisierte Kraft\normal ist.
\small\ (Q_j hat nicht zwangsläufig die Dimension einer Kraft. Aber Q_j*\delta\ q_j hat immer die Dimension einer Arbeit)
Für den zweiten Term aus \ref(4) ergibt sich mit \ref(5)
sum(d/dt p^>_i*\delta r^>_i,i,)=sum(d/dt (m_i v^>_i)*pdiff(\ ,q_j) r^>_i \delta\ q_j,i\,j,) \ll(7)
Durch Ableiten unter Beachtung der Produktregel läßt sich die Beziehung
sum(d/dt (m_i v^>_i)*pdiff(\ ,q_j) r^>_i,i,)=sum(d/dt (m_i v^>_i*pdiff(\ ,q_j) r^>_i)-m_i v^>_i*d/dt pdiff(\ ,q_j) r^>_i,i,)
überprüfen, und man erhält aus \ref(7) mit
v^>_i=d/dt r^>_i=sum(pdiff(\ ,q_j) r^>_i q^*_j+pdiff(\ ,t) r^>_i,j,)=>pdiff(\ ,q^*_j) v^>_i=pdiff(\ ,q_j) r^>_i $ und
d/dt pdiff(\ ,q_j) r^>_i=pdiff(\ ,q_j) d/dt r^>_i=pdiff(\ ,q_j) v^>_i
sum(d/dt p^>_i*\delta r^>_i,i,)=sum((d/dt (m_i v^>_i*pdiff(\ ,q^*_j) v^>_i)-m_i v^>_i*pdiff(\ ,q_j) v^>_i) \delta\ q_j,i\,j,) \ll(8)
Mit Beachtung der Kettenregel und Identifizierung von 1/2 m_i v^>_i^2 mit der kinetischen Energie T_i wird
d/dt (m_i v^>_i*pdiff(\ ,q^*_j) v^>_i)=d/dt pdiff(\ ,q^*_j) (1/2 m_i v^>_i^2) $ zu $ d/dt pdiff(\ ,q^*_j) T_i
und
m_i v^>_i*pdiff(\ ,q_j) v^>_i=pdiff(\ ,q_j) (1/2 m_i v^>_i^2) $ zu $ pdiff(\ ,q_j) T_i
Da sum(T_i,i,) der gesamten kinetischen Energie T des Systems entspricht, läßt sich \ref(8) als
sum(d/dt p^>_i*\delta r^>_i,i,)=sum(d/dt pdiff(\ ,q^*_j) T-pdiff(\ ,q_j) T,j,) \ll(9) $ $ darstellen.
Es ergibt sich also mit \ref(6) und \ref(9) aus dem Prinzip von d'Alembert \ref(4)
sum((d/dt pdiff(\ ,q^*_j) T-pdiff(\ ,q_j) T-Q_j) \delta\ q_j,j,)=0 \ll(10)
Für holonome Zwangsbedingungen sind die \delta\ q_j unabhängig voneinander und frei wählbar. Die Summe ist deshalb nur dann Null, wenn der Term in der Klammer Null ist. Somit erhält man n Gleichungen der Form
d/dt pdiff(\ ,q^*_j) T-pdiff(\ ,q_j) T=Q_j \ll(11)
Lassen sich die Kräfte aus einer skalaren Potentialfunktion V=V(r^>_1 ,r^>_2 ,...,r^>_n ,t) derart herleiten, daß
F^>_i=-\Nabla_i V=-pdiff(\ ,r^>_i) V $ $ gilt,
dann ergibt sich für die generalisierte Kraft
Q_j=sum(F^>_i*pdiff(\ ,q_j) r^>_i,i,)=-sum(pdiff(\ ,r^>_i) V*pdiff(\ ,q_j) r^>_i,i,)=-pdiff(\ ,q_j) V
Dies eingesetzt in \ref(11) führt zu
d/dt pdiff(\ ,q^*_j) T-pdiff(\ ,q_j) (T-V)=0
Da V geschwindigkeitsunabhängig ist, kann man dafür auch
d/dt pdiff(\ ,q^*_j) (T-V)-pdiff(\ ,q_j) (T-V)=0 $ schreiben, und mit der Definition der\stress Lagrange\-Funktion\normal \dsL=T-V
ergeben sich letztendlich n\stress\blue Lagrange\-Gleichungen
\blue\ d/dt pdiff(\dsL,q^*_j)-pdiff(\dsL,q_j)=0 \ll(12)
Dieselben Differentialgleichungen erhält man auch aus dem Eulerschen Variationsprinzip, wenn man dort für die Funktion f die Lagrangefunktion \dsL einsetzt. Die Herleitung der Bewegungsgleichungen aus dem Variationsprinzip nennt man das\blue Prinzip der kleinsten Wirkung\black oder auch\blue Prinzip von Hamilton\black\ .
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