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Vorschau:
Neuer Abschnitt in Ein interessantes Beispiel zu Rotation
Betrachte zu \alpha\el\IR^(>0) die Funktionenschar f_\alpha: \IR \\ menge(0)->\IR mit f_\alpha\.(x):=1/x^\alpha\.. Zur Veranschaulichung sei eine Zeichnung der Graphen für \alpha= \black\ 1/2; \green\ 1 \black\ ; \red\ 2 \black\ und \blue\ 3 \black\ eingefügt: \geo x(0,4) name(Hyperbeln) c(black)plot(1/sqrt(x)) c(green)plot(1/x) c(red)plot(1/x^2) c(blue)plot(1/x^3) \geooff geoprint(Hyperbeln) I_\alpha:=int(f_\alpha,x,1,\inf)=cases(stammf(1/(-\alpha+1) x^(-\alpha+1),1,\inf), für \alpha!=1;stammf(ln(x),1,\inf), für \alpha=1) =lim(g->\inf,cases(stammf(1/(-\alpha+1) x^(-\alpha+1),1,g), für \alpha!=1;stammf(ln(x),1,g), für \alpha=1) =cases(\inf, für \alpha<=1;1/(\alpha-1), für \alpha>1) Betrachte nun die zugehörigen Volumenintegrale über demselben Intervall: V_\alpha:=\pi int(f_\alpha^2,x,1,\inf)=\pi int(f_(2\alpha),x,1,\inf)=\pi I_(2\alpha) =cases(\inf, für 2\alpha<=1;\pi/(2\alpha-1), für 2\alpha>1)=cases(\inf, für \alpha<=1/2;\pi/(2\alpha-1), für \alpha>1/2) Betrachte nun die Fälle mit 1/2<\alpha<=1, also zum Beispiel die Fälle a. \alpha=1: I_1=\inf und V_1=\pi (<\inf) oder b. \alpha=3/4: I_(3\/4)=\inf und V_(3\/4)=2\pi (<\inf). Für 1/2<\alpha<=1 ergibt sich eine unendliche Flächenmaßzahl über dem Intervall intervallgo(1,\inf), aber ein endlicher Wert für das zugehörige Rotationsvolumen.
 
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