Was ist das eigentlich?

Der algebraischen Topologie und den meisten ihrer Ausprägungen wie etwa Homotopie-Gruppen, Homologien, Kohomologien, liegt der Gedanke zugrunde, topologische Objekte und Eigenschaften auf algebraische Entsprechungen abzubilden. Im einfachsten Fall sind das schlichtweg Zahlen, d.h. numerische Kenngrößen wie etwa die Betti-Zahlen eines Raumes. Es können aber auch komplexere Objekte etwa Gruppen oder Vektorräume sein, in denen die topologischen Informationen kodiert sind. So wird etwa bei der (Ko)Homologie einem topologischen Raum X bzw. einem Paar (X,A) bestehend aus einem topologischen Raum X und einem Unterraum A eine Folge von Moduln über einem festen Ring zugeordnet. Das alleine ist natürlich lange keine eindeutige Beschreibung dafür, was "(Ko)Homologie" genau ist. Es gibt viele verschiedene Variationen dieses Themas. Eine Homologie- oder Kohomologie-Theorie zu definieren, ist auf vielfältige Weisen möglich. Je nach Anwendungsbereich sind auch verschiedene Varianten besser oder schlechter geeignet. So arbeitet man im Zusammenhang mit Mannigfaltigkeiten oftmals mit der de-Rham-Kohomologie. Besonders einfach gestrickte Räume wie Simplizial- und CW-Komplexe erlauben die Definition von simplizialer und zellulärer Homologie, die eine sehr einfache Berechnung erlaubt. Für alle topologischen Räume ist die singuläre Homologie definiert, die zwar kompliziert direkt zu berechnen ist, dafür aber hervorragende mathematische Eigenschaften besitzt und sich daher für theoretische Überlegungen sehr gut eignet. Es stellt sich oft heraus, dass speziellere Spielarten von Homologien nur isomorphe Varianten der singulären Homologie sind. Das trifft etwa auf die simpliziale und die zelluläre Homologie zu. So kommen eine vergleichsweise einfache Berechnung und gute abstrakte Eigenschaften gleichermaßen zum Tragen. Wir werden das später noch an konkreten Beispielen sehen. Die vielfältigen Grundideen und Definitionsspielarten der Objekte der algebraischen Topologie spiegeln die ebenso vielfältigen Anwendungsbereiche und die verschiedenen Entstehungsgeschichten dieser Ideen wider. Ich möchte diesen Artikel nutzen, um ein paar kurze, motivierende Beispiele für die Objekte und Grundgedanken der algebraischen Topologie zu geben.