Lokal-Global-Obstruktionen

Ein Aspekt, der in einigen (Ko)Homologien steckt, ist es, Zusammenhänge zwischen lokalen und globalen Eigenschaften eines Objekts zu untersuchen und Einschränkungen widerzuspiegeln, die sich dort ergeben. Ein Beispiel: Ist \emptyset!=U\subseteq\IR^3 offen, und f:U\to\IR^3 eine hinreichend glatte Funktion, so kann man sich die Frage stellen, ob f der Gradient einer Funktion F:U\to\IR ist. Dafür gibt es eine notwendige Bedingung, nämlich rot$f=0. Ist sie erfüllt, so kann man tatsächlich auch stets lokal eine Stammfunktion von f finden, d.h. um jeden Punkt von U gibt es eine Umgebung, auf der f eine Stammfunktion hat. Auf ganz U ist das jedoch nicht immer möglich. Es gibt Obstruktionen für die globale Existenz von Stammfunktionen. Geometrisch betrachtet sind es die "Löcher" in U, die uns das Leben dabei schwer machen. Ist etwa U=menge(x\in\IR^3 | x_1^2+x_2^2!=0) und f(x)=(-x_2/(x_1^2+x_2^2), x_1/(x_1^2+x_2^2), 0), so gilt rot$f=0, wie man leicht nachrechnet. Jedoch ist f kein Gradient, denn wäre f=grad$F für ein F:U\to\IR, so würde für jeden Weg \gamma:[0,1]\to\ U gelten: wegint(f(x),x,\gamma)=int(\,t,0,1)=int(D(F\circ\gamma)(t),t,0,1)=F(\gamma(1))-F(\gamma(0)) Insbesondere wäre das Wegintegral 0, wenn \gamma ein geschlossener Weg ist. Man kann sich aber davon überzeugen, dass dies für \gamma(t):=(cos(2\pi||t),sin(2\pi||t),0) nicht der Fall ist. Das Wegintegral über diesen Weg ist exakt gleich 2\pi. Demnach kann f keine Gradientenfunktion sein. Ein völlig analoges Verhalten tritt bei der Problemstellung auf, zu entscheiden, ob eine Funktion U\to\IR^3 Rotation eines anderen Vektorfeldes U\to\IR^3 ist. Auch hier gibt es eine einfache notwendige Bedingung, nämlich div$f=0, die die lokale Lösbarkeit des Problems garantiert, während die globale Antwort an topologische Eigenschaften des Raumes U gekoppelt ist. Auch hier ein Beispiel: U:=\IR^3|\\|menge(0) und f(x):=norm(x)_2^(-3)*x. Man kann sich wieder leicht davon überzeugen, dass div$f=0 ist. Mit einem ähnlichen Argument wie eben, können wir schließen, dass f keine Rotation einer anderen Funktion ist. Denn der Satz von Stokes sagt aus, dass in einem solchen Falle int(\,x,M)=int(\,x,M)=int(\,x,\partial||M) für jede glatte Fläche M\subseteq\IR^3 gelten müsste, wobei n der äußere Einheitsnormalenvektor der Fläche und t das Einheitstangentialfeld der Randkurve ist. Wenn wir eine randlose Fläche einsetzen, müsste insbesondere 0 herauskommen. Man sich nun aber leicht überlegen, dass das Integral über f für die Oberfläche der Einheitskugel eben nicht verschwindet, sodass f also nicht als rot$F darstellbar ist. Es stellt sich heraus, dass das wesentliche Hindernis, das bei beiden Problemen auftreten kann, ein "Loch" in U ist. Die Beispiele unterscheiden sich dabei in der "Dimension", die das Loch haben muss, um Ärger zu verursachen. So ist im ersten Gegenbeispiel U=\IR\\||menge(x=y=0), d.h. aus dem \IR^3 wird eine Gerade herausgeschnitten, U hat ein "eindimensionales Loch". Der Weg, über den wir die Funktion f integriert haben, war nun genau ein solcher, der sich um dieses Loch nichttrivial herumwindet. Im zweiten Beispiel wird hingegen der Nullpunkt entfernt, es liegt also ein "nulldimensionales Loch" vor. Die Fläche, über die wir f integriert haben, um einen Widerspruch herbeizuführen, hat auch hier die Eigenschaft, ungünstig um das Loch herum positioniert zu sein. Ganz ähnliche Probleme erhält man, wenn man die verallgemeinerten Differentialoperatoren im \IR^n betrachtet. Eine gemeinsame Verallgemeinerung dieser Fragestellungen führt direkt zur Definition der de\-Rham\-Kohomologie, die sich dem Problem gleich für beliebige \(endlichdimensionale, glatte\) Mannigfaltigkeiten annimmt. Reellwertige Funktionen und Vektorfelder finden in der Sprache der Mannigfaltigkeiten ihr Gegenstück in den Differentialformen. Auf einer Mannigfaltigkeit M kann man sich die Frage stellen, ob eine k\-Form \omega das Differential einer (k-1)\-Form \alpha ist. Wegen der Eigenschaft des Differentials, dass d(d\alpha)=0 für alle Formen \alpha gilt, ist d\omega=0 eine notwendige Bedingung. Betrachtet man die Spezialfälle von oben erneut, so erkennt man hierin die Bedingung rot$f=0 bzw. div$f=0 wieder. Wie in den Spezialfällen gilt auch allgemein, dass d\omega=0 schon die lokale Existenz einer Stammfunktion sichert, die globale Existenz jedoch Einschränkungen aufgrund der Geometrie von M unterliegen kann. Es ist nun naheliegend, einen genaueren Blick auf die Räume \Omega^k(M) der k\-Formen auf M zu werfen. Das Differential liefert eine Folge von linearen Abbildungen zwischen diesen Vektorräumen \Omega^0(M) array(\small\ d\normal;\textrightarrow;\small$\normal) ... array(\small\ d\normal;\textrightarrow;\small$\normal) \Omega^(k-1)(M) array(\small\ d\normal;\textrightarrow;\small$\normal) \Omega^k(M) array(\small\ d\normal;\textrightarrow;\small$\normal) \Omega^(k+1)(M) array(\small\ d\normal;\textrightarrow;\small$\normal) ... Der Unterraum B^k(M) der geschlossenen Formen, d.h. der Kern von d: \Omega^k\to\Omega^(k+1), und der Unterraum Z^k(M) exakten Formen, d.h. das Bild von d: \Omega^(k-1)\to\Omega^k, sind dabei für uns von Interesse. Eine k\-Form \omega liegt genau dann in B^k, wenn d\omega=0 ist, d.h. wenn sie unsere notwendige Bedingung erfüllt. \omega liegt genau dann in Z^k, wenn sie Differential einer (k-1)\-Form ist. Wegen der Eigenschaft d^2=0 des Differentials, ist Z^k(M)\subseteq\ B^k(M) und die Frage nach der globalen Existenz von Stammfunktionen ist die Frage, ob in dieser Inklusion Gleichheit gilt. Noch ein weiteres Mal umformuliert, ist es die Frage, ob H^k(M):=B^k(M)\.\/Z^k(M) der triviale Vektorraum ist. So weit, so unspektakulär. Es stellt sich nun jedoch heraus, dass die Vektorräume H^k(M), die man aus historischen Gründen DeRham\-Kohomologie\-Gruppen____ nennt, nur noch Homotopieinvarianten von M sind, also insbesondere gar nicht mehr von der differenzierbaren Struktur von M abhängen. Das ist eine starke \(und ad hoc schwer zu beweisende\) Aussage über die Kohomologie, die die Berechnung der Gruppen mit topologischen Methoden enorm erleichert. So sagt uns die Homotopieinvarianz beispielsweise, dass H^k(\IR^n)=0 ist für alle k,n>0, da \IR^n zusammenziehbar, also homotopieäquivalent zu einem Punkt ist. Die Kohomologie des Punktes kann direkt ausgerechnet werden und weil \IR^n nun homotopieäquivalent zum Punkt ist, hat es die gleichen Kohomologiegruppen. Die Eigenschaft H^k(\IR^n)=0 für k,n>0 oder allgemeiner H^k(U)=0 für konvexe Gebiete U\subseteq\IR^n ist auch als Lemma von Poincaré bekannt. Neben dieser schon recht netten Eigenschaft hat die Kohomologie einer Mannigfaltigkeit von M noch viele weitere interessante Eigenschaften, die eine einfachere Berechnung der Kohomologie und damit tiefere Einsichten in die Geometrie von M erlauben. Neben der Homotopie\-Invarianz sind das z.B. die Existenz diverser exakter Sequenzen, wie der Mayer\-Vietoris\-Sequenz, die die Kohomologien verschiedener Teilmengen von M miteinander in Verbindung setzt. Die Kohomologiegruppen einer Mannigfaltigkeiten "messen" recht gut, wieviele und welche "Löcher" die Mannigfaltigkeit hat, so kann man sich die Dimension dim_\IR|H^k(M) als formale Präzision der anschaulichen "Anzahl der (k-1)-dimensionalen Löcher" vorstellen. Weitere Beispiele für Lokal-Global-Obstruktionen sind etwa die Probleme von Cousin (siehe z.B. hier bei wikipedia), die ebenfalls durch eine geeignete Umformulierung auf kohomologische Objekte führen.