Windungszahlen

Sei \emptyset!=V\subseteq\IC offen und x_1, ..., x_k\in\ V paarweise verschiedene Punkte. Setze U:=V\\||menge(x_1, ..., x_k). In der Funktionentheorie ist dann etwa für den Residuensatz die so genannte Windungszahl eines geschlossenen Weges \gamma:[0,1]\to\ U im Punkt x_i von entscheidender Bedeutung. Eine Möglichkeit, die Windungszahl zu definieren, ist rein geometrisch. Man definiert die Windungszahl zunächst für den Nullpunkt. Dafür wählt man eine stetige Argumentfunktion entlang des Weges \gamma, d.h. ein \Theta:[0,1]\to\IR, sodass \gamma(t)=abs(\gamma(t))*exp(2\pi||i\Theta(t)) für alle t\in\[0,1] gilt. So eine Funktion findet man z.B. dadurch, dass man das Bild von \gamma mit kleinen \eps-Kugeln überdeckt, die Funktion lokal innerhalb dieser Kugeln wählt und sie entsprechend zusammensetzt, wo sich die Kugeln überlappen. Es stellt sich heraus, dass dann der Wert \Theta(1)-\Theta(0) von der konkreten Wahl von \Theta unabhängig ist und man kann daher die Windungszahl____ oder auch den Index____ des Weges \gamma um den Nullpunkt als ind_array(\gamma)(0):=\Theta(1)-\Theta(0) definieren. Für allgemeine Punkte x_i!=0 definiert man den Index ind_array(\gamma)(x_i) als den Index der verschobenen Kurve t\mapsto\gamma(t)-x_i um 0. Bei jeder geschlossenen Kurve ist ind_array(\gamma)(x_i) eine ganze Zahl, wie man sich leicht überlegt. Wenn man sich das \Theta(t) als Winkel von \gamma(t) bzgl. x_i vorstellt, dann wird klar, woher der Begriff "Windungszahl" kommt: ind_array(\gamma)(x_i) zählt, "wie oft" sich der Weg \gamma um den Punkt x_i herumwindet beim Durchlaufen der Kurve. Eine Windung in mathematisch positiver Richtung wird mit +1 gezählt, eine Windung in negativer Richtung mit -1. define(text1,\big\blue\gamma_2) \geo makro(triangle,\ p(%1,%2,%3.M,hide) k(%3.M,0.1,%3.k,hide) \ p(%3.k,%4,%3.A,hide) \ konst(alpha,%4+120) p(%3.k,alpha,%3.B,hide) \ konst(alpha,%4-120) p(%3.k,alpha,%3.C,hide) \ fill(%3.A,%3.B,%3.C) \ ) x(-2,2) y(-2.5,1) ebene(400,350) noaxis() punktform(o) nolabel() p(-0.5,0,X) p( 0.5,0,Y) color(B0E2FF) pen(2) k(X,0.5,k1) k(Y,0.5,k2) triangle( 0.5, 0.5,T1,180) triangle(-0.5, 0.5,T2,180) triangle( 0.5,-0.5,T3, 0) triangle(-0.5,-0.5,T4, 0) # color(1874CD) param(t,0,1.01,0.01) kurve(1.5*cos(2*Pi()*t), 0.5*sin(2*Pi()*t)-1.5) triangle(0,-1,T6,-180) triangle(0,-2,T7,0) print(\big\blue\alpha, -1.0,0.5) print(\big\blue\beta, 0.9,0.5) print(\text1,-1.5,-1) print(x_1, 0.55,-0.05) print(x_2,-0.45,-0.05) \geooff Eine Tatsache, die Windungszahlen für die Funktionentheorie interessant macht, ist, dass der Index sich als Kurvenintegral schreiben lässt: ind_array(\gamma)(x_i)=1/2\pi||i*int(1/(z-x_i),z,\gamma) Mit dieser Charakterisierung kann man dann zeigen, dass homotope Wege dieselben Indizes haben, d.h. gibt es eine stetige Abbildung H:[0,1]\times\[0,1]\to\ U, sodass 1.\forall\ s\in\[0,1]: H(s,opimg(*)) ein geschlossener Weg und 2.H(0,opimg(*))=\gamma_0 und H(1,opimg(*))=\gamma_1 ist, dann gilt ind_\gamma_0(x_i)=ind_\gamma_1(x_i). Es kann jedoch sein, dass zwei nicht\-homotope Wege die gleichen Umlaufzahlen haben. Betrachte etwa folgende Wege in U:=\IC\\||menge(x_1, x_2): geoprint() Der Weg \gamma_1, der entsteht, wenn man erst \alpha, dann \beta, dann \alpha mit umgekehrter Orientierung und dann \beta in umgekehrter Orientierung durchläuft, und der Weg \gamma_2 haben dieselben Umlaufzahlen um x_1 und x_2. Die Umlaufzahlen für \gamma_2 sind 0, weil \gamma_2 die Punkte gar nicht umläuft. Die Umlaufzahlen von \gamma_1 sind 0, weil die Kurven jeden der beiden Punkte einmal positiv und einmal negativ orientiert umläuft. Die beiden Wege sind jedoch nicht homotop, denn wollte man \gamma_1 in \gamma_2 stetig überführen, müsste man irgendwo die ausgeschlossenen Punkte x_1 oder x_2 passieren. \(Das muss natürlich präzise bewiesen werden.\) Wenn man die Ergebnisse der Funktionentheorie mit einem algebraischen Auge betrachtet, dann ist es naheliegend, gewisse Operationen für Wege definieren zu wollen. Zum Beispiel möchte man Wege "hintereinander" oder "in der anderen Richtung" durchlaufen. Das kann man natürlich machen, indem man aus zwei Wegen \gamma, \gamma^~ mit \gamma(1)=\gamma^~(0) einen Weg bastelt, der von \gamma(0) nach \gamma^~(1) läuft, bzw. einen Weg von \gamma(1) nach \gamma(0), etwa durch (\gamma\oplus\gamma^~)(t):=cases(\gamma(2t),t<=1/2;\gamma^~(2t-1),t>=1/2) $bzw.$ \gamma^-(t):=\gamma(1-t) Es ist jedoch auch wünschenswert, nicht auf die Einschränkung \gamma(1)=\gamma^~(0) achten zu müssen beim Verknüpfen der Wege. Außerdem ist klar, dass wir eine Zusammensetzung von \gamma und \gamma^~ noch auf viele andere Weisen hätten definieren können, ohne für die Berechnung komplexer Integrale etwas zu ändern, etwa indem wir eine homotope Variante von \gamma\oplus\gamma^~ benutzt hätten. Noch schlimmer ist, dass die Reihenfolge, in der wir \gamma und \gamma^~ durchlaufen für die Integration egal ist, jedoch zu nicht homotopen Wegen führen kann. Wir sollten uns also umsehen nach einer Möglichkeit, Wege [0,1]\to\ U irgendwie "generisch" zu verknüpfen. Wir betrachten daher array(formale Summen)__ sum(a_k*\gamma_k,k=0,m) mit ganzen Zahlen a_k und Wegen \gamma_k. Eine solche Summe soll dann dafür stehen, dass der Weg \gamma_k genau abs(a_k)-mal durchlaufen wird und in der verkehrten Richtung, falls a_k<0. Wir werden formale Summen von Wegen [0,1]\to\ U als Ketten____ bezeichnen. Durch die offensichtliche Addition wird die Menge der Ketten zu einer Gruppe, die man oft mit S_1(U) bezeichnet. Technisch gesprochen ist S_1(U) die so genannte freie abelsche Gruppe über C^0([0,1],U). Ein Weg \gamma war geschlossen, wenn \gamma(0)=\gamma(1) ist. Wir nennen eine solche formale Summe sum(a_k*\gamma_k,k) nun geschlossen____ oder auch Zyklus____, wenn aus jedem Punkt genauso viele Wege starten wie dort enden, d.h. für jeden Punkt z\in\ U muss sum(a_k,\gamma_k(0)=z) = sum(a_k,\gamma_k(1)=z) sein. Die Menge aller Zyklen ist eine Untergruppe von S_1(U) und wird mit Z_1(U) bezeichnet. Man kann nun definieren, dass int(f,z,\big\Sigma\normal a_k*\gamma_k):=sum(a_k*int(f,z,\gamma_k),k=0,m) sein soll \(so wie es ja auch bei der echten Zusammensetzung von Wegen der Fall ist\). Mit dieser Definition wird w\mapsto\ ind_w(x_i):=int(1/(z-x_i),z,w) ein Gruppenhomomorphismus Z_1(U)\to\IZ. Mit Hinblick auf den Residuensatz muss man zwei Zyklen w und w^~ nur dann unterscheiden, wenn ihre Indizes an jedem Punkt gleich sind, d.h. wenn ihre Differenz im Kern aller Index\-Homomorphismen liegt. Wenn man den Durchschnitt dieser Kerne mit B_1(U) bezeichnet, dann heißt das, dass im Residuensatz für die Berechnung von int(f(z),z,w) nur die Restklasse von w in H_1(U):=Z_1(U)\.\/B_1(U) von Bedeutung ist. Wenn man sich die Berechnung der Indizes vor Augen führt, erkennen wir, dass nun mit den Bezeichnungen von oben [\gamma]+[\.\gamma^~]=[\gamma+\gamma^~]=[\gamma\oplus\gamma^~] und -[\gamma]=[-\gamma]=[\.\gamma^-] gilt, d.h. zumindest in H_1(U) sind die formale Addition und Zusammensetzung von Wegen gleichwertig. Dieses H_1(U) ist die array(erste \(singuläre\) Homologie\-Gruppe)____ von U. Es ist aus der Konstruktion einsichtig, dass H_1(U) in einer gewissen Weise die "Löcher" in U widerspiegelt, da sich alle Konstruktionen immer irgendwie um das Verhalten bei den Punkten x_1, ..., x_k drehte. Man kann zeigen, dass [w]\mapsto(ind_w(x_1), ..., ind_w(x_k)) ein Isomorphismus von H_1(U)\to\IZ^k ist. Der Rang von H_1(U) ist also gleich der Anzahl der Löcher. H_1(U) hat weitere interessante Eigenschaften. Es stellt sich heraus, dass es \(bei geeigneter Modifikation der obigen Definition\) eine topologische Invariante des Gebietes U ist. Zusammen mit den anderen Homologiegruppen erhält man viele nützliche Informationen über U.